《高数》第十章习题课-线面积分的计算

原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
o
ax
d s x2 y 2 d t
4
P184 3(3).计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
其中L为摆线

原式

a
2
2
0
t
sin
td
t
a2 t cos t sin t 02
5
P184 3(6). 计算
x xd S d S
注意公式使用条件
(2)
利用高斯公式

添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
18
例3. 计算曲面积分
中 是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 y2 z2 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
22
0
21
例5. 计算曲面积分
其中, r x2 y2 z2 , : x2 y2 z2 R2 取外侧.
解:

1 R3

3
d
x
d
y
d
z
思考: 1. 为什么不考虑(0,0,0)点的可导性,不考虑行吗?
2. 本题 改为椭球面 计算 ?
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1时,
(2x 2z) d S 2 (x z)ydS
用重心公式
利用对称性 z
R2
2(x z) d S 0
(1,0,1)
oy
x
19
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
y
C
L
D
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
I2
这说明积分与路径无关, 故
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B

a
a
x
2
d
x
y
C
L
o Ax
9
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
15
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3

x
y
yz


1 3

(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
t)
t :0
y L
D
oA a B x
D 0d x d y
2a
0d
x

2a2
0
sin2 td t
0
a2
13
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数, 场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
P184 3 (1) 计算
其中L为圆周
P184 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
P184 3(6). 计算
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
3
解答提示: P184 3 (1)
计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
o 1y
x

2

1 2

2

3 4
1 2

2

6
2.线积分基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; y y ds ds
(2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
令
P


k

x
3
,
Q


k

y
3
易证
14
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
oC
A
习题课
线面积分的计算
第十章
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
1
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程 用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终
2
练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
10
思考题解答:
y
(1) I1
(x2 3 y)d x (y2 x)d y
L
L百度文库 AB AB
C
L
D
B o Ax
2 d x d y 2 a3 a2 (2 a )
D
3
3
(2)I2 L (x2 y y 2 ) d x ( y2 x) d y
z
的上侧.
提示: 以半球底面 0 为辅助面,

且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有
o
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 R3 0 2 R3
3
P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
cos cos cos cos cos cos d S cosdydz cos dzdx cos dxdy
7
例1. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知

I

2 3
(x2

y2

z2 )ds
4 a3
3

y
o
x
(的重心在原点)
8
例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
(x2 y) d x (y2 x)dy y2 dx
L
L
L : x a cost, y a sin t, t : 0
I a3 sin3 t d t 2 a3
0
3
2a3
11
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L

2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t