上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020学年交大附中高二年级上学期期末试卷一、填空题1. 复数21i-的虚部为____________． 【答案】1【解析】【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部. 【详解】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1.2. 直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________． 【答案】12【解析】【分析】将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=， 2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 3. 已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．考点：简单的线性规划．4. 若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 【答案】4-【解析】【分析】将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.【详解】因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根，所以0x =，所以40k +=，所以4k =-，故答案为：4-.5. 抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =-【解析】 试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程6. 已知圆锥底面半径为1_____．【答案】2π【解析】【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．【详解】由已知可得r=1，2=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.7. 已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________．【答案】3 【解析】【分析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，计算可得结果.【详解】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CODO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为AC BC AD BD ====，AB CD ==2CO DO ===，所以112CDO S ==，又因为111333A BCD CDO V AB S -=⨯⨯==，故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.8. 在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 【答案】3R π 【解析】【分析】由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．【详解】由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒， 故连接两座城市的弦长22L R R ==， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=， 所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 【点睛】本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠． 9. 设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 【答案】13 【解析】【分析】根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.【详解】由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =，的所以21PF =，或213PF = 经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =.故答案为：13.10. 设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．【解析】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为12z z i +，所以122z z ==+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .11. 已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条．【答案】3【解析】【分析】根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数.【详解】将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ，此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条，故答案为：3.【点睛】结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条； （4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条； （5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.12. 三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．【答案】90或arccos3 【解析】【分析】对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小.【详解】分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，AD =，BC与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC =，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan CD CED DE ∠==DE ∴=，3CE a ∴==，CE AB ⊥，3AE a ∴==，3BE a ==，所以，AB AE BE =-=，在ABC 中，AC 2a =，BC =，AB =，由余弦定理可得222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，0180ACB <∠<，所以，arccos3ACB ∠=.综上所述，90ACB ∠=或arccos3.故答案为：90或arccos 3. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解.二、选择题13. 设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.【详解】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B . 14. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（ ）A. 存在k ，1P ，2P 使之无交点B. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D. 无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点【答案】D【解析】【分析】根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b-≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.【详解】因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.【点睛】关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.15. 平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A. 外心、重心B. 内心、垂心C. 外心、垂心D. 内心、重心【答案】C【解析】【分析】 将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.【详解】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ，所以11111AA A D A B === 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.16. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】 【分析】先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．【详解】由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==， 2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ，由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹.三、解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =． (1) 若1BM AC ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【答案】（1）1h =（2）arc 【解析】试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =． (2) 解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ 则11sin 2n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sin arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为sinarc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18. 已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值．的【答案】（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．【解析】 【分析】（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBCABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.【详解】（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=， 因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=，所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可.20. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．【答案】（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围． 【详解】（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 303AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ， 11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）12233ABD S =⨯⨯=△，11339F ABD V -=⨯⨯=，由长方体性质可得BF =3BD =，3DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥，∴12BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得13=h = （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21. 设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =的以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切；（3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因NC ND NC ND +=-，所以0NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=， 所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=，所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=， 所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m k km k m λλμλμμ-++++++-=， 又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=，所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=， 所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+，所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期期末试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义集合运算：A☆B=.设集合，，则集合A☆B的元素之和为（）A．2 B．1 C．3 D．4参考答案：C2. “a2+b2≠0”的含义为（）A．a和b都不为0B．a和b至少有一个为0C．a和b至少有一个不为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0参考答案：C【考点】逻辑联结词“或”．【专题】阅读型；探究型．【分析】对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．【解答】解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；A中a和b都不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0，故不对；D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故不对；故选C【点评】本题考查逻辑连接词“或”，求解的关键是对≠的正确理解与逻辑连接词至少有一个、和、或的意义的理解．3. 函数当x>2 时恒有>1，则a的取值范围是（）A． B．0 C． D．参考答案：A4. 已知复数若为实数，则实数m的值为（）A. B. C. D.参考答案：D略5. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称．则称点对是函数的一个“友好对点”（点对与看作同一个“友好对点”），已知函数，则函数的“友好对点”的个数为（）A．1 B． 2 C．3D．4参考答案：B6. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选C【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．7. 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A．m与n重合B．m与n平行C．m与n交于点（，）D．无法判定m与n是否相交参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本的中心点，得到直线m和n交于点（，）．【解答】解：两个人在试验中求出变量x的观测数据的平均值都是，变量y的观测数据的平均值都是，∴这组数据的样本中心点是（，），∵回归直线经过样本的中心点，∴m和n都过（，），即回归直线m和n交于点（，）．故选：C．8. 设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么（A）（B）（C）（D）参考答案：C9. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。
3mjt-上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa →•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a ∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√49a29a32=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a +4，y 1y 2=−213a +4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．11。
