高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵
《高等代数》矩阵
A和B加法定义为:
a +b ⋯ a n +bn a +b 11 11 12 12 1 1 a +b a22 +b ⋯ a2n +b n 22 2 A+B= 21 21 ⋮ ⋮ ⋮ am1 +b 1 am2 +b 2 ⋯ amn +b n m m m
5.2.1 可逆矩阵的定义
定义1 为 上 阶方阵,若存在n阶方阵 阶方阵B, 定义 A为F上n 阶方阵,若存在 阶方阵 ,使 AB = BA = I 为可逆矩阵( ),B 的逆矩阵. 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵), 称为A的逆矩阵 为可逆矩阵 非奇异矩阵), 的逆矩阵 例:
2 5 3 −5 3 −52 5 1 0 1 3−1 2 = −1 2 1 3 = 0 1 A B
A= (aij )m×n或 = (aij ) A
矩阵的产生有丰富的背景: 矩阵的产生有丰富的背景 线形方程组的系数矩 矩阵的应用非常广泛. 阵….., 矩阵的应用非常广泛
5.1.2 矩阵的运算
定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的 定义 乘积定义为
a ⋯ a n ka ka ⋯ ka n a 11 12 1 11 12 1 a21 a22 ⋯ a2n ka21 ka22 ⋯ ka2n kA= k = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a ⋯ a ka ka ⋯ ka m n m 1 m2 m n m1 m2
5.2.3 初等矩阵的定义、性质 初等矩阵的定义、
定义2 定义 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵. 初等矩阵 n=4
高等代数教案张禾瑞版
(5)掌握齐次线性方程组解空间的理论,并能运用这些理论于论证和计算。
能力目标:(1)训练学生能熟练应用基、维数、维数公式理论解决问题。
(2)能应用矩、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论论证和计算。
教学重点
向量空间的定义和性质,子空间的定义及充要条件、线性相关性及其理论、替换定理、基、维数、维数公式及相关的理论,子空间的运算和等价命题、坐标的定义、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论。
(4)掌握矩阵相似于对角阵的条件及特征向量是线性无关的,用其证明问题。
(5)掌握不变子空间的概念和性质。
(6)利用线性变换进行相关论证。
能力目标:(1)会求线性变换在基下的矩阵、矩阵的特征值和特征向量、能应用线性变换与矩阵相似理论论证问题。
(2)会判断一个子空间是否为线性变换的不变子空间。
教学重点
线性映射,线性变换的定义与运算规则;线性变换在基下的矩阵、线性变换与矩阵对应关系。矩阵特征值和特征向量的概念及求法;矩阵相似于对角阵的条件,不变子空间的概念和性质。
(2)掌握多项式的基本理论中的公理化定义、性质,并且能应用这些理论进行推理论证、计算和解决问题。
教学重点
一元多项式的定义和运算、整除性、最大公因式、分解、重因式、
多项多函数、根,复数域、实数域和有理数域上多项式。
教学难点
整除性、最大公因式的存在、重因式、多项多函数、根,复数域、实数域和有理数域上的不可约多项式、算术基本定理。
教学重点
集合、映射、数学归纳法、 整数的一些整除性质、数环和数域。
教学难点
数学归纳法原理的证明和应用、数环和数域的抽象概念的理解。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明(一)课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础,也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的,总课时144学时,开设时间为一年。
通过本课程的教学,使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识,也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
(二)教学目的和要求通过本课程的学习,使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法,熟悉代数的语言、工具、方法,具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
1.熟练掌握:集合、映射、单射、满射、双射的概念,第一、第二数学归纳法,带余除法,不可约多项式,线性方程组的消元法,矩阵的行(列)初等变换,矩阵的秩,初等矩阵的性质,可逆矩阵,向量空间的基、维数,线性相关与线性无关,齐次线性方程组的基础解系,线性变换,矩阵特征值、特征向量的概念与求法,内积的定义,正交变换与正交矩阵,二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
2.掌握:整数的整除性、素数的性质,集合的表示与运算,辗转相除法,综合除法,多项式的互素,根与系数的关系,重因式及其判定,行列式的性质,行列式的展开,矩阵的乘法,矩阵的行列式,子空间的交与和,坐标,过渡矩阵,线性方程组的特解与通解,线性变换的运算及其形成的向量空间,线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构,矩阵的相似,几类向量空间的内积,Cauchy不等式,正交基与正交化,三维空间中的几种正交变换,正交变换与正交矩阵的关系,二次型的矩阵的合同及其求法,对称矩阵合同于对角矩阵,复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类,正定二次型的判定。
高等代数CAI课件张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)(1)
一、集合
1、概念
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合; 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合; 集合 组成集合的这些事物称为集合的元素. 组成集合的这些事物称为集合的元素. 元素 等表示集合; ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合; 等表示集合的元素. 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素. 的元素时, 当a是集合A的元素时,就说a 属于A,记 a ∈ A 作: ; 的元素时, 记作: 当a不是集合A的元素时,就说a不属于A,记作:a ∉ A
σ σ : M → M '或 M M ' M到M´的一个映射,记作 : 映射, 到 ´的一个映射 →
在映射σ下的 下的象 在映射σ下的 称 a´为 a 在映射 下的象,而 a´ 称为 在映射 下的 ´ ´ 称为a在映射 原象,记作σ(a)=a´ 或 σ : a a a′. 原象,记作 = ´
注
显然有, 显然有,A I B ⊆ A;
A ⊆ AU B
例题: 例题:
1、证明等式: A I ( A U B ) = A . 、证明等式 证:显然, I ( A U B ) ⊆ A .又 ∀x ∈ A, 则 x ∈ A U B , 显然,A 从而, ∴ x ∈ A I ( A U B ) , 从而 A ⊆ A I ( A U B ) . 故等式成立. 故等式成立.
