高等代数-矩阵
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数北大版教(学)案_第8章λ_矩阵
第八章 λ-矩阵本章主要介绍λ-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 λ-矩阵如果一个矩阵的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，这个矩阵就称为λ-矩阵。
为了与λ-矩阵相区别，我们把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。
由于数域中的数也是][λP 中的元素，所以在λ-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为λ-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个λ-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有λ-矩阵的子式的概念。
利用这个概念。
我们有定义1 如果λ-矩阵)(λA 中有一个r )1(≥r 级子狮不为零。
而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r ，零矩阵的秩规定为零。
定义2 一个n n ⨯的λ-矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ⨯的λ-矩阵)(λB 使)(λA )(λB =)(λB )(λA =E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
适合（1）的矩阵)(λB （它是唯一的）称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A关于λ-矩阵可逆的条件有定理1 一个n n ⨯的λ-矩阵)(λA 是可逆的充分必要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数。
§2 λ-矩阵在初等变换下的标准形λ-矩阵也有初等变换。
定义3 下面的三种变换叫做λ-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的)(λΦ倍，)(λΦ是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有))(())((),,(),(111---==c i p c i p j i p j i p ,))(,())(,(1ϕφ-=-j i p j i p 。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：],[j i 代表j i ,行（列）互换位置；)]([c i 代表用非零的数c 去乘i 行（列）；)]([φj i +代表把j 行（列）的)(λφ倍加到i 行（列）。
高等代数4.6 初等矩阵
主要内容
一、初等矩阵的定义 二、初等矩阵的性质 三、两个矩阵的等价关系 四、求逆矩阵的初等行变换法
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法.
1/ 66 4/33 5/ 66
731///212212.
例 5 用初等行变换法解矩阵方程
AX = B ,
其中
5 1 5
8 5
A 3 3 2 , B 3 9 .
解
1 2 1
0 0
5 1 5 8 5 (A| B) 3 3 2 3 9
在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：
三、两个矩阵的等价关系
1. 定义
定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以
由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B .
2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使
A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt .
(1)
n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵；反过来显然也是对的. 由 (1) 即得
定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是
高等代数--第四章 矩阵的对角化
特征值与特征向量的性质
如果 是矩阵 A 属于特征值 0 的
一
k 0 k
个特征向量, 那么任取
,
也
是
0
矩阵 A 属于特征值 的特征向量,
特征值与特征向量的性质
设 1 , 2 是矩阵 A 属于特征值 0 的两个
特征向量, 如果 1 2 0 那么1 2
也是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量,
高等代数--第四章 矩阵的对角 化
相似矩阵的性质
反身性: 矩阵 A与自己相似 对称性: A相似于 B, 则B也相似于 A 传递性: A相似于B, B相似于C, 则A相
似于 C 若A相似于B, 则它们的行列式相等 如果 A可逆, 且A相似于B, 则B可逆,
它们的逆 A1 , B1 也相似.
4 8 2
3 ( 2)
1 ( 2)( 1)2
4 1
矩阵 A 的特征值是 1, -2
把特征值 1 代入, 得到齐次方程组
4
2 x1 x1
2
x2 x2
0, 0,
4 x1 8x2 3x3 0,
它的基础解系是
3
16ຫໍສະໝຸດ 2 0 属于 1 的全部特征向量就是 k 1 1 ， k1 0
而A的全体特征值的积为|A|.
§3 矩阵的对角化
相似矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 如何判断一个矩阵是否可对角化
相似矩阵的性质
定理1：相似矩阵有相同的特征多项 式
定理2：相似矩阵有相同的特征值 注意：上述两个定理的逆定理不成立.
例:
1 A0
0 1
和B10
1 1
特征向量的性质
定理3 定理4
在特征多项式中令 0,即得常数项
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数 矩阵的运算
b1m
b2m
,
bnm
A 的第 j 列元素为 a j1,a j2 , ,a jn ,
n
n
BA 中的 (i, j)元素为 bkia jk a jkbki .
k 1
k 1
3．对称矩阵 反对称矩阵
定义 设 n 级方阵 A aij ,
(1) 若 A 满足 A A, 即 a ji aij , i, j 1, 2, , n
3
32
0 0 2 0 0 0 0 3
由此归纳出
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
用数学归纳法证明之.
