边界条件的处理

TM 1
x qB TM 11
(4-28)
注意：在（4-28）式中以规定近入计算区域的热量为正值， 式（4-28）的截差为一阶，而在内节点上如采用中心差分， 则截差为二阶。在作物理问题的数值计算时，一般希望内 节点与边界节点离散方程截差等级保持一致，如果不一致 会影响计算结果的准确度。为得出具有二阶截差的公式， 可以采用虚拟点法。 虚拟点法：
3.温度边界条件： （1）规定了边界上的温度：tw=f1(τ)
（2）规定了边界上的热流密度： t qw （ ) w f 2 ( ) n
（3）规定了边界上物体与周围流体间的表面 传热系数h及周围流体的温度 t （ ) w h(tw t f ) n
对于第一类边界条件，直接给出了边界 的温度，在这种情况下内节点的代数方程 组已经封闭，当计算区域的边界为第二、 三类边界条件时，边界温度为未知量，为 使内部节点的温度代数方程组封闭，必须 对边界条件作出处理。有两类方法可以采 用，即补充边界节点代数方程的方法和附 加源项法。
对于第二类边界条件，如果把qBΔy/ΔxΔy作为与边界相 邻的控制容积的附加常数源项，记为SC,ad ，同时令aw=0， 则所得的离散方程既符合能量守恒关系，又能把未知的边 界温度排除在外。
对于第三类边界条件，q B 可以表示为 由Fourier定律得，
qB hT f Tw
B TW TP qB x w
4.为什么要求aw=0？
当aw =0时，λB =0，则此时边界节点处热阻无穷大， 从而可以把第二类或者第三类边界条件所规定的的 进入或导出计算区域的热量作为与边界相邻的控制 容积的当量源项。 5.为什么要使用虚拟节点？ 因为在做物理的数值计算时，一般希望内节点与 边界节点离散方程截差等级保持以一致。而在区域 离散方法A中，导数用差分表达式来代替的式子是 一维的。所以采用虚拟节点法以得出具有二阶截差 的式子,提高计算的准确度。
3.采用区域离散化方法B时，为什么TM1式子具有二 阶截差的公式？ 因为在求TM1的过程中，是通过以下两式得到的
TM 1 TM 11 (x)( x) S


q Bx

TM 11 [TM 11
(x)( x) S

(
hx

)] (1
hx

)
这两式具有二阶截差，所以TM1式子也具有二阶截差。
内节点的范围内求解代数方程组；
④获得收敛解后按Fourier导热定律或Newton
源自文库
冷却公式解出未知的边界温度。
★两种处理方法的比较
大量数值实践表明，附加源项法比补充节点方 程的方法更为简洁、有效，主要体现在以下三个 方面： 1.有利于用统一模式来处理三种边界条件； 2.可以缩小计算区域； 3.采用补充节点方程方法时，如把求解代数方程 的区域也限在内节点，然后通过边界节点方程不 断更新边界节点上的值并以此作为下一次迭代计 算的边界条件，则附加源项法的计算时间可以比 这种边界值更新法大约节省一个数量级。
T f TP TW TP x w B 1 h x w B
（c）
于是得：
qB
T f TW 1h
将(c)代入（b）中整理得，
A [ aP ]TP aETE aN TN aS TS 1/ h ( x) w / B {SC }V V [1/ h ( x) w / B ]
解得
TM 1 TM 11
x x S


