行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法

2.1 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

例1 计算行列式0

004003002001000.

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑

1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有

41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故

004003002001000=()

()

241413223144321=-a a a a τ.

2.2 利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n

n a a a a a a a a a a a a a

2211nn

333223221131211000000=，nn nn

n n n a a a a a a a a a a a a a 22113

2

1

33323122211100

0000=. 例2 计算行列式n

n n n b a a a a a b a a a a ++=

+

21

211211n 1

11

D .

解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得

121n 1121000

0D 0

n n n

a a a

b b b b b +=

=.

2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

例3 计算行列式m

x x x x m x x x x m

x D n n n n ---=

2

1

212

1.

解： m

x x m

x

x m x m x

x x m

x

n n

i i

n n

i i

n n

i i

-----=

∑∑∑===

2

1

212

1

n D

m

x x x m x x x m x n n n

n i i --⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=∑=

222

1111

m

m x x m x n

n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=

00001

2

1()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n

i i n 11.

2.2.3 滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．

例4 计算行列式()21

2

21231

2

3

1

2212

1321

D n ≥-------=n n n n n n n n n

n

.

解：从最后一行开始每行减去上一行，有

111

1

1

11111111111

321D n ---------=

n n 1

1

11120022200021

321----=

n n 0

1

11100011000011132122

+-=-n n n ()

()21

211-++-=n n n .

2.2.4 逐行相加减

对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．

例5 计算行列式1

1

1

11

0000000

000

000D 32

211

n n

a a a a a a a ----=

. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：

1

3

2

1

00000

0000

00

00000D 321+----=

n n

a a a a n

()

()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2

211111+-=+--=+.

2.3 降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解．

2.3.1 按某一行（或列）展开

例6 解行列式1

2

21

n 10

00000000100001D a a a a a x

x x x n n n

-----=

.

解：按最后一行展开，得

n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .

2.3.2 按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即

n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．

即

nn nn nn nn nn

B A B

C A •=0

， nn nn nn

nn nn B A B C A •=0

.

例7 解行列式γ

βββββ

γ

β

βββγλ

b

b

b

a

a a a n =D .

解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加