例4
判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 判断下列
1)M={ ,b,c}、 ´={ ,3,4} ) ={ ={a, , }、 ={1,2, } }、M´ σ:σ(a)=1,σ(b)=1,σ(c)=2 : = , = , = δ:δ(a)=1,δ(b)=2,δ(c)=3,δ(c)=4 : = = = = τ:τ(b)=2,τ(c)=4 : = , = 2)M=Z,M´=Z+, ) = , ´ σ:σ(n)=|n|, : = τ:τ(n)=|n|+1, : = +
高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵
高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵第五章 矩 阵教学目的:1. 掌握矩阵的加法,乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质,并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容:5.1 矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作(a ij )。
为了指明 A 的行数和列数,有时也把它记作A mn 或 (a ij )mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别,把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵,或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵,只有在它们有相同的行数和列数,并且对应位置上的 元素都相等时,才认为上相等的。
以下提到矩阵时,都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算:数与矩阵的乘法,矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵(aa ij )定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij ),B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵(a ij +b ij )。
注意 ,我们只能把行数相同,列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵,记作0。
如果矩阵 A=(a ij ),我们就把矩阵(- a ij ),叫做A 的负矩阵,记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ;(A+B)+C=A+(B+C); 0+A=A ; A+(-A)=0;a(A+B)=Aa+Ab ; (a+b)A=Aa+Ba ; a(bA)=(ab)A ;这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵,而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数电子教案(Ⅲ)
进一步,设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式,而 L(V ), 以σ代替x,以 a 0 代替 a 0 ,得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值,并且
7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域,V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足,就称σ是V 到W 的一个线性映射: ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件: ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,
设 L(v), σ的负变换-σ指的是V到V的映射 : ( ). 容易验证,-σ也是V的线性变换,并且 (4) ( )
线性变换的数乘满足下列算律:
(5) (6) (7) (8)
k ( ) k k , (k l ) k l , (kl) k (l ), 1 ,
f x 与它对应,根据导数的基本性质,这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间,对于每一 f x Ca,b, 规定
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数,根据积分的
基本性质,σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
高等代数第五章
问题的引入:
解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f ax 2bxy cy
2 2
2
选择适当角度 θ ,逆时针旋转 坐标轴
x x cos y sin y x cos y sin
x 2 cy 2 f a
(标准方程)
4
代数观点下
二次齐次多项式
2 22 2
an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 a x
2 nn n
9
f ( x1 , x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
7
二、二次型的表示方法
1.用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
事实上,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) X AX
Y (C AC )Y
a33 x3 2a3 n x3 xn
2
高等代数教案
高等代数教案 The pony was revised in January 2021
高等代数
教案
秦文钊
一、章(节、目)授课计划第页
二、课时教学内容第页
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a的代数余子式.称为元素
ij
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二、课时教学内容第页。
