北京四中数学必修一【巩固练习】对数函数及其性质(基础)
新教材高中数学第4章对数运算与对数函数2 1对数的运算性质巩固练习含解析北师大版必修第一册
2.1对数的运算性质课后训练·巩固提升1.log242+log243+log244等于()A.1B.2C.24D.12242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.2.化简12log612-2log6√2的结果为()A.6√2B.12√2C.log6√3D.12=log6√12-log62=log6√122=log6√3.故选C.3.方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根的积x1x2等于()A.lg 2+lg 3B.lg 2lg 3C.16D.-6lg x1+lg x2=-(lg2+lg3),∴lg(x1x2)=-lg6=lg6-1=lg16,∴x1x2=16.故选C.4.21+12log25的值等于()A.2+√5B.2√5C.2+√52D.1+√521+12log25=2×212log25=2×2log2√5=2√5,选B.5.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为()A.a-2B.5a-2+a)2 D.3a-a2-1log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.6.已知a 23=49(a>0),则lo g23a=.a 23=49,∴a2=64729,∴a=827=(23)3,∴lo g23a=lo g23(23)3=3.7.计算(lg 14-lg25)÷100-12= .14-lg25)÷100-12=(lg 1100)÷10-1=-2×10=-20.208.lg 0.01+log 216的值是 ..01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.(lg x )2+lg x 5-6=0.(lg x )2+5lg x-6=0,即(lg x+6)(lg x-1)=0,所以lg x=-6或lg x=1,解得x=10-6或x=10.经检验x=10-6和x=10都是原方程的解,所以原方程的解为x=10-6或x=10.1.计算log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72的值为( ) A.-14B.4C.-154D.154=log 3√274-log 33+lg52+lg22+2=14log 333-1+2lg5+2lg2+2=34-1+2+2=154.2.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( ) A.124 B.112 C.18 D.382+log 23<2+log 24=4,3+log 23>3+log 22=4,故f (2+log 23)=f (2+log 23+1)=f (3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·12log 23=18×13=124.3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值为( ) A.2B.12C.4D.14a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a lg b=22-4×12=2.4.若lg 2=a ,lg 3=b ,则用a ,b 表示lg √45= .√45=12lg45=12lg(5×9)=12lg5+12lg9=12(1-lg2)+lg3=-12lg2+lg3+12=-12a+b+12. -12a+b+125.已知2x =9,log 283=y ,则x+2y 的值为 .2x =9,得log 29=x ,所以x+2y=log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6.6.求下列各式的值:(1)log 535+2log 5√2-log 515-log 514; (2)〖(1-log 63)2+log 62·log 618〗÷log 64;(3)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2√3)2+lg 0.06+lg 16.原式=log 535+log 52-log 515-log 514=log 535×215×14=log 535014=log 525=2. (2)原式=[(log 663)2+log 62·log 6362]÷log 64=〖(log 62)2+log 62(log 636-log 62)〗÷log 64=〖(log 62)2+2log 62-(log 62)2〗÷log 64=2log 62÷log 64=log 64÷log 64=1.(3)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg 6100-lg6=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg6-2-lg6=3·lg5·lg2+3lg5+3·(lg2)2-2=3lg2(lg2+lg5)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1. f (x )=x 2+(lg a+2)x+lg b ,f (-1)=-2,方程f (x )=2x 至多有一个实根,求实数a ,b 的值.f (-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg b a =-1=lg 110,所以b a =110,即a=10b.又因为方程f (x )=2x 至多有一个实根,即方程x 2+(lg a )x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a )2-4lg b ≤0,即〖lg(10b )〗2-4lg b ≤0,所以(1-lg b )2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100. 故实数a ,b 的值分别为100,10.a>1,若对于任意的x ∈〖a ,2a 〗,都有y ∈〖a ,a 2〗满足方程log a x+log a y=3,求a 的取值范围.log a x+log a y=3,∴log a (xy )=3.∴xy=a 3.∴y=a 3x . ∵函数y=a 3x (a>1)在(0,+∞)上是减函数,又当x=a 时,y=a 2,当x=2a 时,y=a 32a =a 22,∴[a 22,a 2]⊆〖a ,a 2〗.∴a 22≥a.又a>1,∴a ≥2.∴a的取值范围为〖2,+∞).。
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.3.1对数函数的概念2(带答案)
3．1 对数函数的概念3．2 对数函数y ＝log 2x 的图象和性质必备知识基础练知识点一 对数函数的概念1．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(2x ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点二 反函数的概念2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x的反函数，则f (12 )的值为( )A ．－log 23B ．－log 32C ．19D ．33．若点P (4，2)在函数f (x )＝log a x 的图象上，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14 在f (x )的反函数图象上，则m ＝________．知识点三 对数函数y ＝log 2x 的图象与性质4．下列图象是函数y ＝|log 2x |的大致图象的是( )5．设a ＝log 12 13 ，b ＝log 12 23 ，c ＝log 243 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a6．已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x ). (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明； (3)求f (22)的值．关键能力综合练1．若对数函数的图象过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12x D ．y ＝log 2x2．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f (18 )＝( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 383．设函数f (x )＝log 2x ，若f (a ＋1)<2，则a 的取值范围为( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，3) C ．(－∞，1) D ．(－1，1)4．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 5．函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )6．(探究题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（－x ），x <0log 12x ，x >0 ，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)7．比较两个值的大小：log 132________log 152(填“>”“<”或“＝”).8．(易错题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0， 直线y ＝a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．9．已知f (x )为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x .(1)当x ∈(－∞，0)时，求函数f (x )的解析式；(2)在给出的坐标系中画出函数f (x )的图象，写出函数f (x )的单调区间，并指出单调性．核心素养升级练1．(多选题)给出下列三个等式：①f(xy)＝f(x)＋f(y)，②f(x＋y)＝f(x)f(y)，③f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，下列函数中至少满足一个等式的是( )A．f(x)＝3x B．f(x)＝log2xC．f(x)＝x2 D．f(x)＝kx(k≠0)2．(学科素养—直观想象)根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题．(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．3．2 对数函数y＝log2x的图象和性质必备知识基础练1．答案：B解析：由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤的真数为(x＋2)，底数为x，∴⑤也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数；由于⑦中真数为2x，∴⑦不是对数函数，只有③④符合对数函数的定义．2．答案：B解析：由题意知f (x )＝log 3x ，则f (12 )＝log 312 ＝－log 32.故选B.3．答案：－2解析：因为点P (4，2)在函数f (x )＝log a x 的图象上， 所以2＝log a 4，计算得a 2＝4， 又a >0且a ≠1，所以a ＝2， 所以f (x )＝log 2x ，所以f (x )的反函数为y ＝2x ，又因为点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14 在y ＝2x 图象上，所以14 ＝2m，得m ＝－2.4．答案：A解析：y ＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x ，0<x ≤1log 2x ，x >1 ，所以由对数函数的图象，可知A 正确．5．答案：B解析：a ＝log 12 13 ＝log 23，b ＝log 12 23 ＝log 232 ，c ＝log 243 ，∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)为增函数，且3>32 >43 ，∴log 23>log 232 >log 243，即a >b >c .故选B.6．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0， 得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)因为函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，又f (－x )＝log 2[1＋(－x )]＋log 2[1－(－x )]＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )为偶函数． (3)f (22 )＝log 2(1＋22 )＋log 2(1－22 )＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋22）（1－22） ＝log 212 ＝－1.关键能力综合练1．答案：D解析：由于对数函数的图象过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.2．答案：B解析：因为函数f (x )为对数函数，所以a 2＋a －5＝1，解得a ＝2或－3，因为对数函数的底数大于0，所以a ＝2，即f (x )＝log 2x ，则f (18)＝－3.3．答案：A解析：∵函数f (x )＝log 2x 在定义域内单调递增，且f (4)＝log 24＝2，∴不等式f (a ＋1)<2可化为f (a ＋1)<f (4)，即0<a ＋1<4，解得－1<a <3，故选A.4．答案：A解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞). 5．答案：D解析：因为f (x )＝1＋log 2x 的图象过点(1，1)，而g (x )＝21＋x的图象过点(－1，1)，结合图象，知D 符合要求．6．答案：C解析：当m >0时，－m <0，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒log 21m <log 2m ⇒1m<m ，可得m >1；当m <0时，－m >0，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12 (－m )⇒log 2(－m )<log 2(－1m )⇒－m <－1m ，可得－1<m <0.故实数m 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).7．答案：<解析：∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且15 <13 <1，∴log 215 <log 213 <0，∴1log 215 >1log 213.又log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，∴log 132<log 152.8．答案：0＜a ≤1解析：函数f (x )的图象如图所示，要使直线y ＝a 与f (x )的图象有两个不同的交点，则0＜a ≤1.9．解析：(1)设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 所以f (－x )＝log 2(－x )，又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，得f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)).(2)函数图象如图．f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).核心素养升级练1．答案：ABD解析：对A：f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)·f(y)，符合②；对B：f(xy)＝log2(xy)＝log2x＋log2y＝f(x)＋f(y)，符合①；对C：不满足任何一个等式；对D：f(x＋y)＝k(x＋y)＝kx＋ky＝f(x)＋f(y)，符合③.故选ABD.2．解析：函数y＝log2x的图象如图．(1)∵y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.∴a的取值范围为(2，＋∞).(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，∴log23≤log2(2x－1)≤log227.∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.。
