高等代数-矩阵

交通网络模型_2
求：d 国和 f 国城市通路形式？
例
2x1 5x2 3
x1 3x2 1
(*)
变量代换 x1 3 y1 5 y2
x2
y1
2
y2
带入(*)
y1 3 原方程解为 x1 4
y2
1
x2
1
矩阵的乘法1_定义
• 设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，A与B 的乘积为一m×n矩阵C，定义如下：
✓ cAB = (cA)B = A(cB) c为数
✓ 对任意m×n阶矩阵A，Im A = A = A In 特别提示 矩阵乘积不满足消去律
AB 0且A 0 B 0
0
0
11
0
0
0 0
0,
但
0 0
1 0
0,
1 0
0 0
0
矩阵的乘积4_行向量与列向量的乘积
•设 则
(a1 , a2 ,L , an ),
11
11 12 12
13 13
a
21
a22
a
23
b21
b22
b33
a21
b21
a22 b22
a23 b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33 a31 b31 a32 b32 a33 b33
矩阵的加减法1_定义
• 两同为m×n的矩阵相加(减)后得一m×n 矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和(差)
1
0 O
j列
i行 0
1 k i且l j ekl 0 其他
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如 下两个条件
✓ m = s, n = t
✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。
• 复矩阵 矩阵元素为复数，即
aij∈C， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
• 零矩阵0m×n 矩阵元素全为零，即
aij= 0， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
特殊矩阵及其元素表示_2
• 对角阵A： 亦记作diag(a11,a22, … ann)
产品
产量
产品1 产品2 产品3
价格 成本价 出厂价 产品
分厂1 20
17
12
分厂2 30
20
10
产品1
7
7.2
产品2
11
11.3
产品3
20
20.5
20 17 12 A 30 20 10
7 7.2
问：各厂总产品成本和总 出产价为多少？
B 11
11.3
C = AB
20 20.5
交通网络模型_1
矩阵乘法
12
3 2 2 1 2 13 ?
2
1
0
3
1
4 3 1 2 2
矩阵乘法
42242121313130102215535
3 2 2 1 2 13 12
2
1
0
3
1
5
5
4 3 1 2 2 15 13
矩阵的乘积2_乘积不可交换
特别提示
✓AB可乘的前提是A的列数等于B的行数 ✓AB乘积一般不可交换
b1
b2
M
bn
a1b1 a2b2 L anbn
n i 1
ai
bi
b1a1 b1a2 L
b2a1
b2a2
L
L L L
bna1 bna2 L
b1an
b2an
L
bnan
矩阵的乘积5_与标准单位向量的乘积
a11
Ae j
a21
L
am1
a12 L a22 L LL am2 L
A (aij )mn , B (bij )mn ,
A B (aij bij )mn A B (aij bij )mn
特别提示 |A+B|≠|A|+|B|
a11 b11
a21
b21
a12 a22
b12 b22
a11 a21
a12 a22
b11 b21
b12
b22
例1_3
• 续1依据该化工厂第一季度各厂的生产情 况矩阵A，预测全年各厂生产情况为B:
A
20 30
17 20
12 10
80 68 48 B 120 80 40
20 17 12 4 30 20 10 4A
矩阵数乘
a11 a12 L
c
a 21
a 22
L
L L L
an1 an2 L
a1n c?a11 ca12 L
矩阵定义
• 由排m成nm个行数、anij列(i 的 1矩,2阵,阵, m列;：j 1,2, , n)
A=
(aij
)mn
称为 m 行 n 列矩阵，简记为m×n矩阵，
aij称为 A 的第 i 行第 j 列元素。
特殊矩阵及其元素表示_1
• 实矩阵 矩阵的元素全为实数，即
aij∈R， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
0
0
L
ann
• 严格上三角矩阵A A为上三角阵，且对角元全为0
• 下三角阵A 常用L表示
a11 0 L 0
A
a21
a22
L
0
L L L L
an1 an2 L
ann
aij 0,i j, i, j 1, 2,L , n
• 严格下三角阵A A为下三角阵，且对角元全为0
特殊矩阵及其元素表示_4
• 例2 右图示明了d 国三个城市，e 国三个 城市，f 国两个城市相互间之道路。
在d国和e国 间城市通路 情况可用下 列形式表示：
在e国和f国 间城市通路 情况可用下 列形式表示：
f1 f2 e1 1 0 e2 1 1 e3 0 1
d1
e1
f1
d2
e2
f2
d3
e3
其中：0, 1 指城市间 的通路数
0
L
L L
0 L
a2i L
0 L
L L
0
L
0
L
0 ani
0L
0
j列
L
L
L
0 0 L
Eij
A
a
j1
aj2
L
0
0L
L L L
0
0L
L
0
a
jn
i
行
0
L
0
Eij AEkl a jk Eil
AEij
Aei
e
j
Eij
A
ei
e
j
A
Eij AEkl
ei
e
j
Aek
el
ei
(e
j
Aek
)el
(e
矩阵的数乘_2
• 运算规则：
✓c(A+B)=cA+cB
✓(c+d)A=cA+dA
✓(cd)A=c(dA)
✓1·A=A