上海交通大学第二附属中学2021年高二数学理期末试题含解析
上海交通大学第二附属中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“对任意，都有”的否定为（）A．存在，使得B．对任意，都有C．存在，使得D．不存在，使得参考答案：C2. 命题“若”的逆否命题是（）.A．若 B．若C．若则 D．若参考答案：D略3. 若实数满足则的取值范围是（）A. B.[ C. D.参考答案：B4. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．2参考答案：D【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．【解答】解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．5. 定义在R上的函数f（x）对任意x1、x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A．[﹣3，﹣）B．[﹣3，﹣] C．[﹣5，﹣）D．[﹣5，﹣]参考答案：D【考点】函数单调性的性质．【分析】根据已知条件便可得到f（x）在R上是减函数，且是奇函数，所以由不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）便得到，s2﹣2s≥t2﹣2t，将其整理成（s﹣t）（s+t﹣2）≥0，画出不等式组所表示的平面区域．设，所以得到t=，通过图形求关于s的一次函数的斜率范围即可得到z的范围，从而求出的取值范围．【解答】解：由已知条件知f（x）在R上单调递减，且关于原点对称；∴由f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）得：s2﹣2s≥t2﹣2t；∴（s﹣t）（s+t﹣2）≥0；以s为横坐标，t为纵坐标建立平面直角坐标系；不等式组所表示的平面区域，如图所示：即△ABC及其内部，C（4，﹣2）；设，整理成：；；∴，解得：；∴的取值范围是[]．故选：D．【点评】考查减函数的定义，图象的平移，奇函数的定义，以及二元一次不等式组表示平面区域，线性规划的概念，及其应用，过原点的一次函数的斜率的求解．6. 已知函数，，，，，则A、B、C 的大小关系为()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A参考答案：A7. 已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：B略8. 若函数的定义域和值域都是[0,1]，则等于A. B. 2 C. D．参考答案：B略9. 设复数，若，则的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10. 以两点和为直径端点的圆的方程是A、 B、C、 D、参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在x=______处取得极小值．参考答案：2由题意，令得或．因或时，，时，．∴时取得极小值．12. 已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．参考答案：4x﹣y﹣8=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；63：导数的运算．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f （2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=013. 已知集合A＝{x|ax－1＝0，x∈R}，B＝{1，2}，A∪B＝B，则a＝________．参考答案：0，，1∵A∪B＝B，∴A?B当a＝0时，A＝?，符合题意；当a≠0时，A＝{}，由A?B得＝1或＝2，∴a＝1或.综上，a＝0，1，.14. 点P在直线上，O为原点，则的最小值是参考答案：略15. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．参考答案：15【分析】根据红球的概率和个数求出总球数，从而求出篮球的个数.【详解】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.所以本题答案为15.【点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.16. 如图，函数的图象是折线段，其中点的坐标分别为，则参考答案：217. 已知光线经过点A （﹣1，2）由镜面所在直线y=x 反射后经过点B （1，4），则反射光线所在直线方程为．参考答案：5x+y﹣9=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点的坐标，代入直线方程即可．【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，∴反射光线的斜率为：k==﹣5，∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案为：5x+y﹣9=0．【点评】本题考查了求直线的方程问题，考查直线的垂直关系，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。
上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题
上海市交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若()3,1a =-，()1,b t =，且()2a b a +⊥，则t =______. 2．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则A B =______. 3．函数f （x ）()21232log x x =-+-的单调递增区间是_____． 4．已知函数()()arcsin 2110y x x =+-≤≤，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭_____________.5．若实数λ满足()1AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点，则λ的取值范围为______.6．若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____. 7．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．8．已知梯形ABCD ，AB CD ∥，设1AB e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量a ，都可以唯一表示为1e 、2e 的线性组合，那么2e 的个数为______.9．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 10．已知函数()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩，若函数()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.11．设[0,2)ϕπ∈，若关于x 的方程sin(2)x a ϕ+=在区间[0,]π上有三个解，且它们的和为43π，则ϕ=________ 12．设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP xAB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.二、单选题13．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π=14．在等差数列{}n a 中，设*,,,k l p r N ∈，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分非必要条件15．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的高，2AE ED =，3BAC π∠=，3AB =，2AC =，则AE CE ⋅的值为（ ）A ．67-B ．23-C ．-2D ．2316．凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（ ）A ．3B ．4C 1D三、解答题17．在一个平面内，一质点O 受三个力1F 、2F 、3F 的作用保持平衡（即1F 、2F 、3F 的和为零向量），其中3F 与2F 的夹角为α，3F 与1F 的夹角为β.（1）若120α=，150β=，310F =，求力1F 、2F 的大小；（2）若123::1:F F F =α与β.（用反三角函数表示） 18．已知函数()2f x ax 2ax 2(a 0)=-+>在区间[]1,4-上的最大值为10．()1求a 的值及()f x 的解析式；()2设()()f xg x x=，若不等式()x x g 3t 30-⋅≥在[]x 0,2∈上有解，求实数t 的取值范围．19．已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，若()()f A f B =，且A B ≠，AB =，求ABC ∆外接圆半径的长.20．已知函数()()22xxf x k x R -=+⋅∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）设0k >，问函数()f x 的图像是否关于某直线x m =成轴对称图形，如果是，求出m 的值，如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数()g x 的图像关于某直线x m =成轴对称图形”的充要条件为“函数()g m x +是偶函数”）（3）设1k =-，函数()14223xxh x a a -=⋅--，若函数()f x 与()h x 的图像有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.21．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：()*11n n a a n N+=+∈.（1）当113a =-时，且10n a -<<，写出2a 、3a ； （2）若数列{}()*110,na n n N ≤≤∈是公差为-1的等差数列，求1a 的取值范围；（3）记n S 为{}n a 的前n 项和，当10a =时， ①给定常数()*4,m m m N≥∈，求1m S-的最小值；②对于数列1a ，2a ，…，8a ，当8S 取到最小值时，是否唯一存在满足()*21126,j j a a j j N +-=+≤≤∈的数列{}n a ？说明理由.参考答案1．23 【分析】根据向量坐标运算,可得2a b +,再由向量垂直的坐标关系即可求得t 的值. 【详解】根据向量坐标运算,可得()27,2a b t +=-+由向量()2a b a +⊥,可得()22120a b a t +⋅=+-=. 解得23t = 【点睛】本题考查了向量加法运算,根据向量垂直的坐标关系求参数,属于基础题. 2．()[),23,-∞+∞【分析】分别解分式不等式和二次不等式,得集合A 与集合B,即可求得A B .【详解】 因为集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,解得{}52A x x =-<< 集合{}2|230,B x x x x R =--≥∈,解得{}|13B x x x =≤-≥或 则()[),23,AB =-∞+∞.【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题. 3．[32，2）． 【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义域求解即可. 【详解】由题,因为()12log f x x =为减函数,故求()()212log 32f x x x =-+-的单调递增区间即求232y x x =-+-的单调递减区间,即3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.又对数函数的定义域有2320x x -+->,解得()1,2x ∈.故()()212log 32f x x x =-+-的单调递增区间是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间,属于基础题. 4．14-【分析】先由函数解析式，求出逆函数解析()111sin 22-=-f x x ，代入求解，即可得出结果. 【详解】由()()arcsin 2110y x x =+-≤≤得21sin +=x y ，即11sin 22=-x y ， 所以()111sin 22-=-fx x ，因此1111sin 62624ππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f .故答案为14- 【点睛】本题主要考查求逆函数的值，会求逆函数的解析式即可，属于常考题型. 5．(),0-∞ 【分析】根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得λ的取值范围. 【详解】由题意可知,示意图如下图所示:根据向量线性运算可得()1AD AB AC λλ=+-AB AC AC λλ=+-即()AD AC AB AC λ-=- 所以CD CB BC λλ==-因为D 是ABC ∆边BC 延长线（不含C ）上一点 所以CD 与CB 反向 即0λ<.所以(),0λ∈-∞ 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.6．1,)++∞ 【解析】 【分析】问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝sin2cos21x x -+的最大值即可．【详解】不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos21214m x x x π⎛⎫>-+=-+ ⎪⎝⎭.214x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1，1m ∴>，故答案为)1,+∞.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题． 7．9 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②．解①得：；解②得：． ∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ． 8．8 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知, 1e 与2e 不平行.从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得2e 的个数. 【详解】由题意可知, 1e 与2e 不平行则从A 、B 、C 、D 中任意选取两个点作为向量,共有244312A =⨯=个向量在这些向量中,与1e 共线的向量有AB ,BA ,CD ,DC 所以2e 的个数为1248-= 个本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题. 9．23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n --23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n -， ∴2n S =23(11)4n -；又12345 a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --）， 即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n --23∴2211lim lim(32n n n n a -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-23【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于10．(),1-∞- 【分析】画出分段函数的图像,根据函数图像讨论a 的不同取值,分析是否存在最大值即可. 【详解】根据()22x x x af x xx a ⎧--≤=⎨->⎩,画出函数图像如下图所示:由图像可知,当1a ≥-，()f x 取得二次函数顶点,此时存在最大值为1，当1a <-时，最大值在一次函数左端点,但左端点没有取得等号，所以1a <-时没有最大值 综上, 实数a 的取值范围为(),1-∞-. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题. 11．6π或76π【解析】 【分析】由关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π可得，最大和最小的解分别为π和0，根据它们的和为43π，可求出中间的解，列出等式，根据ϕ的范围即可求出结果. 【详解】因为关于x 的方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上有三个解，且函数()y sin 2x ϕ=+的最小正周期为π，再由三角函数的对称性可知：方程()sin 2x a ϕ+=在区间[]0,π上的解的最小值与最大值分别为0和π； 又它们的和为43π，所以中间的解为3π，所以有2sin sin 3a πϕϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭，即1sin sin 2ϕϕϕ=-，故tan ϕ= 又[)0,2ϕπ∈，所以6πϕ=或76π. 