圆柱的表面积和体积复习
圆柱认识、表面积、体积操作综合思维训练练习题(立体图形的表面积和体积复习)
圆柱表面积、体积操作练习题姓名：提示：请同学们先用卡纸制作下列立体图形的模型（制作时请注意预留接口粘贴处），再解决问题。
本次练习共需制作５个模型，你全做对了吗？一、制作一个长、宽、高分别为８厘米、６厘米、４厘米的长方体。
再分别计算出它的表面积和体积。
１、模型是否已经制作？（）。
画出它的草图，标出有关数据：２、长方体的表面积计算公式是：（）这个长方体的表面积：３、长方体的体积计算公式是：（）这个长方体的体积：４、如果把这个长方体看作是一块长方体木料，要将加工成一个最大的圆柱。
这个圆柱的高应该是（）厘米，底面半径是（）厘米。
（可以模型或草图上画一画）这个圆柱的表面积是多少？这个圆柱的体积是多少？二、制作一个棱长为６厘米的正方体。
再分别计算出它的表面积和体积。
１、模型是否已经制作？（）。
画出它的草图，标出有关数据：２、正方体的表面积计算公式是：（）这个正方体的表面积：３、正方体的体积计算公式是：（）这个正方体的体积：４、如果把这个正方体看作是一块正方体木料，要将加工成一个最大的圆柱。
这个圆柱的高应该是（）厘米，底面半径是（）厘米。
（可以模型或草图上画一画）这个圆柱的表面积是多少？这个圆柱的体积是多少？这个圆柱的体积是原来正方体体积的几分之几？三、制作一个底面直径是４厘米，高也是４厘米的圆柱。
１、模型是否已经制作？（）２、画出侧面展开图的草图，并标上有关数据：３、画出该圆柱沿直径劈成相等的两半，所得到的截面的草图，并标出相关数据：４、求出这个圆柱的表面积（写出每一步的计算公式）。
５、求出圆柱的体积（写出每一步的计算公式）。
６、如果把这圆柱看作是一块圆柱形木料，沿横截面切成两段,表面积多出多少？７、如果把这圆柱看作是一块圆柱形木料，沿直径劈成相等的两半，表面积多出多少？四、用一张长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形卡纸围成一个圆柱有几种围法？（）１、请以长方形的长作为圆柱的高，制作出１号圆柱，１号圆柱的底面半径是多少厘米？２、求出１号圆柱的表面积（写出每一步的计算公式）。
圆柱表面积.圆柱体积公式.圆锥体积
精选2021版课件
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单位:（厘米）
(1)侧面积： 2×3.14×2×4=50.24 (cm2)
(2)底面积： 3.14×22=12.56 (cm2)
(3)表面积： 50.24+12.56×2 =75.36(cm2)
提示：帽子只有帽顶,说明它只有一个底面
解：帽子的侧面积：
3.14×20×28＝1758.4 (cm2) 帽顶的面积：
3.14×（20÷2）2＝314 (cm2) 需要用的面料：
1758.4+314=2072.4≈2080 (cm2)
答：做这样一顶帽子需要用2080平方厘米的面料。
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实际问题
现在有一个罐头厂计划 用铁皮制作一批底面半 径5厘米，高10厘米的 圆柱形罐头盒。你能不 能帮厂长算一算制作一 个至少需要多少平方厘 米铁皮？
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圆柱的侧面
圆柱的侧面
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问题：圆柱的侧面展开 图中的长与圆柱底面的 周长有什么关系，宽与 圆柱的高有什么关系？
复习： 1、口算：
3.14×2= 6.28 3.14×4= 12.56 3.14×6= 18.84 3.14×8= 25.12 3.14×10= 31.4 3.14×0.5= 1.57
3.14×3= 9.42 3.14×5=15.7 3.14×7= 21.98
3.14×9= 28.26 3.14×20=62.8 3.14×0.1=0.314
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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2
答：至少要用纸150cm2
练习
解析 设球 O 的半径为 r，则圆柱的底面半径为 r， 高为 2r，所以VV12＝π43rπ2·r23r＝32.