(完整word版)最新高等代数北大版教案-第5章二次型
第五章二次型§ 1二次型的矩阵表示授课内§ 1二次型的矩阵表示二 教学目的:通过本节的学习,掌握二次型的定义,矩阵表示,线性 替换和矩阵的合同.三教学重点:矩阵表示二次型四教学难点:二次型在非退化下的线性替换下的变化情况• 五教学过程:定义:设P 是一数域,一个系数在数域P 中的x 1,x 2, ,x n 的二次齐次多项式称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,简称为 二次型.例如: 2X1NX 2 3X 1X 3 2x 2 4X 2X 3 3X3就是有理数域上的一个3元二次型.定义1 设 X 1,X 2,x n, y 1, y 2,,y n 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式X1C 11 y 1 C 12 y 2Gn*X2C 21 y 1 C 22 y 2C 2n y n⑷XnC n1 y 1C n2 y 2C nn y n称为X 1,X 2 ,,X n到y 1,y 2, ,yn的一个线性替换,或则,简称为线性替换.如果系数行列式C j 0,那么线性替换 ⑷ 就称为非退化的. 二次型的矩阵表示:f(X i ,X ,\ 2,Xn ) ai1X1 2a 12x 1x 22a 1n x 1x2 822X22a 2n X 2X n2a nn X n令 a ij a ji ,i j 由于 x i x j x j x i ,那么二次型(3) 就可以写为A A.我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型 (5) 的矩阵都是对称的 .x 1x 2 2, 于是,二次型可以用矩阵的乘积表示出来,x na 11 a 12 a 1n x 1 X AXx 1 x 2a 21 a 22a 2nx 2x na n1a n2a nn x na 11x 1 a 12 x 2a 1n x na 21x 1 a 22x 2 a 2n x nx 1 x 2x na n1x 1 a n2x 2a nn x nnna 21x 2x 1 f (x 1,x 2,a 22 x 22,x n )a 11x 1a 2n x 2x n a 12x 1x 2a 1n x 1 x n…+an1X n X1a n2x n x 2a nn x nna ij x i x j(5)j1把 (5) 的系数排成一个n 矩阵a 11 a 21 a 12 a 22a 1n a 2na n1 a n2a nn 它称为二次型(5)的矩阵.因为a jija ji, i,j1,2, ,n ,所以a ij x i x j.i 1 j 1f(x1,x2, ,x n) X AX .显然,二次型和它的矩阵是相互唯一决定的. 由此还能得到,若二次型f(x1,x2,,x n)X AX X BX且 A A,BB,则, A B线性替换的矩阵表示c11 c12c1n y1令C c21 c22c2n2n, Y y2,J那么,线性替换(4) 可以写成,c n1 c n2c nn y nx1 c11c12c1n y1x2 c21c22c2n y2x n c n1c n2c nn y n或者X CY.显然,一个非退化的线性替换把二次型还是变成二次型,现在就来看一下替换后的二次型与原二次型之间有什么关系.设f(x1,x2, ,x n) XAX , A A,(7)是一个二次型,作非退化的线性替换X CY (8)得到一个y i, y2, , y n的二次型Y BY .现在来看矩阵B与矩阵A的关系把(8) 代入(7) 有f(x1,x2, ,x n) XAX (CY)A(CY) YCACY Y(CAC)Y YBY.容易看出,矩阵CAC也是对称的,事实上,(CAC) C AC C AC.由此,即得B CAC.定义2数域P上n n矩阵代B称为合同的,如果有数域P上可逆的n n矩阵C,使B CAC.合同是矩阵之间的一个关系,不难看出,合同关系具有(1) 反身性A EAE.(2) 对称性由B C AC ,即得A (C 1) B(C 1).(3) 传递性由A1 C1 AC1,A2 C2 A1C2 ,即得A2 (C1C2) A(C1C2). 因之,经过非退化的线性替换,替换后的二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.§ 2 标准形一授课内容:§ 2 标准形二教学目的:通过定理的证明掌握二次型化为标准形的配方法.三教学重点:化普通的二次型为标准形.四教学难点:化普通的二次形为标准形的相应矩阵表示.五教学过程:I 导入可以认为,在二次型中最简单的一种是只含有平方项的二次型2 2 2d1x12d2x22d n x n2(1)II 讲授新课定理 1 二次型都可以经过非退化的线性替换变为平方和(1) 的形式. 不难看出,二次型(1) 的.d100X1d20X22 2 2 0d1X1 d2X2 d n X n= X1 X2 X n00d n X n 反过来,矩阵是对角形的二次型就只含有平方项定理2 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定义二次型f (x1,x2, , x n )经过非退化的线性替换所变成的平方和称为f (x1,x2, ,X n)的一个标准形.f (x 1,x 2,x 3)而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换,X 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0w 11 13w 1X 21 1 0 0 1 0 0 12 w 2 0 1 1 w2 X 30 0 1 0 0 1 0 0 1 w 30 0 1 w 3用矩阵的方法来解例 化二次型 为标准形 . 0 1 1解:fdvX z ’X s )的矩阵为A 10 313 0f (X 1,X 2,X 3)2X 1X 2 6X 2X 3 2X 1X 3为标准形 .解: 作非退化的线性替换X 1y 1 y 2X 2y 1 y 2X 3y则 f(X 1,X 2,X 3) 2(y 1 y 2)(y 1 y 2 ) 6(y 1 y 2)y 3 2(y 1 y 2)y 3 2y 122y 224y 1 y 3 8y 2y 3 2(y1y 3)22y 322y 228y 2y 3z 1 y 1y 3y 1z 1z 3再令z 2 y 2 或y 2 z 2z 3y 3y 3z 3则 f (X 1,X 2 ,X 3) 2z 122z 228z 2 z 32z 322z 122(z 2 2z 3)26z 32.w 1z 11 w 1最后令w 2 z 22z 3 或 z 2 w 2 2w 3例 化二次型w3 z 3z 3 w 3 2w 122w 226w 32是平方和,f (x 1,x 2,x 3)2x 1x 2 6x 2x 32x 1x 3110100C C 1C 2C 3001就有200C AC 02 0006作非退化的线性替换X CY 即得f(x 1,x 2,x 3) 2y 122y 226y 32.