故答案为6π或76π【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型. 12．[]1,3 【分析】根据共线向量基本定理,设AP mAM =,结合条件AP xAB y AC =+可求得x y m +=的等量关系，根据M 的位置可求得x y +的范围，同时根据基本不等式，求得xy 的取值范围， 即可得x y xy ++的取值范围。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学试卷一、填空题1．复数z满足i•z＝1．则Imz＝ ．2．已知抛物线y＝4x2，则焦点的坐标为 ．3．若z（i为虚数单位，a＞0），|z3|＝5，则a的值为 ．4．直线（参数t∈R）的倾斜角为 ．5．若方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为 ．6．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，且过点A（1，），则双曲线的方程是 ．7．点P为直线3x+4y+4＝0上的动点，点Q为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上的动点，则|PQ|的最小值为 ．8．已知F1、F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为4，则b＝ ．9．已知a，b∈R+，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则ab的最大值等于 ．10．已知曲线Γ：，（θ∈[0，]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．则•的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．12．已知椭圆Γ：1和圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设点A为椭圆Γ上的任一点，过A作圆O的两条切线，分别交椭圆Γ于B，C两点，若直线BC与圆O相切，则r＝ ．二、选择题13．设z为非零复数，则“z∈R“是|z|＝1”的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A．B．C．D．15．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在16．曲线Γ：（1）0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A．（，）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）∪（，3）D．（﹣3，）∪（，）∪（，3）三、解答题17．已知实系数一元二次方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一根为﹣2i（i为虚数单位），另一根为复数z．（1）求复数z，以及实数a，b的值；（2）设复数z的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A、B、C，求（）•的值．18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：信号每秒传播V0千米）．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离：（3）若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：，过点D（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N 点的右侧），与y轴交于点E．（1）当m＝1且k＝1时，求点M、N的坐标；（2）当m＝2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；20．设抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），D（x0，y0）满足y02＞2px0，过点D作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x1，y1），B（x2．y2）．（1）求证：直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切：（2）若点A坐标为（4，4），点D在抛物线Γ的准线上，求点B的坐标：（3）设点D在直线x+p＝0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由．21．已知椭圆Ω：1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E（3，0）与椭圆Ω交于A、B两点，求△OAB的面积的最大值；（3）设直线1：y＝kx+m（其中k，m为整数）与椭圆Ω交于不同两点A、B，与双曲线Γ交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i•z＝1，得z，∴Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y＝4x2的标准方程为x2y，焦点在y轴的正半轴上，p，，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．3．【详解详析】z2a﹣i，由|z3|＝5，得，即4a2+1＝5，得a＝1（a＞0）．故答案为：1．4．【详解详析】直线（参数t∈R）转换为直角坐标方程为：x﹣2y＝2﹣6，即x﹣2y+4＝0，故直线的斜率为k，所以直线的倾斜角为．故答案为：5．【详解详析】方程（k﹣1）x2+（5﹣2k）y2＝1表示的曲线为双曲线，可得（k﹣1）•（5﹣2k）＜0，解得k＜1或k．故答案为：（﹣∞，1）∪（，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x2k，把点（1，）代入方程解得k，故所求的双曲线的方程是y2﹣9x2＝1，故答案为：y2﹣9x2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C（1，2），半径R＝1，圆心到直线的距离d3，在|PQ|的最小值为d﹣R＝2；故答案为：28．【详解详析】∵F1、F2是椭圆C：1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，∴|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，|PF1|•|PF2|＝4，∴（|PF1|+|PF2|）2＝4c2+2|PF1||PF2|＝4a2，∴16＝4（a2﹣c2）＝4b2，∴b＝2．故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x+2y+3＝0与直线（a﹣1）x+by＝2互相垂直，则有（a﹣1）+2b＝0，变形可得a+2b＝1，则ab（a×2b）（）2，当且仅当a＝2b时，等号成立；即ab的最大值为，故答案为：．10．【详解详析】曲线Γ：，（θ∈[0，]）上一动点P，曲线Γ与直线x＝1交于点Q．2cosθ＝1⇒cosθ⇒θ；∴sin；即Q（1，）；∴•（2cosθ，sinθ）•（1，）＝2cosθsinθsin（θ+φ）；tanφ；φ∈（0，）；∴θ+φ∈（φ，φ）；∴θ+φ时，•取最大值且最大值为；故答案为：11．【详解详析】设点P，则|PA|，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2，解得a＝﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝a2﹣2，∴a2﹣2，解得a．综上可知：a＝﹣1或．故答案为﹣1或．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：1，得y．设B（r，），则AB的方程为：，整理得：．由，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r．故答案为：．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z x+yi x y（1）i∈R，∴y （1）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于，故有|z|≤1，Imz，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（1）0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由，解得y＝±，曲线Γ：（1）0，要使直线y＝m（m∈R）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m∈（﹣3，）∪（，3）．故选：C．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z＝2i；利用根与系数的关系，得a＝﹣2i+2i＝0，b＝﹣2i•2i＝4；（2）复数z＝2i，则λ2＝2i；设λ＝x+yi，x、y∈R；所以x2﹣y2+2xyi＝2i，即，解得x＝y＝1或x＝y＝﹣1；所以λ＝1+i，或λ＝﹣1﹣i；当λ＝1+i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝1﹣i；所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），所以（）•（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2；当λ＝﹣1﹣i时，λ2＝2i，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i，所以A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），所以（）•（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2；综上知，（）•的值为﹣2．18．【详解详析】（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30，2a＝40，所以a＝20，则b＝10，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：1，x≤0．（2）已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝﹣x（x＜0）上，所以，可得x＝﹣10，y＝10，观察员遇险地点坐标（﹣10，10），观察员遇险地点与监测中心O的距离：20．（3）由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x2+（y﹣30）2＝r2，与1，x ≤0．联立，消去x可得：9y2﹣300y+6500﹣5r2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r2）≥0，解得r≥20．为保证有救援希望，扫描半径r至少是20公里．19．【详解详析】（1）当m＝1且k＝1时，椭圆Γ方程为：，直线l方程为：y＝x+1，联立方程，消去y得：3x2+4x＝0，解得：x＝0或，∵M点在N点的右侧，∴M（0，1），N（，）；（2）当m＝2时，椭圆Γ方程为：，联立方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，设点M（x1，y1），N（x2，y2），∴，∵E（0，k），D（﹣1，0），∴，又∵，，∴x1＝λ（x1+1），x2＝μ（x2+1），∴，∴λ+μ，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），求导，2yy′＝2p，即，所以在A（x1，y1）点的切线的斜率，所以切线方程为，由y12＝2px1，整理得yy1＝p（x+x1），所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；方法二：由题意可知，，消去x，整理得y2﹣2y1y+2px1＝0，则，所以直线yy1＝p（x+x1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，由D在抛物线的准线上，所以直线AB过抛物线的焦点F（1，0），所以x1x21，y1y2＝﹣1，所以x2，y2＝﹣1，所以B（，﹣1）；方法二：由A（4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y2＝4x，由（1）可知，直线AD的方程4y＝2（x+4），即y（x+4），则D（﹣1，），直线BD的方程yy2＝p（x+x2），所以，解得，所以B（，﹣1）；（3）AB恒过定点（p，0），理由如下：方法一：设D（﹣p，y0），由（1）可知直线AD的方程为，即直线BD 的方程，将D（﹣p，y0）代入切线方程，，所以y1，y2是方程的两根，所以y1+y2＝2y0，y1y2＝﹣2p2．直线AB的斜率，直线AB的方程x﹣x1（y﹣y1），即，所以直线AB恒过定点（p，0）．方法二：设D（﹣p，y0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB的方程为yy0＝p（x﹣p），所以直线AB恒过定点（p，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程，则a＝2，c＝4，则b2＝12，双曲线的方程；（2）由题意可知过点M的直线斜率存在且不等于0，设直线l方程为x＝my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去x，得（3m2+4）y2+18my﹣21＝0，y1+y2，y1y2，所以S△OAB|OE|×|y1﹣y2|33×46，令12m2+7＝t≥7，则，所以，当且仅当t＝9，即时，取等号，则S△OAB＝664，所以△OAB面积的最大值为．（3）存在这样的直线y＝kx+m，使得向量成立，且这样的直线有9条．由，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，△1＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣48）＞0，①由，消去y，整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣12＝0，设C（x3，y4），D（x4，y4），则x3+x4，△2＝（﹣2km）2+4（3﹣k2）（m2+12）＞0，②因为，所以（y4﹣y2）+（y3﹣y1）＝0．由x1+x2＝x3+x4得．所以2km＝0或．由上式解得k＝0或m＝0．当k＝0时，由①和②得﹣2m＜2．因为m是整数，所以m的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得k．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷(解析版)
上海交通大学附属中学2019—2020学年高二上学期期末考试数学卷一、填空题1．复数z 满足i •z ＝1．则Imz ＝ ． 2．已知抛物线y ＝4x 2，则焦点的坐标为 ．3．若z =|a a 12|（i 为虚数单位，a ＞0），|z 3|＝5√5，则a 的值为 ．4．直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）的倾斜角为 ．5．若方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为 ． 6．若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，且过点A （1，√10），则双曲线的方程是 ．7．点P 为直线3x +4y +4＝0上的动点，点Q 为圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +4＝0上的动点，则|PQ |的最小值为 ． 8．已知F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且aa 1→⊥aa 2→，若△PF 1F 2的面积为4，则b ＝ ．9．已知a ，b ∈R +，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直，则ab 的最大值等于 ． 10．已知曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．则aa→•aa →的最大值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y =1a （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 12．已知椭圆Γ：a 29+a 24=1和圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交椭圆Γ于B ，C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r ＝ ．二、选择题13．设z 为非零复数，则“z +1a∈R “是|z |＝1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）A ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }B ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a } C ．{a |，|a |=1，aaa ≥12，a ∈a }D ．{a |，|a |≤1，aaa ≥12，a ∈a }15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在16．曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−53，53） B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，−53）∪（53，3）D ．（﹣3，−53）∪（−53，53）∪（53，3） 三、解答题17．已知实系数一元二次方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）的一根为﹣2i （i 为虚数单位），另一根为复数z ． （1）求复数z ，以及实数a ，b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记λ、λ2、λ﹣λ2在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求（aa→+aa →）•aa→的值． 18．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A 、B 、C ，且|OA |＝|OB |＝|OC |＝30km ，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒（注：信号每秒传播V 0千米）．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O 的距离： （3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？19．已知椭圆Γ：a 2a +1+a 2a=1，过点D （﹣1，0）的直线l ：y ＝k （x +1）与椭圆Γ交于M 、N 两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ．（1）当m ＝1且k ＝1时，求点M 、N 的坐标；（2）当m ＝2时，设aa→=aaa →，aa →=aaa →，求证：λ+μ为定值，并求出该值； 20．设抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），D （x 0，y 0）满足y 02＞2px 0，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2．y 2）．（1）求证：直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切：（2）若点A 坐标为（4，4），点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标：（3）设点D 在直线x +p ＝0上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由． 21．已知椭圆Ω：a 216+a 212=1．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）设直线1经过点E （3，0）与椭圆Ω交于A 、B 两点，求△OAB 的面积的最大值；（3）设直线1：y ＝kx +m （其中k ，m 为整数）与椭圆Ω交于不同两点A 、B ，与双曲线Γ交于不同两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得向量aa →+aa →=0→，若存在，指出这样的直线有多少条？若存在，请说明理由．一、填空题1．【详解详析】由i •z ＝1，得z =1a =−a−a 2=−a ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．2．【详解详析】抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2=14y ，焦点在y 轴的正半轴上，p =18，a 2=116， 故焦点坐标为（0，116）， 故答案为：（0，116）．3．【详解详析】z =|a a12|=2a ﹣i ，由|z 3|＝5√5，得|a |3=(√4a 2+1)3=5√5，即4a 2+1＝5，得a ＝1（a ＞0）． 故答案为：1． 4．【详解详析】直线{a =2+2aa =3+a（参数t ∈R ）转换为直角坐标方程为：x ﹣2y ＝2﹣6，即x ﹣2y +4＝0，故直线的斜率为k =12，所以直线的倾斜角为aaaaaa 12． 故答案为：aaaaaa 125．【详解详析】方程（k ﹣1）x 2+（5﹣2k ）y 2＝1表示的曲线为双曲线， 可得（k ﹣1）•（5﹣2k ）＜0，解得k ＜1或k ＞52． 故答案为：（﹣∞，1）∪（52，+∞）．6．【详解详析】由题意可知，可设双曲线的方程是x 2−a 29=k ，把点（1，√10）代入方程解得 k =−19，故所求的双曲线的方程是y 2﹣9x 2＝1， 故答案为：y 2﹣9x 2＝1．7．【详解详析】由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1得圆心坐标为C （1，2），半径R ＝1， 圆心到直线的距离d =31424√22=155=3，在|PQ |的最小值为d ﹣R ＝2； 故答案为：28．【详解详析】∵F 1、F 2是椭圆C ：a 2a 2+a 2a 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|•|PF 2|＝4， ∴（|PF 1|+|PF 2|）2＝4c 2+2|PF 1||PF 2|＝4a 2，∴16＝4（a 2﹣c 2）＝4b 2， ∴b ＝2． 故答案为：2．9．【详解详析】根据题意，若直线x +2y +3＝0与直线（a ﹣1）x +by ＝2互相垂直， 则有（a ﹣1）+2b ＝0，变形可得a +2b ＝1， 则ab =12（a ×2b ）≤12×（a +2a 2）2=18，当且仅当a ＝2b =12时，等号成立；即ab 的最大值为18， 故答案为：18． 10．【详解详析】曲线Γ：{a =2aaaa a =aaaa，（θ∈[0，5a 6]）上一动点P ，曲线Γ与直线x ＝1交于点Q ．2cos θ＝1⇒cos θ=12⇒θ=a3； ∴sin a =√32；即Q （1，√32）；∴aa →•aa →=（2cos θ，sin θ）•（1，√32）＝2cos θ+√32sin θ=√192sin （θ+φ）；tan φ=4√34；φ∈（0，a2）； ∴θ+φ∈（φ，φ+5a 6）； ∴θ+φ=a 2时，aa→•aa →取最大值且最大值为√192；故答案为：√19211．【详解详析】设点P (a，1a )(a＞0)，则|PA |=√(a −a )2+(1a −a )2=√a 2+1a 2−2a (a +1a )+2a 2=√(a +1a )2−2a (a +1a )+2a 2−2，令a =a +1a ，∵x ＞0，∴t ≥2，令g （t ）＝t 2﹣2at +2a 2﹣2＝（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a ≤2时，t ＝2时g （t ）取得最小值g （2）＝2﹣4a +2a 2=(2√2)2，解得a ＝﹣1；②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t ＝a ，g （t ）取得最小值g （a ）＝a 2﹣2，∴a 2﹣2=(2√2)2，解得a =√10．综上可知：a ＝﹣1或√10．故答案为﹣1或√10．12．【详解详析】不妨取A为椭圆左顶点，则A（﹣3，0），BC方程为x＝r，代入椭圆Γ：a29+a24=1，得y=±23√9−a2．设B（r，23√9−a2），则AB的方程为：23√2=a+3a+3，整理得：2√9−a2a−3(a+3)a+6√9−a2=0．由√2√4(9−a2)+9(a+3)2=a，得（5r﹣6）（r3+12r2+45r+54）＝0，则r=65．故答案为：65．二、选择题13．【详解详析】设z＝x+yi（x，y∈R，不同时为0），则z+1a =x+yi+1a+aa=x+1a2+a2+y（1−1a2+a2）i∈R，∴y（1−1a2+a2）＝0，∴y＝0，x≠0；或x2+y2＝1即|z|＝1．∴“z+1a∈R“是|z|＝1”的必要不充分条件．故选：B．14．【详解详析】由图形可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），且复数对应点的纵坐标大于或等于12，故有|z|≤1，Imz≥12，故选：D．15．【详解详析】过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB方程为y＝k（x﹣1）代入抛物线y2＝4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∵A、B两点的横坐标之和等于2，∴2(a 2+2)a2=2，∴方程无解，∴这样的直线不存在．故选：A．16．【详解详析】曲线Γ：（a 24−a25−1）√a2+a2−9=0，可知x，y∈[﹣3，3]，图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由{a 2+a 2=95a 2−4a 2=20，解得y ＝±53， 曲线Γ：（a 24−a 25−1）√a 2+a 2−9=0，要使直线y ＝m （m ∈R ）与曲线Γ有四个不同的交点，可得m ∈（﹣3，−53）∪（53，3）． 故选：C ．三、解答题17．【详解详析】（1）由实系数的一元二次方程两根互为共轭复数，得z ＝2i ； 利用根与系数的关系，得a ＝﹣2i +2i ＝0，b ＝﹣2i •2i ＝4； （2）复数z ＝2i ，则λ2＝2i ； 设λ＝x +yi ，x 、y ∈R ； 所以x 2﹣y 2+2xyi ＝2i ，即{a 2−a 2=02aa =2，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1； 所以λ＝1+i ，或λ＝﹣1﹣i ；当λ＝1+i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝1﹣i ； 所以A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），所以（aa →+aa →）•aa →=（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2； 当λ＝﹣1﹣i 时，λ2＝2i ，λ﹣λ2＝﹣1﹣3i ， 所以A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），所以（aa →+aa →）•aa →=（﹣1，1）•（﹣1，﹣3）＝1﹣3＝﹣2； 综上知，（aa →+aa →）•aa→的值为﹣2． 18．【详解详析】（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40a 0秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求教信号的位置，在以AB 为焦点的双曲线的左支，所以c ＝30，2a ＝40，所以a ＝20，则b ＝10√5， 所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程：a 2400−a 2500=1，x ≤0．（2）已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y ＝﹣x （x ＜0）上，所以{a =−aa 2400−a 2500=1，可得x ＝﹣10√20，y ＝10√20，观察员遇险地点坐标（﹣10√20，10√20），观察员遇险地点与监测中心O 的距离：√2000+2000=20√10．（3）由题意可得以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x 2+（y ﹣30）2＝r 2，与a 2400−a 2500=1，x≤0．联立，消去x 可得：9y 2﹣300y +6500﹣5r 2≥0，△＝90000﹣36（6500﹣5r 2）≥0，解得r ≥20√2． 为保证有救援希望，扫描半径r 至少是20√2公里． 19．【详解详析】（1）当m ＝1且k ＝1时，椭圆Γ方程为：a 22+a 2=1，直线l 方程为：y ＝x +1，联立方程{a 22+a 2=1a =a +1，消去y 得：3x 2+4x ＝0，解得：x ＝0或−43， ∵M 点在N 点的右侧， ∴M （0，1），N （−43，−13）； （2）当m ＝2时，椭圆Γ方程为：a 23+a 22=1，联立方程{a 23+a 22=1a =a (a +1)，消去y 得：（2+3k 2）x 2+6k 2x +3k 2﹣6＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴a 1+a 2=−6a 22+3a 2，a 1a 2=3a 2−62+3a 2， ∵E （0，k ），D （﹣1，0），∴aa →=(a 1，a 1−a )，aa →=(a 1+1，a 1)，aa →=(a 2，a 2−a )，aa →=(a 2+1，a 2)， 又∵aa→=aaa →，aa →=aaa →， ∴x 1＝λ（x 1+1），x 2＝μ（x 2+1）， ∴a =a 1a1+1，a =a 2a2+1，∴λ+μ=a 1a 1+1+a 2a 2+1=a 1(a 2+1)+a 2(a 1+1)(a 1+1)(a 2+1)=2a 1a 2+(a 1+a 2)a1a 2+(a 1+a 2)+1=−122+3a 2×2+3a 2−4=3，故λ+μ为定值3．20．【详解详析】（1）由方法一：抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0），求导，2yy ′＝2p ，即a 1=aa， 所以在A （x 1，y 1）点的切线的斜率a =a′|a =a 1=aa 1， 所以切线方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，由y 12＝2px 1，整理得yy 1＝p （x +x 1），所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切； 方法二：由题意可知，{aa 1=a (a +a 1)a 2=2aa，消去x ，整理得y 2﹣2y 1y +2px 1＝0， 则△=(2a 1)2−4×2aa 1=4a 12−8aa 1=0， 所以直线yy 1＝p （x +x 1）与抛物线Γ相切；（2）方法一：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ， 由D 在抛物线的准线上，所以直线AB 过抛物线的焦点F （1，0）， 所以x 1x 2=a 24=1，y 1y 2＝﹣1，所以x 2=14，y 2＝﹣1，所以B （14，﹣1）；方法二：由A （4，4）在抛物线上，则抛物线的方程y 2＝4x ，由（1）可知，直线AD 的方程4y ＝2（x +4），即y =12（x +4），则D （﹣1，32）， 直线BD 的方程yy 2＝p （x +x 2），所以{32a 2=2(−1+a 2)a 22=4a 2，解得{a 2=14a 2=−1，所以B （14，﹣1）；（3）AB 恒过定点（p ，0），理由如下：方法一：设D （﹣p ，y 0），由（1）可知直线AD 的方程为a −a 1=aa 1(a −a 1)，即a =a 1a a −a 122a直线BD 的方程a =a 2aa −a 222a ， 将D （﹣p ，y 0）代入切线方程a 122a −a 1aa 0−a =0，a 222a −a 2aa 0−a =0，所以y 1，y 2是方程a 22a −a0a a −a=0的两根，所以y 1+y 2＝2y 0，y 1y 2＝﹣2p 2．直线AB 的斜率a =a 1−a2a 1−a 2=2aa1+a 2，直线AB 的方程x ﹣x 1=a 1+a 22a（y ﹣y 1）， 即a =a 1+a 22a a −a 1a 22a=a 0aa +a ，所以直线AB 恒过定点（p ，0）．方法二：设D （﹣p ，y 0），由抛物线的极点极线的性质，可知直线AB 的方程为yy 0＝p （x ﹣p ），所以直线AB 恒过定点（p ，0）．21．【详解详析】（1）椭圆的焦点坐标为（±2，0），长轴长为8，设双曲线的方程a 2a 2−a 2a 2=1(a＞0，a＞0)，则a ＝2，c ＝4，则b 2＝12，双曲线的方程a 24−a 212=1；（2）由题意可知过点M 的直线斜率存在且不等于0，设直线l 方程为x ＝my +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组{a =aa +3a 216+a 212=1，消去x ，得（3m 2+4）y 2+18my ﹣21＝0，y 1+y 2=−18a 3a 2+4，y 1y 2=−213a 2+4，所以S △OAB =12×|OE |×|y 1﹣y 2|=12×3×√(a 1+a 2)2−4a 1a 2=12×3×4√3√12a 2+7(3a 2+4)2=6√3√12a 2+7(3a 2+4)2，令12m 2+7＝t ≥7，则a 2=a −712， 所以12a 2+7(3a 2+4)2=16a a 2+18a +81=16a +81a +18≤2√a ×a +18=49，当且仅当t ＝9，即a 2=16时，取等号， 则S △OAB ＝6√3√12a 2+7(3a 2+4)2≤6√3×23=4√3， 所以△OAB 面积的最大值为4√3． （3）存在这样的直线y ＝kx +m ，使得向量aa→+aa→=0→成立，且这样的直线有9条．由{a =aa +a a 216+a 212=1，消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣48＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8aa3+4a 2，△1＝（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣48）＞0，①由{a =aa +a a 24−a 212=1，消去y ，整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣12＝0，设C （x 3，y 4），D （x 4，y 4）， 则x 3+x 4=2aa 3−a 2，△2＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+12）＞0，② 因为aa →+aa→=0→，所以（y 4﹣y 2）+（y 3﹣y 1）＝0． 由x 1+x 2＝x 3+x 4得−8aa3+4a 2=2aa3−a 2． 所以2km ＝0或−43+4a 2=13−a 2． 由上式解得k ＝0或m ＝0．当k ＝0时， 由①和②得﹣2√3＜m ＜2√3．因为m 是整数，所以m 的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．当m＝0，由①和②得−√3＜k＜√3．因为k是整数，所以k＝﹣1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．。
2020-2021年上海市交大附中高二上期末
2020学年交大附中高二年级上学期期末试卷一、填空题1. 复数21i-的虚部为____________． 【答案】1 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 2. 直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________． 【答案】12a = 【解析】将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=，因为2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 3. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤+≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11【解析】由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时， 直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由21y x y =-=⎧⎨⎩， 解得(3,2)A ，此时max 33211z =⨯+=．4. 若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________．【答案】4k =-【解析】因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根， 所以0x =，所以40k +=，所以4k =-，5. 抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】抛物线的标准方程是214x y =，所以准线方程是116y =-.6. 已知圆锥底面半径为13_____．【答案】2π 【解析】由已知可得1,3r h ==132l =+=,所以圆锥的侧面积2S rl ππ==．7. 已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________． 2【解析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如图所示，因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ， 又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==所以()22210322CO DO ⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDO S ∆⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11221333A BCD CDO V AB S -∆=⨯⨯==.8. 在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 【答案】3R π 【解析】由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为22R ， 又因为两座城市的经度分别为东经30和东经120︒， 故连接两座城市的弦长222L R R ==， 则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=， 所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 9. 设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________. 【答案】13【解析】由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =，经检验21PF c a =-＜，舍去，所以213PF =. 10. 设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +，则12z z -=____________．6【解析】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==.11. 已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有_______条． 【答案】【解析】将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如图所示： 设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ，此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相 等，且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件 的l 有2条，综上所述，过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条. 12. 三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ABC ∠的大小为____________．【答案】90ACB ∠=或2arccos 3. 【解析】分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，所以2AC a =，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，因为CD ⊥α，AB α⊂，所以AB CD ⊥，因为DE AB ⊥，CD DE D =，所以AB ⊥平面CDE ，因为CE ⊂平面CDE ，所以AB CE ⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，因为CD ⊥α，DE α⊂，所以CD DE ⊥，tan 3CD CED DE ∠== 所以3DE =，所以2223CE CD DE =+=， 因为CE AB ⊥，所以2263AE AC CE a =-=， 2263BE BC CE a =-=， 所以，6AB AE BE a =+=，所以222AC BC AB +=，所以，90ACB ∠=； （2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，所以2AC a =，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，BC ==，因为CD ⊥α，AB α⊂，所以AB CD ⊥，因为DE AB ⊥，CD DE D =，所以AB ⊥平面CDE ，因为CE ⊂平面CDE ，所以AB CE ⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，因为CD ⊥α，DE α⊂，所以CD DE ⊥，tan CDCED DE ∠==所以3DE =，所以3CE a ==，因为CE AB ⊥，所以AE ==，BE ==，所以AB AE BE =-=，在ABC ∆中，AC 2a =，BC =，3AB a =，由余弦定理可得222cos 23AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅，因为0180ACB <∠<，所以，arccos 3ACB ∠=.综上所述，90ACB ∠=或arccos 3.二、选择题13. 设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ B）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B.【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =，故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件，故选B.14. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（ ）A. 存在k ，1P ，2P 使之无交点B. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D. 无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点【答案】D 【解析】因为11122112211222(1)(1)0a b D a b a b a ka a ka a a a b ==-=+-+=-≠， 所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解，故选D. 15. 平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D ∆的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是11AB D ∆的________心（ ）A. 外心、重心B. 内心、垂心C. 外心、垂心D. 内心、重心【答案】C【解析】三棱锥111A AB D -如图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以2222111111,AA AO AO A D AO OD =+=+ 221111A B AO OB =+所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D ∆的外心；三棱锥11A BC D -如图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥，又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥，同理可知，1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D ∆的垂心，故选C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.16. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∆∆∽又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，所以2PD PC =， 在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ，由2PD PC =22222(1)x y x y +=+-，所以2244()39x y +-=， 因为P 在底面ABCD 内运动，所以轨迹为圆的一部分，故选A ．三、解答题17. 直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1) 若1BM A C ⊥，求h 的值；(2) 若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．【解析】（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h ()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =-， 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-=， 解得1h =．（2）法一：此时()0,2,2M ，()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===- 设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由00n AB n AM ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩得00x y z =+=⎧⎨⎩，取()0,1,1n =-，设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ， 则1110sin 5220n BA n BA θ⋅===⋅⋅，所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为10sin 5arc .法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，因为1,AB AC AB AA ⊥⊥，所以AB ⊥平面11AAC C ， 所以1AB A M ⊥，所以1A M ⊥平面ABM ， 所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM ∆中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===，所以1arcsin5A BM ∠=， 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为sinarc . 18. 已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值．【解析】（1）因为方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，由韦达定理得12121,x x x x p +=-=， 所以22121212()4149x x x x x x p -=+-=-=，所以52p =或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p ∆=-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，所以1229p p -+=，则2p =-，①当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p ∆=-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==，综上所述，2p =-或94.19. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC ∆面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？【解析】（1）由题意得FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥，又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥， 在Rt FHM ∆中，5HM =，FMH θ∠=， 所以5cos FM θ=， 因此FBC ∆的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=， 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt FHM ∆中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-，所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令2sin cos t -=θθ，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos 2t +=θθ，()2+=θϕ，所以()sin 1+=≤θϕ，所以t ≥，当t =时，tan t ==ϕ3=πϕ，此时sin 13⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ，又0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πθ=，即当6πθ=时，总造价最低.20. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．【解析】（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角， 即30DBA ∠=︒，所以23tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， 因为11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ， 所以11A FC N 是平行四边形，11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，所以1111////,MN DD AA MN DD AA ==，所以1A AMN 是平行四边形， 所以1//AM A N 所以1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，所以//AM 平面1BC F ， 即//AE 平面1BC F ． （2）1232322ABD S ==△ 1232313F ABD V -=⨯=由长方体性质可得2BF =43BD =，30DF =， 因为222BF FD BD +=，所以BF DF ⊥， 所以1301522BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得13=，所以h = （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥，因为FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，所以BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，所以BD FQ ⊥， 所以FQP ∠是二面角F BD A--平面角，设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， 所以2tan FP FQP PQ x∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角， 所以,42FPQ ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭． 所以二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 21. 设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．的【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由题意得2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M 30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =，以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切； （3）设()()1122,,,C x y D x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因为NC ND NC ND +=-，所以0NC ND ⋅=， 所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=，所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=， 所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=，所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m kkm k m λλμλμμ-++++++-=，又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=，所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=，所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+，所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件；当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫-⎪⎝⎭.。
上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期摸底考试数学试卷含答案
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第一学期高二数学摸底考试试卷2020.9一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．若(n =- 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角大小为_____．2．行列式sin cos cos sin x xx x -的值是_____．3．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b == ，则|2|a b -= _____．4．行列式101213131---中元素3-的代数余子式的值为______．5．直线(32)(14)80a x a y ++-+=和(52)(4)70a x a y -++-=互相垂直，则a =_____．6．过点(2020,2020)P 且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为______．7．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e == 的夹角为60︒，若向量1227te e + 与向量12e te + 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为_______．8．直线l 过点(1,0)，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是_________．9在ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，则A ∠的平分线所在直线的一般式方程是______．10．将直线1:10x y l +-=，2:0l nx y n +-=，()*3:0,2l x ny n n N n +-=∈≥围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=______．11．设m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:20l mx y m --+=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点A ，B ），则PAB 周长的最大值为_____．12．已知实数925m ≠，原点到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离的取值范围为_____．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．“若一条直线的斜率为tan α”是“此直线的倾斜角为α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知(3,0),(0,3)A B ，从点(0,2)P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P点，则光线所经过的路程为（）A ．B ．6CD ．15．已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为,A B ，与函数lg y x =图像的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD （）A ．相交，且交点在坐标原点B ．相交，且交点在第一象限C ．相交，且交点在第二象限D ．相交，且交点在第四象限16．直线1x y a b+=通过点(cos ,sin )M αα，则（）A ．221a b +≥B ．22111a b +≥C ．221a b +≤D ．22111a b+≤二、解答题（本大题共有5题，满分76分，14’+14’+14’+16’+18’=76′）17．（本大题满分14分）解关于x ，y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论．18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知过点(,)P m n 的直线l 与直线:240l x y '++=垂直．（1）若12m =，且点P 在函数11y x=-的图像上，求直线l 的一般式方程；（2）若点(,)P m n 在直线l '上，判断直线0:(1)50l mx n y n +-++=是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线:20l x y --=和点(1,1),(1,1)A B -（1）直线l 上是否存在点C ，使得ABC 为直角三角形，若存在，请求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l 上找一点P ，使得APB ∠最大，求出P 点的坐标．20．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）设集合L ={l ∣直线l 与直3y x =相交，且以交点的横坐标为斜率}．（1）是否存在直线0l 使0l L ∈，且0l 过点(1,5)，若存在，请写出0l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）点(3,5)P -与集合L 中的哪一条直线的距离最小？（3）设(0,)a ∈+∞，点(3,)P a -与集合L 中的直线的距离最小值为()f a ，求()f a 的解析式．21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）（1）已知直线l 过点(3,4)P -，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；（2）已知直线l 过点(3,2)P 且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；（3）已知直线l 经过点(2,2)P -，且与第一象限的平分线(0)y x x =≥，y 轴（原点除外）分别交于A ，B 两点，直线l ，射线(0)y x x =≥，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．【答案】：6π2．【答案】：1-3．【答案】：24．【答案】：5-5．【答案】：0或16．【答案】：0x y -=或40400x y +-=7．【答案】：17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．【答案】：10x -=或4340x y +-=9．【答案】：7290x y +-=10．【答案】：1211．【答案】：2+12．【答案】：(0,5]二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．【答案】：D 14．【答案】：C 15．【答案】：A 16．【答案】：B二、解答题（本大题共有5题，满分76分，14’+14+14’+16’+18’=76′）17．【答案】：（1）当1a ≠±时，方程组有唯一解，解为1211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩；（2）当1a =-时，方程组无解；（3）当1a =时，方程组无穷解，()2x t t R t t =⎧∈⎨=-⎩18．【答案】：（1）210x y -+=；（2）(1,1)19．【答案】：（1）(1,1)-或(1,3)--；（2）(1,1)P -，4APB π∠=．20．【答案】：（1）不存在；（2）3y =+-或3y =--；（3）2()02a f a aa ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩21．【答案】：（1）4160x y -+=或390x y +==；（2）ABO 面积最小值为12，此时直线l 的一般式方程为23120x y +-=（3）一条，理由略。
2020学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a =；B.两根12,x x 满足12x x -C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a =，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】 由题意得：()()2214225AB =-++=∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切 ∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条故选：C 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =，AD b =，则AC BD ⋅=（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+，BD AD AB =-，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅化为22AD AB -，从而得到结果.【详解】AC AD DC =+，BD AD AB =-()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅AD DC ⊥ 0AD DC ∴⋅=()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+22AD AB AB BC =--⋅AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ，设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题.6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1【解析】()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________.【答案】3y =-【解析】2212,32px py y ==∴=，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-. 8．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，m a b =-，n a b λ=+，如果m n ⊥，则实数λ=______； 【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-，()1,2n λλ=+-+m n ⊥ 630m n λ∴⋅=-=，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________.【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标为_____________________．【答案】( 【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭,再根据|OC |＝2，求t,即得结果. 【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭，，所以39(,)55t tOC =-， 因为|OC |＝22t =∴=,即OC 的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a 共线的向量为a λ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a 共线的单位向量为||aa λ；与(,)a x y =垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OBOA OB λ+. 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果.【详解】()3112313111t t x t t t +-+===-+++ 3x ∴≠且131x t =-+ ()2131232111t t y t t t-++-===-++++ 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】 因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为，12OP ae be =+ = ，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，且48OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______； 【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925xx +，当0x =时，cos 0OP θ=；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】()1AP OA λ=- OA AP OA OP λ∴+== ,,O A P ∴三点共线 48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB xOP x y OAOAθθ===+A 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248cos 16925xOP x θ∴=+ 当0x =时，cos 0OP θ=当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+ 当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP 在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果. 