三、课堂小结:
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
1).圆柱 2).圆锥
S 2r 2 rl
S r 2 rl
如果圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母线长为l，你能计算它的
表面积吗？
r O’
RO
圆台的侧面展开图是扇环
x x
r 'O’
rO
xl r x r' l rr' x r'
xl 1 r 1 x r'
x r' l r r'
∵圆台侧面展开图是一个扇环
S侧面积
1 2
2 r( x
l)
1 2
2 r
'
x
r( x l ) r ' x rx rl r ' x
A
B
D
C
A1 D1
B1 C1
变式 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 3 ,求此球体的表面积 和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。
内切球问题
例题3 把直径为5cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸? 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
解：一个浮标的表面积为
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478(m2) 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.8478×0.5×1000 =423.9(kg).
圆柱的面积公式和表面积公式
圆柱的面积公式和表面积公式
圆柱的面积公式，表面积公式，体积公式分别如下所示：
1、圆柱表面积：S表=2πR(R+h)（其中R表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高）
2、圆柱体积：V=πR^2h（其中R表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高）
3、圆柱侧面积：S侧=2πRh（（其中R表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高）。
扩展资料：
圆柱的体积跟求长方体、正方体一样，都是底面积×高：设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V＝πr^2·h 。
如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh。
圆柱体侧面积=底面周长×高（圆的周长（2πr）或（πd））
圆柱体的表面积=2个底面积+1个侧面积。
专题二 圆柱的表面积与体1
专题二圆柱的表面积与体积1．圆柱的体积（1）有大、中、小三个圆柱形的水池，半径分别为10米，20米和30米。
把两堆碎石子分别倒入中、小两个池中，水面分别上升1米和2米。
问如果把这两堆碎石子都倒入大池中，水面上升多少米？（2）一堆圆锥形沙堆，底面积为12.56平方米，高是0.9米，现在把这堆沙子铺入长4.5米，宽是2米的长方体沙坑中，可以铺多厚？（3）一根圆柱形的木料底面周长为12.56分米，高为4分米。
（1）求圆柱的表面积？（2）它的体积？（3）把它截成4段小圆柱，要锯几次？表面积增加多少？【例1】一个底面半径为10厘米的圆柱形瓶中，水深为8厘米，要在瓶中放入一个长和宽都是8厘米，高15厘米的铁块，把铁块竖立放入，水面上升几厘米？正反比例（一）金牌专题三知识回顾：一、判断题1. 把两个大小相等的小圆柱拼成一个大圆柱后，表面积增加了。
（）2.两个侧面积相等的圆柱，它们的底面积半径一定相等。
（）3.如果两个圆柱体的底面半径和高都相等，那么它们的表面积也相等。
（）.4.圆柱体的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积也扩大到原来的2倍。
（）二、填空1. 4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积是（）或（）平方厘米。
2.一个圆柱和一个圆锥等底底高，它们的体积之和为84立方厘米，这个圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
3.一个圆锥与圆柱的底面积相等，如果圆柱的高是圆锥高的9倍，那么圆锥体积是圆柱体积的（）倍。
【例1】个圆柱形玻璃缸容器，它的底面周长是12.56分米，若向该容器中注入1/4的水后,水面距缸口还有60厘米，这个玻璃缸容器的容积是多少？自我挑战1 把一个底面半径为6分米、高为5分米的圆锥形钢材锻造成一个高40分米的圆锥。
这个圆锥的底面积是多少平方分米？【例2】如图,一个酒瓶里面深30厘米,底面内直径10厘米,瓶里洒深15厘米,把酒塞紧后,使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，酒瓶的容积是多少毫升？自我挑战2 一个圆柱形量杯，底面直径为20厘米，将一块石头放入后，完全浸没，水面高度由5厘米上升到9厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？正反比例的异同：正比例是个除法的式子，比如Z= X/Y,当Z不变的情况下,X变大Y也变大；X变小Y也变小. 正比例的图象一定是一条直线。
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些高中数学的几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)数学基础差的学生如何提高数学成绩基础薄弱的同学提高数学成绩的方法数学基础打牢，是个非常重要的事，很多及格成绩不到的同学，基本是连计算和公式都不是很过关。
对于这一类学生有以下几点建议。
第二章 圆柱的表面积和体积
教育辅导教案学生姓名性别年级六年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题圆柱表面积和体积教学目标1、使学生比较系统地掌握本单元所学的立体图形知识，认识圆柱的特征。
2、掌握圆柱表面积、体积的计算公式，能正确计算。
3、培养学生的空间观念，培养学生有条理地对所学知识进行整理归纳的能力。
