八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案(含答案)

学科：数学
教学内容：正方形
【学习目标】
1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．
2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．
3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．
【主体知识归纳】
1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
3．正方形的判定
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
【基础知识精讲】
1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭
⎬⎫)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
2．正方形的性质可归纳如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．
【例题精讲】
［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．
求证：矩形ABCD 是正方形．
图4—50
剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．
证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．
∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF
∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．
∵DF＝CF，∴GF＝CF．
∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，
∴Rt△GFE≌Rt△CFE．
∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．
又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．
∴矩形ABCD是正方形．
说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．
［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．
图4—51
对上述命题的证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．
∴∠3＋∠2＝90°，
∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．
∴∠1＝∠2，
∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF
问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，
请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图4—52
剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．
解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，
∴∠OFA＋∠FAE＝90°
又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，
∴∠OEB＝∠OFA，
∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．
［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．
图4—53
剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．
答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．
【同步达纲练习】
1．选择题
（1）下列命题中，假命题的个数是（）
①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）
A．对角线互相垂直平分B．对角线相等
C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角
（3）正方形的对角线与边长之比为（）
A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1
（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，
③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）
A．17 B．16 C．15 D．9
（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）
图4—54
A．7 B．5 C．4 D．3
（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）
A．
21
3+
B．
21
3-
C．3 D．2
（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）
图4—55
A．45°B．55°C．65°D．75°
2．填空题
（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．
（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．
（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．
（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．
3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．
图4—56
（1）求证：△BCE ≌△DCF ；
（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．
4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝2
1BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．
图4—57
5．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．
（1）求证：EM ＝FM ；
（2）若使AM ＝2
1EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？
图4—58
6．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．
7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．
图4—59
求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．
【思路拓展题】
你会设计吗
今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）
图4—60
参考答案
【同步达纲练习】
1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B
2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.5
3．（1）略（2）15°
4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

．
5．提示：（1）过点E作EG∥AF交AM的延长线于G，连结FG，证△ABC≌△EAG，得EG ＝AC，从而EG AF，可得AEGF为平行四边形，结论得证；（2）∠BAC＝90°．6．提示：证△DFM≌△MBN．
7．提示：证△ACF≌△DCB。

若点C在线段AB外，上述结论仍然成立，证法仿照着前一种情况。

【思路拓展题】
你会设计吗？
提示：实质是对角以正方形中点为中心旋转．。