取 C 1 11 0 ,则 A 1 C 1 AC 11 1 0 0 1 11 10 11 0 1 031 10 0 01 1300011 0 1再取 C 2 0 1 0, 则 A 2C 2 A 1C 20 0 1101 2 4 0 0 0 1100再取 C 3 0 1 2 ,则 A 300110 01 02A 是对角矩阵,因此令0 2 0 0 1 0 0 0 0 2 4 0 1 21 04 20 0 1012 0011 0 02 0 2 1 0 1C 3A 2C 3§ 3 唯一性一授课内容:§ 3唯一性二教学目的:通过本节的学习,让学生掌握复二次型,实二次型的规范形,正(负)惯性指数,符号差•三教学重点:复二次型,实二次型的规范形的区别及唯一性的区别四教学难点:实二次型的唯一性五教学过程:在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项个数是唯一确定的,与所作的非退化的线性替换无关•二次型的矩阵的秩有时候就称为二次型的秩.至于标准形的系数就不是唯一的•例二次型 f (X i, X2, X3)2X1X26X2X3 2 X1X3经过非退化的线性替换X i113w1X 2011w2X3001W3得到标准形2w:2w;6W3.而经过非退化的线性替换111X i2y1111X——y223X1y3003就得到另一个标准形约222y22 2 尹这就说明,在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所作的非退化的线性替换有关下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 .对于复数域的情形设f(X i ,X 2, ,X n )是一个复系数的二次型,则经过一个适当的非退化 的线性替换后,f ( X 1, X 2 , ,X n )变为标准形,不妨设标准形为2 2d i y id 2『2d r Y r 2,d i0,i 1,2, ,r(易知,r 就是f (X i , X 2, ,X n )的矩阵的秩.‘因为复数总可以开平方,们再作一非退化的线性替换y i1「d 1z1Y r1 —drZr(2)y r 1Z r 1Y nZ n(1)就变为2Z12 Z2Z ; ⑶⑶称为复二次型f(X 1,X 2, ,Xn )的规范形 .显然,规范形完全被原二次型的矩阵的秩所决定.定理3任意一个复系数的二次型,经过一个适当的非退化的线性替 换可以变为规范形,规范形是唯一的•定理3换个说法就是,任意一个复的对称矩阵合同于一个形式为1的对角矩阵•从而有,两个复对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相对于实数域的情形设f(X i,X2, ,X n)是一个实系数的二次型,则经过一个适当的非退化的线性替换,再适当排列文字的次序,可使f(%,X2,,X n)变为标准形,dy2d p y:d pi y:i d「y;⑷d i 0 i 1,2, ,r ,r就是f(x「X2, x)的矩阵的秩•因为在实数域中,正实数总可以开平方,所以,再作一非退化的线性替换y ii --------- z i d iy ri—d「(5) y r i Z r iy n Z n(4)就变为2Z i 2 2Z p Z p2i Z r⑹⑹称为实二次型f(X i,X2, ,X n)的规范形•显然,规范形完全被r, p 这两个数所决定•定理4(惯性定理)任意一个实数域上的二次型,经过一个适当的非退化的线性替换可以变为规范形,规范形是唯一的.定义3在实二次型f(X i,X2, ,X n)的规范形中,正平方项的个数p称为f (X i,X2,,X n)的正惯性指数,负平方项的个数r p称为f (X i ,X2, , X n)的负惯性指数,它们的差p (r p) 2 p r称为f ( X i ,X2 , , X n)的符号差.惯性定理也可以叙述为,实二次型的标准形中系数为正的平方项个数是唯一的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项个数也是唯一的,它等于负惯性指数•§ 4 正定二次型一 授课内容: § 4 正定二次型二 教学目的: 通过本节的学习,让学生掌握正定 ( 负定,半正定,半负 定,不定)二次型或矩阵 .( 顺序)主子式的定义,掌握各种类型的判别法 . 三 教学重点: 正定二次型 . 四 教学难点: 判别方法 五 教学过程:定义4实二次型f (X 「X 2, ,X n )称为正定的,如果对于任意一组不 全为零的实数C i ,C 2, ,C n 都有f (C i ,C 2, ,C n ) 0 .显然,二次型22f(X 1,X 2, ,X n ) X 1X n 是正定的,因为只有在 C 1 C 2C n时, C 12般的,实二次型f(X 1,X 2, ,X n ) d 1X 12d 2X 22是正定的,当且仅当 d i 0 i 1,2, ,n . 可以证明,非退化的实线性替换保持正定性不变 .定理5 n 元实二次型f (x i ,x 2, ,X n )是正定的充分必要条件是它的 正惯性指数等于 n .定理5说明,正定二次型f (x 1,x 2,, x n )的规范形为22 y 1y n (5)定义5实对称矩阵A 称为正定的,如果二次型 XAX 正定. 因为二次型 (5)的矩阵是单位矩阵 E ,所以一个实对称矩阵是正定的,d n X n 2C2才为零.负定的;如果都有f (C 1, C 2 ,,C n ) 0,那么f (X 1, X 2,,X n )称为半正定的;当且仅当它与单位矩阵合同. 推论正定矩阵的行列式大于零 定义6是否正定.解:f (X i , X 2 , X 3 )的矩阵为它的顺序主子式因之,f(X i ,X 2,X 3)正定.与正定性平行,还有下面的概念5245 20 ,2 1 22 142 55 0 ,子式称为矩阵A 定理6a 11 a 21a i1a 12 a 22a i2(a j )nn 的顺序主子式.