北京四中高中数学 指数函数、对数函数、幂函数综合基础知识讲解 新人教A版必修1
指数函数、对数函数、幂函数综合【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【知识框图】【要点梳理】要点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n a n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为n a 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当n nn a a =；当n ,0,,0;nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)nnaa =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =要点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2.指数函数函数性质：要点三、对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且要点四、对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：要点五、反函数1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 要点六、幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.化简与计算下列各式（1）10220.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--． 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】（1）1615；（2）100；(3)2a ． 【解析】 (1)原式=1122141149100⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1+11610-=1615； (2)原式=122322516437390.12748-⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=5937100331648++-+=100(3) 原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；举一反三：【变式一】化简下列各式：(1)133241116()()8()100481----+⋅；.【答案】（1）-27；（2【解析】(1)1313332424111681()()8()10048()10048116----+⋅=-+⨯344310648()106427272⎛⎫=-+⨯=-+=-⎪⎝⎭；133⎫=1)1)=-=-=例2．已知：4x=，求：111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++的值.【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.【答案】2【解析】111244311422111x x xxx x x-+⋅⋅+++11441411122411111x xxxxx x⎛⎫+⎪-⎝⎭=⋅⋅+⎛⎫++⎪⎝⎭1111442211122211111111x x xx x xx x x--=⋅⋅+=+=-+=++∴当4x=时，111112442231142211421x x xx xx x x-+⋅⋅+===++.【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．11112222a b a b a b⎛⎫⎛⎫+-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2111122222a b a a b b⎛⎫±=±+⎪⎝⎭;112112333333a b a a b b a b⎛⎫⎛⎫±+=±⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++． 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14．【解析】(1)原式=122221log 12log log 22-⎫===-； (2)原式=()()22lg 2lg5lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5+-++ =()2lg10lg 5lg 23lg 2lg 53lg 2lg 5⎡⎤⋅+-+⎣⎦=1-3lg 2lg5+3lg 2lg5=1(3)原式=()22lg52lg2lg51lg2lg 2++++=()2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)++++ =2+lg5lg 2+=3；【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧. 【变式1】552log 10log 0.25+=（ ）A.0B.1C.2D.4 【答案】C【解析】552log 10log 0.25+=25555log 10log 0.25log (1000.25)log 252+=⨯==．【变式2】(1)2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；(2)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+． 【答案】(1)2；(2)54． 【解析】(1) 原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；(2) 原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=．类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质 例4.已知函数3log ,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩ 则1(())9f f =( )A.4B.14C.-4D.-14【答案】B【解析】1)12(log )2(23=-=f ，0((2))22f f e ==.【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值. 举一反三：【变式一】已知函数221,1,(),1,xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =，则实数a 等于（ ）．A.12 B. 45C. 2D. 9 【答案】C ． 【解析】1,()21,(0)2x x f x f <=+∴=，由((0))4f f a=，则有(2)4f a =．21,(),442x f x x ax a a ≥=+∴=+，2a ∴=，选C ．例5.函数1()f x x=的定义域( ) ． A.(][),42,-∞-+∞ B.()()4,00,1- C.[)(]4,00,1- D. [)()4,00,1-【答案】D【解析】220,320,340,0.x x x x x ≠⎧⎪-+≥⎪⎨--+≥>【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零． 【高清课堂：幂指对综合377495 例4】 例1-xA ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出2(0)xy x =≥的图象，然后作出这个图象关于y 轴对称的图象，得到||2x y =的图象，再把||2x y =的图象右移一个单位，得到12-=x y 的图象，故选B【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】例7. 函数)86(log 231+-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
北京四中高中数学 对数及对数运算基础巩固练习 新人教
北京四中高中数学 对数及对数运算基础巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1.下列说法中错误的是( )A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e 为底的对数叫做自然对数2.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx ，则x=10；④若e=lnx ，则x=e 2，其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④3.下列等式成立的有( )①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④⑤4．对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A.(),5-∞B. ()2,5C.()()2,33,5UD.()2,+∞5．若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =；③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =。
A.①③B.②④C. ②D. ①②③④6.已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )A.2a -B.52a -C.23(1)a a -+D. 23a a -7.已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1a a a x m n y x +==-则等于( )A.m n +B.m n -C.()12m n + D.()12m n -8．若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A. (0,1)y ∈B. (1,2)y ∈C. (2,3)y ∈D. (3,4)y ∈9.3的 次幂等于8.10.若312log 19x-=，则x= 。
北京市第四中学高中数学1巩固练习：第二章 指数函数、对数函数、幂函数综合(基础)
【巩固练习】1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( ) A ．2xy =B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且D ．x aa y log=2．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称（ )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x x 则满足()2f x ≤的x 的取值范围是(）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞ 4．函数()log1af x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( ）A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值5.为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度;C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；D ．向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度; 6．函数)65(log 2)21(+-=-x x y x 的定义域为（ ）；A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7．当0〈x ≤12时，4x <log a x ,则a 的取值范围是A ．(0，错误!)B ．（错误!，1)C ．(1，错误!)D ．（错误!，2)8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ）A ． 211(0)x y e x +=->B ．211(0)x y ex -=+>C ．211()x y e x R +=-∈ D ．211()x y ex R -=+∈9．不等式31122x x-+≤的解集为 .10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、 (0)f 、(2)f 的大小顺序是 ．11．函数1218x y -=的定义域是 ;值域是 . 12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.14。
03第三节 对数函数-课时1 对数函数的概念 对数函数y=log_2x的图象和性质高中必修一北师大版
当 < 0时,− > 0,
< − ⇒ log 2 − < log 1 − ⇒ log 2 − <
2
<
1
− ,可得−1
1
log 2 −
< < 0.故实数的取值范围是 −1,0 ∪ 1, +∞ .