当 k 2 时，显然成立. 假设 k n 时成立，则 k n 1时，
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 不存在. 1
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
ka1n
即
kA
ka21
ka22
ka2
n
.
kas1 kas2
kasn
2．性质
(1) ()A ( A) ; (2) ( )A A A ; (3) ( A B) A B ;
高等代数矩阵练习题参考答案
第四章矩阵习题参考答案判断题1. 对于任意刃阶矩阵A, B,有∣A + B∣ = ∣A∣ + ∣B∣.错.2. 如果 A 2=0,则 A = 0.3.如果A + A 2=E 9则A 为可逆矩阵.正确.A +A 2 = E=> A(E + A) = E ,因 1⅛A 可逆,且 AT=A+ E ・4.设都是畀阶非零矩阵，且43 = 0,则的秩一个等于川，一个小于〃・错•由AB = O 可得r(A) + r(B)≤n.若一个秩等于则该矩阵可逆，另一个秩为零，与 两个都是非零矩阵矛盾•只可能两个秩都小于—5. A.B.C 为”阶方阵，^AB = AC.则 B = C.6. A 为 E 矩阵，若r(A) = S 9则存在加阶可逆矩阵P 及"阶可逆矩阵0 ,使PFo正确•右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形.1 ',B = <2 I lC= (3 2、 TH -1丿 曰-2, 错•如A =(-1 ,WAB = ACJ0B≠C. 1-1M 2=0^≡Λ≠0.7.“阶矩阵A可逆，则A*也可逆.正礪由A可逆可得IAI H O, 乂AA* = A* A=∖ A∖ E.因此A*也可逆，且(A*)~l = —Λ.IAl8.设A,B为"阶可逆矩阵,则(A5)*=B*A*.正确.(AB)(ABy =IABIE=IAIIBIE 乂(AB)(B* A*) = A(BB^ = A∖B∖ EA*=l B∖ AA^ ^AW B∖ E .因此(AB)(ABr = (AB)(B* A*). ∣⅛ A.B为“阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(Aθ)*=B*A*.二、选择题1.设力是"阶对称矩阵，〃是n阶反对称矩阵(B l =-B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B ).(A) AB-BA (B) AB + BA (C) (AB)2(D) BAB(A)(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵.2.设A是任意一个"阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.(A) A I A(B) A-A r (C) A2(D) A1 - A3.以下结论不正确的是(C).(A)如果A是上三角矩阵，则八也是上三角矩阵;(B)如果A是对称矩阵，则也是对称矩阵；(C)如果A是反对称矩阵，则也是反对称矩阵；(D)如果A是对角阵，则A也是对角阵.4.A是m×k矩阵，B是Rxf矩阵，若B的第丿•列元素全为零，则下列结论正确的是(B )(A)AB的第丿•行元素全等于零；(B) A3的第_/列元素全等于零; (C) BA的第丿•行元素全等于零；(D) 34的第丿•列元素全等于零;5.设人B为“阶方阵，E为“阶单位阵，则以下命题中正确的是(D )(A)(A + B)2 =A2 +2AB + B2 (B) A2 - B2 = (A +B)(A-B)(C) (AB)2 =A2B2(D) A2 -E2 =(A + E)(A-E)6.下列命题正确的是(B ).(A)^AB = AC,则B = C(B)^AB = AC f且∣A∣≠0,则B = C(C)若AB = AC,且 A H O,则B = C(D)若AB = AC,且B≠0,C≠0,则B = C7. A是In × H矩阵，B是n × rn矩阵，则(B).(A)当m > n时,必有行列式IABl ≠ O:(B)当m > n时,必有行歹IJ式IABl=O(C)当“ > 川时，必有行列式IABl ≠ 0;(D)当n > m时,必有行列式IABl = 0.A3 为加阶方阵，当m > n时，r(A) ≤ n,r(B) ≤n,因此r(AB) ≤ H < m ,所以IABl = 0.8.以下结论正确的是(C )(A)如果矩阵A的行列式∣A∣ = 0,则A = 0；(B)如果矩阵A满足A'=。
高等代数 矩阵
19
例4计算下列乘积：
1
2 2 1 2 3
2 解 1 2 1 2 3
1 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 4 . 1 3 2 3 6 3
21
２、矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA;
（其中 为数）;
3 AB AB AB
4 AE EA A;
AO OA O;
(2)行矩阵,列矩阵 只有一行的矩阵
A a1 , a2 ,, an ,
4
称为行矩阵(或行向量).
a1 只有一列的矩阵 B a2 , 称为列矩阵(或列向量). a n (3)零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n零 矩阵记作 omn 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
11
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
0 1 B 3 1
4 2 1 1 1 2 1 3
17
解
A aij 34 , C cij 33 .
