【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2

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【2019-2020】高中数学第一章立体几何初步1-2-1平面的基本性质学案苏教版必修2

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1.2.1 平面的基本性质

1．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)

2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1平面的概念及表示

阅读教材P

21～P

22

公理2以上部分内容，完成下列问题．

1．概念

平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．

图1－2－1

2．表示

(1)图形表示

平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图1－2－1)．

(2)字母表示

平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．

3．点、线、面位置关系的符号表示

位置关系符号表示

点P在直线AB上P∈AB

点C 不在直线AB 上 C ∉AB 点M 在平面AC 内 M ∈平面AC 点A 1不在平面AC 内 A 1∉平面AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC ＝B 直线AB 在平面AC 内 AB ⊂平面AC 直线AA 1不在平面AC 内

AA 1⊄平面AC

如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，且M ∈l ，N ∈l ，那么下列说法正确的是________．(填序号)

①l ⊂α；②l ⊄α；③l ∩α＝M ；④l ∩α＝N . 【解析】 ∵M ∈a ，N ∈b ，a ⊂α，b ⊂α，

∴M ∈α，N ∈α.而M ，N 确定直线l ，根据公理1可知l ⊂α.故填①. 【答案】 ①

教材整理2 平面的基本性质 阅读教材P 21～P 23，完成下列问题． 1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

用符号表示为：

⎭

⎬⎫

A∈αB∈α⇒AB ⊂α. (2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

用符号表示为：

⎭

⎬⎫

P∈αP∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l . (3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 2．平面的基本性质的推论

(1)推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． (2)推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

(3)推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

1．如图1－2－2所示，用符号可表达为________．

图1－2－2

【解析】

由题图可知平面α与平面β相交于直线m，且直线n在平面α内，且与直线m相交于点A，故用符号可表示为：α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A.

【答案】α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A

2．下列说法正确的是________．(填序号)

①三点可以确定一个平面；

②一条直线和一个点可以确定一个平面；

③四边形是平面图形；

④两条相交直线可以确定一个平面．

【解析】①错误，不共线的三点可以确定一个平面．

②错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

③错误，四边形不一定是平面图形．

④正确，两条相交直线可以确定一个平面．

【答案】④

[小组合作型]

三种语言的转换

(1)如图1－2－3，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

①②

图1－2－3

(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面A DC交于AC”，并画出图形．

【精彩点拨】根据点、线、面之间位置关系及符号表示相互转化．

【自主解答】(1)①α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，l∥m.

②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O.

(2)符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，

平面ABC∩平面ADC＝AC.

图形表示：

1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．

3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[再练一题]

1．根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．

(1) (2)

图1－2－4

图(1)可以用几何符号表示为________________．

图(2)可以用几何符号表示为________________．

【答案】(1)α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b∥AB，a∥b

(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A∉l，B∉l

点线共面问题

已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．【精彩点拨】法一：a，b确定一个平面→l在平面内→a，c，l共面→a，b，c，l共面

法二：a，b确定一个平面→b，c确定另一个平面→两平面重合

【自主解答】如图．

法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.

又∵l∩a＝A，l∩b＝B，

∴l上有两点A，B在α内，即直线l⊂α.

∴a，b，l共面．

同理，a，c，l共面，

即c也在a，l确定的平面内．

故a，b，c，l共面．

法二：∵a∥b，

∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b，