✓0·A=0
• 特例：A为n阶方阵，Eij为n阶基础矩阵，
则
A
a E n
i , j1 ij ij
例1_4
• 续1 设该化工厂第一季度各厂的生产情况 以及各产品成本和出产价如下表所示：
a11 0 L 0
A
0
a22 L
0
L L L L
0
0
L
ann
aij 0,i j, i, j 1, 2,L , n
• 单位矩阵 In： 亦记作En
1 0 L 0
In
0
L
1 L
L L
0
L
0
0L
1
0 i j aij 1 i j
• 数量阵：c为一数 亦记作cIn
i, j 1, 2,L , n
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
如 02×3≠01×6 ≠03×2
110
特别提示 行列式
1
01
0 0
1
0 1
建立了 n 阶方阵 1 1 0 1 1 0 1
的全体到某数域 的一个对应，即 但 其结果为数值。
1 1 0
1
1
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0
1
例1_2
• 续1 设该化工厂第一、二季度各厂的生产情况 分别用矩阵A、B表示：
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
百度文库
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a2n
ca
21
ca 22
L
L L L L
ann
can1
can2 L
ca 1n
ca
2
n
L
cann
矩阵的数乘_1
• m×n阶矩阵与一个数c相乘后得一m×n 矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这 个数。
A (aij )mn , cA (caij )mn ,
• 特别提示 设A为n阶方阵
cA (caij )nn , 但 | cA | cn | A |,
第二章 矩阵 Matrix
目的要求
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念； • 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则，尤其
是乘法运算的不可交换性、不可消去性； • 注意对照数、行列式与矩阵的区别。
例1_1
• 例1 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B况1，如B下2，表B3：。在某年第一季度，各厂的生产情
a1n a2n L amn
0
M
1
M
0 n1
a1 j a2 j
M
amj
a11 a12 L a1n
ei ' A 0 L
1L
0
a21
1m L
a22 L LL
a2n
L
ai1
ai 2
L
ain
am1 am2 L
amn
矩阵的乘积6_n阶基础矩阵
• n阶基础矩阵Eij
A (aij )ms , B (bij )sn , C (cij )mn
cij ai1b1 j ai2b2 j L aisbsj
a b s
k 1 ik kj
i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n
矩阵乘法
13
3 2 2 1 2 ?
2
1
0
3
1
4 3 1 2 2
20 17 12 22 15 15 A 30 20 10 , B 26 25 10
则上半年各厂生产情况C为:
42 32 27 C 56 45 20
20 30
17 20
12 10
22 26
15 25
15 10
A
B
矩阵加法
a ?b a a a b b b 11
12
13
a b a b 11 12 13
关于矩阵_2
• 1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先 提出矩阵的概念
• 应用：自然科学、工程技术、社会科学 等许多领域。如在观测、导航、机器人 的位移、化学分子结构的稳定性分析、 密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X 射线照相术等方面，都有广泛的应用
• 1858年卡莱（A. Cayley）建立了矩阵运 算规则
0
O
Eij
ei
e
j
0 O
1
0 O
j列
i行 0
1 k i且l j ekl 0 其他
• n 阶基础矩阵与n 阶基础矩阵的乘积
0 jk
Eij Ekl
Eil
jk
矩阵的乘积7_与n阶基础矩阵的乘积
•
n
阶基础矩阵Eij与n
阶矩阵乘积
0
0L
0
0 L 0 a1i 0 L 0
AEij
c 0 L 0
A
0
cL
0
L L L L
0
0L
c
0 i j aij c i j
i, j 1, 2,L , n
特殊矩阵及其元素表示_3
• 上三角矩阵A 常用U 表示
a11 a12 L a1n
A
0
a22 L
a2n
L L L L
aij 0,i j, i, j 1, 2,L , n
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
1）A2×1 B1×3，AB为2 ×3矩阵但 BA无意义 2） A3×1 B1×3，AB, BA均有意义，但对应行列 数不同，不相等
3） 11 0011 10 11 1011 00
• 若AB = BA，则称矩阵A，B乘积可交换
矩阵的乘积3_运算规则
• 运算规则
✓ (AB)C = A(BC)
✓ A (B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC + BC
j
Aek
)ei
el
a jk Eil
矩阵转置
a11 a12 L a1n
a11 a 21 L an1
a
21
a 22
K
a
2
n
转置
a
12
a 22
L
an
2
L L L L
an1 an2 K ann
L L L L
a1n a 2n L ann