实二次型 a 1ia 2i a(i 1,2, ,n)f (X 1 , X 2 , ,X n ) na j X j X j X AXj 1是正定的充分必要条件为矩阵 例判断二次型A 的顺序主子式全大于零.f(X 1,X 2,X 3) 5x 12X 22X 34X 1X 2 8x 1x 3 4X 2X 3定义 7 设 f (X 1, X 2 ,, x n )是实二次型, 对于任意一组不全为零的实数C1,C2, ,C n,如果都有f(G,C2, ,C n) 0,那么f区兀,,冷)称为负定的;如果都有f (C1, C2 , ,C n) 0,那么f (X1, X2, ,X n )称为半正定的;如果都有 f(c 1,c 2, ,c n ) 0,那么 f (x 1,x 2, , x n )称为半负定的;如果它既不是半正定又不是半负定,那么 f (x 1,x 2, , x n )就称为不定的.对于半正定,我们有定理7对于实二次型f(X i ,X 2, ,X n ) X AX ,其中A 是实对称的, 面条件等价:(1) f (x 1,x 2, , x n )是半正定的. (2) 它的正惯性指数与秩相等(3) 有可逆实矩阵 C ,使d n(4) 有实矩阵C 使A CC.(5) A 的所有主子式皆大于或等于零.注意:在(5) 中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性 的.比如, f (x 1,x 2) x 22x 1 x 2 0 0 x1就是一个反例 .0 1 x 2CACd 1d 2,其中, d i 0 i 1,2, ,n .。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一.课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程(如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析)提供一些所需的基础理论和知识;另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力,开发学生智能,加强“三基”(基础知识、基本理论、基本理论)和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二.与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程:如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三.教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课(包括复习课)47学时。
各学期教学时数安排情况:第二学期:108学时,自第一章至第五章,周学时6第三学期:90学时,自第五章至第九章,周学时5四.讲授内容与要求:第一章基本概念(12学时)一.教学目的和要求:1. 正确理解集合的概念,明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2.掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3.理解和掌握数学归纳法原理,能熟练运用数学归纳法。
4.理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5.掌握数环,数域的概念,能够判别一些数集是否为数环、数域,懂得任意数域都包含有理数域。
二.教学内容:1.1 集合(2学时)1.2 映射(3学时)1.3 数学归纳法(2学时)1.4 整数的一些整除性质(3学时)1.5 数环,数域(2学时)第二章多项式(37学时)一.教学目的和要求:1.掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2.正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3.掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4.理解不可约多项式的概念,掌握多项式唯一因式分解定理。
高等代数教案(张禾瑞版)
教研室审阅意见
同意上述安排。
教研室主任签字:王书琴
2005年2月28日
高等代数教案第二章首页
授课内容
第二章多项式
第2.1节——第2。8节
所需课时
28学时
主要教材或
参考资料
1.北京师范大学高等代数高等教育出版社,1997
2.北京大学编高等代数高等教育出版社,1995
知识目标:教学目的和教学基本要求:
(1)掌握集合,子集,空集等基本概念,明确集合、
子集合之间的关系及表示方法。
(2) 掌握映射、单射、满射及双射的基本概念。
(3) 掌握数学归纳原理、最小数原理,第二数学归纳法原理应用。
(4) 掌握带余除法,最大公因数,互素概念和方法。
(5) 掌握数环,数域及最小数域—有理数域为基本概念。
教学目标
知识目标:教学目的和教学基本要求:
(1)掌握排列、n阶行列式的定义和基本性质
(2)掌握子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开,克拉默定理。
(3)熟练掌握用化上三角形式,依行依列展开法,以及用行列式性质,建立递推公式,克拉默定理等方法计算行列式,证明行列式的性质及基本理论。
能力目标:(1)训练学生领会和把握n阶行列式的定义和基本性质。
(2)掌握n阶行列式的基本理论、性质,并且能应用这些理论进行n阶行列式的计算以及论证问题。
教学重点
n阶行列式的定义和基本性质、行列式的依行依列展开、克拉默定理、
熟练掌握用化上三角形式、依行依列展开法、以及用行列性质、范德蒙
行列式等方法计算行列式,证明行列式的性质及基本理论。
教学难点
子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开、克拉默定理应用、
《高等代数》第五章 矩 阵
因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩
阵与原二次型的矩阵是合同的. 这样,我们就把二 次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供
了有力的工具.
最后指出,在变换二次型时,我们总是要求所 作的线性替换是非退化的. 从几何上看,这一点是 自然的,因为坐标变换一定是非退化的. 一般地, 当线性替换
X = CY an1x1
a22 x2
an2 x2
a2n xn
ann xn
nn
aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX . 这即为二次型的矩阵表示形式.
x1 c11y1 c12 y2 c1n yn ,
x2
c21y1 c22 y2
c2n yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
aij xi x j .