⇒−
方法二 当 < 0时,− > 0,则 − = log 1 − = −log 2 − = − ；
2
1
log 1 ,故A错误；
23
=
5
1
log 2 ,log 1
2
23
1
log 1 ,
23
= log 2 3, = log 2 在 0, +∞ 上是增函数,
< log 2 3,故C错误；因为 = log 2 在 0, +∞ 上是增函数,且
++1=
1 2
+
2
3
4
+ ≥
3
,所以log 2
4
2
2
围是( C )
A. −1,0 ∪ 0,1
B. −∞, −1 ∪ 1, +∞
C. −1,0 ∪ 1, +∞
D. −∞, −1 ∪ 0,1
【解析】 方法一 当 > 0时,− < 0,
< − ⇒ log 1 < log 2
2
1
⇒log 2
< log 2 ⇒
1
< ,可得 > 1 ；
2
1 = 21 − log 1 2 = 2 − −1 = 3,最小值为
对数函数及其性质经典练习题之基础训练
对数函数及其性质1.函数<x)=lg(χ-l)+∙√H的定义域为( )A.(1,4]B.(1,4)C.[1,4]D.[1,4)2.函数y=亩log2∣x∣的大致图象是（）3.若log∙2<1.则实数。
的取值范围是()A.(1,2)B.(0,1)U(2,+∞)C.(0,DU(1.2)D.(0,1)4.设α=log32,b=Iog6-,C=IogS6,贝∣J( )2A.a<c<bB.h<c<a C∙a<b<c D.b<a<c5.已知0>0且αWl,则函数y=0t与y=log rt(一χ)的图象可能是()6.函数y=log2x在[1,2]上的值域是（）A.RB.[0,+∞）C.（一8,1]D.[0,1]7.函数卜=[10号（；1—1）的定义域是.8.若函数yω=logd（0<4<l）在区间[α,2α]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为14A.O<α<b<1B.O<b<a<1C.a>b>∖D.b>a>∖15己知函数Ar)=21ogU的值域为则函数Ar)的定义域是()2A.咨,√2]B.[-1,1]C.[1,2]D.(-8,^]U[√2,+∞)5.若函数∕tr)="+log”(x+l)在[0,1]上的最大值和最小值之和为m则。
的值为()A.；B.∣C.2D.46.函数y=log√x+2)+3(α>0且α≠l)的图象过定点.7.函数丁=1。
8乂-%2+以+12)的单调递减区间是.38.将函数y=Iog?X的图象向左平移3个单位，得到图象C一再将C1向上平移2个单位得到图象C2,则C2的解析式为.9.若函数y=l0g2(左，+4人工+3)的定义域为比则4的取值范围是._ 1-X10.已知函^5f(x)=Iog a -------- (a>0且a≠1)1+X⑴求“W的定义域；i)判断f(χ的奇偶性并证明⑶当a>l时，求传(x)>0的X的取值范围。
北京四中高中数学 对数及对数运算基础知识讲解 新人教A版必修1
对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R. 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. 3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a (M ±N)=log a M ±log a N ， log a (M·N)=log a M·log a N ， log aNM N M a a log log =. 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(loglog R n M M n aa n∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(， 即n aM b nlog=，即:n a a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b=M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】 类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求． （2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ． 【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】运用对数的定义进行互化.(1)4216=；(2)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)3x =；(4)5log 1253=；(5)21log 12=-；(6)13log 92=-.【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：(1)161log 2x =-(2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以.高清课程：对数及对数运算 例1【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．【解析】222log 4log 22;== 322log 8log 23;==522log 32log 25==．类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+【答案】35 【解析】771log 5log 57777535+=⋅=⨯=.【总结升华】对数恒等式log a Na N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦.类型四、积、商、幂的对数 高清课程：对数及对数运算例3例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z yz 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2aa a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a=211log ()log 2log log log 23a aa a a x y x y z -=+-．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1) 1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 解法二：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181********18181818log 45log (95)log 9log 5log 45.18log 362log 18log 92log 9a ba ⨯++====-- 解法三：18log 9,185b a ==，lg9lg18,lg5lg18a b ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---．解法四：18log 9a =，189.a ∴=又185,4559181818bbaa b+=∴=⨯==．令36log 45x =，则364518x a b+==，即218181836()18,()18,339xx a bx a b ++==∴= 21818log .9x a b ∴=+21818log 18log 92a b a bx a++∴==--．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.【答案】（1）54；（2）109；（3）325． 【解析】(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=；(2)32log 9log 278⋅9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅=； (3)法一：31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====法二：31log 529-99112log 252log 25939925-===. 类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (2) 7lg142lglg 7lg183-+- (3))36log 43log 32(log log 42122++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13 【解析】(1)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---(2) 原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--= (3)原式=38log )6log 43log 5(log )6log 43log5(log 2222222221==+-=++-(4)原式135log 2log 3313)2log 3)(5log 315log 5log 3(255222=⋅=++= 举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++． 【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；（2）原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 5)⎡⎤+-+⎣⎦+3lg 2lg5=()22lg 22lg 2lg5(lg5)++=()2lg 2lg51+=． 【变式2】求值：107lg2lg )21(7⋅ 【答案】2【解析】107lg 2lg )21(7⋅77log 2log 10lg 7117()2-=⋅7777111log 2log 10log 10log 101111(7)()()(2)2 2.222-=⋅⋅=⋅⋅= 另解：设 107lg 2lg )21(7⋅=m (m>0).∴ m lg )21lg(7lg 107lg 2lg =+， ∴ m lg 21lg 107lg7lg 2lg =⋅+⋅，∴ m lg )2lg )(17(lg 7lg 2lg =--+⋅， ∴ lg2=lgm ， ∴ 2=m ，即2)21(7107lg2lg =⋅.。
北京四中高中数学 对数函数及其性质巩固练习B 新人教A版必修1