教学重点与难点圆柱表面积和体积的计算方法；圆柱侧面积、底面积和表面积计算方法的联系和区别。
一、复习预习一、复习1．已知圆的半径或直径，怎样计算圆的周长？（圆的周长公式：C＝2πr或C＝πd）2．口头回答下面问题．（1）一个圆形花池，直径是5米，周长是多少？（2）长方形的面积怎样计算？板书：长方形的面积＝长×宽．3．圆柱的侧面积。
（1）圆柱的侧面积，顾名思义，也就是圆柱侧面的面积。
（2）出示圆柱的展开图：这个展开后的长方形的面积和圆柱的侧面积有什么关系呢？（3）那么，圆柱的侧面积应该怎样计算呢？圆柱的侧面积＝底面周长×高小结：要计算圆柱的侧面积，必须知道圆柱底面周长和高这两个条件，有时题里只给出直径或半径，底面周长这个条件可以通过计算得到，在解题前要注意看清题意再列式。
新课：1. 理解圆柱表面积的含义．（1）让学生把自己制作的圆柱模型展开，观察一下，圆柱的表面由哪几个部分组成？（通过操作，使学生认识到：圆柱的表面由上下两个底面和侧面组成。
）（2）圆柱的表面积是指圆柱表面的面积，也就是圆柱的侧面积加上两个底面的面积。
公式：圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面积×22.圆柱体积计算公式的推导。
（1）用将圆转化成长方形来求出圆的面积的方法来推导圆柱的体积。
（沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块，把它们拼成一个近似长方体的立体图形——（2）由于我们分的不够细，所以看起来还不太像长方体；如果分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长（3）通过观察，使学生明确：长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。
圆柱的表面积和体积 同步专项训练题
同步专项训练题
(圆柱的表面积和体积）
姓名：评分：
一、认识图形（标出各部份名称并画出展开图形）：
（体）
二、填空（基础知识）：
１、圆柱的上下两个面叫做（），它们是面积（）的两个（）形。
圆柱的侧面展开是一个（）形。
这个图形的长等于圆柱底面的（），宽等于圆柱的（）。
２、圆的周长＝圆的面积＝
３、圆柱的侧面积＝（）×（）。
圆柱的表面积＝（）＋（）。
３、圆柱的体积＝
４、１平方米＝（）平方分米＝（）平方厘米
５、１立方米＝（）立方分米＝（）立方厘米
６、１升＝（）毫升１立方分米＝（）升１立方厘米＝（）毫升
三、表面积计算基础题（只列式）：
１、一圆柱底面半径是5厘米，高5厘米，求侧面积和表面积。
侧面积：表面积：
２、一圆柱底面半径是2分米，高是直径的2倍，求它的侧面积表面积。
侧面积：表面积：
３、一圆柱底面周长是12厘米，高12厘米，求它的侧面积表面积。
侧面积：表面积：（雅正辅导中心资料）
四、体积计算基础题：（单位：米）
五、生活应用题：
★一个蓄水池是圆柱形的，底面面积为31.4平方分米，高2.8分米，这个水池最多能容多少升水？
★砌一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2米，要在它的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥10千克，共需水泥多少千克？
★一个圆柱体的高是４分米，它的侧面展开后恰好是正方形，这个圆柱体的体积是多少？。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
圆柱的体积与表面积计算
圆柱的体积与表面积计算圆柱是一个非常常见的几何体，它在很多领域中都有着广泛的应用。
计算圆柱的体积与表面积是我们在学习数学和几何学中经常遇到的问题。
在这篇文章中，我们将讨论如何计算圆柱的体积和表面积，并给出相应的公式和计算方法。
一、圆柱的定义与特征圆柱是由两个平行的圆面和连接两个圆面的侧面组成的几何体。
其特征包括底面半径（r）、高（h）以及侧面的面积。
为了计算圆柱的体积和表面积，我们需要掌握以下几个重要的公式和计算方法。
二、圆柱的体积计算公式圆柱的体积可以用一个简单的公式来计算，即V = π r² h，其中V表示圆柱的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r代表底面半径，h代表圆柱的高度。
根据这个公式，我们可以通过给定的底面半径和高度，轻松地计算出圆柱的体积。
三、圆柱的表面积计算公式圆柱的表面积由底面积和侧面积构成。
底面积即为一个圆的面积，可以通过公式A = π r²来计算，其中A表示底面积，r表示底面半径。
侧面积由圆柱的高度和底面周长（C）相乘得到，即S = 2π r h，其中S表示侧面积。
所以，整个圆柱的表面积（SA）等于两个底面积和一个侧面积的和，即SA = 2A + S = 2π r² + 2π r h。
四、圆柱的实际应用圆柱的计算公式在实际应用中非常有用。
例如，在建筑工程中，我们可以利用圆柱的体积公式计算液体容器的容量，或者计算管道的负载能力。
在制造业中，圆柱的表面积公式可以帮助我们计算物体的表面积，从而确定涂料或者其他材料的用量。
此外，圆柱的计算公式还可以应用于计算机图形学、物理学以及化学等各个领域。
五、计算示例为了更好地理解圆柱的计算方法，我们来举一个具体的计算示例。
假设一个圆柱的底面半径为3 cm，高度为8 cm。
首先，我们可以通过圆柱的体积公式来计算其体积：V = π× 3² × 8 ≈ 226.195 cm³。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三 球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________． 解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ， 底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的 圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