i1 j 1
把上式的系数排成一个 n n 矩阵
a11 a12
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n ann
,
它就称为二次型的矩阵. 因为 aij = aji , i , j = 1, 2,
…, n , 所以
c21 cn1
c22 cn2
c1n y1
c2n cnn
y2 yn
,
或者
高等代数教案第5章矩阵
第五章矩阵教课目标:1.掌握矩的加法,乘法及数与矩的乘法运算法。
及其基天性,并熟地矩行运算。
2.认识几种特别矩的性。
教课内容:矩的运算1矩相等我将在一个数域上来。
令 F 是一个数域。
用 F 的元素 a ij作成的一个 m行 n 列矩a11a12a1nA=a21a22a2 na m1 a m 2a mn叫做 F 上一个矩。
A 也作( a ij)。
了指明 A 的行数和列数,有也把它作A mn或( a ij) mn。
一个 m行 n 列矩称一个m*n 矩。
特,把一个 n*n矩叫做一个n 正方,或 n 矩。
F上两个矩,只有在它有同样的行数和列数,而且地点上的元素都相等,才上相等的。
以下提到矩,都指的是数域 F 上的矩。
我将引三种运算:数与矩的乘法,矩的加法以及矩的乘法。
先引入前两种运算。
2矩的性运算定 1数域F的数a与F上一个m*n矩A=(a ij)的乘法( aa ij)aA 指的是m*n矩定 2两个m*n矩A=(a ij),B=(b ij)的和A+B指的是注意,我只好把行数同样,列数同样的两个矩相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
在回到一般的矩。
我把元素全部是零的矩叫做零矩,作A=(a ij ) ,m*n 矩( a ij +b ij)。
0。
假如矩我就把矩(- a ij),叫做 A 的矩,作—A。
3矩性运的律A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C) ;0+A=A;A+(-A)=0 ;a(A+B)=Aa+Ab ;(a+b)A=Aa+Ba;a(bA)=(ab)A;里 A,B 和 C表示随意m*n 矩,而 a 和 b表示F中的随意数。
利用矩,我以下定矩的减法:A— B=A+(— B)。
于是有A+B=C A=C— B。
因为数列是矩的特例,以上运算律于数列也建立。
4乘法定3数域F上的m*n矩A=(a ij)与n*p矩B=(b ij m*p 矩。
个矩的第I 行第 j 列( I=1,2,⋯,m; j=1,2,行的元素与 B 的第 j 列的元素的乘的和:)的乘 AB 指的是的一个⋯ p)的元素 c ij等于 A 的第Ic ij=a i1 b1j +a i2 b2j+ ⋯ +a in b nj。
高等代数 讲义 第五章
③
称为由 x1, x2 ,L, xn到y1, y2 ,L, yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 θ
y
.
y′
x′
θ
0
x
即变换
⎧x =
⎨ ⎩
y
=
x′ cosθ − y′ sinθ x′ sinθ + y′ cosθ
aij xi x j
i =1
1≤i< j≤n
§5.1 二次型的矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
1) 约定①中aij=aji,i<j ,由 xixj=xjxi,有 f ( x1, x2 ,L, xn ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + LL + a1n x1 xn
+ a21 x2 x1 + a22 x22 + L + a2n x2 xn
⇒ B′ = (C′AC )′ = C′A′C = C′AC = B
2、经过非退化线性替换,新二次型矩阵与
原二次型矩阵是合同的.
进而,有: 若A′ = A, B′ = B,
二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY
⇔ A与B合同.
§5.1 二次型的矩阵表示
例2 证明:矩阵A与B合同,其中
⎛ λ1
f = ax2 + 2bxy + cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
{x = x′cosθ − y′sinθ y = x′cosθ + y′sinθ
f = a′x′2 + c′y′2
张禾瑞高等代数第五章PPT课件
三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质,转置矩阵及其运算性质。
3
5.1.1 认识矩阵
设F是数域, 用F的元素 a i j 排成的m行n列的数表
(6) 数乘分配律 k(AB)kA kB (kl)Ak A l A
(7) 乘法结合律 (AB )CA(BC ) k(A) B (k)A BA (k)B
(8) 乘法分配律 A(BC)A BBC (BC)AB ACA
8
12 31 4 3 21 例 1已 知 A 0321,B53 0 1,求 3A 2B .
第五章 矩阵
5.1 矩阵的运算 5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 5.3 矩阵的分块
1
宇宙之大,粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁,无处不 用数学。
—— 华罗庚
2
5.1 矩阵的运算
一、内容分布 5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置
三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
13
5.2.1 可逆矩阵的定义
定义1 A为F上n 阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵),B称为A的逆矩阵.
例:
1 2 5 331 2531 251 2 5 31 0 1 0 AB
A与B互为逆矩阵.
注1 有零行或零列的矩阵不可逆.
