线面积分总结

u (
uv )
v
d udv
(S )
∫∫ f (x, y, z)⋅ d S = σ f (r (u, v)) ⋅ r ×r dudv ∫∫
u v (
uv )
特殊参数下线面积分： 特殊参数下线面积分：
2 2 f (x, y, z) d s = ∫ f (x, y(x), z(x)) 1+ yx + xx d x ∫ (c) a小 b大
(S)
一般参数下线面积分： 一般参数下线面积分：
(c)
∫ f (x, y, z) d s = ∫α
(c)
β大
小
f (r (t)) r (t) dt
ɺ f (x, y, z) ⋅ d s = ∫ f (r (t)) ⋅ r (t)dt ∫
α起
β终
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (r (u, v)) r ×r ∫∫
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
思考: 思考 上例中Γ 改为 计算
, 如何
X = x −1 X 2 +Y 2 + Z 2 = a2 解: 令 Y = y +1, 则 Γ : X +Y + Z = 0 Z = z
= ∫ ( X +1)2 ds
Γ
+ 2 ∫ X ds
Γ
2 3 = π a + 2⋅ X ⋅ 2π a 3
= ∫ R2 sin 2 θ (−Rsin θ)2 + (Rcosθ )2 dθ
= R3(α − sinα cosα )
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例. L为球面 x2 + y2 + z2 = R2在第一卦限与三个坐标 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 2π R 3π R L3 l = 3∫ ds = 3⋅ = R o L1 2 4 y 形心坐标为 R L x 1 1 z= y=x= ∫ x ds l L1+L2 +L3 2 1 = [ ∫ x ds + ∫ x ds + ∫ x ds ]= ∫ x ds L2 L3 l L1 l L1
∴ 原式 =
cosα = cosγ =
x x
1+ x2 + y2 −1 1+ x2 + y2
[( z2 + x)(−x) − z ]d x d y ∫∫∑
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将z = 1 (x2 + y2 ) 代 , 得 入 2
z
2
1 2 = −∫∫ { [ (x + y2 )2 + x] (−x) 原式 = Dxy 4 − 1 (x2 + y2 ) }d xd y 2
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例. 计算 被平面 解: 由对称性可知
2
其中Γ为球面 所截的圆周.
∫Γ x
2
ds = ∫ y ds = ∫ z ds
2 2 Γ Γ
1 2 2 2 ∴ ∫ x ds = ∫ (x + y + z ) ds Γ 3 Γ 1 = ∫ a2 ds 3 Γ 2 3 = πa 3
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d xd y
∴I = ∫∫
S
d xd y z cos z
2
1
=2
2
∫∫
2
x + y ≤1
1− x2 − y2 cos2 1− x2 − y2
= 2 ∫ dθ
0
2π
∫
0
rdr 1− r cos
2 2
1− r
2
= −4π ∫
1
d 1− r 2
2
0 cos
1− r
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2
= 4π tan1
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2 π 4R 2 = ∫ Rcosθ ⋅ Rdθ = l 0 3π
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z
例. 有一半圆弧 其线密度 求它对原点处单位质量质点的引力. y µ ds 解: d Fx = k cosθ (x, y) R2 µ ds θ d Fy = k sinθ −R o Rx 2 R 2k π Fx = ∫ θ cosθ d θ R 0 2k π Fy = ∫ θ sinθ d θ R 0 故所求引力为 F = ( − 4k , 2kπ ) R R
∫∫ P(x, y, z)dxΛdy = ± σ P(x, y, z(x, y))dxdy ∫∫
(
xy )
第一、二型积分关系： 第一、二型积分关系：
∫ f (x, y, z) ⋅ d s = ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
(c) (c)
= ∫[P(x, y, z) cosα + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cosγ ]ds
例. 计算曲面积分 ∫∫ (z2 + x) d y d z − z d x d y,其中∑
∑
旋转抛物面 及 z = 2 之间部分的下侧. 解:
介于平面 z= 0
z
2
o
y
∫∫∑ = ∫∫ (z2 + x) cosα dS ∑ cosα 2 d xd y = ∫∫ (z + x) Σ cosγ
(z2 + x) d y d z
r θ t
ax
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例. 计算
其中L为双纽线
(x2 + y2 ) 2 = a2 (x2 − y2 ) ( a > 0)
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 ≤θ ≤ π ) 4
4 r cosθ 2
L : r = a cos 2θ 1
利用对称性 , 得
o
x
= 4∫
π
0
′2 (θ ) dθ r (θ ) + r
= ∫∫
=∫
Dxy
2π
o x
y
[ x2 + 1 (x2 + y2)]d xdy 2
2 0
0
dθ ∫ (r 2 cos2 θ + 1 r 2 ) r dr 2
= 8π
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z = Rcosθ 2 d S = R sin θ dφ dθ
=
R
3
∫
2
2π
0
dϕ ∫ sin θ cosθ dθ
2
π
0
R
∫
2π
0
dϕ∫ sin θ dθ
2
π
R πR = = 2 2π R 2
3
0
例3
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例. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫
(
xy )
1+ z + z d xdy
2 x 2 y
(S )
AB
= 3∫ (1− z)dz
0
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1
例. 将积分 分, 其中L 沿上半圆周 解： y = 2x − x , y′ =
2
化为对弧长的积
1− x 2x − x
2
2
y
1+ y′ =
2
1 2x − x
o
B x
cosα = 2x − x2 ,
cosຫໍສະໝຸດ Baiduβ =1− x
∫L P(x, y) dx + Q(x, y) dy = [P(x, y) 2x − x2 + Q(x, y)(1− x) ]ds ∫L
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例.