高考数学复习典型题型专题讲解与练习40 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题40圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积题型一圆柱的表面积【例1】已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( )A．6π B．8π C．9π D．10π【答案】A【解析】圆柱的表面的等于侧面积+两个底面积，即S=2πrl+2πr2，又题意可得：r=1，l=2，∴S =2π×1×2+2π×12=6π【变式1-1】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为．【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.【变式1-2】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ）A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，圆柱的侧面展开图是一个正方形，2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=.【变式1-3】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】B【解析】因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.题型二 圆锥的表面积【例2】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．2π C ． D ．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=， 所以AO =AO PA π⨯⨯=.故选：C.【变式2-1】把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．10 B．C．D．【答案】Brππ=⨯，【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为220所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为h==.【变式2-2】已知某圆锥的底面半径为8，高为6，则该圆锥的表面积为_________. 【答案】144π【解析】由题意，得该圆锥的母线长l＝82＋62＝10，所以该圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，底面积为π×82＝64π，所以该圆锥的表面积为80π＋64π＝144π.【变式2-3】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比；【答案】√2−1【解析】如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r ，R ，则有r R ＝R －r R ，即r R ＝12，∴R ＝2r ，圆锥的母线长l ＝2R ，∴S 圆锥表S 圆锥表=22πR∙√2R+πR 2=2(√2+1)πR 2=2(√2+1)R 2=√2+1=√2−1.【变式2-4】一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π 【答案】D【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，设内接圆柱的底面半径为x ，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422x x ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π.题型三 圆台的表面积【例3】圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°，则圆台的侧面积．．．为________.【答案】6π【解析】12r R ==，，()121cos60122l =-÷︒=÷= ()326S r R l πππ∴=+=⨯=圆台侧故答案为6π【变式3-1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____________.【答案】7【解析】设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.【变式3-2】圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，求圆台的表面积．【答案】168π【解析】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l=√ℎ2+(R−r)2=√(4r)2+(3r)2=5r=10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.【变式3-3】已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是____________.【答案】7∶9【解析】圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π(3x＋4x)l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π(4x＋5x)l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.【变式3-4】圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．【答案】32(1＋3)π【解析】如图所示是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于点H，则O1O＝A1H＝A1A sin60°＝43(cm)，AH＝A1A cos60°＝4(cm)．设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1)．∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2)．