高等代数教案 北大版 第十章
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数【北大版】10-4
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 命题 上 上双线性函数 是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意 的任意 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取 的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质 定理6 维线性空间V上反对称 定理 设 f (α , β ) 为 n 维线性空间 上反对称 双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基 则存在 的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数 北京大学第三版 北京大学精品课程
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数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。
如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。
命题任意数域K都包括有理数域Q。
证明设为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素。
于是。
进而Z,。
最后，Z，，。
这就证明了Q。
证毕。
集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。
定义（集合的映射）设、为集合。
如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。
若都有则称为单射。
若都存在，使得，则称为满射。
如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
高等代数【北大版】
f(k1a1+k2a2β)=f1(k1a1+k2a2)f2(6)
例3.设 是数域 上的 维线性空间，
令
①
则
为 上的一个双线性函数.
若
则
②
事实上 ，①或②是数域 上任意上的 维线性
空间 上双线性函数
的一般形式.
设
为数域 上线性空间V的一组基，
第十章 双线性函数
§10. 1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
、 双线性函数 二 、度量矩阵 三 、非退化双线性函数
一 、双线性函数
定义 设 是数域 上的 维线性空间 ， 映射
为 上的二元函数. 即对
根据 唯一地对应于 中一个数
如果
具有性质 :
(2)f(k1α1+k2a2β)=k1f(a1β)+k2f(α2β)
其中
则
称为 上的一个双线性函数.
注
对于线性空间V上的一个双线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时 ，可以得出一 个双线性函数.
例1.线性空间 上的内积即为一个双线性函数.
例2. 上两个线性函数 定义
证明 : f是V上的一个双线性函数.
同构.
则
是V上的一个双线性函数.
为满射.
若双线性函数
但
则设
为单射.
令
易证
仍为V上双线性函数.
并且
f+g→A+B=(f(6))+(s6))
命题2 维线性空间V上同一双线性函数，
在V 的不同基下的矩阵是合同的.
高等代数(北大版第三版)习题答案
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数教案张禾瑞版
§5 数环和数域 2学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学，高等代数 第一章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第一章。
作业及思考题
教材第一章习题：第6页：6、7； 第14页：5、10；第18页：1、4、5；
第29页：2、4、5；第25页：3、5。
（2）掌握消去法解线性方程组的方法
掌握矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。
能力目标：（1）训练学生理解和领会矩阵三种初等变换的意义
（2）能应用消去法解线性方程组、以及能熟练应用矩阵的秩，线性方程组可解的判别法的理论。
教学重点
矩阵三种初等变换、应用消去法解线性方程组、
矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。
授课内容
第五章矩阵
第5．1节——第5。3节
所需课时
12学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学高等代数高等教育出版社，1997
2．北京大学编高等代数高等教育出版社，1995
3．华东师范大学高等代数与几何高等教育出版社，1997
教学目标
知识目标：教学目的和教学基本要求：
（1）掌握矩阵加法，数乘、乘法运算规则，分块运算规则。
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字：王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第三章首页
授课内容
第三章行列式
第3．1节——第3。5节
所需课时
18学时
主要教材或
参考资料
1．北京师范大学高等代数高等教育出版社，1997
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数教案(北大版)--行列式计算方法
行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1） 保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。
2） 将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3） 逐行（列）相加4） 加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。
例1 计算行列式121212n n n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。
适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+- 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0,x =则 112312231223152319D ==-， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.0n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n =的iic a -倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==-∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++ 122)na x x xa x xxa（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a bb a n b b b b b b a b a n b a b a b a n b b baa nb baba+-+-==+-+-()111(1,2)00()(1)0i n b b r r i n a b a b a n b a b--=-=-+--121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n nnn n c c c n n n n n n n n n n n n --++++---------112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n n n nn n n n n n n n ---------++=----11111(2,31)00(1)200in r r i n n nn n n n--=--+-11211100(1)2n n n n n c c c nn--++++-()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n nn n n n n nnτ--+-+----++=--=----(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n -----++=--=-． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a ab ++=≠+2）121212121200,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b++=++121121100(2,31)10010n i na a ab r r i n b b --=+-- 111211111(1).00(1,21)ni ni ini n i i iina a ab a b b b bc b c i n b b =+=+=++=+∑∑2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n n i n nnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++---=+=--++--++1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)112n n i n nnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++-------=-----=+----12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+-=11211211111122112200200000200002n i i ni n i nn a n a a a a a a a ==--------∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =-==-=-=----∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）9500495049000950049n D = 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D -----=-按展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=-,or 11245(4)n n n n DD D D ----=- 于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n -= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=-==-=-=即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.00001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD ------+--=-==-1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD -----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b --∴-=++--=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a ---=++--= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x a D aaax ++=+解：1112221100000000n n n nnx a a x a a a x a a x a a a x a a a x a D x D x a aaax aaa a--++++=+=+1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x x ax D x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++（21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,1）也可以用加边法做：1111010010n nna a a a a x a x D aa x x +-==+-，111101,2,000ni ii n na a a x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n ab b b ca b b D cc a b ccca= 解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b c a b b a b b a b bD c a c D cc a b c a b c a b cccaccacca--=+=+-11000()000n n b b b a b c a c D c b a b c b c b a b --=+------11()()n n c a b a c D --=-+- ①000n bb b b a b cab bc a b b D cc a b c c a b c c ca ccca-=+又11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+- 11()()n n b a c a b D --=-+- ②a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++ 121110110111011111k k k a a a D a +=+121k k k a a a a D +=+121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 1012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++-=+-=-由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+ cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n nn i j j i nn n n n n nn n nnx x x xx x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==----∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==- （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x -的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=-+++-∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++-∏2）2221212111nn nn n nx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n nn n nnx x x xx x x x g x x x x x x x x x ----=121()()()()n ijj i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +-≤<≤-++++-∏2312121(1)()()n n n n n ijj i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=-+++-∏电厂分散控制系统故障分析与处理作者：单位：摘要：归纳、分析了电厂DCS系统出现的故障原因，对故障处理的过程及注意事项进行了说明。
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
所以 ＋ ∈W， ∈W，即证 W 是 V 的一个子空间。