qBx

说明：采用控制容积平衡法 所得的离散方程具有 二阶精度，而且其物理意义明确，因而这一方法在 边界节点离散方程的建立中得到广泛的应用。
2.区域离散法B的情形
边界节点可以看成是第一种区域离散法中当边 界节点所代表的控制容积厚度△x趋近于零时的 极限。 对图中的右端点，由（4-29）、 （4-31）可得
V 为控制容积的体积
AT f
其中：A是所研究控制容积在边界上的传热面积
A [ aP ]TP aETE aN TN aS TS 1/ h ( x) w / B {SC }V V [1/ h ( x ) w / B ] AT f
上式表明，对第三类边界条件，如果在边界控制容积中加 入一下附加源项：
(a)
(b)
q 对于第二类边界条件， B 为已知，故可把它与b组成一个新项：
q B y q B y b ( S C )xy ( S C S C ,ad )xy xy
（4-36）
a a P aW a E 0 a N a S S P xy P
★思考题
1.如何解释在固体边界上对速度取无滑移边界条件？ 在固体边界上对速度取无滑移边界条件，即在 固体边界上流体的速度等于固体表面的速度，当 固体表面静止时，有：u=ν=ω=0。 2.对于给出的第三类边界条件，导热问题和对流问题 有什么区别？ 在导热问题中，第三类边界条件给出了求解的固体 区域周围的流体温差及表面传热系数；在求解对流换 热问题时，第三类边界条件给出的是包围计算区域的 固体壁面外侧的流体温度及表面传热系数。
TM 1 TM 11
x x S

(x)( x) s (

qBx

TM 1 TM 11
hx


)T f ] /(1
hx

)
1）第二类边界条件：
TM 1 TM 11
2）第三类边界条件：
qB x

h x TM 1 TM 11 Tf
如图所示，与边界相邻的控制 容积中的节点为P，对此控制 容积可以写出：
a PTP a E TE aW TW a N TN aS TS b
B y 其中：aW x w
B 为边界节点的导热系数
为了在TP的代数方程中不出现未知的边界温度，就需要 利用已知的边界条件把T W消去，因此需对上式进行变换.
2012-4-20
主要内容：

补充边界节点代数方程的方法 附加源项法

两种处理方法的方法
1.边界条件概念： 边界条件是在求解区域的边界上所求解的变 量或其一阶导数随地点及时间的变化规律。 2.速度边界条件： 在固体边界上对速度取无滑移边界条件，即 在固体边界上流体的速度等于固体表面的速度， 当固体表面静止时，有：u=ν=ω=0。
S C ,ad S P ,ad
Tf A V 1 / h (x) w / B A 1 V 1 / h (x ) w / B
同时aw=0就可以实现使未知的边界温度不进入离散方程的目的
附加源项法的实施步骤： ①计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加 源项SC,ad及SP,ad ，并将它们分别加入该控 制容积原有的SC,SP中去； ②令该边界上节点的导热系数λB=0,以使aw=0 ③按常规方法建立起内节点的离散方程，并在
TM 1 TM 11
x x S


qBx

（4-29）
其中△x=δx/2,是节点M1所代表的控制容积的厚度
2）对于第三类边界条件
把
qB hT f TM 1 代入式（4-28）、（4-29），并对TM1解出，
hx hx
得相应于一阶与二阶截差的节点离散方程： 一阶
6.为什么使用附加源项法可以缩小计算区域？
因为采用附加源项法时，边界节点都算到了 附加源项中，所以缩小了计算区域。
在右边界外虚设一点M1+1，这 样节点M1就被视为内节点， 其 导数即可采用中心差分：
TM 11 TM 11 qB 2x
为消去TM1+1,由一维、稳态、含内热源的控 制方程可得在M1点的离散形式：
TM 11 2TM 1 TM 11 S 0 2 (x)
从以上两式消去TM1+1得，
h x / 1
值得指出：虽然在形式上与区域离散方法A 中具有一阶截差的公式一样，但它却是区域离 散方法B中具有二阶截差的公式 。
★附加源项法
1.原理：在附加源项法中，把由第二类，第三类 边界条件所规定的进入或导出的热量作为与相邻 的控制容积的当量源项。 2.原理及实施步骤：
★补充边界节点代数方程的方法
现以Taylor展开法和控制容积平衡法为例说明: 1.区域离散法A的情形
1）第二类边界条件
对于无限大平板的第二类边界条件，采用taylor展开法时，
（4-27) 边界条件： dT ) qB x dx 式中的导数用差分表达式来代替即可，即
dT TM 1 TM 11 dx δx
TM 1 [TM 11 (
TM 1 TM 11


)T f ] /(1
(

)
（4-30）
二阶
(x)( x) s
hx

)T f ] /(1
hx

)
（4-31）
3）控制容积平衡法： 对边界节点的控制容积作能量平衡， 得：
TM 11 TM 1 qb Sx 0 x