第一部分 高等代数 第四章 矩阵 第四节 矩阵的逆课件
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高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
高等代数第4章矩阵1,2,3节
1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
高等代数
东北大学秦皇岛分校
第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
高等代数
东北大学秦皇岛分校
矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
高等代数课件--第四章 矩阵§4.4 矩阵的逆
１．伴随矩阵 定义： 设Aij矩阵A=(aij)nn中元素aij的 代数余子式，矩阵
A11 A 12 A* A1 n A21 A22 A2 n An1 An 2 adj A Ann
称为A的伴随矩阵．
性质 若A为n级方阵，则AA*=A*A=|A|En。
§4.4
矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义：
设A为n级方阵，若有n级方阵B，使
AB=BA=En B为A的逆矩阵. 则称A为一个可逆矩阵，
注：
① 对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B， 使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？
1=E
．
二、可逆矩阵的判定、求法
且(AB) 1=B 1A1.
问题：3）能否推广到有限个的情况?
4) 若A可逆，则A可逆,且(A ) 1=(A1).
5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A
6) 若A可逆, 则Ak可逆，且(Ak) 1 =(A1)k. 注：当|A|0时，定义A0=E，Ak =( A1)k。 当A, B可逆时，A+B不一定可逆。
的 逆 矩 阵 , an
其 中 a i 0, i 1, 2, ..., n .
推论
设A,B为n级方阵, 若AB=E，则A, B都 可逆，且 A1=B， B1= A．
三、逆矩阵的性质
1) 若A可逆，则A1可逆，且(A1) 1=A,
2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1. 3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,
例3
设方阵A满足A2 3A 10E=0，证明：
A，A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵． 解：因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且 A1=(A-3E)/10 又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且 (A4E)1=(A+E)/6
A11 A 12 A* A1 n A21 A22 A2 n An1 An 2 adj A Ann
称为A的伴随矩阵．
性质 若A为n级方阵，则AA*=A*A=|A|En。
§4.4
矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义：
设A为n级方阵，若有n级方阵B，使
AB=BA=En B为A的逆矩阵. 则称A为一个可逆矩阵，
注：
① 对于n级矩阵A，如果存在n级矩阵B， 使得AB=E，则A是可逆矩阵吗？
1=E
．
二、可逆矩阵的判定、求法
且(AB) 1=B 1A1.
问题：3）能否推广到有限个的情况?
4) 若A可逆，则A可逆,且(A ) 1=(A1).
5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A
6) 若A可逆, 则Ak可逆，且(Ak) 1 =(A1)k. 注：当|A|0时，定义A0=E，Ak =( A1)k。 当A, B可逆时，A+B不一定可逆。
的 逆 矩 阵 , an
其 中 a i 0, i 1, 2, ..., n .
推论
设A,B为n级方阵, 若AB=E，则A, B都 可逆，且 A1=B， B1= A．
三、逆矩阵的性质
1) 若A可逆，则A1可逆，且(A1) 1=A,
2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1. 3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,
例3
设方阵A满足A2 3A 10E=0，证明：
A，A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵． 解：因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且 A1=(A-3E)/10 又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且 (A4E)1=(A+E)/6
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
矩阵乘积的逆(高等代数课件)
下三角矩阵的逆
下三角矩阵的逆是另一个下三角矩阵，其主 对角线上的元素为原下三角矩阵对应元素的 倒数，其余元素为0。
计算公式：(A^{-1} = begin{bmatrix} a_{11}^{-1} & 0 & ldots & 0 0 &
a_{22}^{-1} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots -a_{1n}a_{nn}^{-1} & a_{2n}a_{nn}^{-1} & ldots & a_{nn}^{-1}
矩阵乘积的逆元
如果存在一个矩阵$A^{-1}$，使得$AA^{-1} = A^{-1}A = I$， 则称$A$是可逆的，并且称$A^{-1}$为$A$的逆矩阵。
矩阵乘积的运算规则
分配律
对于任意常数$k$和矩阵$A, B, C$，有$(k times A) times B = k times (A times B) = A times (k times B)$。
上三角矩阵的逆
上三角矩阵的逆是另一个上三角矩阵，其主对角线上的元素为原上三角矩阵对应元素的倒数，其余元 素为0。
计算公式：(A^{-1} = begin{bmatrix} a_{11}^{-1} & 0 & ldots & 0 -a_{21}a_{11}^{-1} & a_{22}^{-1} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots -a_{n1}a_{11}^{-1} & a_{n2}a_{22}^{-1} & ldots & a_{nn}^{-1} end{bmatrix})
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
第21页/共36页
例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2
k 1
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
i 1,2, , s, j 1,2, ,m
称为 A 与 B的积，记为 C AB ．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
注意 ① 乘积 AB 有意义要求 A 的列数＝B的行数. ② 乘积 AB 中第 i 行第 j 列的元素由 A 的第 i 行
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
2020/1/14
数学与计算科学学院
一、加法
1．定义 设 A (aij )sn , B (bij )sn , 则矩阵
C (cij )sn (aij bij )sn 称为矩阵A与B的和，记作 C A B ．即
a11 b11 a12 b12
3
1 4
AB
9 9
2 9
1 11
,
而 BA无意义．
例3． A
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 2
,
B
2 3
4 6
AB
16 8
32 16
,
BA
0 0
0 0
,
AB BA.