B bij 43,
0 1 0 1 2 1 C AB 1 1 3 0 0 5 1 4 3 1
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• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
交通网络模型_2
求：d 国和 f 国城市通路形式？
例
2x1 5x2 3
x1 3x2 1
(*)
变量代换 x1 3 y1 5 y2
x2
y1
2
y2
带入(*)
y1 3 原方程解为 x1 4
y2
1
x2
1
矩阵的乘法1_定义
• 设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，A与B 的乘积为一m×n矩阵C，定义如下：
a11 0 L 0
A
0
a22 L
0
L L L L
0
0
L
ann
aij 0,i j, i, j 1, 2,L , n
• 单位矩阵 In： 亦记作En
1 0 L 0
In
0
L
1 L
L L
0
L
0
0L
1
0 i j aij 1 i j
• 数量阵：c为一数 亦记作cIn
i, j 1, 2,L , n
矩阵的数乘_2
• 运算规则：
✓c(A+B)=cA+cB
✓(c+d)A=cA+dA
✓(cd)A=c(dA)
✓1·A=A
✓0·A=0
• 特例：A为n阶方阵，Eij为n阶基础矩阵，
则
A
a E n
i , j1 ij ij
例1_4
• 续1 设该化工厂第一季度各厂的生产情况 以及各产品成本和出产价如下表所示：
✓ cAB = (cA)B = A(cB) c为数
✓ 对任意m×n阶矩阵A，Im A = A = A In 特别提示 矩阵乘积不满足消去律
AB 0且A 0 B 0
0
0
11
0
0
0 0
0,
但
0 0
1 0
0,
1 0
0 0
0
矩阵的乘积4_行向量与列向量的乘积
•设 则
(a1 , a2 ,L , an ),
a1n a2n L amn
0
M
1
M
0 n1
a1 j a2 j
M
amj
a11 a12 L a1n
ei ' A 0 L
1L
0
a21
1m L
a22 L LL
a2n
L
ai1
ai 2
L
ain
am1 am2 L
amn
矩阵的乘积6_n阶基础矩阵
• n阶基础矩阵Eij
例1_3
• 续1依据该化工厂第一季度各厂的生产情 况矩阵A，预测全年各厂生产情况为B:
A
20 30
17 20
12 10
80 68 48 B 120 80 40
20 17 12 4 30 20 10 4A
矩阵数乘
a11 a12 L
c
a 21
a 22
L
L L L
an1 an2 L
a1n c?a11 ca12 L
0
0
L
ann
• 严格上三角矩阵A A为上三角阵，且对角元全为0
• 下三角阵A 常用L表示
a11 0 L 0
A
a21
a22
L
0
L L L L
an1 an2 L
ann
aij 0,i j, i, j 1, 2,L , n
• 严格下三角阵A A为下三角阵，且对角元全为0
特殊矩阵及其元素表示_4
• 复矩阵 矩阵元素为复数，即
aij∈C， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
• 零矩阵0m×n 矩阵元素全为零，即
aij= 0， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
特殊矩阵及其元素表示_2
• 对角阵A： 亦记作diag(a11,a22, … ann)
矩阵定义
• 由排m成nm个行数、anij列(i 的 1矩,2阵,阵, m列;：j 1,2, , n)
A=
(aij
)mn
称为 m 行 n 列矩阵，简记为m×n矩阵，
aij称为 A 的第 i 行第 j 列元素。
特殊矩阵及其元素表示_1
• 实矩阵 矩阵的元素全为实数，即
aij∈R， i = 1,2,…, m; j = 1, 2,…, n
11
11 12 12
13 13
a
21
a22
a
23
b21
b22
b33
a21
b21
a22 b22
a23 b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33 a31 b31 a32 b32 a33 b33
矩阵的加减法1_定义
• 两同为m×n的矩阵相加(减)后得一m×n 矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和(差)
j
Aek
)ei
el
a jk Eil
矩阵转置
a11 a12 L a1n
a11 a 21 L an1
a
21
a 22
K
a
2
n
转置
a
12
a 22
L
an
2
L L L L
an1 an2 K ann
L L L L
a1n a 2n L ann
如 02×3≠01×6 ≠03×2
110
特别提示 行列式
1
01
0 0
1
0 1
建立了 n 阶方阵 1 1 0 1 1 0 1
的全体到某数域 的一个对应，即 但 其结果为数值。
1 1 0
1
1
0 1
1 0
0 1
0 1
1 0
0
1
例1_2
• 续1 设该化工厂第一、二季度各厂的生产情况 分别用矩阵A、B表示：
第二章 矩阵 Matrix
目的要求
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相等概念； • 熟练掌握矩阵的运算及其运算规则，尤其
是乘法运算的不可交换性、不可消去性； • 注意对照数、行列式与矩阵的区别。
例1_1
• 例1 某化工厂所属的两个工厂都生产三种产品 B况1，如B下2，表B3：。在某年第一季度，各厂的生产情
0
L
L L
0 L
a2i L
0 L
L L
0
L
0
L
0 ani
0L
0
j列
L
L
L
0 0 L
Eij
A
a
j1
aj2
L
0
0L
L L L
0
0L
L
0
a
jn
i
行
0
L
0
Eij AEkl a jk Eil
AEij
Aei
e
j
Eij
A
ei
e
j
A
Eij AEkl
ei
e
j
Aek
el
ei
(e
j
Aek
)el
(e
1
0 O
j列
i行 0
1 k i且l j ekl 0 其他
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同时满足如 下两个条件
✓ m = s, n = t
✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵。
• 例2 右图示明了d 国三个城市，e 国三个 城市，f 国两个城市相互间之道路。