北京四中高中数学 对数函数及其性质巩固练习B 新人教A 版必修1【巩固练习】1．已知121log <a，那么a 的取值范围是( ) A.210<<a B.21>a C.121<<a D.210<<a 或a>1 2．函数y =的定义域是（ ） A.()4,1-- B.()4,1- C.()1,1- D.(]1,1-3.为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象关于( ) A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称5.函数212log (617)y x x =-+的值域是( )A.RB.[)8,+∞C.(,3]-∞-D.[)3,+∞6．下列区间中，函数()|ln(2)|f x x =-在其上为增函数的是A.(],1-∞B.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. [)1,2 7．设方程2x+x-3=0的根为α，方程log 2x+x-3=0的根为β，则αβ+的值是( )A.1B.2C.3D.6 8．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()f x =2log (1)x +，则()(2008)2009f f -+的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.29．函数42,0,()log ,0.x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若01(),2f x =则0x = ． 10．已知集合{}|23A x x =≤≤，定义在集合A 上的函数log (0,1)a y x a a =>≠的最大值与最小值的和是2，则a = ．11．函数1,0,,0.x x x y e x +<⎧=⎨≥⎩的反函数是 ． 12．已知函数y=log a (kx 2+4kx+3)，若函数的定义域为R ，则k 的取值范围是 ； 若函数的值域为R ，则k 的取值范围是 .13.已知函数2328()log 1mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值. 14．已知函数1()log 1amx f x x -=-（0,1a a >≠）的图象关于原点对称． （1）求m 的值；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性．15．一片森林的面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是50年．为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14．已知到今年为止，森林剩余面积为.2a （1）问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？（2）问今后最多还能砍伐多少年？【答案与解析】1. 【答案】D【解析】当a>1时，由a a alog 21log <知21>a ，故a>1；当0<a<1时，由a a a log 21log <知0<a<21， 故210<<a .综上知：a 的取值范围是210<<a 或a>1. 2. 【答案】C【解析】要使原题有意义，必须满足：210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<． 3. 【答案】C 【解析】函数3lg 10x y +==lg(3)1x +-，由“左加右减”知，选C ． 4. 【答案】C【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《对数函数的图像和性质》基础强化训练及解析
北师大版高中数学必修一双基限时练(二十五) 对数函数的图像和性质(二)基础强化1．若函数y＝log(a－3)x在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－3)B. (0,1)∪(1,3)C. (3,4)D. (4，＋∞)解析由0<a－3<1，得3<a<4.答案 C2．已知log12b<log12a<log12c，则( )A. 2b>2a>2cB. 2a<2b<2cC. 2c<2b<2aD. 2c>2a>2b解析由对数函数的单调性可知b>a>c，由指数函数的性质知2b>2a>2c，故选A.答案 A3．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )A. (2，＋∞)B. (－∞，2)C. [2，＋∞)D. [3，＋∞)解析∵x≥1，∴log2x≥0，∴2＋log2x≥2，故选C.答案 C4．已知f(x)＝|lgx|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，f(2)的大小关系为( )A ．f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f(2)C ．f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f(2)解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝|lg 14|＝|－lg4|＝lg4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＝lg3，f(2)＝|lg2|＝lg2，∵lg4>lg3>lg2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13>f(2)． 答案 B5．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<b<a解析 ∵c ＝1.10.9>1，b ＝log 1.10.9<0， 又0<log 0.70.8<log 0.70.7＝1， ∴b<a<c. 答案 C6．已知log a (a 2＋1)<log a (2a)<0，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D. (1，＋∞)解析 原不等式可化为log a (a 2＋1)<log a (2a)<log a 1， 当a>1时，显然log a 2a<log a 1不成立；当0<a<1时，由函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1>2a ，2a>1，得a>12，且a ≠1.又由0<a<1，∴12<a<1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.答案 C7．函数y ＝log 2(x ＋k)的图像恒过(0,0)点，则函数y ＝log 12(x －k)的图像恒过点________．解析 由题意得，log 2k ＝0，∴k ＝1，∴y ＝log 12(x －1)的图像恒过(2,0)点．答案 (2,0)能 力 提 升8．已知0<a<1,0<b<1，若alog b (x －3)<1，则x 的取值范围是________．解析∵0<a<1，∴由alog b(x－3)<1知log b(x－3)>0，又0<b<1，∴0<x－3<1，得3<x<4.答案(3,4)9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③f(x1)－f(x2)x1－x2>0；④f(x)的值域为R.当f(x)＝lnx时，上述结论中正确结论的序号是________．解析∵lnx1＋lnx2＝ln(x1x2)，∴①不正确，②正确；又y＝lnx为单调递增函数，∴③正确；结合y＝lnx的图像可知④正确．答案②③④10．已知f(x)＝log12(x2－ax＋2)(1)写出当a＝3时，f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解(1)当a＝3时，f(x)＝log12(x2－3x＋2)＝log12(x－1)(x－2)．函数f(x)在(－∞，1)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(2)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋2≥0，得a ≤3.11．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，且a ≠1)的定义域和值域都为[0,1]．(1)求a 的值；(2)试比较log a 5与log 5a 的大小．解析 (1)当a>1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (1)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2；当0<a<1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f (1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解．综上可知a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，则log a 5＝log 25>2，log 5a ＝log 52<1，所以log a 5>log 5a. 12．已知函数f(x)＝log a (3－ax)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围． (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)当x ∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 必须3－2a>0，a<32.又a 是底数，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32.(2)令t ＝3－ax ，则t 在[1,2]上递减，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须a>1，而t 在x ∈[1,2]上必须恒大于0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，3－2a>0.∴1<a<32.∵f(1)＝log a (3－a)＝1， ∴3－a ＝a. ∴a ＝32.∴不存在这样的a ，使得f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为1.考 题 速 递13．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.答案 D。
新教材高中数学第4章对数运算与对数函数3 3对数函数y=logax的图象和性质巩固练习含解析北师大版
3.3 对数函数y=log a x 的图象和性质课后训练·巩固提升a A.y=3x+2 B.y=4-x 2 x D.y=log 2xx+1=1,得x=0.又f (0)=log a 1+1=1. (0,1),将P (0,1)代入各选项,可知只有选项C 符合,故选C .2.函数y=√log 12(2x -1)的定义域是( ) +∞) B.(0,+∞) C.〖0,1〗 D.(0,1〗,只需lo g 12(2x -1)≥0=lo g 121.x -1≤1,解得0<x ≤1.故所求函数的定义域为(0,1〗.3.若log a 12>1(a>0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是( )A.(12,1)B.(-∞,12)C.(0,1)∪(12,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)log a 12>1得log a 12>log a a ,则有{>1,a <12或{0<a <1,a >12,解得12<a<1.a<b ,函数f (x )=(x-a )·(x-b )的图象如图所示,则函数g (x )=log b (x+a )的图象可能为( )解析:由题图可知0<a<1<b ,故函数g (x )为增函数,排除A,D .又0<a<1,结合选项可知选B . log 54,b=(log 53)2,c=log 45,则( )A.b>c>aB.a>c>bD.c>a>blog 45>log 44=1,1=log 55>log 54>log 53>(log 53)2,所以c>a>b.f (x )=a x (x ∈R )log a (x-1)>0的解集为 .f (-2)=4,所以a -2=4,故a=12,a (x-1)>0,即lo g 12(x-1)>0.所以{x -1>0,x -1<1,得1<x<2.log a (x-1)>0的解集为(1,2).f (x )=log a (2-ax )(a>0,且a ≠1),若存在实数a ,使函数f (x )在区间〖0,1〗上是关于x 的减函数,a 的取值范围是 .u=2-ax ,∵a>0,且a ≠1,∴u=2-ax 在区间〖0,1〗上是关于x 的减函数.=log a (2-ax )在区间〖0,1〗上是关于x 的减函数,∴函数y=log a u 是关于u 的增函数,∴a>1. ∵x ∈〖0,1〗时,u=2-ax 恒为正数,∴2-a>0.∴{a >1,>0,即1<a<2,故实数a 的取值范围为(1,2).f (x )=log a (1-x )+log a (x+3),其中0<a<1.(1)求函数f (x )的定义域.f (x )的最小值为-4,求a 的值.要使函数有意义,只需{1-x >0,x +3>0,-3<x<1,所以函数f (x )的定义域为(-3,1).