2）设 W 1 是 V 的任一子空间，且 dim（W 1 ）＝m,则当 m＝n 时，只要取 f 为 V 的零函数 ，就有
2
故
3
P1(x)=1+x-
x2
2
同理可得
p2(x)=-
11
+
x2
62
11
p3(x)= - +x-
x2
32
7.设 V 是个 n 维线性空间，它得内积为（ ， ），对 V 中确定得向量 ，定义 V 上的
一个函数 * ：
* （ ）=（ ， ）
1） 证明 * 是 V 上的线性函数
2） 证明 V 到 V * 的映射是 V 到 V * 的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成 自身的对偶空间。）
f m1 ( )= f m2 ( )=… =f n ( )=0
因而 ∈U1，即 W1 U1。
反之， ＝b 1 1+b 2
2 +…+b m
m +b m1
m1 +…b n
n ∈U1，
由 f m1 ( )= f m2 ( )= … =f n ( )=0 ， 可 得 b m1 ＝ b m2 = … =b n =0, 因 而 ＝
fi( )≠0 (i=1,2…,s)
证：对 s 采用数学归纳法。
当 s＝1 时，f1≠0,所以 ∈V，使 fi( )≠0，即当 s＝1 时命题成立。 假设当 s=k 时命题成立，即 ∈V，使 fi( )= i≠0 (i=1,2…,k)
高等代数教案.docx
《高等代数》教案第一章多项式关键知识点：最大公因式，互素，不可约多项式,重因式（重根），本原多项式，对称多项式; 最大公因式存在性定理（定理2, P13），因式分解及唯一性定理（P20）,高斯引理（定理10, P30）, 艾森斯坦因判别定理（定理13, P33）,对称多项式基本定理（定理15）.1.1 设 /（x ） = x 3 4-（1 + r ）x 2 +2x + 2u,g （x ） = x 3 +tx^-u 的最大公因式是一个二次多 项式，求r 上的值.详解作辗转相除得如下关系式：/（x ） = 4 （兀）g （兀）+ 厂| （兀）,g （x ） = %（兀）斤（兀）+ 丫2（X ），其屮o ] /_2创(x) = 1,斤(x) = (1 + t)x 2+(2-t)x + w,q 2(x) = -~-x + ————为使最大公因式是二次,必须：r^x ） = 0,解得u = 0,r = -4.1.2 证明:(/(x)/t(x),g(x)/i(x)) = (/(兀),g (兀))加兀),(/?(%)的首项系数等于1)・ 略证(/,g) I 几(/,g) I g => (/,g)h | fh 、(f,g)h\gh,又设(p\fhw\ gh, 则(/,g) = uf + "g => (/,gM = ujh + vgh^>(p\(f,g)h.1.3 证明：若(/(兀),g (兀))=l,(/(AMx)) = l,则(f(x\g(x)h(x)) = 1 ・ 提示 u } f + v l （g = l,w 2/ + v 2h = 1 => w/ + vgh = 1 （相乘所得）.1.4 设（/ （x ）, gJ （x ）） = 1, Q = 1,2,…,m;丿=1,2,…,71）,求证:（Z （兀）九（兀）…九（兀），S 1 （x ）g 2 （兀）…g n （x ）） = 1.详证先证（/1 （兀）,g\（兀息（兀）…S n （兀））=1 ⑴・对n 作归纳.n = 1时成立.假设n -1时成立.下证n 时也成立， 设（£（兀）,g/（兀））= 1，（J = 1,2,…，刃-1,刃），由归纳假设，则（/| （%），g ］⑴弘（兀）…Sn-l W ）= 1，l + r (1 + r)2)兀+ 1-上二I （1 +川丿u (注：1 + /工0?).由题1.3,贝”1)成立.同理(/ (x), g I (x)g2(兀)…久(劝)= 1,0 = 2,3,…,加).最后，对于加，仍用最先所证方法即得要证问题.或提示反证，设(口Z(x)，H g/ (X)) = d(x)工1,存在不可约多项式/=! ；=1p(x)\d(x)t推出矛盾.1・5 证明:若(/(尢),g(兀))=1,贝'j(/(x)g(x),/(x) + g(x)) = 1 .提示证(/(x),/(x) + g(x)) = l.问题(/(兀),/⑴ + g(x)) = (/(x), g(x)) ?(参见题1 • 2).1.6求多项式/(x) = x3 + px + q有重根的条件.详解广(x) = 3x2 + p，由于/(%)是一个三次多项式，那么/⑴有重根o /(兀)有重因式o (/(x),/*(x))^l.作辗转相除得：/U) = q{ (x)广(x) + r{ O),广(X)= ?2(x)r i(X)+ 厂2 ⑴'其中沁)斗,2=詁+心心？"半,W卄料3 3 2p 4/r 「4p上述运算中，若p = 0，则必须q = 0 (否则(/(小广⑴)= 1),若卩5可运算到最后，为使必须矗)"即P+篇“总之，必须4/Z+27/ =0.y- Y】・7证明")十“亍…+万不能有重根.略证反证，设有重根为Q=> /(a) = 0,/'(a) = 0 => a = 0 =>/(a) = 1, 矛盾.问题x x(1)/(兀)=1—兀+—+…+ (_1丫一是否有重根？2! nl兀2 x f)(2)f(x) = 1 + X + —+ ••• + ——(〃素数)在Q上是否不可约？(利用艾2! pl森斯坦因判别定理).1.8若。
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称为 与 的和.
还可以定义数量乘法.设 是 上线性函数，对于 中任意数 ，定义函数 如下：
,
称为 与 的数量乘积，易证 也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， 成为数域 上的线性空间.
取定 的一组基 ，作 上 个线性函数 ，使得
(1)
因为 在基 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 中向量 ，有
即
定理3设 及 是线性空间 的两组基，它们的对偶基分别为 及 .如果由 到 的过渡矩阵为 ，那么由 到 的过渡矩阵为 .
设 是 上一个线性空间， 是其对偶空间，取定 中一个向量 ，定义 的一个函数 如下：
.
根据线性函数的定义，容易检验 是 上的一个线性函数，因此是 的对偶空间 中的一个元素.
定理4 是一个线性空间， 是 的对偶空间的对偶空间. 到 的映射
, (2)
即 是 的第 个坐标的值.
引理对 中任意向量 ，有
, (3)
而对 中任意向量 ，有
. (4)
定理2 的维数等于 的维数，而且 是 的一组基.
定义2 称为 的对偶空间.由（1）决定 的的基，称为 的对偶基.
以后简单地把 的对偶空间记作 .
例考虑实数域 上的 维线性空间 ，对任意取定的 个不同实数 ，根据拉格朗日插值公式，得到 个多项式
例如，设 是 的辛正交基，则 是迷向子空间. 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间 是辛子空间.
对辛空间 的子空间 .通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) ,
(2) ,
(3)若 是辛子空间，则
(4)若 是迷向子空间,则
(5)若 是拉格朗日子空间，则
定理8设 是辛空间 的拉格朗日子空间， 是 的基，则它可扩充为 的辛正交基.
令
则
就是上述形式.
例2 是数域 上一个 级矩阵，设
,
则 的迹
是 上全体 级矩阵构成的线性空间 上的一个线性函数.
例3设 是 中一个取定的数.定义 上的函数 为
,
即 为 在 点的值， 是 上的线性函数.
如果 是数域 上一个 维线性空间.取定 的一组基 .对 上任意线性函数 及 中任意向量 ：
都有
. (2)
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间 ，也可以将这些双线性函数看成 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8设 是数域 上的线性空间，在 上定义一个非退化线性函数，则 称为一个双线性度量空间.当 是非退化对称双线性函数时， 称为 上的正交空间；当 是 维实线性空间， 是非退化对称双线性函数时， 称为准欧氏空间；当 是非退化反对称双线性函数时，称 为辛空间.有着非退化双线性函数 的双线性度量空间常记为 .