三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位.（1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果； （2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围. 【详解】（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++= 设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6PQ ∴∈ 即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-±；（2）12z =-±； 【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z +，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =-b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+ 设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-2b ∴==±122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=. （1）M 为直线:142x y l +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2cos N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值； （2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程.【详解】（1）设()2cos N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值min 5d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+=解得：cos 0β=或tan 8β=-∴弦AB 所在的直线方程为x =12y x -=-即x 或8100y +-=【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题. 20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k =-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211k m k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,k ⎛∴∈- ⎝⎭，即直线12N N斜率的取值范围为1,⎛- ⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立 当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<- 10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211Ay k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA = 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k kk ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k kk+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N 两点的纵坐标之积为4-. （1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可.【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+ 与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=- （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ AB BC ⊥ 0AB BC ∴⋅=，即()()()()22234334342016yy y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识；求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。
上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期摸底考试数学试题
上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．不等式2120x x ---<的解集为 .2．设53()7f x ax bx cx =+++（其中a 、b 、c 为常数，x ∈R ），若(2011)17f -=-，则(2011)f =________3．若(1)1lim 2n a n n a→∞++=+，则实数a =________ 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知35a =，59a =，则7S =________5．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且222212n n a a a ++=，22a =，则1a =________6．已知2sin 3x =，(,)2x ππ∈，则x =________（用反三角函数表示）7．设0a >， 0b >3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为________ 8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式()()f x f x x --<0的解集为________.9．已知()cos()3f x x πω=+的图像与1y =的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到()y f x =的图像，最少需要把sin()y x ω=的图像向左平移________个单位10．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12<b b ，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ．11．如图，已知扇形的圆心角为2α(0)4πα<<，半径为R ，则扇形的内接矩形面积的最大值为________12．已知函数11()f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．二、单选题13．“1a >”是“11a <”的（ ）条件 A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要14．在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形,但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形,但不是等腰三角形 15．若集合(){|lg 21}A x x =-<，集合1{|28}2x B x =<<，则A B =（ ） A ．()1,3- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,316．数列{}n a 满足13a =，且对任意n ∈*N ，11n n n a a a +-=，n A 表示{}n a 前n 项之积，则2017A =（ ）A ．3-B ．23C ．3D ．12-三、解答题17．若函数2()sin ())()2f x x x cos x πωωω=+的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.18．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数． （1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.19．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上．（1）求r 的值；（11）当b =2时，记1()4n nn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前项和． 20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数，*n ∈N ），又12a =，21a =，33a q p =-.（1）求p 、q 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m 、n ，使1221mn m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由.21．已知函数()f x 的定义域为[0,1]，若函数()f x 满足：对于给定的T (01)T <<，存在[0,1]t T ∈-，使得()()f t T f t +=成立，那么称()f x 具有性质()P T .（1）函数()sin f x x =([0,1])x ∈是否具有性质1()4P ？说明理由； （2）已知函数131,0312()62,33234,13x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩具有性质()P T ，求T 的最大值； （3）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，满足(0)(1)f f =，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n ，使得函数()f x 具有性质1()P n，若存在，求出这样的n 的取值集合；若不存在，请说明理由.参考答案1．(1,1)-【详解】 解：因为22212021|2(21)(2)x x x x x x ---⇔-<-⇔-<-23311x x ⇔<⇔-<<2．31【解析】∵()537f x ax bx cx =+++ (其中a ,b ,c 为常数,x ∈R ),f (−2011)=−17， ∴f (2011)=a ⋅20115+b ⋅20113+c ⋅2011+7f (−2011)=a (−2011)5+b (−2011)3+c (−2011)+7∴f (2011)+f (−2011)=14,∴f (2011)−17=14∴f (2011)=14+17=31.故答案为31.3．1【解析】分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有121a a +=⇒=．4．49【详解】等差数列中，∵35a =，59a =，∴S 7=72 (a 1+a 7)=72 (3a +5a )=72(5+9)=49， 故答案为49.点睛：等差数列的基本运算题目有两种处理方式：第一种转化为基本量问题（首项和公差）；第二种巧解，利用等差数列的重要性质处理.5【解析】n =1时，a 2⋅a 4=2(a 2)2，∵a 2=2，∴a 4=4，∵等比数列{a n }的公比为正数，∴q ，∵a 2=2，∴1a =6．2arcsin3π- 【解析】 ∵2sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2 arcsin 3x π=-. 故答案为2arcsin 3x π=- 7．43a 与23b 的等比中项，所以223321a b a b =⋅⇒+=，又因为0,0a b >>，所以()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =是等号是成立的，所以21a b +的最小值为8.8．(－1，0)∪(0，1)【分析】首先根据奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，得到f (－1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数，从而将不等式转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，进而求得结果. 【详解】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为()()f x f x x --＝2·()f x x<0， 即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩解得x ∈(－1，0)∪(0，1).故答案为：(－1，0)∪(0，1).【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与单调性的应用，属于简单题目.9．512π 【详解】∵()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的最大值为1，其图象与y =1的图象的两相邻交点间的距离为π，令ω>0，∴函数y =f (x )的周期T =2πω=π， ∴ω=2；∴f (x )=cos(2x +3π)=sin[(2x +3π)+π2]=sin2(x +512π) ∴要得到y =f (x )的图象，只需把y =sin2x 的图象向左移动512π个单位长度单位， 故答案为512π10．3+【详解】设等差数列的公差为，由12a a <可知为正数，∵是等比数列，∴，又∵2(1,2,3)i i b a i ==， ∴或2111()(2)a d a a d +=-+，若2111()(2)a d a a d +=+：则不合题意，舍去，若2111()(2)a d a a d +=-+，则，，化简得， 经检验，由，故舍去， ∴.11．21tan 2R α 【详解】设∠MOQ =x ，则MQ =R sin x在△OMN 中,()MN sin 2x α-=()sin 1802R α︒-,∴MN =()Rsin 2αx sin2α- ∴矩形面积S =()2sin 2αx sinxsin2R α- =22sin2R α [cos(2x −2α)−cos2α]⩽2R 2sin2α[1−cos2α]=21tan 2R α， 当且仅当x =α时,取得最大值,故矩形面积的最大值为21tan 2R α， 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.12．(4,2)--【详解】 因为11()()f x x x f x x x-=-+---=--， 所以函数()f x 为偶函数，只需研究(0,)+∞上根的情况，当1x >时，2()f x x=； 当01x <≤时，()2f x x =. 要使方程2()()0f x a f x b ++=（,a b ∈R ）恰有6个不同实数解，需使方程20t at b ++=（,a b ∈R ）恰有2个不同实数解，其中一根为2，另一根在区间(0,2)内，所以42,022b a a =--<--<，即a 的取值范围是(4,2)--.13．B【解析】 由11a<，解得：a 0a 1，或， ∴“1a >”是“11a <”的充分不必要条件 故选B14．A【详解】222()()3;a b c a b c ab a b c ab +++-=⇒+-=则22201cos ,60;22a b c C C ab +-==∴= sin 2sin cos sin()2sin cos sin cos cos sin C A B A B A B A B A B =⇒+==+即sin()0,;A B A B -=∴=为等边三角形，故选A15．D【详解】A={x|lg （x-2）＜1}={x|lg （x-2）＜lg10}={x|2＜x ＜12}，B={x|＜2x ＜8}={x|2-1＜2x ＜23}={x|-1＜x ＜3}，∴A∩B={x|2＜x ＜3}故选D ．16．C【解析】由题意得,13a =,1 1n n n a a a +-=,∴1n a +=1−1n a ， 则a 2=23,a 3=−12,a 4=3，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列,且a 1⋅a 2⋅a 3=3×23×(−12)=−1， ∵2017=672×3+1,∴2017A =( a 1⋅a 2⋅a 3)672⋅a 1=(−1)672⋅3=3， 故选：C.点睛：本题借助数列考查函数的周期性，通过归纳猜想得到数列的周期性，从而把问题转化为前三项的问题.17．（1）1ω=；（2）[4,43]k k ππππ++()k ∈Z .【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、和差角公式化简函数式，然后利用公式求ω的值；（2）利用图象变换知识得到g(x) =sin2x +12.，令2kπ+2π≤2x ≤2kπ+3π2（k ∈Z ）得到单调减区间. 试题解析：由()()()2sin 2f x x x cos x πωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=sin 2=1cos2ωx 2-+2sin2ωx=2sin2ωx -12cos2ωx+12 =sin(2ωx -π6)+1 2. 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω=π， 解得ω=1.