复变函数与积分变换课后习题答案详解
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复变函数与积分变换
（修订版）主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+
); 33
3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴
()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,
()22
2Im z a xy z a x a y
-⎛⎫
= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵
()()()()()
()()()3
2
322222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴
()332
Re 3z x xy =-,
()323Im 3z x y y =-．
③解：
∵
((
)(
){
}3
3
2
3
2
111313188-+⎡
⎤⎡⎤==
--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦
⎝⎭
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=⎝⎭
, Im 0=⎝⎭
． ④解：
∵
()
(
)((
)2
3
3
2
3
13131i 8
⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦
=⎝⎭
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1
=⎝
⎭
, Im 0=⎝
⎭
． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,
k
n k
n k k n k ⎧-=⎪
=∈⎨=+-⋅⎪⎩．
∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；
当
21n k =+时，
()Re i 0
n =，
()()Im i 1k
n =-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;3;(2)(32);
.2
i
i i i +-+-++
①解：2i -+=
2i 2i -+=--
②解：33-=
33-=-
③解：()(
)2i 32i 2i 32i ++=++=
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-
④解：
1i 1i 22++==
()1i 11i
222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭
4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．
命题成立．
5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤
证明∵()()()()
2
z w z w z w z w z w +=+⋅+=++
(
)()
2
2
2
2
2Re z z z w w z w w
z zw z w w z w
z w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅
()
22
2
2
2
22z w z w
z w z w z w ++⋅=++⋅=+≤
∴z w
z w ++≤
．
6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+⋅+ ()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-⋅+
(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．
下面证()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-⋅+．
∵()()()()
2
2
2
z w z w z w z w z w z z w w z w
-=-⋅-=--=-⋅-⋅+
()
2
2
2Re z z w w =-⋅+．从而得证．
∴(
)2
2
22
2z w z w z w
++-=+
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3
352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛
⎫--+ ⎪+⎝
⎭ ①解：
()()()()
35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-
3816i 198i e 5025i θ⋅--=
==其中8
πarctan 19
θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π
2θ=．
π2
e i
i =
③解：ππi i 1e e -==
④解：()
2
8π116ππ3
θ-==-.
∴()
2πi 3
8π116πe
--+=⋅
⑤解：3
2π2πcos isin 99⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 解：∵3
2π2πcos isin 199⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
∴322π
i π.3i 93
2π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭
8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)
的平方根.
⑴i 的三次根． 解：
()1
3
ππ
2π2πππ22cos sin cos
isin 0,1,22233
+
+
⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭k k i k
∴
1ππ1
cos
isin i 662
=+=+z ．
2551
cos πisin πi 662=+=+z
3991cos πisin πi 662
=+=-z
⑵-1的三次根 解：
()()1
32π+π2ππ
cos πisin πcos
isin 0,1,233
k k k ++=+=
∴1ππ1cos isin 3
3
2
=+=z