题型四 圆柱的体积【例4】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】B【解析】由于侧面积为4π，∴2πrh ＝4π，且h ＝2r ，∴r ＝h 2＝1，∴V ＝πr 2h ＝2π.【变式4-1】(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )A ．288π cm 3B ．192π cm 3C ．288π cm 3D ．192π cm 3【答案】AB【解析】当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)， 当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3)．【变式4-2】周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______3cm .【答案】400027π 【解析】设矩形的一边长为x ,则另一边长为10x -,(010)x <<,则圆柱的体积2(10)V x x π=-=4(10)22x x x π⋅⋅⋅-310224()3x x x π++-≤=400027π, 当且仅当102x x =-,即203x =时等号成立. 故最大值为400027π.【变式4-3】如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．【答案】πr 2（a ＋b ）2【解析】两个同样的该几何体能拼接成一个高为a ＋b 的圆柱，则拼接成的圆柱的体积V ＝πr 2(a ＋b )，所以所求几何体的体积为πr 2（a ＋b ）2.题型五 圆锥的体积【例5】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ）A ．10πB ．12πC ．15πD ．36π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为底面周长为6π，所以26r ππ=，解得3r =，又因为母线长为5，所以h =4，所以圆锥的体积是21123V r h ππ==故选：B【变式5-1】将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A．π B ． C ．3π D ．3 【答案】D 【解析】由扇形弧长公式可求得弧长2323L ππ=⨯=，∴圆锥底面周长为2π， ∴圆锥底面半径1r =，∴圆锥的高h ==，∴圆锥的体积213V r h π=⋅=.故选：D .【变式5-2】已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A ．3B ．3πC ．9D ．9π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则母线长为l = 则圆柱的侧面积为()2221122r r h ππ=+， 故表面积为()222192r h r πππ++=，得2231922r h +=①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长， 故2r π=2r =223h r =②，联立①②得：r =，3h =.故该圆锥的体积为2113333V Sh ππ==⨯⨯⨯=.故选：B.【变式5-3】若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A ．1B ．1∶2 C.3∶2 D ．3∶4【答案】【解析】设圆柱、圆锥的高都为h ，底面半径分别为r ，R ，则有12·2Rh ＝2rh ，所以R ＝2r ，V 圆锥＝13πR 2h ＝43πr 2h ，V 圆柱＝πr 2h ，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.题型六圆台的体积方法概要：台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．【例6】已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.【答案】73π3【解析】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝3，∴V＝13π(1＋4＋1×2)×3＝73π3.【变式6-1】圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）A.40πB.52πC.50πD.212 3π【答案】B【解析】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ，则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3, 所以圆台的体积为222213(2626)523V πππππ=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=.【变式6-2】古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈B ．1912π立方丈C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈 【答案】B 【解析】由题意得，下底半径32R π=（丈），上底半径212r ππ==（丈），高1h =（丈）， 所以它的体积为()222211313113322V h R r Rr ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⨯⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 所以19V =12π(立方丈).故选：B.【变式6-3】设圆台的高为3，如图，在轴截面A 1B 1BA 中，∠A 1AB ＝60°，AA 1⊥A 1B ，则圆台的体积为____________.【答案】【解析】设上、下底面半径，母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠A 1DA ＝∠A 1DB ＝90°，又∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D tan60°＝3，∴R －r ＝ 3.∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°，∴BD ＝A 1D ·tan60°＝33，∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π.题型七 球的表面积和体积【例7】（1）已知球的直径为6 cm ，求它的表面积和体积；（2）已知球的表面积为64π，求它的体积；（3）已知球的体积为500π3，求它的表面积．【解析】（1）∵球的直径为6 cm ，∴球的半径R ＝3 cm.∴球的表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)，球的体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．（2）∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4.∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝256π3.（3）∵V 球＝43πR 3＝500π3，∴R 3＝125，R ＝5.∴S 球＝4πR 2＝100π.【变式7-1】若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ）A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯=，故选：D.【变式7-2】两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为____________.【答案】364π3.【解析】设大、小两球半径分别为R ，r ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，∴⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.∴它们的体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3.【变式7-3】三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍C ．95倍D ．74倍【答案】C【解析】设最小球的半径为r ，则另外两个球的半径分别为2r,3r ，其表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，故最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的36πr 24πr 2＋16πr 2＝95倍．题型八球的截面问题【例8】一平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A．6π B．43π C．46π D．63π【解析】B【答案】如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴3OM=√(√2)2+1=√3，即球的半径为3，∴V＝43π×(3)3＝43π.【变式8-1】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm3【答案】A【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝43π×53＝500π3(cm3)．【变式8-2】球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为____________.【答案】6【解析】如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，∴球心到截面的距离h＝R2－r2＝6.【变式8-3】一个距离球心为3的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为____________.【答案】32π3【解析】设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，则由π＝πr2，得r＝1，又r2＋(3)2＝R2，∴R＝2.∴V＝43πR3＝32π3.。
圆柱的表面积和体积
圆柱的表面积和体积圆柱是数学中的常见几何形体，它由底面、顶面和侧面组成。
圆柱的表面积和体积是我们在计算几何问题中经常需要用到的重要概念。
本文将介绍计算圆柱表面积和体积的方法及其应用。
一、圆柱的表面积计算圆柱的表面积是指圆柱的所有面积之和。
圆柱由底面和侧面组成，因此计算圆柱的表面积需要分别计算底面和侧面的面积，然后将其相加。
1. 底面的面积底面是一个圆，其面积计算公式为：底面的面积= π * r^2其中，π取近似值3.14，r表示圆的半径。
2. 侧面的面积侧面是一个矩形，计算矩形的面积需要知道矩形的宽和高。
在圆柱中，侧面的高等于圆柱的高，宽等于底面的周长。
底面的周长= 2 * π * r侧面的面积 = 底面的周长 * 圆柱的高3. 表面积的计算圆柱的表面积 = 底面的面积 + 侧面的面积即：表面积= π * r^2 + 2 * π * r * h其中，h表示圆柱的高。
二、圆柱的体积计算圆柱的体积是指圆柱所占的三维空间大小，它是由底面积和高共同决定的。
计算圆柱的体积需要用到底面积和高的数值。
圆柱的体积 = 底面积 * 高即：体积= π * r^2 * h三、例题分析1. 问题描述：一个圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，求其表面积和体积。
解答：根据上述计算公式，代入数值进行计算。
表面积 = 3.14 * (5^2) + 2 * 3.14 * 5 * 10 = 157 + 314 = 471 cm²体积 = 3.14 * (5^2) * 10 = 785 cm³因此，这个圆柱的表面积为471平方厘米，体积为785立方厘米。
2. 问题描述：一个圆柱的底面直径为8cm，高为15cm，求其表面积和体积。
解答：首先需要求出底面半径，底面直径等于半径的两倍。
底面半径 = 8 / 2 = 4cm根据上述计算公式，代入数值进行计算。
表面积 = 3.14 * (4^2) + 2 * 3.14 * 4 * 15 = 50.24 + 377.28 = 427.52 cm²体积 = 3.14 * (4^2) * 15 = 753.6 cm³因此，这个圆柱的表面积为427.52平方厘米，体积为753.6立方厘米。
圆柱体的表面积与体积
圆柱体的表面积与体积圆柱体是一种常见的几何体，具有圆柱形状的特点。
圆柱体由两个平行且相等的圆面以及连接两个圆面的矩形面构成。
在实际生活和工作中，理解圆柱体的表面积与体积的计算方法是非常重要的。
一、圆柱体的表面积圆柱体的表面积指的是圆柱体外部所有的面积总和。
圆柱体的表面积计算公式为：表面积= 2πr(r + h)其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
公式中的π表示圆周率，约等于3.14159。
举例来说，如果一个圆柱体的底面半径为3cm，高为5cm，那么该圆柱体的表面积可以通过代入公式计算得出：表面积= 2π × 3(3 + 5) = 2π × 3 × 8 = 48π ≈ 150.796cm²所以，该圆柱体的表面积约为150.796平方厘米。
二、圆柱体的体积圆柱体的体积指的是圆柱体内部可以容纳的物体的空间大小。
圆柱体的体积计算公式为：体积= πr²h其中，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
继续以上面的例子为例，圆柱体的底面半径为3cm，高为5cm，那么该圆柱体的体积可以通过代入公式计算得出：体积= π × 3² × 5 = π × 3² × 5 = 45π ≈ 141.371cm³所以，该圆柱体的体积约为141.371立方厘米。
三、圆柱体表面积与体积的关系圆柱体的表面积与体积之间存在一定的关系。
一般来说，当圆柱体的表面积增大时，其体积也会随之增大；当圆柱体的表面积减小时，其体积也会随之减小。
通过对比计算不同表面积的圆柱体的体积可以得出这一结论。
例如，将一个圆柱体的底面半径固定为3cm，分别计算当圆柱体的高为5cm、10cm和15cm时的体积：当高为5cm时，体积≈ 141.371cm³当高为10cm时，体积≈ 282.743cm³当高为15cm时，体积≈ 424.115cm³可以发现，圆柱体的体积随着高的增大而增大。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V r2 h 3.14 6 2 30 20 15
2 3.14 32 25
3.14 9 25
28.26 25
706.5cm3 706.5ml
答：（略）。
30cm 15cm 20cm
5、将一个长9dm,宽5dm，高3.14dm的长方 体铁块熔铸成一个底面半径3dm的圆柱，圆 柱的高是多少？
30cm 15cm 20cm
（1）、将棱长20cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，
圆柱的体积是多少？
2m
V r 2 h 3.14 20 2 20
2
2 m 20cm
3.14 10 2 20
314 20
6280 cm 3
20cm
答： （略）。
（2）、小华把一个铁块完全浸入一个底面直径10cm的圆柱形
4、解决问题： （1）、将棱长20cm的正方体木 块削成一个最大的圆柱，圆柱的体 积是多少？
2m
2 m 20cm
20cm
（2）、小华把一个铁块放进装满水(完全浸没）的圆柱形玻璃 器皿中，器皿高20cm，底面直径为10cm，取出铁块后水面高 15cm，求铁块的体积。
（3）、一瓶喝过的矿泉水，瓶子下面部分是圆柱形， 从里面量得直径为6cm，水面高15cm，瓶子高30cm， 倒过来水面高20cm，你能求出这个矿泉水瓶的容积 吗？
玻璃容器中，量得水面高度为20cm，取出铁块后水面下降到 15cm，求铁块的体积。
V
r2 h
3.14
10
2
20 15
2
3.14 52 5
78.55
392.5cm3
答：（略）。
(3)、一瓶喝过的矿泉水，瓶子下面部分是圆柱形， 从里面量得直径为6cm，水面高15cm，瓶子高30cm， 倒过来水面高20cm，你能求出这个矿泉水瓶的容积 吗？
个圆柱的侧面积是（ 314cm2 ），表面积是
（ 471cm2 ），体积是（785cm3 ）。 （2）、把一个底面半径是5dm的圆柱切成两
个同样大小的小圆柱，表面积增加（15d7m2）。
（3）、一个圆柱的侧面展开是一个边长 12.56cm的正方形，这个圆柱的表面积是 （18.8273c6m 2） ，体积是（15.7753cm 63 ）。
V
π
r2 h
3 .14
2
2
3
2
3 .14 12 3
3 .14 3
9 .42 m 3
S 表 S 底 S 侧 π r 2 πdh 3 .14 12 3 .14 2 3
3 .14 18 .84
21 .98 m 2
21.98×8=175.84（元）
答：（略）。
7、一根圆柱形钢管长10m，量得外直径12cm，内直径8cm，每 cm 3 钢管重7.8g，这根钢管重多少kg?
cm cm 2
cm 2
cm 2
cm 3
6.28 2
1 dm
2 dm
dm
dm 3 .14 12 .56 18 .84 6 . 28
dm 2 dm 2
dm 2
dm 3
10 20 62 . 8 10 314 628 1256 3140
m mm
m
m2
m2
m2
m3
3、填空：
（1）、一个圆柱底面直径和高都是10cm，这
V圆柱 V 长方体 abh 9 5 3 .14 45 3 .14
141 .3dm 3 h V V 141 .3 3 .14 32
S底 π r2 141 .3 28 .26
5dm
答：(略 )。
6、张师傅家挖一个底面直径2m，深3m的圆柱 形地窖。挖出土多少方？要在地窖的底面和四周 抹上水泥，每平方米需要8元。一共需要多少钱？
8、在一个装有水的圆柱形玻璃容器中放入一个长6cm，宽 3.14cm，高5cm的铝块（完全浸没），量得容器底面周长 6.28dm，取出铝块后水面下降多少cm?
9、学校自来水管内直径2cm，自来水流速每秒50cm，完全打开 水龙头，一分钟浪费水多少L？
10、一个装满汽油的圆柱形油桶，量得底面周长12.56dm,高 90cm,如果每升汽油6.23元，一共需要多少元？（油桶厚度忽略 不计）
1、根据圆柱说出各部分之间的关系：
dr
h
2、根据给出条件计算其它相关的数量：
半 径 直径 底面 高 底面 侧面 表面 体积
（r） （d） 周长 (h) 积（S 积（S 积（S （V）
（c）
底） 侧） 表）
36
18 .84 5 28 .26 94 . 2 150 .72 141 . 3
cm cm cm