线面积分的计算小结

其中L为摆线

原式

a
2
2
0
t
sin
td
t
a2 t cos t sin t 02
3、计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
o 1y
x

2

1 2

2

3 4
1 2

2

z
o 1y
x
4. 计算
其中 为曲线
(x2 y) d x (y2 x)dy y2 dx
L
L
L : x a cost, y a sin t, t : 0
I a3 sin3 t d t 2 a3
0
3
2a3
6. 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
思考题解答:
y
(1) I1
(x2 3 y)d x (y2 x)d y
L
L AB AB
C
L
D
B o Ax
2 d x d y 2 a3 a2 (2 a )
D
3
3
(2)I2 L (x2 y y 2 ) d x ( y2 x) d y
yz


1 3

(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
(3) 利用两类曲线积分的联系公式 .
1. 计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r o
t ax
d s x2 y 2 d t
y
r
t
o
ax
2、计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
线面积分的计算
一、 曲线积分 1、第一类 曲线积分 （1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为定积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类 曲线积分 （1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分） （4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
oC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3

x
y

P Q R divA
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotA

(R

Q
)i

(P

R)
j

(Q

P
)k
y z z x x y
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分） （4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。 （6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x

a
a
x
2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
y
C
L
D
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
I2
全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。
（6）物理应用（力沿曲线做功，场沿曲线的环流量）
曲线积分的计算法
曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程 用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx

x
y
P
Q
dxd y
z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds

I

2 3
(x2

y2

z2 )ds
4 a3
3

y
o
x
(的重心在原点)
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
的上侧.
提示: 以半球底面 0 为辅助面,

且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有
o
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 R3 0 2 R3
3
2. 计算曲面积分
中 是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
L
L

来自百度文库 2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t
t)
t :0
y L
D
oA a B x
D 0d x d y
2a
0d
x

2a2
0
sin2 td t
0
a2
7. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
z R
cos

x
P
cos

y Q
cos
dS z R
n
z


o
y
x
场论初步
方向导数
f l
f cos f cos
x
y
f cos
z
梯度
gradu

u
i

u
j

u
k
x y z
通量 散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy