1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系
1.2 集合之间的关系观察下面几个例子:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;③设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形};④E={2,4,6},F={6,4,2}.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集,例子④中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子④,类比实数中的结论:“若a≤b,且b≤a,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A B,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你能得出什么结论?(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当A⊆B时,A B或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为∅,并规定:空集是任何集合的子集,即⊆∅A;空集是任何非空集合的真子集,即∅A(A≠∅).(9)类比子集.结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中;③集合C中的元素都在集合D中;④集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子①中A⊆B,但有一个元素4∈B,且4∉A;而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1121所示表示集合A,如图1122所示表示集合B.图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.【当堂训练】1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A.4B.3C.2D.14.集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？5.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=_______.6.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N M,求实数a的取值范围.7.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:∅,{a},{a,b},{a,b,c}.(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集？8.已知集合A{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有……( )A.3个B.4个C.5个D.6个9.判断正误:(1)空集没有子集. ( )(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )10.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.11.(1)下列命题正确的是 ( )A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中,错误的个数为 ( )①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.4(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是 ( )A.a MB.a∉MC.{a}∈MD.{a}M12.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.13.已知集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足Q P,求a所取的一切值.14.已知集合A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使A P⊆B,求满足条件的集合P.15.设A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B应具有何种关系？16.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;(3)当x∈R时,没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.17.已知A ⊆B,且A ⊆C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 共有多少个？【家庭作业】 一、选择题1，下列八个关系式①{0}=φ ②φ=0 ③φ {φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ}其中正确的个数 （ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、72、集合{1，2，3}的真子集共有 （ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个3、设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式ax 2+bx+c ≥0的解集为（ ）A 、RB 、φC 、{abx x 2-≠} D 、{a b 2-}4.下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为 {1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}；（4）集合{54<<x x }是有限集，正确的是 （ ）A 、只有（1）和（4）B 、只有（2）和（3）C 、只有（2）D 、以上语句都不对 5．下列四个命题： （１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集； （３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确的有 （Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个二、填空题6、在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为7、若方程8x 2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是8、集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是 9、方程x 2-5x+6=0的解集可表示为方程组的解集可表示为⎩⎨⎧=-=+0231332y x y x10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.三、解答题11、已知方程x 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。
1.2集合间的基本关系
【说一说★本节新知】 一.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集 合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作：
A B (或B A )
读作：“A含于B”(或“B包含A”)
【说一说★本节新知】
二、Venn图表示集合的包含关系
B={x| x是等腰三角形} ．
【说一说★本节新知】
三.集合相等
如果集合A是集合B的子集(即A B)，且集合B 是集合 A的子集(即B A),此时集合A与集合B中的 元素是一样的，我们称集合A与集合B相等.
记作：A B.
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A={-1,0,1}, B={-1,0,1,2} ③ A={a,c,d}, B={a,b,c,d}
在数学中，我们经常用平面上封闭的曲 线的内部表示集合，这种图称为Venn图.
A B
BA
【想一想★得出新知】
观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,3,5,7,9}, B={9,7,5,3,1} ② A={a,b,c,d}, B={b,c,d,a}; ③ A={x | x是两边相等的三角形},
【听一听★更上一层】
例1.写出集合a, b的所有子集，并指出哪
些是它的真子集.
【听一听★更上一层】
变式 写出集合a, b，c的所有子集，并指出它的真子集.
【听一听★更上一层】
思考： 集合a1, a2 ,, an 有多少个
子集、 真子集、非空真子集?
解：含n个元素的集合的所有子集的个数是2n， 真子集的个数是2n-1， 非空真子集个数为2n-2.
1.2 集合间的基本关系(基础知识+基本题型)(含解析)
1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型） 知识点一 子集1.子集定义 一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”) 图示或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆;(2)对于集合A ,B ,C ,若A B ⊆,且B C ⊆,则A C ⊆.2.V enn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.提示：(1)注意符号“∈”与“⊆”的区别. “⊆”只用于集合与集合之间，如{0}N ⊆,而不能写成0N ⊆；“∈”只能用于元素与元素之间，如0N ∈,而不能写成{0}N ∈.(2)“A 是B 的子集”：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意x A ∈能推出x B ∈.(3)当A 不是B 的子集时，我们记作“A B ”(或“B A ”)，读作“A 不含于B ”(或“B 不包含A ”),此时A 中至少存在一个元素不是B 中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示.例如，集合{,,}A a b c =不是集合{,,,,}B b c d e f =的子集，因为集合A 中的元素a 不是集合B 中的元素.知识点二 集合相等如果集合A 是集合B 的子集()A B ⊆,且集合B 是集合A 的子集()B A ⊆,此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.拓展：(1)若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =;反之，若A B =,则A B ⊆,且B A ⊆，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A B =,只需要证A B ⊆与B A ⊆均成立即可.(2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关.(3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断.()A B B A A A AB B B 1.12-图知识点三 真子集定义 如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∈/,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )图示结论(1)若A B ⊆,且A B ≠,则AB ; (2)若AB ,且BC ,则A C . 提示(1)在证明AB ，时，应先证明A B ⊆，再证明B 中至少存在一个元素a ，使得a A ∉即可. (2) A B 对任意x A ∈都有x B ∈，但存在0x B ∈，且0x A ∉.(3)注意符号“⊆”与“”的区别. A B ⊆⇒A B =或A B ，例如，若集合{}1,2A =，{}1,2,3B =,则A 是B 的子集，也是真子集，用A B ⊆与A B 均可，但用AB 更准确. 知识点四 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。
1.2-集合间的基本关系
B={xIx2-2ax+b=0},若B A且B≠Φ,
求a,b的值。
反馈练 习 用最恰当的符号连接下列集合：
N___Z N___Q R___Z R___Q
0___ ___0 ___
例: 判断正误
1.空集没有子集 × 2.空集是任何一个集合的真子集 × 3.任一集合必有两个或两个以上的子集 ×
（3）A={n n为12的正约数}与B={1，3，2，4，6，12}
（4） A m m 2k 1, k Z
B n n 4k 1, k Z
真子集的定义
对于两个集合A、B，
若集合 A B ，
并且B中至少有一个元素不属于A， 那么称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B
2 A x x a2 2 a1 ,a R ，B y y b2 2b ,b R
2、课本P10练习1.2第一题
再观察下列两个集合，你发现什么？
③ A={x∣x是两条边相等的三角形} B={x∣x是等腰三角形}
④ A={2，4，6} B={6，4，2}
2.集合间的相等关系
如果集合A是集合B的子集，且 集合B是集合A的子集，此时集合A 与集合B中的元素是一样的，因此两 集合相等。
（或B真包含A）
规定：空集是任何非空集合的真子集。
(1)写出集合 a的所有子集和真子集。 (2)写出集合 a,b的所有子集和真子集。
(3)写出集合 a,b,c 的所有子集和真子集。
(4) 根据（1）（2）（3）你能猜想出 什么规律？
一般地，若集合A中有n个元素，则集合A
2 2 有 n个子集，2n-1个非空子集， n-1个
在平面上封闭曲线的内部代表集 合，这种图称为Venn图。
1.2 集合之间的关系
1.子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或（B⊇A），读作“A包含于B”或“B包含A”.我们规定，空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集.2.相等的集合对于两个集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，那么叫做集合A与集合B相等，记作A=B，读作“集合A等于集合B”.因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等.3.真子集对于两个集合A、B，如果A⊆B，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A⫋B，读作“A真包含于B”.4.子集的个数5.韦恩图（文氏图）【例题】判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）A⊆A；（2）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；（3）∅⊆A；（4）A⫋B，B⫋C，则A⫋C.【例题】在下面写法中，错误写法的个数是（）①{0}∈{0,1}；②∅⫋{0}；③{0,-1,1}={1,-1,0};④0∈∅；⑤{（0,0）}={0}.A.2B.3C.4D.5【判别】a与{a}，{0}与∅之间有何区别？【例题】已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0}的子集个数为 . 【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，求集合B.【例题】设集合A={1,2,3}，B={x|x∈A}，求集合B.【例题】已知A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-1=0}，若B⫋A，试求a的值.【例题】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足A⫋C⫋B的集合的个数是（）A.1B.2C.3D.4【例题】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A⫋B，求a的范围.。
§1.2 集合间的基本关系
反思感悟
判断集合间关系的常用方法
二 真子集
问题2 观察问题1中的几个例子，类比实数a<b与a≤b的关系，一个非空 集合的子集有好多个，你能对它们进行分类吗？ 提示 观察(1)可知，4∈B但4∉A，集合A中的元素个数比集合B中的元素 个数少.观察(3)可知，集合E与集合F相等，集合E中的元素个数与集合F 中的元素个数相等. 综上可得，对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多 比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集. 问题3 集合A＝{x∈R|x2－x＋1＝0}中有多少个元素？ 提示 集合A中没有元素.
(P8例2) 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；
因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.
(2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}； 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以 集合A是集合B的子集.且有A=B
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，
{a，b，c}
8
{b，c}，{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，
{a，b，c，
c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，
d}
16
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，
(3)E＝{x|x是有两条边相等的三角形}，F＝{x|x是等腰三角形}. 提示 集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E.
知识梳理
1.2集合之间的关系
典型例题
例1：用适当的符号（，， ， 或=）填空.
（1）{, , , }
{ ， }；
（2） { }；
（3）N
Z；
（4）0 ；
（5）{1} =
{x | x-1=0}；
（6）{x|-2<x<3}
{ x|x≥-3 }；
典型例题
例2：写出集合 = {, , }的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
（2）该集合的所有真子集个数是 ．
问题：如果一个集合中有 n 个元素,那么它的所有非空子集个数有多少？
它的非空真子集又有多少个？
结论2：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有非空子集个数是 − ;
（2）该集合的所有非空真子集个数是 ．
集合M={0,1,3}中,子集个数是 8
{, , }; {, , };
{, , , }
∅, {}
∅; {}; {}; {, }
∅
∅；{}; {};
子集个数
真子集个数
2
=21
1 =21-1
4
=22
3 =22-1
8Байду номын сангаас
=23
7 =23-1
16 =24
15 =24-1
结论1：如果一个集合中有 n 个元素;
（1）该集合的所有子集个数是 ;
练习：判断集合是否为集合的真子集,若是打√， 若不是打×.
（1） = {, , }, = {, , , , , }
(
√
)
（2） = {, , }, = {, , , }
(
×
)
（3） = ∅, = {}.
1.1.2 集合间的基本关系
16
…
…
…
n个元素
2n
返回
思维训练：集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},将 集合A的子集中的所有元素相加所得的和是 多少？
试一试
2.已知A {x | 2 x 5},B {x | a 1 x 2a 1}, B A,求实数a的取值范围.
例3 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y},且 A=B，求实数x,y的值．
数学语言表示形式： 若对任意x∊A，有x ∊B，则 A⊆B。
若A不是B的子集，则记作：A⊈B（或B ⊉A） 例：A={2，4}，B={3，5，7} ； 则A⊈B。
A⊆B的图形语言
A B
用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合这图
叫轴直观表示:
如：{x| x>3}表示为
做一做
例4：已知A{x|x=8m+14n，m，n ∈Z} ， B ={x|x=2k，k ∈Z}。
（1）数2和集合A的关系如何？ （2）集合A与集合B的关系如何
课堂小结:
• 今天你学到了什么知识？ • 你能用自己的话说说吗？
A⊊B， B⊊C ⇒ A⊊C。
• 例1、 判 断 下 列 关 系 式 ： ① {0}； ② {0}； ③ {0}； ④0 {0}； ⑤{a} {a, b}； ⑥ {}； ⑦ {}； ⑧ {}； ⑨{a} { x | x {a, b}},⑩{（0，0）}={0}
其 中 正 确 的 是③⑥⑦⑨ 。
02345
x
集合相等
• 用子集概念描述：如果集合A 是集合B的子集（ A⊆B） 且集合B也是集合A的子集（ B⊆A）就说A与B相等， 记A=B。即 A⊆B， B⊆A⇔A=B。
类似于a≥b，b≥a则a=b
第02讲 1.2集合间的基本关系(教师版)
第02讲 1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn 图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
知识点01：venn 图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn 图。
Venn 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。
利用Venn 图，可以使问题简单明了地得到解决。
对Venn 图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（1）记法与读法：记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.②对于集合A ，B ，C ，若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆（3）venn 图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“Δ表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）写出集合{,}a b 的所有子集．【答案】{}{}{},,,,a b a b f 【详解】集合{,}a b 的所有子集有：{}{}{},,,,a b a b f 知识点03：集合相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作A B =.也就是说,若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =.（1）A B =的venn 图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2024秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）A ．{}{}1||1x x y y x y +==+=B ．(){}{},2||2x y x y x x y +==+=C ．{|2}{|2}x x y y >=>D ．{}{}1,22,1=【答案】B【详解】对于A ，因{}1|R x x y +==，{}1|R y x y ==+，即{}{}1||1x x y y x y +==+=，A 正确；对于B ，因集合(){},2|x y x y +=的元素为有序数对，而{}2|x x y +=的元素为实数，两个集合的对象不同，B 不正确；对于C ，因集合{|2}x x >与{|2}y y >都表示大于2的数形成的集合，即{|2}{|2}x x y y >=>，C 正确；对于D ，由列举法表示集合知{}{}1,22,1=正确，D 正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合A B ⊆，但存在元素x B Î，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集;（1）记法与读法：记作A B Ü，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)【即学即练3】（2024·全国【答案】7【详解】由{}a {,,M a b ⊆M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于因此M 中的元素来自于b ,c,d 即在b ,c,d 中取1元素时，M 故足条件：{}a {,,M a b ⊆故答案为：7.{}{}Ì，故③正确，④错误，正确的个数为2.11,2,3故选：B题型01 判断两个集合的包含关系【详解】由题意知，，M xì=【典例1】（2024·陕西咸阳·统考三模）设集合*{|13}A x N x =Î-<£，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．15【答案】B【详解】因为*{|13}A x N x =Î-<£，【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，若使B A ⊆成立的实数a 的取值集合为M ，则M 的一个真子集可以是（ ）A ．{4}x x £∣B ．{3}xx £∣C ．{|34}x x <£D ．{|45}x x £<【答案】BC【详解】由题意集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，因为B A ⊆，所以当B =∅时，221a a +>-，即3a < ；当B ≠∅时，有12217a a -£+£-£ ，解得34a ££，故(,4]M =-¥,则M 的一个真子集可以是(,3]-¥或(]3,4，故选：BC.【典例2】（2024·高一课时练习）设{1,2}A =，{|}B x x A =⊆若用列举法表示，则集合B 是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A ＝{1,2}，B ＝{x |x ⊆A }，则集合B 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2024秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合{2,4}M =，集合M N N ⊆，是{1,2,3,4,5}的真子集，则集合N 可以是（ ）A ．{2,4}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】ABC【详解】集合{2,4}M =，集合M N ⊆{1,2,3,4,5}，则集合N 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，所以集合N 可以是{2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2024·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )A ．2{|10}x R x Î-=B ．{|61}x x x ><或C ．22{(,)|0}x y x y +=D ．{|61}x x x ><且【答案】D【详解】A 选项：21{|10}x R x ±ÎÎ-=，不是空集；B 选项：7$Î{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D【典例2】（2024春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①{}{}00,1,2Î；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2024·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00Î．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立.④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00Î．故选：C.【变式1】（多选）（2024·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）A ．0Î∅B ．{}∅Î∅C ．{}∅⊆∅D ．{}0∅⊆【答案】BCD【详解】选项A ：空集中没有元素，故A 错误；选项B ：{}∅中只有一个元素∅，故B 正确；选项C ，D ：空集是任意集合的子集，故C ，D 正确故选：BCD题型05 空集的性质及应用【典例1】（2024·全国·高一专题练习）已知集合{|21}M x m x m =<<+，且M =∅，则实数m 的取值范围是____.【答案】m ≥1【详解】∵M ＝∅，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.故答案为m ≥1【典例2】（2024·高一课时练习）不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】{|1}a a £-【详解】解：∵不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，①当0a >时，由0ax >求得0x >；由10x a ++>，求得1x a >--，故不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|0}x x >≠∅，故不满足条件；②当a<0时，由0ax >求得0x <；由10x a ++>，求得1x a >--，若10a --³，即1a £-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，满足条件；若10a --<，即01a >>-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|10}x a x --<<≠∅，不满足条件，综上可得实数a 的取值范围是{|1}a a £-，故答案为：{|1}a a £-．【变式1】（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合{}R 2x a x Σ£ 为空集，则实数a 的取值范围是______.【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,32B a =-，若A B =，则a 等于（ ）A ．1或2B ．1-或2-C ．2D ．1【答案】C【详解】解：因为A B =，所以232a a =-，解得1a =或2a =.当1a =时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =不正确.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2024·全国·高一专题练习）给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S Î，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2024·高一课时练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A Î，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =³或}5x <-，{}|13B x a x a =+££+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ³【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +³，解得8a <-或3a ³．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ³.故答案为：{|8a a <-或}3a ³ 综上，实数a 的取值范围为{4a a -或}2a >.本节数学思想方法（分类讨论法）{},|34B A A x x ⊆=-££Q ，213m \-³-且14m +£，解得：13m -≤≤，所以12m -£<,②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -³+，解得：2m ³.综上，实数m 的取值范围是1m ³-.故答案为：[)1,-+¥.。
高中数学高一上册第一章-1.1.2集合之间的关系课件
读作 “集合A 等于B 集合” 显然 若 A B 且 B A，则 A B
想一想用图示法怎么表示A=B？
三、真子集
对于两个集合 A 和 B ， 如果 A B ，且 B 中至少有一个元素不属于 A
那么集合 A 叫做集合B 的真子集.
记作
A B ( B A )
读作 “ A 真包含于B ” （“B 真包含A ”）
70,1 0,1
例3.求出所有符合条件的集合C (1) C{1,2,3}
(2) C {a , b}
(3) {1,2,3} C{1,2,3,4,5} 解: (1) C 可以是以下集合： , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } (2) C 可以是以下集合： ,{a},{b} (3) C 可以是以下集合： { 1 ,2 ,3 ,4 } ,{ 1 ,2 ,3 ,5 } ,{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 }解毕
当B=时， a = 0
当B={-2}时，a = 1
当B={3}时，a
=
2
1
3
解毕
有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 说话不要有攻击性，不要有杀伤力，不夸已能，不扬人恶，自然能化敌为友。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 不会生气的人是愚者，不生气的人乃真正的智者。 友谊要像爱情一样才温暖人心，爱情要像友谊一样才牢不可破。 每天都将自己最好的一面展示给别人。——杨丽娜 我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬起来。 我们不能选择命运，但是我们能改变命运。
答：x2,y5.
例 5 : 已 知 集 合 A = { x | x 2 x 6 0 } 与 集 合 B = {x |a x 1 0 }
1.2 集合间的基本关系知识题型总结【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册(含答案)
1.2 集合间的基本关系知识题型总结1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1 子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对，故选：BD．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题．【题型2 集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(−1)n2，n∈Z}D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab ，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab，由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去， 所以a ＝﹣1，b ＝0． ∴a 2021+b 2020＝﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题． 【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{x |x +3＝3} B ．{（x ，y ）|y 2＝﹣x 2，x ，y ∈R } C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2﹣x +1＝0，x ∈R }【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0； 对于选项B ，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解．故选：D．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4B．0≤a＜4C．0＜a≤4D．0≤a≤4【分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【解答】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则{a＞0△=a2−4a≤0，解得0＜a≤4．综上实数a的取值范围0≤a≤4．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C ．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P ＝{y |y ＝x 2+1），M ＝{x |y ＝x 2+1}，则集合M 与集合P 的关系是（ ） A ．M ＝PB ．P ∈MC ．M ⫋PD ．P ⫋M【分析】由函数得：P ＝{y |y ≥1}，M ＝R ，即P ⫋M ，得解 【解答】解：因为y ＝x 2+1≥1， 即P ＝{y |y ≥1}， M ＝{x |y ＝x 2+1}＝R ， 所以P ⫋M ， 故选：D ．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，集合B ＝{x ||x ﹣1|≤3}，集合C ={x|x−4x+5≤0}，则集合A ，B ，C 的关系为（ ） A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．C ⊆BD ．A ⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A ，B ，C ，再根据子集的定义判断A ，B ，C 的关系． 【解答】解：∵x 2﹣2x ﹣3≤0，即（x ﹣3）（x +1）≤0， ∴﹣1≤x ≤3，则A ＝[﹣1，3]， 又|x ﹣1|≤3，即﹣3≤x ﹣1≤3， ∴﹣2≤x ≤4，则B ＝[﹣2，4]， ∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ）A．S⊆P B．S⊆M C．M⊆S D．P⊆S【分析】根据题意判断集合M，P，S表示的意义，进行判断．【解答】解：M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}＝{z|z＝3×（2m）+1，m∈Z}＝{z|z＝2×（3m）+1，m∈Z}，表示被6整除余1的集合；故S⫋P，S⫋M．故S⊆P，S⊆M，正确，即AB正确．故选：AB．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题．【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（）A．4B．6C．16D．63【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝．【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a 的值．【解答】解：∵集合A ＝{x |（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0}，且A 的子集个数为2个， ∴（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数解，当a ﹣1＝0时，a ＝1，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0即3x ﹣2＝0，解得x =23， 当a ﹣1≠0时，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a ﹣1）＝0，解得a =−18． ∴实数a 的值为1或−18． 故答案为：1或−18．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【题型5 利用集合间的关系求参数】 【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例5】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m 的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围． 【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}， 当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ． 当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立， 需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2，综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ． 故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【变式5-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ． （1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可； （2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187，当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求： 综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式5-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可． 【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2； ②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]； （2）由题意知，A ∩B ＝∅， ①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-3】（2020春•荔湾区校级期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解．【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，由已知A⊆B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，由A⊆B可得a≤2，所以1＜a≤2；综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•沭阳县期中）已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有4x∈A，则称集合A具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为．【分析】利用列举法能求出在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数．【解答】解：在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合有：{1，4}，{2}，{1，2，4}，∴在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-1】（2020秋•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为 ． 【分析】讨论a ＝0和a ＞0，求得集合B ，再由新定义，得到a 的方程，即可解得a 的值． 【解答】解：集合A ＝{﹣1，2}， B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}， 若a ＝0，则B ＝∅， 即有B ⊆A ；若a ＞0，可得B ＝{−√2a ，√2a }，不满足B ⊆A ；若A ，B 两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得√2a =2或−√2a =−1，解得a =12或a ＝2．综上可得，a ＝0或12或2；故答案为：{0，12，2}．【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•南昌县校级月考）若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{﹣1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．31【分析】由定义求出集合A 中的元素可为﹣1，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为2n ﹣1．【解答】解：∵﹣1∈A ，1−1=−12∈A 则12∈A12∈A 则2∈A∴A ＝{﹣1}或A ＝{2，12}或A ＝{﹣1，2，12} 故选：B ．【点评】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．【变式6-3】（2021春•如皋市校级月考）对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n ，n ∈N ∗或{x =2m −1，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝x +y ；②当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是（ ） A ．214个B ．213个C ．211个D ．27个【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A 中对应的元素即可求解． 【解答】解：①若x ，y 同为奇数或偶数时； ∵x ◎y ＝x +y ＝10，∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）； ②当x 为偶数，y 为奇数时； ∵x ◎y ＝xy ．∴（2，5），（10，1）∴综上所诉：集合A 中共含有11个元素，故其子集个数为：211个． 故选：C ．【点评】本题考查了集合子集的个数问题，考查学生的分析能力，属于基础题．。
1.2集合之间的关联
x
m
1 6
,m
Z
，
N
x
x
n 2
1,n 3
Z
，
P
x
x
p 2
1, 6
p
Z
，判断
M，N，P
的关系；
例题
(3)设集合 A x x 2k, k Z, B y y 14 p 36q, p, q Z，
判断 A, B 的关系.
对于两个集合 A 与 B，如果 A B ，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A，那么称集合 A 是集 合 B 的真子集，记作 A B 或 B A 读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”．
图像语言：
集合语言：若 A B ,且存在 x0 B 使 x0 A ,则 A B .
规定：空集真包含于任何一个非空集合，即 空集是任何非空集合的真子集．
例题
1.已知集合 A x (a 1)x2 3x 2 0 ，
是否存在这样的实数 a，使得集合 A 有且仅 有两个子集？若存在，求出实数 a 的值及对 应的两个子集；若不存在，请说明理由.
例题
2.(1)写出集合a,b, c 的所有子集和真子集； (2)由特殊到一般归纳有限集a1, a2, a3, , an
的子集和真子集的个数；
(3)求满足1, 2 B 1, 2,3, 4,5的集合 B 的
个数.
例题
3.设集合 A={a,a+d,a+2d}，B= {a,aq,aq2}，
且 A=B，求实数 q 的值．
1.1.2 集合间的基本关系
1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答 案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
1.2 集合之间的关系
【例题精解】
【例1】 用适当的符号(∈,∉,⊆,⊇,⊈,⫋,⫌,=)填空:
(1)2
{2,4,6,8}
(2){a}
{a,b,c,d}
(3){1,3,7}
{1,7}
(4)∅
{0}
(5){矩形}
{平行四边形}
(6)∅
{0,1,2}
(7){4,5,6}
{6,5,4}
(8)∅
{x|x2+1=0,x∈R}
【点评】 正确理解∈,∉,⊆,⊇,⊈,⫋的涵义:元素与集合的关
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12
系是“从属关系”:“属于”或“不属于”,集合与集合的关系是
“包含关系”:“包含”或“不包含”;正确区分子集与真子集.
【例2】 (1)集合A={-2,2},B={-2,0,2},则 (
A.A⊈B
B.A⫋BC.A=B)Fra bibliotekD.A∈B
【点评】 由真子集、集合相等的概念,集合与集合的关系
很快排除A、C、D.
(2)已知集合M={x|x2=4}与集合N={-2,2},则下列关系正确的是
D.(1,2)∉{(x,y)|x+y=3,x∈N+,y∈N+}
【答案】B
5.下列关系正确的是 (
A.0⊆{0}
C.(1,2)⊆{(1,2)}
1.2集合间的基本关系
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变式训练：集合 M＝{x|x2＋2x－a＝0，x∈R}，且 ∅ M，则实数 a 的范围是( (A)a≤－1 ) (D)a≥1
(B)a≤1 (C)a≥－1
2 解析：∵∅ M ， ∴ M 为非空集合，即 x ＋2x－a＝0 有根，
∴Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1.故选 C.
新课
实数有相等关系，大小关系，类比 实数之间的关系，集合之间是否具备类 似的关系？
新课
示例1：观察下面三个集合, 找出它们之 间的关系: A＝{1，2，3}
B＝{1，2，7} C＝{1，2，3，4，5}
1.子 集 一般地，对于两个集合，如果A中 任意一个元素都是B的元素，称集合A 是集合B的子集，记作AB.
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6．设集合 A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且 A⊇B， 则实数 k 的取值范围组成的集合是__________．
解析：因为 A⊇B，所以 2k－1≥－3 且 2k＋ 1≤2， 1 解得：－1≤k≤ . 2
1 答案：{k|－1≤k≤ } 2
湖南省长沙}，B＝{a2}，并且 B 是 A 的真子集， 则实数 a 的值为__________．
2 解析：∵B A，∴a ∈A，
则有： (1)a2＝1⇒a＝± 1，当 a＝1 时与元素的互异性不符， ∴a＝－1； (2)a2＝3⇒a＝± 3； (3)a2＝a⇒a＝0，a＝1，舍去 a＝1，则 a＝0. 答案：－1，± 3，0 综上：a＝－1，a＝± 3或 a＝0.
(若x A, 则x C , 则A C )
而从B与C来看，显然B不包含于C. 记为B C或C B.
2.集合相等 示例2：
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【课题】1.2 集合之间的关系
【教学目标】
知识目标：
掌握集合之间的关系（子集、真子集、相等）的概念，会判断集合之间的关系.
能力目标：
（1）通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力；
（2）通过集合的关系的图形分析，培养学生的观察能力.
情感目标：
（1）经历利用集合语言描述集合与集合间的关系的过程，养成规范意识，发展严谨的作风；
（2）经历利用图形研究集合间关系的过程，体验“数形结合”的探究方法.
【教学重点】
集合与集合间的关系及其相关符号表示．
【教学难点】
真子集的概念．
【教学设计】
（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；
（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；
（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；
（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
是用来表示集合与集合之间关系的符号；
”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
的子集，并且集合
．
空集是任何非空集合的真子集．
对于集合A、B、C，如果A
=9}={3，-3}
x x==x x= |2}
；⑸a{0}∅；
2}2
{|x x。