14
5.2.2 可逆矩阵的性质
① A可逆,则A的逆矩阵唯一。 证 设B,C均为A的逆矩阵 ,则
高等代数教案
《高等代数》课程教学总体安排一、课程名称:高等代数二、课程性质与类型:专业必修课,理论课三、课程总学时及学分:150学时,学分四、教学目的与要求:教学目的:高等代数是数学与应用数学专业必修基础课,也是一门重要主干课程,是中学代数的提高,也是近代数学的基础。
通过本课程的教学,使学生掌握高等代数的基本知识,基本方法,基本思路,适当地了解代数的一些历史,一些背景,以加深对中学数学的理解,获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力,并为进一步学习其他后继课程:近世代数、微分方程、泛函分析等,以及将来从事教学,科研及其他实际工作打下基础。
教学基本要求:基本掌握全书的基本概念;能独立处理书后的绝大部分习题;通过本书抽象理论的学习,提高自学能力,数学思维,专业素质,以便阅读较深的文献。
五、教材及参考书目教材:张禾瑞,郝炳新著,高等代数,高等教育出版社,2007年6月第四版,ISBN:7-04-021465-9,主要参考书:[1] 北京大学数学系,高等代数,高等教育出版社,2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3[2] 李师正等编,高等代数解题方法与技巧,高等教育出版社,2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6[3] 徐仲,陆全,张凯院,高等代数考研教案,西北工业大学出版社,2006年6月出版,ISBN:7-5612-2088-X六、考核方式及成绩计算方法期末进行闭卷考试,综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。
具体计算方法为:学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%七、课程教学日历第一章基本概念教学安排说明章节题目:§1.5数环数域学时分配:2学时。
教学时数为2学时本章教学目的与要求:掌握数环和数域概念,判别方法,理解有理数域的最小性。
其它:本章以自学为主,只讲授第五节课堂教学方案§1.5数环数域课程名称:§1.5数环数域授课时数:2学时授课类型:理论课教学方法与手段:讲授法教学目的与要求:掌握数环和数域概念,判别方法,理解有理数域的最小性。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲适用专业数学与应用数学(师范)、数学与应用数学总学时 168学分 10一、编写说明(一)本课程的性质、地位和作用高等代数是数学与应用数学专业(师范)、数学与应用数学专业的一门重要的专业基础课,其主要内容有多项式理论与线性代数两部分。
本课程的教学目的是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识,也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
高等代数课程是中学代数的继续和提高。
通过本课程的教学,要使学生加深对中学代数的理解。
本课程在教学中要求学生确切理解高等代数中的基本概念,不仅要正确掌握这些概念的内涵,还要了解这些概念的实际背景。
对于一些基本的重要概念,还要求了解它们产生与发展的过程及概念推广的原则;与中学代数有直接联系或者平行的概念,要求学生能与中学数学中相应概念加以比较,以确立较高的观点。
对于高等代数中的基本理论,要求学生掌握基本理论的结果,对于典型定理还要求掌握论证方法或思想,同时要求学生能了解严谨的理论体系,体会建立这种体系的抽象的代数方法。
通过本课程的教学,要求学生能显著地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力;较好地掌握基本的论证方法与基本的计算方法,特别要掌握基本的线性代数计算法。
(二)本大纲制订的依据根据本专业人才的培养目标所需要的基本理论和基本技能的要求,根据本课程的教学性质、条件和教学实践而制定。
(三)大纲内容选编原则与要求1.本大纲所列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编《高等代数》(高等教育出版社第二版)所列基本相同,讲授时可根据具体情况作适当调整。
2.为了避免教学上的难点过于集中,有些定理的掌握可以侧重于定理的结果和证明定理的方法,以达到掌握基本的代数方法的目的。
3.每一章的重点内容要重点讲解,在讲清概念的基础上,通过适当的练习(习题课、作业、问题探讨)以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及提高综合计算和解决问题的能力的目的。
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高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第五章 矩 阵教学目的:1. 掌握矩阵的加法,乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质,并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容:5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作(a ij )。
为了指明 A 的行数和列数,有时也把它记作A mn 或 (a ij )mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别,把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵,或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵,只有在它们有相同的行数和列数,并且对应位置上的 元素都相等时,才认为上相等的。
以下提到矩阵时,都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算:数与矩阵的乘法,矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵(aa ij )定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij ),B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵(a ij +b ij )。
注意 ,我们只能把行数相同,列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵,记作0。
如果矩阵 A=(a ij ), 我们就把矩阵(- a ij ),叫做A 的负矩阵,记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ;(A+B)+C=A+(B+C); 0+A=A ; A+(-A)=0;a(A+B)=Aa+Ab ; (a+b)A=Aa+Ba ; a(bA)=(ab)A ;这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵,而a 和 b 表示 F 中的任意数。
利用负矩阵,我们如下定义矩阵的减法:A —B=A+(—B )。
于是有A+B=C ⇔A=C —B 。
由于数列是矩阵的特例,以上运算规律对于数列也成立。
4 乘法定义 3 数域F 上的m*n 矩阵A=(a ij )与n*p 矩阵B=(b ij ) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。
这个矩阵的第I 行第j 列(I=1,2,…,m; j=1,2, …p ) 的元素c ij 等于A 的第I 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和: c ij =a i1b 1j +a i2b 2j+…+a in b nj 。
注意,两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。
我们看一个例子:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0512******** =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅+-⋅-⋅-+⋅+⋅⋅+⋅-+-⋅-⋅+⋅-+⋅0)2(11)3(3)5()2(2113001)1()3(2)5(02)1(12 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--81570. 5 矩阵乘法的运算规律:对于数的乘法成立的运算规律,对于矩阵的乘法说并不都成立。
值得一提的是以下两点。
