求体积的万能公式_拟柱体公式

1+2 3 = ， 故中截面面 2 2 9π . 又 因 圆 台的 上 底 4
2r 4 （0+0+4πr2）= πr3 . 6 3
它正是球的体积公式. 至于棱台和圆 台 ，球冠和球缺 ，甚至球台 ，同学们不 妨自己去验证一下. 当然 ，拟柱体公式也有它自己的 局限性. 在积分学里有这样一条公式： 若S（x）是三次或三次以下的多项式，则
h
4π， 中截面面积 S=π， 高不变 ， 故由拟
柱体公式可得 V 圆 锥 =
乙S （x）dx， 而 ③ 式 右 边 的 S （0），S （h）
0
4 （0+4π+4π）= 6
体积公式 ，分别求出圆台 、圆柱 、圆锥 的体积为 ： 和S
h 恰好是下底 、 上底和中截面 . 2
16π . 3
现在我们用台体 、柱体和锥体的
学家 、 数学科普作家 、 中国科学院 院士，曾任中国科普作家协会理 事长，现任广州大学计算机教育 软件研究所所长。
h 6
S（0）+S（h）+4S 乙
h 2
. 乙
③
用 平 行 于底面的平面来切割物 体 ，x 记为平面到下底的距离 ，S （x ） 记 为这个平面截物体所得的剖面面积 ， 物体体积恰好是 ③ 式左边 的 定 积 分
特级教师
数学公开课
圆柱 、棱柱 、圆锥 、 棱锥 、 圆台 、 棱 台 、球 、球冠 、球缺等各有自己求体积 的公式. 有趣的是 ，有一个公式 ，它能 代替这些形形色色的公式. 这个公式 常被叫 做 拟 柱 体 公 式. 用V表 示 体 积 ，h 表 示 物 体 的 高 ，S1和 S2分 别 记 为 上底和下底的 面 积 ，S 表 示 中 截 面 的 面 积— —— 高 线 的 垂 直 平 分 面 和 物 体 相截而得的剖面面积. 这个公式是 ：
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即体积等于底乘高. 这正是柱体体积 公式. 再看锥体. 这时S1=0，S2是锥体的 底面积 ，而中截面S=
1 S2，于是 4
V=
h 0+S +4× S2 1 = hS2 . 2 4 6 3
这正是锥体的体积公式. 在球的情形下 ， 如果球半径为r， 则S1=S2=0，S=πr2，于是
%%%%% V=
截面的半径为 积 S=π
a
3 2
2
=
面面积 S1=π， 下底面面积 S2=4π， 高 h=
4， 故直接代入拟柱体公式可得V圆台= 4 π+4π+4× 9π 28π · = .% 4 6 3
当圆台 被 削 成 一 个 最 大 的 圆 柱 时 ， 圆柱上 、 下底面及中截面 的 半 径 均为 1， 故 S1=S2=S=π. 高不变 ， 故由柱 张 景 中 ： 河南汝南人， 著名数
V圆柱=S2h=4π；
V=
h （S1+S2+4S）.%%%%%% 6
①
这个公式灵不灵呢 ？ 我们先来看 个例子. 例 已知一圆台木料的上下底
⊙
面 半 径 分 别 为 1，2， 高 为 4， 则 其 体 积 是 _______； 若想将其削出一个最大 的圆柱 ，则圆柱的体积是 _________； 若想将其削出一个最大的圆锥 ，则圆 锥的体积是_________. 分析 由题设条件可知 ， 圆台中
张 景 中
求 体 积 — —的 — 拟万 柱能 体 公公 式式
V圆锥=
1 1 16π S2h= ×4π×4= . 3 3 3
由此可见 ，这个拟柱体公式还是 很灵的. 那它为什么这么灵呢 ？ 我们先来 看看柱体 . 这时的 S1，S2和 S 都等于柱 体的底面积 ，公式①变成了
V=
h （S1+S1+4S1）=hS1， 6
1 1 （S1+ 姨S1S2 +S2）h= （π+ 3 3 % 28π ； 姨π×4π +4π）×4= 3 V圆台=
可见 ，如果S（x）是x不超过三次的多项 式 ，就能用拟柱体公式计算这个物体 的体积.
数学金刊 · 高中版
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a S（a）+S（b）+4S 乙 乙S（x）dx= b－ 6
b h
a+b 2
.② 乙
若 取 a =0 ， b =h ， 则
乙S （ x ） dx =
0
4 体公式可得V圆柱= （π+π+4π）=4π. 6
当圆台 被 削 成 一 个 最 大 的 圆 锥 时 ，圆锥的上底面半径为 0，下底面半 径仍 为 2， 故 中 截 面 半 径 为 1， 所 以 圆 锥的上底面面积 S1=0，下底面面积 S2=