求力
沿有向闭曲线 Γ 所作的
功, 其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 提示: 提示
z
B
利用对称性
o
A x
C y
= 3∫ y d x + z d y + xdz
AB
= 3∫ xd z
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例. 计算 之间的圆柱面
其中 ∑ 是介于平面
分析: 分析 若将曲面分为前后(或左右) 两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积微元
z
H
z
则
I =∫
R +z H = 2π arctan R
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H 2 R dz π 2 2 0
dz
o x
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y
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例. 求半径为R 的均匀半球壳 ∑ 的重心. 解: 设 ∑ 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 x = y = 0 ,而 用球坐标
4
y
y= x r =a
π
提示: 分段积分 提示
o
y =0 a x
4
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例. 计算 其中L为圆周 提示: 提示 利用极坐标 ,
ds = r2 + r′2 dθ = adθ
原式 =
∫L
ax ds
说明: 说明 也可用下列参数方程计算：
y
o
ds = x + y d t ɺ ɺ
2 2
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(c)
∫∫ f (x, y, z)⋅ d S
(S )
= ∫∫ P(x, y, z)dyΛdz + Q(x, y, z)dzΛdx + R(x, y, z)dxΛdy
(S)
= ∫∫[P(x, y, z) cosα + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cosγ ]dS
(S)
例. 设 C 是由极坐标系下曲线 r = a,θ = 0及 θ = π 所围区域的边界, 求
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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的圆弧 L 对于它的对 例. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
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例. 计算
其中Γ为球面
平 交 x2 + y2+ z2 = 9 与 面x + z =1的 线. 2
解:
则
1 (x − 1)2 + 1 y2 =1 2 4 Γ : 2 , 化为参数方程 x + z =1 x = 2 cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) Γ : y = 2sinθ z = 1 − 2 cosθ 2
线面积分： 线面积分：
I = lim ∑ f (ξk , ηk ,ζ k )∆sk = ∫ f (x, y, z) d s
d →0 n
I = lim ∑ f (ξk , ηk ,ζ k )∆Sk = ∫∫ f (x, y, z) d S
d →0
k =1 n
(c)
I = lim ∑ f (ξk , ηk ,ζ k ) ⋅ ∆sk = ∫ f (x, y, z) ⋅ d s
d →0 k =1 (c)
k =1 n
(S)
= ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
I = lim ∑ f (ξk , ηk ,ζ k )⋅ ∆Sk = ∫∫ f (x, y, z)⋅ d S
d →0 k =1 (S )
(c)
n
= ∫∫ P(x, y, z)dyΛdz + Q(x, y, z)dzΛdx + R(x, y, z)dxΛdy
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S
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例. 设S 是球面 2d y d z I = ∫∫ + x cos2 x S 解: 利用对称性, 有 2d x d y = ∫∫ , z cos2 z S
−
的外侧 , 计算 d xd y
z cos2 z
dzdx d xd y ∫∫ cos2 y = ∫∫ cos2 z = 0 S S
圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
ds = (− 2sinθ )2
+ ( 2sinθ )
2 dθ = 2dθ
∴
9 2π I = ∫ 2dθ =18π 2 0
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例. 计算 提示: 提示 因在 Γ上有
其中Γ由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
z
o x
1y
原式 =
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