因此，在给定的基下， 上全体双线性函数与 上全体 级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设 及 是线性空间 的两组基：
是 中两个向量
,
那么
如果双线性函数 在 及 下的度量矩阵分别为 ，则有.又. Nhomakorabea因此
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 是线性空间 上的一个双线性函数，如果对 上任意两个向量 都有
,
则称 为对称双线性函数.如果对 中任意两个向量 都有
则称 为反对称双线性函数.
设 是线性空间 上的一个对称双线性函数，对 的任一组基 ，由于
, (1)
则 是 上的一个双线性函数.
如果设 ，并设
则
. (2)
（1）或（2）实际上是数域 上任意 维线性空间 上的双线性函数 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取 的一组基 .设
,
,
则
. (3)
令
,
则（3）就成为（1）或（2）.
定义4设 是数域 上 维线性空间 上的一个双线性函数. 是 的一组基，则矩阵
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间 也可看成 的线性函数空间， 与 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲双线性函数
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
定义5设 是线性空间 上一个双线性函数，如果
对任意 ，可推出 ， 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数 在基 下的度量矩阵为 ，则对 , ，有
如果向量 满足
,
那么对任意 都有
因此
而有非零向量 使上式成立的充要条件为 是退化的，因此易证双线性函数 是非退化的充要条件为其度量矩阵 为非退化矩阵.
定理5设 是数域 上 维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，使 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果 在 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对 ,
有表示式
.
这个表示式也是 在 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1设 是复数上 维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，对 中任意向量 ，有
(4)
叫做 在 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 的一组基 后，每个双线性函数都对应于一个 级矩阵，就是这个双线性函数在基 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域 上一个 级矩阵
对 中任意向量 及 ，其中 ， 用
定义的函数是 上一个双线性函数.容易计算出 在 下的度量矩阵就是 .
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数 在 下的度量矩阵是对称的，那么对 中任意两个向量 及 都有
.
因此 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
推论设 是 的迷向子空间， 是 的基，则它可扩充成 的辛正交基.
对于辛子空间 ， 也是非退化的.同样 也非退化.由定理7还有 .
定理9辛空间 的辛子空间 的一组辛正交基可扩充成 的辛正交基..
定理10令 为辛空间， 和 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有 的辛变换把 变成 .
辛空间 的两个子空间 及 之间的（线性）同构ℜ若满足
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第四讲辛空间
教学时数
2
授课类型
讲授
教学目标
通过本节的学习，要求学生掌握辛空间的定义及其性质，辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学重点
辛空间的定义及其性质，辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学难点
辛正交基的定义及性质，辛变换的定义及性质
教学方法与手段
讲授法启发式
教
学
过
程
由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1.辛空间 中一定能找到一组基 满足
.
这样的基称为 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一 级非退化反对称矩阵 可把一个数域 上 维空间 化成一个辛空间，且使 为 的某基 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基 下的度量矩阵为
, (1)
故 合同于 .即任一 级非退化反对称矩阵皆合同于 .
,
其中 皆为 方阵.则ℜ是辛变换当且仅当 ，亦即当且仅当下列条件成立：
且易证 ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设 是辛空间， ,满足 ，则称 为辛正交的.
是 的子空间，令
. (2)
显然是 的子空间，称为 的辛正交补空间.
定理7 是辛空间， 是 的子空间，则
.
定义9 为辛空间， 为 的子空间.若 ，则称 为 的迷向子空间；若 ，即 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若 ，则 称 为 的辛了空间.
.
推论2设 是实数 上维线性空间， 是 上对称双线性函数，则存在 的一组基 ，对 中任意向量 ，有
.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的.
定义7设 是数域 上线性空间， 是 上双线性函数.当 时， 上函数 称为与 对应的二次齐次函数.
给定 上一组基 ，设 的度量矩阵为 .对 中任意向量 有
. (5)
1） ;
2） ,
其中 是 中任意向量， 是 中任意数，则称 为 上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于 上双线性函数 ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1欧氏空间 的内积是 上双线性函数.
例2设 都是线性空间 上的线性函数，则
是 上的一个双线性函数.
例3设 是数域 上 维列向量构成的线性空间. 再设 是 上 级方阵.令
则称ℜ为 与 间的等距.
Witt定理辛空间 的两个子空间 , 之间若有等距，则此等距可扩充成 的一个辛变换.
两个辛空间 及 ，若有 到 的作为线性空间的同构ℜ，它满足
,
则称ℜ是 到 的辛同构.
到 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 的一组辛正交基变成 的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间 到自身的，辛同构称为 上的辛变换.取定 的一组辛正交基 ， 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为 ，
定理6设 是 维线性空间 上的反对称双线性函数，则存在 的一组基 使