两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵,例如:00000002121111111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---.矩阵的乘法不满足交换律。
首先,当 p ≠ m 时 A mn B np 有意义,但B np A mn 没有意义。
其次,A mn B np 和B nm A mn 虽然有意义,但是当m ≠n 时,头一个乘积是m 阶矩阵而第二个是n 阶矩阵,它们不相等。
最后,A nn B nn 和B nn A nn 虽然都是n 阶矩阵,但它们也未必相等。
例如.571813321221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ .751412211332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 但是距阵乘法满足结合律:(AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(a ij )mn ,B=(b ij )np , C=(c ij )pq ,那么(AB)C 和A(BC)都是m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(u ij ), BC=V=(v ij ). 由距阵乘法知,u il= ba klnk ik∑=1,c b vlj pl kl kj∑==1,因此(AB)C=UC 的第I 行第j 列的元素是 (1)cb ac u ijkink ikpl ljpl il)(111∑∑∑====.11cb a ljklpl n k ik∑∑===另一方面, A(BC)=AV 的第I 行第 j 列的元素是(2))(111c b a va lj pl kl n k ik kjnk ik∑∑∑====.11cb a ljkln k pl ik∑∑===由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a 仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质. 我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n 阶正距阵1 0… 0 0 1… 0 ………… 0 0 1叫做n 阶单位距阵 ,记作I n ,有时简记作I. I n 显然有以下性质:I n A np =A np ; A mn I n =A mn .距阵的乘法和加法满足分配律:A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单,我们留给读者。
注意,由于距阵的乘法不满足结合律,所以着两个式子并不能互推。
距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律:a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r 个距阵A 1,A 2,…… A r ,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数,就可以把它们依次相乘,由于距阵的乘法满足结合律,作这样的乘积时,我们可以把因子任意结合,而乘积A 1A 2……A r 有完全确定的意义。
特别,一个n 阶正方阵A 的r 次方(r 是正整数)有意义个r rA AA A=我们再约定A 0=I这样一来,一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。
设f(x)=a 0+a 1+……+a m x m是F[x]中有确定的意义,它仍然是F 上的一个n 阶正方阵,我们将它记作f(x): f(A)=a 0I +a 1A+……+a m A m .如果f(x), g(x)∈F [x],而A 是一个 n 阶距阵,令 u (x)=f (x)+g (A),v (x)=f (x)g (x) 于是有u (A)=f (A)+g (A),v (A)=f (A)g (A)5 距阵的转置 定义4 设m*n 距阵a 11 a 12 …… a 1nA= a 21 a 22 …… a 2n …………………… a m1 a m2 …… a mn 把A 的行变为俩所得到的n×m 距阵a 11 a 21 …… a m1A’= a 12 a 22 …… a m2 ………………… a 1n a 2n …… a mn叫A 的转置距阵的转置规律a) (A’)’=A,b) (A+B)’=A’+B’ c) (AB)’=B’A’ d) (aA)=aA’我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n212222111211 , B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b bb bb b b b b np n n p p212222111211 首先容易看出,(AB)’和B ’A ’都是pm 矩阵.其次,位于(AB)’的第i 行第j 列的元素就是位于AB 的第j 行第i 列的元素,因而等于a j1b 1i +a j2b 2i +…+a jn b ni . 位于B ’A ’的第i 行第j 列的元素等于B ’的第i 行的元素与A ’的第j 列的对应元素的乘积之和,因而等于B 的第i 列的元素与A 的第j 行的对应元素的乘积之之和:b 1i a j1+b 2i a j2+…+b ni a jn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立..等式(4)和(5)显然可以推广到n 个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A 1+A 2+…+A n )’=A 1’+A 2’+…+A n ’ , (A 1A 2…A n )’=A n ’A n-1’…A 2’A 1’5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式教学目的:1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。
2掌握求逆矩阵的方法,尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。
教学内容:1逆矩阵的定义:令 A是数域F上的一个n阶矩阵。
若是存在F上n阶矩阵B,使得 AB=BA=I,那么A叫作一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而B叫作A的逆矩阵。
若是矩阵A可逆,那么A的逆矩阵由A唯一决定。
事实上,设B和C都是A的逆矩阵:AB=BA=I,AC=CA=I。
那么B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。
2逆矩阵的性质:我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-1来表示。
我们有以下简单的事实:可逆矩阵A的逆矩A-1也可逆,并且(A-1)-1=A这由算式AA-1=A-1A=I可以直接推出。
两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1这是因为(AB)(B-1A-1)=(B-1A-1)(AB)=I一般,m个可逆矩阵A1,A2,…,A m的乘积A1A2…A m也可逆,并且(A1A2…A m)-1=A m-1…A2-1A1-1可逆矩阵A的转置A’也可逆,并且(A’)-1=(A-1)’这是因为求等式AA-1=A-1A=I中三个相等的矩阵的转置,得(A-1)’A’=A’(A-1)’=I’=I一个n阶矩阵未必可逆。
例如,令a11 a12A=00而B是任意一个2阶矩阵。
那么乘积AB的第二行的元素都是零,因此不存在二阶矩阵B,使AB=I,从而A不是可逆矩阵。
3初等变换首先注意以下事实:对于一个矩阵施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。
我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵:i 列 j 列110 … 1 i 行 1 P ij =1 1 … 0 j 行11 i 列11 D i(k) = k i 行 11i 列 j 列11 … k i 行 T ij(k) =1 j 行 1这里没有注明的元素在主对角线上的都是1,在其它位置的都是零。
通过验算容易看出:交换一个m ×n 矩阵A 的第和第i 和第j 行或第i 和第j 列,相当于把A 左乘以m 阶矩阵P ij 或右乘以n 阶矩阵P ij ;把A 的第i 行或列乘以数k ,相当于把A 左乘以m 阶的D i(k),或右乘以n 阶的D i(k);把A 的第j 行乘以数k 后加到第i 行相当于把A 左乘以m 阶的T ij(k),把A 的第j 列乘以数k 后加到第i 列相当于把A 右乘以n 阶的T ij(-k)初等变换都是可逆的,并且它们的逆矩阵仍是初等变换。