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
1
例4．
① 一般地，AB BA. 若 AB BA ，称A与B可交换．
② AB 0 未必有 A 0 或B 0 ． 即 A 0 且B 0 时，有可能 AB 0 ．
③ AX AY未必 X＝Y．
§4.2 2020/1/14 矩阵的运算
数学与计算科学学院
2．矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB)C A(BC)
矩阵乘积的逆(高等代数课件)
an1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn a2 n xn
an 2 x2
ann xn
, ,
,
它的 系数矩阵是一 个 n 级矩阵 A，若记
(1)
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E
则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
注：① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 A 1 .
立即可得, a11 a12
AA*a21 a22 an1 an2
a1nA11 A21 a2nA12 A22
annA1n A2n
An1 An2
Ann
d 0
0 0
d 0
0
0 d
dE.
同理, A*AdE.
2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0 , （即A
非退化的），且
A 1
A* .
A
证：若 A 0 , 由 A A *A *AAE
有
A1
AA* 12223
6 6 2
4 52.
2 ) A a 1 a 2 a n ,
∴ 当 a i 0 ( i 1 ,2 ,,n )时，A可逆.
且由于
a1 a2
a11
a21
an
an1
1
1
A1
a11
a21
.
an1
1
E
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可 ,则 A 1 亦 逆 ,且 A 可 1 1 A .逆
A*
A12
A22
A1n A2n
An1 An2
Ann
称为A的伴随矩阵.
性质： AA *A *AAE
高等代数第二版课件§4[1]4_矩阵的逆资料
![高等代数第二版课件§4[1]4_矩阵的逆资料](https://img.taocdn.com/s3/m/d0a8dbfa3186bceb19e8bb9f.png)
,且
1
A
T 1
A
E,
1 T
.
证明：
A
T
T
A
1
T
AHale Waihona Puke AT E
T
A
1
A
A
1 T
.
(5) 若
A
可逆，则有
1
1
1 A
A
1
.
1
证明： A A
E A A
1
1 A
1
A
.
(6) 若A可逆，则 (7) 若A可逆，则
A
亦 可逆，且
1
使得
AA
1
1
A
A E,
则矩阵 A
称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E
则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
注： ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作
② 可逆矩阵A的逆矩阵
A
1
1
A
1
.
也是可逆矩阵，且
A
1
*
2)
A a 1a 2
an ,
,n)
∴ 当 ai 且由于
a1 a2
0 ( i 1, 2 ,
时，A可逆.
1 a 1 1 a2 an
an .
1
1 1
E 1
A
1
BA
1 2 2 1
1 . 2
高等代数 讲义 第四章
⎜⎝ 0 0 λ2 ⎟⎠⎜⎝ 0 0 λ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 λ 3 ⎟⎠
§4.1 矩阵的概念
由此归纳出
⎜⎛ λ k
Ak
=
⎜ ⎜
0
⎜⎜⎝ 0
kλ k −1 λk 0
k (k − )1 λ k −2 ⎟⎞
2 kλ k −1
⎟ ⎟
λk
⎟⎟⎠
(k ≥ 2)
用数学归纳法证明之.
当 k = 2 时，显然成立. 假设 k = n 时成立，则 k = n + 1时，
第一节：矩阵的概念 第二节：矩阵的运算
本堂课的要求：
掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟 练地对矩阵进行运算。
掌握转置矩阵及其运算性质。 掌握方阵的幂、方阵的多项式。
重点难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
§4.1 矩阵的概念
一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
L L L L
−a1n −a2n L −asn
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
称为A的负矩阵，记作－A .
即 − A = (−aij )s×n .
§4.1 矩阵的概念
一、加法
1．定义 设 A = (aij )s×n , B = (bij )s×n , 则矩阵
C = (cij )s×n = (aij + bij )s×n 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B ．即
§4.1 矩阵的概念
⎜⎛ λn
An+1
=
AnA =
⎜ ⎜
0
nλn−1 λn
n(n − 1)λn−2
2 nλn−1
⎟⎞ ⎟ ⎟
⎜⎛ ⎜
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xn
bn
则（1）可看成矩阵方程 AX B.