(2)函数f (x )可化为f (x )=log a 〖(1-x )(x+3)〗=log a (-x 2-2x+3)=log a 〖-(x+1)2+4〗,因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4, 因为0<a<1,所以log a 〖-(x+1)2+4〗≥log a 4,即f (x )min =log a 4,故log a 4=-4,得a -4=4,所以a=4-14=√22. 9.已知函数f (x )=log a (x 2-2),且f (2)=1.(1)求a 的值; (2)求f (3√2)的值;f (x )<f (x+2).因为f (2)=1,所以log a (22-2)=1,a 2=1,解得a=2.(2)由(1)得函数f (x )=log 2(x 2-2),则f (3√2)=log 2〖(3√2)2-2〗=log 216=4.(3)不等式f (x )<f (x+2),即log 2(x 2-2)<log 2〖(x+2)2-2〗,即log 2(x 2-2)<log 2(x 2+4x+2).因为函数y=log 2x 在区间(0,+∞)上为增函数,所以{x 2-2>0,x 2+4x +2>0,x 2-2<x 2+4x +2,解得x>√2,所以原不等式的解集为(√2,+∞).10.已知函数f (x )=ln 1-mx x -1是奇函数. (1)求m 的值. f (x )在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.f (-x )=ln 1+mx -x -1=ln -1-mx 1+x ,-f (x )=-ln 1-mxx -1=ln x -11-mx , 因为f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即ln -1-mx 1+x =ln -1+x 1-mx ,所以-1-mx 1+x =-1+x 1-mx ,解得m=±1.当m=1时,1-mxx -1=-1,函数无意义,所以m=-1.(2)f (x )在区间(1,+∞)上是减函数,证明如下:由(1)知f (x )=lnx+1x -1=ln (1+2x -1). 任取x 1,x 2且x 2>x 1>1, 则(1+2x 1-1)−(1+2x 2-1)=2x 1-1−2x 2-1=2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1). 由x 2>x 1>1知,x 2-x 1>0,x 1-1>0,x 2-1>0, 所以2(x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1)>0,即(1+2x 1-1)−(1+2x 2-1)>0, 所以1+2x 1-1>1+2x 2-1>0, 所以ln (1+2x 1-1)>ln (1+2x 2-1), 即f (x 1)>f (x 2).所以函数f (x )在区间(1,+∞)上为减函数.0.50.5A.(1,+∞) B.(-∞,1) ∞) D.(-∞,0){2x >0,x -1>0,2x >x -1,解得x>1.(1,+∞).f (x )是函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的反函数,则函数y=f (x )+2的图象恒过点( ) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,3)y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且f (x )是函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的反函数,所以x )的图象过定点(0,1),从而函数y=f (x )+2的图象过点(0,3).f (x )=log 2(3x +3-x )是( )A.奇函数B.偶函数 D.非奇非偶函数3x +3-x >0恒成立,所以f (x )的定义域为R .又因为f (-x )=log 2(3-x +3x )=f (x ),所以f (x )为偶函数. lo g 13b<lo g 13a<lo g 13c ,则( )A.3b >3a >3cB.3a >3b >3cc b >3a D.3c >3a >3bb>a>c ,因为y=3x 在定义域内是增函数,所以3b >3a >3c .f (x )=log (a 2-1)x 在区间(0,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是 .a 2-1>1,解得a>√2,或a<-√2. √2,或a<-√26.函数f (x )={ax +b ,x ≤0,log c (x +19),x >0的图象如图所示,则a+b+c= .,x ≤0时,函数f (x )的图象过点(-1,0),(0,2),则有{a +b =0,b =2,解得a=b=2.又由题图可知,函数y=log c (x +19)的图象过点(0,2), 则有log c 19=2,解得c=13, 所以a+b+c=2+2+13=133.x )=2+log 3x ,x ∈〖1,9〗,求y=〖f (x )〗2+f (x 2)的最大值,及y 取最大值时x 的值.f (x )=2+log 3x ,x ∈〖1,9〗,〖f (x )〗2+f (x 2)=(2+log 3x )2+(2+log 3x 2)=(log 3x )2+6log 3x+6=(log 3x+3)2-3.∵函数f (x )的定义域为〖1,9〗,∴要使函数y=〖f (x )〗2+f (x 2)有意义,必须满足{1≤x 2≤9,1≤x ≤9,解得1≤x ≤3. 令u=log 3x ,则0≤u ≤1.又∵函数y=(u+3)2-3在区间〖-3,+∞)上单调递增,∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13.故当x=3时,函数y=〖f (x )〗2+f (x 2)取得最大值13.8.我们知道对数函数f (x )=log a x ,对任意x ,y>0,都有f (xy )=f (x )+f (y )成立,若a>1,则当x>1时,f (x )>0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )对任意x ,y ∈(0,+∞),都有f (xy )=f (x )+f (y ),并且当且仅当x>1时,f (x )>0成立.(1)设x ,y ∈(0,+∞),求证:f (y x )=f (y )-f (x ); 2∈(0,+∞),若f (x 1)>f (x 2),比较x 1与x 2的大小.x ,y ∈(0,+∞),都有f (xy )=f (x )+f (y ),把x 用y x 代替,把y 用x 代替,可得f (y )=f (y x)+f (x ), 即f (y )=f (y )-f (x ).f (x )在x ∈(0,+∞)上的单调性,34∈(0,+∞),且x 3>x 4,则f (x 3)-f (x 4)=f (x3x 4). 又因为x 3,x 4∈(0,+∞), 且x 3>x 4,所以x 3x 4>1. 由题目已知条件当且仅当x>1时,f (x )>0成立,故f (x 3x 4)>0,则f (x 3)-f (x 4)=f (x3x 4)>0, 即f (x 3)>f (x 4).所以函数f (x )在x ∈(0,+∞)上单调递增.因此对x 1,x 2∈(0,+∞),若f (x 1)>f (x 2),则可以得到x 1>x 2.。
北京四中高中数学 函数及其表示方法基础巩固练习 新人
北京四中高中数学 函数及其表示方法基础巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．函数1y x x =-+的定义域是( )A ．{}|1x x ≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|10x x x ≤≥或D ．{}|01x x ≤≤ 2．设函数2()31f x x x =-+，则()()f a f a --等于（ ）A ．0B ．6a -C ．222a + D ．2262a a -+ 3．函数24xy x =-的值域是( ) A ．(-∞，12)∪(2，+∞) B ．(-∞，12)∪(12，+∞) C ．R D ．(-∞，2)∪(2，+∞)4．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有 ( )个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x x f x f a f x x >⎧=+=⎨+≤⎩若则实数a 的值等于（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．37．设函数221,1,()2, 1.x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则1()(2)f f 的值为（ ） A ．89 B ．2716- C ． 1516D ．18 8．汽车经过启运、加速行驶、匀速行使、减速行使之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程s 看做是时间t 的函数，其图象可能是（ ）9．设函数)().0(1),0(121)(aa f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 ．10．函数212y x =+的值域是_________． 11．如图，有一块边长为acm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是3ycm ，则y 关于x 的函数关系式为 ；此函数的定义域是 ． 12．已知函数()()x g x f ,分别由下表给出：则()[]1g f 的值 ；满足()[]()[]x f g x g f >的x 的值 .13．设函数22,1,(),122, 2.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，（1）求3(2),()2f f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值；（2）若()3f x =，求x 的值．14．作出下列函数的图象：（1）|21|y x =-；（2）2243(03)y x x x =--≤<.15．建一个容积为83m 、深为2m 的长方体无盖水池，如果池底造价是120元/2m ，池避的造价是80元/2m ，求水池的总造价y （元）与池底x （m ）之间的函数关系式. 【答案与解析】 1．【答案】D ．【解析】由题意1-x ≥0且x ≥0，解得01x ≤≤，故选D ． 2．【答案】B ．【解析】把a 和a -代入函数解析式相减求得． 3．【答案】B ．x 1 2 3 f(x)131x 1 2 3 g(x)321【解析】法一：由y=24x x -，∴x=421y y - ∴y ≠12， 应选B ．法二：2211110.242(2)2222x x y y x x x x -+===+≠∴≠----Q ，，4．【答案】A ．【解析】由映射的概念知，只有③正确． 5．【答案】A ．【解析】由函数的定义知选A ． 6．【答案】A ．【解析】该分段函数的二段各自的值域为(](),1,0-∞+∞，，()(1)2f a f =-=-Q ∴()12,3f a a a =+=-=-∴ 3a =-． 7．【答案】C【解析】 (2)4f =，11(2)4f =，故211115()()1(2)4416f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭． 8. 【答案】A. 9．【答案】(),1-∞- 【解析】当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a<=><-时. 10. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】221122,022x x +≥∴<≤+Q 11．【答案】2(2),|02a y x a x x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭【解析】设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时，max 99,1y a a =-==-. 12．【答案】1，213．【答案】（1）0，92（2【解析】（1）(2)220f -=-+= ；399922442f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）1,23,x x ≤-⎧⎨+=⎩或212,3,x x -<<⎧⎨=⎩或2,2 3.x x ≥⎧⎨=⎩解得x =14．【解析】15．【答案】1280480320,(0)y x x x=++> 【解析】设池底矩形宽x （m ），则池底矩形长为4x（m ）． 底面积为42m ，造价为1204480⨯=（元）．左、右两侧面造价为8022320x ⨯⨯=（元），前、后两侧面造价为412808022x x ⎛⎫⨯⨯⋅=⎪⎝⎭（元）．∴水池的总造价y 与池底宽x 之间的函数关系式为1280480320,(0)y x x x=++>．。