若A为可逆矩阵，则 X A1B.
§4.4 矩阵的逆
2. 推广 ① 矩阵方程 Ann Xns Bns ,
若A为可逆矩阵，则 X A1B . ② 矩阵方程 X mn Ann Bmn ,
若A为可逆矩阵，则 X BA1 . ③ 矩阵方程 Ann X nsBss Cns ,
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
一、可逆矩阵的概念
定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得
AB＝BA＝E
则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
注：① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 A1.
② 可逆矩阵A的逆矩阵 A1 也是可逆矩阵，且
A1
A
1
A
.
A
(6) 若A可逆，则 Ak 亦 可逆，且
Ak
1
A1 k .
注： 当 A 0 时，定义
A0 E, Ak ( A1)k
则有 A A A , A A , , Z
§4.4 矩阵的逆
例2 设方阵 A 满足 A2 3A 10E 0, 证明： A 与 A 4E 皆可逆，并求其逆.
a11
a21
an
an1
1
1
A1
a11
a21
§4.4 矩阵的逆
.
an1
1
E
三、逆矩阵的运算规律
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
称为A的伴随矩阵.
性质： AA* A* A A E
§4.4 矩阵的逆
证：由行列式按一行（列）展开公式
ak1 Ai1 ak 2 Ai2
a1l A1 j a2l A2 j
立即可得,
a11 a12
AA*
a21
a22
an1 an2
akn Ain
d, 0,
即有， A1 B, B1 A.
§4.4 矩阵的逆
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.
1 2 3
1)
A
2 3
2 4
1 3
a1
2)
A
a2
an
§4.4 矩阵的逆
解：1） ∴ A可逆.
123 2 2 1 2, 343
再由
A11 2, A21 6, A31 4, A12 3, A22 6, A32 5,
anl Anj
d, 0,
ki ki
l j l j
d A.
a1n A11 A21
a2n
A12
A22
ann A1n A2n
An1
An2
Ann
d 0
§4.4 矩阵的逆00
d 0
0
0 d
dE .
同理, A* A dE.
3 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B1 A 1 推广 A1 A2 Am 1 Am1 A21 A1.1
§4.4 矩阵的逆
4 若A可逆,则AT亦可逆 ,且 AT 1 A1 T.
(5) 若A可逆，则 A 亦 可逆，且
若A, B皆可逆，则 X A1CB1 .
§4.4 矩阵的逆
3. 矩阵积的秩
定理4 Asn , 若 Pss , Qnn 可逆，则
R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
证： 令 B PA, 由定理2， R(B) R( A), 又P可逆， 有 P 1B A, R( A) R(B), 故 R( Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R(B).
证： 由 A2 3A 10E 0, 得 A( A 3E) 10E,
即
A
1 10
(
A
3 E )
E,
故 A 可逆，且
A1 1 ( A 3E ) 10
再由 A2 3A 10E 0, 得 ( A E)( A 4E) 6E,
即 1 ( A E )( A 4E ) E, 故 A 4E 可逆，且
A13 2, A23 2, A33 2.
有
A1
A* A
1 2
2 3 2
6 6 2
4
5 2
.
§4.4 矩阵的逆
2)
A a1a2 an ,
∴ 当 ai 0 (i 1,2, , n) 时，A可逆.
且由于
a1 a2
1
A.
③ 单位矩阵 E 可逆，且 E 1 E .
§4.4 矩阵的逆
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法
1、伴随矩阵
定义 设 Aij 是矩阵 A (aij )nn 中元素aij的代数
余子式，矩阵
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An
2
Ann
6
( A 4E)1 1 ( A E)
§4.4 矩阵的逆
6
四、矩阵方程
1. 线性方程组
a11 x1
a1n xn b1
(1)
an1 x1 ann xn bn
x1
b1
令
A (aij )nn ,
X
=
x2
,
B=
b2
§4.4 矩阵的逆
3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 AB E,
则A、B皆为可逆矩阵，且 A1 B, B1 A.
证： AB E
AB A B E 1 从而 A 0, B 0.
由定理知，A、B皆为可逆矩阵.
再由 A1( AB) A1E,
( AB)B1 EB1,
2、定理：矩阵A可逆当且仅当 A 0, （即A
非退化的），且
A1
A* .
A
证：若 A 0, 由 AA* A* A A E
得
A* A
A*
A
E
AA
所以，A可逆，且 A1 A* . A
反过来，若A可逆，则有 AA1 E,
两边取行列式，得 A A1 E 1. A 0.