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《对数函数的性质和图像》基础强化训练及解析
北师大版高中数学必修一双基限时练(二十四) 对数函数y＝log2x的图像和性质对数函数的图像和性质(一)基础强化1．函数y＝log2x＋1的图像为( )答案 C2．在同一坐标系中，函数y＝2－x与函数y＝log2x的图像可能是( )解析 y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 为减函数，排除A 、B 、D.答案 C3．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点( )A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.答案 C4．函数y ＝log 12(4x －x 2)的值域是( )A. [－2，＋∞)B. RC. [0，＋∞)D. (0,4]解析 ∵4x －x 2＝－(x －2)2＋4≤4， ∴y ＝log 12(4x －x 2)≥log 124＝－2.答案 A5．设函数y ＝lg(x －1)＋lg(x －2)的定义域为M ，N ＝(3a －1，＋∞)，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A. a<1B. a ≤1C. a ≥1D. a>1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2>0，知x>2，故M ＝(2，＋∞)，又M ⊆N ， ∴3a －1≤2，即a ≤1. 答案 B6．如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)的图像，已知a 的值可取2，32，34，15，则相对应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.34，15，2，35B.15，34，32，2 C.32，2，15，34D.15，34，2，32解析 作直线y ＝1，便知0<C 1的底数<C 2的底数<1<C 3的底数<C 4的底数．答案 B7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈(－∞，1]，log 81x ，x ∈(1，＋∞).则满足f(x)＝14的x 的值为________．解析 由2－x＝14＝2－2，得x ＝2，又x ≤1故舍去．由log 81x ＝14，得x ＝3，又3∈(1，＋∞)，符合题意．答案 3能 力 提 升8．若f(x)的定义域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，3，则f(log 3x)的定义域为________．解析 由12≤log 3x ≤3，得3≤x ≤27.答案 [3，27]9．方程log a x ＝x －2(0<a<1)解的个数为________．解析 将问题转化为求函数y 1＝log a x 与y 2＝x －2的函数值相等时的x 的值的个数．作函数y 1＝log a x(0<a<1)和y 2＝x －2的图像如图所示，由两图像的交点可知，log a x ＝x －2(0<a<1)只有一个解．答案 110．说明下列函数的图像与对数函数y ＝log 2x 的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它们的单调区间：(1)y ＝log 2|x|； (2)y ＝|log 2x|.解析 (1)y ＝log 2x ――→保留y 轴右边的图像，并作关于y 轴对称的图像y ＝log 2|x|，图像如图所示．由图像知：单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． (2)y ＝log 2x ――→保留x 轴上方的图像将x 轴下方的图像翻折上去y ＝|log 2x|，图像如图所示．由图像知：单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． 11．已知函数f(x)＝log a 2x －1，(a>0，且a ≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)求使f(x)>0的x 的取值范围．解 (1)由题意得2x －1>0，得2x >1，x>0， ∴函数的定义域为(0，＋∞)． (2)由f(x)>0，得log a 2x －1>0， 当a>1时，2x －1>1得2x >2，x>1； 当0<a<1时，得0<2x －1<1，得0<x<1.∴当a>1时，不等式的解集为(1，＋∞)，当0<a<1时不等式的解集为(0,1)．12．(1)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b(a ＞b )，)求函数f(x)＝log 2(3x －2)*log 2x 的值域；(2)求函数y ＝log 34(x 2＋x ＋1)的值域．解 (1)由题意得 f(x)＝log 2(3x －2)*log 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，log 2(3x －2)，23<x<1.∵x ≥1时，log 2x ≥0，当23<x<1时，0<3x －2<1，∴log 2(3x －2)<0， ∴f(x)的值域为(－∞，0)∪[0，＋∞)＝R.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋34≥34，又y ＝log 34x 在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34，＋∞上单调递减，∴原函数的值域为(－∞，1]．考 题 速 递13．函数f(x)＝lg|x|x的图像大致是( )解析 ∵f(x)＝lg|x|x 为奇函数，且x>1时，f(x)＝lgxx >0，故选D.答案 D。
北京四中高中数学 对数函数及其性质提高知识讲解 新人教A版必修1
对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．要点二、对数函数的图象与性质a ＞00＜a ＜1图象性质定义域：（0，+∞） 值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x ＜1时，y ＜0， 当x ≥1时，y ≥0当0＜x ＜1时，y ＞0， 当x ≥1时，y ≤0要点诠释：关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)要点四、反函数 1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x fy -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1f-．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y fx -=的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．【典型例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例1. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=1)1(log 12133---x x (2) ln(2)x xy a k =-（0a >且1,a k R ≠∈）.【答案】（1）(1，23) (23，2)；（2）略 【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠->->-1)1(log 0)1(log 012121x x x ， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23) (23，2).（2）因为 20xxa k ->， 所以2xa k ⎛⎫> ⎪⎝⎭.①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时，(i)若2a >，则函数定义域为(2log a k ，+∞)；(ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2log a k )；(iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为∅.【变式2】函数(2)xy f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域. 【答案】[2，16].【答案】由12x -≤≤，可得()y f x =的定义域为[21，4]，再由21log 42x ≤≤得2(log )y f x =的定义域为[2，16].类型二、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
2024-2025年北师大版数学必修第一册4.3.3.1对数函数的图象和性质(带答案)
第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练知识点一 对数函数的定义域和值域 1．求下列函数的定义域： (1)y ＝1log 2（x －1）；(2)y ＝log 2(16－4x)； (3)y ＝log x －1(3－x )； (4)y ＝1log 0.5（4x －3）.2．(1)求函数y ＝log 13(－x 2＋4x －3)的值域；(2)求函数f (x )＝log 2(2x )·log 2x (12 ≤x ≤2)的最大值和最小值．知识点二 对数函数的图象及应用 3．函数y ＝lg (x ＋1)的图象大致是( )4．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数y ＝log 15x ，y ＝log 17x ，y ＝log 5x 的一个是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)5．已知函数y ＝log a (x ＋3)＋1(a >0且a ≠1)，则函数恒过定点( ) A ．(1，0) B ．(－2，0) C ．(0，1) D ．(－2，1) 知识点三 对数函数的单调性及应用6．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b7．函数f (x )＝log 13(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 8．已知f (x )＝log a 1＋x 1－x (a >0，且a ≠1).(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．关键能力综合练1．函数y＝3－x2－log2（x＋1）的定义域是( )A．(－1，3) B．(－1，3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)2．设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则( )A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b3．(易错题)函数y＝log a(x－1)＋log a(x＋1)(a>0且a≠1)的图象必过定点( ) A．(3，0) B．(±2，0)C．(2，0) D．(－2，0)4.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是( )5．函数f (x )＝log 2(x 2－4x ＋12)的值域为( )A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C ．(－∞，－3) D ．(－∞，－3] 6．函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为( ) A ．[1，2)B ．(0，1]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 7．函数f (x )＝log 12(2 －|x |)的单调递增区间为________.8．一次函数y ＝mx ＋n (m >0，n >0)的图象经过函数f (x )＝log a (x －1)＋1的定点，则1m＋2n的最小值为________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝log 2(1－x 2). (1)求函数的定义域；(2)请直接写出函数的单调区间，并求出函数在区间[22，1)上的值域．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(4，6)上单调递减 D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称2．(情境命题—学术探究)已知函数f (x )＝log a (a x－1)(a >0，a ≠1). (1)当a ＝12时，求函数f (x )的定义域；(2)当a >1时，求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集；(3)当a ＝2时，若不等式f (x )－log 2(1＋2x)>m 对任意实数x ∈[1，3]恒成立，求实数m 的取值范围．第1课时 对数函数的图象和性质必备知识基础练1．解析：(1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2（x －1）≠0， 解得x >1，且x ≠2.故函数y ＝1log 2（x －1）的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x <2. 故函数y ＝log 2(16－4x)的定义域是{x |x <2}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1， 解得1<x <3，且x ≠2.故函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．(4)由log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1.所以原函数的定义域为(34，1). 2．解析：(1)由－x 2＋4x －3>0，解得1<x <3，∴函数的定义域是(1，3). 设u ＝－x 2＋4x －3(1<x <3)，则u ＝－(x －2)2＋1.∵1<x <3，∴0<u ≤1，则y ≥0，即函数的值域是[0，＋∞). (2)f (x )＝log 2(2x )·log 2x ＝(1＋log 2x )·log 2x ＝(log 2x ＋12 )2－14 .∵12≤x ≤2，即－1≤log 2x ≤1， ∴当log 2x ＝－12 时，f (x )取得最小值－14 ；当log 2x ＝1时，f (x )取得最大值2. 3．答案：C解析：由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg (x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位．(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)4．答案：B解析：∵log 17 15 <log 17 17 ＝log 1515 ，∴(3)是y ＝log 17x ，(4)是y ＝log 15x ，又y ＝log 15x ＝－log 5x 与y ＝log 5x 关于x 轴对称，∴(1)是y ＝log 5x .故选B. 5．答案：D解析：令x ＋3＝1，解得x ＝－2，y ＝1， 所以函数恒过定点(－2，1).故选D. 6．答案：C解析：由y ＝log 0.7x 是减函数，且0.7<0.8<1得， log 0.70.7>log 0.70.8>log 0.71，即0<a <1； 由y ＝log 1.1x 是增函数，且0.9<1得， log 1.10.9<log 1.11＝0，即b <0； 由y ＝1.1x是增函数，且0.9>0得， 1.10.9>1.10＝1，即c >1. 因此，b <a <c .故选C. 7．答案：A解析：由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，易知函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2).8．解析：(1)由1＋x1－x >0，得－1<x <1，故所求的定义域为(－1，1).(2)①当a >1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得1＋x1－x >1, 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x ， 所以0<x <1；②当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x >0＝log a 1，得0<1＋x1－x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x .所以－1<x <0，故当a >1时，所求范围为0<x <1； 当0<a <1时，所求范围为－1<x <0.关键能力综合练1．答案：A解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，log 2（x ＋1）≠2，x ＋1>0， 解得－1<x <3，所以函数的定义域是(－1，3)，故选A. 2．答案：D解析：a ＝log 43<log 44＝1；c ＝log 45>log 44＝1，∵log 53＝lg 3lg 5 ，log 43＝lg 3lg 4 ，lg 5>lg4，∴log 53<log 43，∴b <a <c ，故选D.3．答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋1>0 得x >1，∴y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域为(1，＋∞)，∴y ＝log a (x 2－1)(a >0，且a ≠1，x >1). 令x 2－1＝1，得x 2＝2，又x >1，∴x ＝2 . 当x ＝2 时，y ＝log a [(2 )2－1]＝0，因此y ＝log a (x －1)＋log a (x ＋1)的图象必过定点(2 ，0)，故选C. 4．答案：C解析：由题意，根据函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象，可得0<a <1，0<b <1， 根据指数函数y ＝a －x(0<a <1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b 个单位，可得函数g (x )＝a －x－b 的图象只有选项C 符合．故选C.5．答案：A解析：∵x 2－4x ＋12＝(x －2)2＋8≥8，且函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥log 28＝3.6．答案：A解析：对于f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )有⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0 ，解得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的定义域为(0，2)， 又f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )＝log 2[x (2－x )]，对于y ＝x (2－x )＝－x 2＋2x ，其在(0，1)上单调递增，在[1，2)上单调递减， 又y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 由复合函数单调性的规则：同增异减得函数f (x )＝log 2x ＋log 2(2－x )的单调递减区间为[1，2).故选A. 7．答案：[0，2 )解析：由2 －|x |>0，得－2 <x <2 ，所以函数f (x )的定义域为(－2 ，2 ). ∵函数u ＝2 －|x |在[0，2 )上为减函数，且函数y ＝log 12u 为减函数，∴函数f (x )的单调递增区间为[0，2 ). 8．答案：8解析：对于函数f (x )＝log a (x －1)＋1，令x －1＝1，∴x ＝2，y ＝1，则该函数图象过定点(2，1)，将(2，1)代入y ＝mx ＋n (m >0，n >0)，得2m ＋n ＝1，故1m ＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn≥4＋2n m ·4m n ＝8，当且仅当n m ＝4m n 且2m ＋n ＝1，即m ＝14 ，n ＝12时取等号．9．解析：(1)由1－x 2>0得定义域为{x |－1<x <1}．(2)令u ＝1－x 2，则u 在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减．又f (u )＝log 2u 单调递增，故f (x )在(－1，0]上单调递增，在(0，1)上单调递减． ∴函数f (x )在[22，1)上为减函数， ∴函数f (x )在[22，1)上的值域为(－∞，－1].核心素养升级练1．答案：BCD解析：因为f (x )＝ln (x －2)＋ln (6－x )＝ln [(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)，令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ，二次函数t ＝(x －2)(6－x )的对称轴为直线x ＝4，所以f (x )在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，A 错误，C ，D 正确；当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln (4－2)＋ln (6－4)＝2ln 2，故B 正确．故选BCD.2．解析：(1)当a ＝12 时，f (x )＝log 12 (12x －1)，由12x －1>0，得x <0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0).(2)f (x )＝log a (a x－1)(a >1)的定义域为(0，＋∞)，当x 1>x 2>0时，f (x 1)－f (x 2)＝log a (a a 1－1)－log a (a a 2－1)＝log a a a 1－1a a 2－1>0， 所以函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，由f (x )<f (1)，知⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <1 ，故关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集为{x |0<x <1}．(3)设g (x )＝f (x )－log 2(1＋2x)＝log 22x－12x ＋1，x ∈[1，3]，设t ＝2x－12x ＋1 ＝1－22x ＋1 ，x ∈[1，3].易知t ＝1－22x ＋1 在x ∈[1，3]上单调递增．所以t ∈[13 ，79 ]，故g (x )min ＝log 213.因为m <g (x )对任意x ∈[1，3]恒成立，所以m <g (x )min . 故m 的取值范围是(－∞，log 213 ).。
北京四中高中数学 对数函数及其性质基础巩固练习 新人教A版必修1
北京四中高中数学 对数函数及其性质基础巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．若2log 15a <，则a 的取值范围是（ ）A.205a <<B.23a <或1a >C.215a <<D.205a <<或1a >2．函数12log (21)y x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. [)1,+∞C.1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. (),1-∞3．函数()22()log (1)f x x x x R =++∈的图象关于（ ）A.x 轴对称B.y 轴对称C.原点对称D.直线y x =对称 4．函数2log ||||xy x x =的大致图象是（ ）5.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．A. a c b <<B.b c a <<C.a b c <<D.b a c << 6．图中曲线是对数函数y=log a x 的图象，已知a 值取101,53,34,3，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A.10153343，，， B.53101343，，，C.10153334，，，D.53101334，，， 7.函数2()log (31)xf x =+的值域为( )A.()0,+∞B. [)0,+∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞ 8.下列函数中，在()0,2上为增函数的是( ) A.12log (1)y x =+ B.22log 1y x =-C.21log y x = D.212log (45)y x x =-+ 9．函数()log 23a y x =++的图象过定点 。
10．已知log 7log 70m n <<，则m 、n 、0、1间的大小关系是 。
11.已知函数1()2x f x +=，则1(4)f-= .12.函数()2()lg1f x x x =+-是 (奇、偶)函数.13.已知函数1010()1010x xx xf x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性.14. 已知函数()log (82)xa f x =-（0,1a a >≠且）（1）若函数()f x 的反函数是其本身，求a 的值； （2）当1a >时，求函数()()y f x f x =+-的最大值。
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【巩固练习】1．若2log 15a<，则a 的取值范围是（ ） A.205a << B.23a <或1a > C.215a << D.205a <<或1a >2．函数12log (21)y x =-的定义域为（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. [)1,+∞ C.1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. (),1-∞ 3．函数()22()log (1)f x x x x R =++∈的图象关于（ ）A.x 轴对称B.y 轴对称C.原点对称D.直线y x =对称 4．函数2log ||||xy x x =的大致图象是（ ）5.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．A. a c b <<B.b c a <<C.a b c <<D.b a c << 6．图中曲线是对数函数y=log a x 的图象，已知a 值取101,53,34,3，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.10153343，，，B.53101343，，，C.10153334，，，D.53101334，，， 7.函数2()log (31)xf x =+的值域为( )A.()0,+∞B. [)0,+∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞ 8.下列函数中，在()0,2上为增函数的是( ) A.12log (1)y x =+ B.22log 1y x =-C.21log y x = D.22log (45)y x x =-+9．函数()log 23a y x =++的图象过定点 。
10．已知log 7log 70m n <<，则m 、n 、0、1间的大小关系是 。
11.已知函数1()2x f x +=，则1(4)f-= .12.函数)()lgf x x =是 (奇、偶)函数.13.已知函数1010()1010x xx xf x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性.14. 已知函数()log (82)xa f x =-（0,1a a >≠且）（1）若函数()f x 的反函数是其本身，求a 的值； （2）当1a >时，求函数()()y f x f x =+-的最大值。
15．设xxx x f +-++=11lg21)( （1）判断f(x)的单调性，并给出证明；（2）若f(x)的反函数为f -1(x)，证明f -1(x)=0有唯一解； （3）解关于x 的不等式21)]21([<-x x f .【答案与解析】1. 【答案】D【解析】由2log 1log 5a a a <=，当1a >时，log a y x =为增函数，所以25a >，得1a >；当01a <<时，log a y x =为减函数，所以25a <，得205a <<，故选D 。
2. 【答案】C【解析】要使函数有意义，则()12210,log 210,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩解得112x <≤，故选C 。
3. 【答案】C 【解析】22()()log (log (f x f x x x -+=-++=2222log (1)log 10x x +-==，∴()f x 为奇函数，故其图象关于原点对称。
4. 【答案】D【解析】易知()f x 为奇函数，又0x >时，2()log f x x =，所以选D 。
5. 【答案】D【解析】因为44log 5log 41c c =>==，550log 41,0log 31a a <=<<=<，所以()25555log 3log 3log 4log 4b a =<<=，所以b a c <<，故选Ｄ．6. 【答案】A【解析】在第一象限内，1a >，从顺时针方向看图象，a 43>；在第四象限内，01a <<，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大，31510>；所以相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 4313510，，，.选A.7. 【答案】A【解析】因为311x+>，所以2()log (31)x f x =+=2log 10=，故选A 。
8. 【答案】A【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的，两个函数的单调性“同增异减”，即内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反，复合函数单调减。
9．【答案】()1,3- 【解析】函数log a y x =的图象过定点()1,0，∴函数()log 23a y x =++的图象过定点（-1,3）。
10．【答案】01n m <<< 【解析】log 7log 70m n <<，770log log m n ∴>>。
又7log y x =在（0,1）内递增且函数值小于0，01n m ∴<<<。
11．【答案】1 【解析】由12()242x f x +===得1x =，1(4)1f -∴=。
12. 【答案】奇 【解析】)(),()1lg(11lg)1lg()(222x f x f x x xx x x x f R x ∴-=-+-=-+=++=-∈且 为奇函数.13. 【答案】奇函数 增函数 【解析】(1)221010101(),1010101x x x x xx f x x R ----==∈++，221010101()(),1010101x x x x x x f x f x x R -----==-=-∈++∴()f x 是奇函数(2)2122101(),.,(,)101x xf x x R x x -=∈∈-∞+∞+设，且12x x <， 则1212121222221222221011012(1010)()()0101101(101)(101)x x x x x x x xf x f x ----=-=<++++，1222(10 10)x x< ∴()f x 为增函数.14. 【答案】（1）2 （2）log 49a【解析】（1）函数()f x 的反函数12()log (8)xf x a -=-， 由题意可得2log (82)log (82)x xa -=-，2a ∴=。
（2）由题意可知820x->，解得3x <，则()()y f x f x =+-的定义域为()3,3-。
()()log (82)log (82)x x a a f x f x -+-=-+-=log 658(22)x xa -⎡⎤-+⎣⎦。
222x x -+≥，当且仅当0x =时等号成立。
∴0658(22)49x x -<-+≤。
当1a >时，函数()()y f x f x =+-在0x =处取得最大值log 49a 。
15．【解析】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+-02,011x x x得-1<x<1. 所以f(x)的定义域为(-1，1).设-1<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=)11lg 21(11lg 21222111x x x x x x +-++-+-++)1)(1()1)(1(lg )2)(2(21212112x x x x x x x x -++-+++-=，又因为(1-x 1)(1+x 2)-(1-x 2)(1+x 1)=(1-x 1+x 2-x 1x 2)-(1+x 1-x 2-x 1x 2)=2(x 2-x 1)>0， (1-x 1)(1+x 2)>0， (1+x 1)(1-x 2)>0， 所以1)1)(1()1)(1(2121>-++-x x x x所以0)1)(1()1)(1(lg2121>-++-x x x x ，又易知0)2)(2(2112>++-x x x x ，∴ f(x 1)-f(x 2)>0 ， 即f(x 1)>f(x 2). 故f(x)在(-1，1)上是减函数.（2）因为211lg 21)0(=+=f ，所以0)21(1=-f ， 即f -1(x)=0有一个根21x =.假设f -1(x)=0还有一个根210≠x ，则f -1(x 0)=0，即21)0(0≠=x f ，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾.故21=x 是方程f -1(x)=0的唯一解.3)因为21)0(=f ，所以)0()]21([f x x f <-.又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以1)21(0<-<x x .解得)4171,21()0,4171(+-∈ x .。