（2）将函数y=f(x)的图象向左平移12π个单位，得到函数f(x+12π)的图象， 再将所得图形各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=f(x 4+12π)，即函数y=g(x)的图象. 由（1）知f(x)=sin(2x-2π)+1 2， 所以g(x)=f(x 4+12π)=sin[2(x 4+12π)-π6]+1 2=sin 2x +12. 令2kπ+2π≤2x ≤2kπ+3π2（k ∈Z ）， 解得4kπ+π≤x≤4kπ+3π（k ∈Z ），因此函数y=g(x)的单调递减区间为[4kπ+π，4kπ+3π]（k ∈Z ）.18．解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0， 即111201,().2222xx b b f x +--=⇒=∴=++………………………3 （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………5 设12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y=2x 在R 上是增函数且12x x <， ∴2122x x ->0.又12(21)(21)x x ++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >，∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.另法：或证明f′(x)0 (9)（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式 22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， (3)因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<- (13)【解析】定义域为R 的奇函数()00f =，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a; ()()22220f t t f t k -+-<()()()()22222222f t t f t k f t t f t k ∴-<--∴-<-+,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系．（1）()f x 是奇函数，∴()00f =，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 即102b a -+=+∴1b =∴()1212x x f x a+-+=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分()()11f f =--∴1121241a a-+-+=-++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ∴2a =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分（2）由（1）知由上式易知()f x 在R 上为减函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分又因为()f x 为奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<， 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ()f x 为减函数∴2222t t t k ->-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分即对一切t R ∈都有2320t t k -->┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分∴4120k ∆=+<∴13k <-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 19．（1）1r =-（11）13322n n n T ++=- 【解析】因为对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+， 当1n =时,11a S b r ==+，当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，又因为{n a }为等比数列，所以1r =-，公比为，所以． （2）当b =2时，11(1)2n n n a b b --=-=，111114422n n n n n n n b a -++++===⨯，则234123412222n n n T ++=++++， 3451212341222222n n n n n T +++=+++++， 相减，得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-， 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--， 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-． 20．（1）12p =，2q ；（2）212n n a -=； （3）存在符合条件的所有有序实数对：(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,2)、(3,3)、(3,4).【解析】试题分析：（1）利用1n n S pS q +=+，n 取1，2，可得方程组，即可求p 、q 的值；（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列{a n }的通项公式；（3）先求和，再化简不等式，确定m 的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m ，n ）． 试题解析：（1）由题意，知，解之得（2）由（1）知，S n +1=S n +2，①当n ≥2时，S n =S n ﹣1+2，②①﹣②得，a n +1=a n （n ≥2）， 又a 2=a 1，所以数列{a n }是首项为2，公比为的等比数列，所以a n =．（3）由（2）得，=，由，得，即，即，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，①因为m∈N*，所以m=1或2或3．当m=1时，由①得，2＜2n×3＜8，所以n=1；当m=2时，由①得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；当m=3时，由①得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．21．（1）不具有；（2）12；（3）*{|,2}n n n∈≥N.【详解】（1）函数f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性质P（14）证明如下：对任何t∈[0，1﹣14]=[0，]，均有0≤t≤t+14≤1由于函数f（x）=sinx，在x∈[0，1]上单调递增∴f（t）＜f（t+14）所以，函数f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性质P（14）（2）T的最大值为12．求解如下：∵f（12）=f（1）=﹣3×1﹣4=1，又f（12）=6×12﹣2=1∴f（t+12）=f（t）在t∈[0，1﹣12]上有解，t=12因此，f（x）具有性质P（12），从而T可取到12下证：12＜T＜1不可能出现．首先，当x∈（0，13]时，f（x）=﹣3x+1＜1，当x∈（13，12）时，f（x）=6x﹣2＜6×12﹣2=1即，当x∈（0，12）时，均有f（x）＜1，同理可得，当x∈（12，1），均有f（x）＞1．假设12＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时①若t=0，则f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（12，1），所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）②若t∈（0，1﹣T] （0，12），则f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到12＜T＜1，故f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）这就是说，如果12＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时，均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立综上所述，T的最大值为1 2（3）任取n∈N+，n≥2，设h（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有h（0）=f（）﹣f（0）h（）=f（）﹣f（）h（）=f（）﹣f（）…h（）=f（）﹣f（）…h（）=f（1）﹣f（）以上各式相加得h（0）+h（1n）+f（）+…+h（）+…+h（）=f（1）﹣f（0）=0，即h（0）+h（1n）+f（）+…+h（）+…+h（）=0当h（0），h（1n），f（），…，h（）中有一个为0时，不妨设为h（）=0，这里i∈{0，1，2，…，n﹣1}，而0=h（）=f（+）﹣f（），即f（+）﹣f（）=0推得f（+1n）=f（）故函数f（x）具有性质P（1n）（n∈N+，n≥2）当h（0），h（1n），f（），…，h（）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，不妨设h（）＞0，h（）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n﹣1}）由于h（x）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t∈（，）使得h（t）=0，即f（t+ 1n）﹣f（t）=0．亦即f（t+1n）=f（t），故函数f（x）具有性质P（1n）（n∈N+，n≥2）综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．点睛：做这类信息迁移题，一是要按照给定的定义，把已知的函数代入进去进行尝试，二是要注意函数的值域和定义域要满足条件，三是要考虑函数的性质（特别是单调性奇偶性等），四是合理构造新函数或者新等量关系转化问题．。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若(1,3n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角大小为______________ 2．行列式sin cos cos sin x xx x -的值是_________. 3．已知向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，则2a b -=________.4．行列式101213131---中的代数余子式的值为________5．已知直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝_____．6．过点()2020,2020P 且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为________. 7．设两向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，它们的夹角为60°，若向量1227te e +与向量12e te +夹角为钝角，则实数t 的取值范围是_____.8．直线l 过点()1,0，且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9，则直线l 的一般式方程是________.9．在ABC 中，(4,1)A 、(7,5)B 、(4,7)C -，则A ∠的平分线所在直线的一般式方程是________.10．将直线:10l x y +-=，20l nx y n +-=:，3:0l x ny n +-=（n *∈N ，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则n n lim S →∞=___________． 11．m R ∈，动直线1:10l x my +-=过定点A ，动直线2:20l mx y m --=过定点B ，若直线1l 与2l 相交于点P （异于点,A B ），则PAB ∆周长的最大值为_________ 12．已知实数925m ≠，原点到动直线(31)(43)9250m x m y m ++-+-=的距离的取值范围为________.二、单选题13．“若一条直线的斜率为tan α”是“此直线的倾斜角为α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知(3,0),(0,3)A B ，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（ ）A．B ．6 C D ．15．已知直线2x =及4x =与函数2log y x =图像的交点分别为A ，B ，与函数lg y x =图像的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD （ ）A ．相交，且交点在坐标原点B ．相交，且交点在第一象限C ．相交，且交点在第二象限D ．相交，且交点在第四象限 16．若直线1x y a b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤ D ．22111a b +≥三、解答题17．用行列式解关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论. 18．已知过点(,)P m n 的直线l 与直线:240l x y '++=垂直.（1） 若12m =，且点P 在函数11y x=-的图象上，求直线l 的一般式方程； （2）若点(,)P m n 在直线l '上，判断直线0:(1)50l mx n y n +-++=是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.19．已知直线:20l x y --=和点(1,1),(1,1)A B -（1）直线l 上是否存在点C ，使得ABC 为直角三角形，若存在，请求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）在直线l 上找一点P ，使得APB ∠最大，求出P 点的坐标.20．设集合L ={|l 直线l 与直线3y x =相交，且以交点的横坐标为斜率}.（1）是否存在直线0l 使0l L ∈，且0l 过点()1,5，若存在，请写出0l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）点()3,5P -与集合L 中的哪一条直线的距离最小？（3）设(0,)a ∈+∞，点()3,P a -与集合L 中的直线的距离最小值为()f a ，求()f a 的解析式.21．（1）已知直线l 过点()3,4P -，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的一般式方程；（2）已知直线l 过点()3,2P 且与x 轴，y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，求ABO 面积最小值及这时直线l 的一般式方程；（3）已知直线l 经过点()2,2P -，且与第一象限的平分线(0)y x x =≥，y 轴（原点除外）分别交于A ，B 两点，直线l ，射线(0)y x x =≥，y 轴围成的三角形OAB 的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由.参考答案1．6π 【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量,然后求出直线的斜率,从而可求出倾斜角.【详解】 因为(1,3)n =-是直线l 的一个法向量,所以直线l 的一个方向向量为,所以直线l3=,所以直线l 的倾斜角α的正切值tan 3α=, 又[0,)απ∈,所以6πα=.故答案为:6π. 【点睛】 本题考查了直线的法向量,斜率,倾斜角,属于基础题.2．1-【分析】 根据行列式运算公式求得结果.【详解】因为行列式a b ad bc c d =-，所以22sin cos sin (sin )cos cos (sin cos )1cos sin x x x x x x x x x x =⋅--⋅=-+=--， 故答案为：1-.【点睛】该题考查的是有关行列式的运算，属于基础题目.3．2【分析】先根据已知条件计算数量积a b ⋅，再由()2222a ba b -=-计算，即得结果. 【详解】 因为向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，所以12cos601a b ⋅=⨯⨯︒=，故()()2222222441444a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-+=，22a b ∴-=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.4．-5【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【详解】由题意，行列式101213131---中﹣3的代数余子式为﹣1123-＝﹣（3+2）＝﹣5 故答案为﹣5【点睛】 本题考查行列式的代数余子式，考查学生的计算能力，属于基础题．5．0或1【解析】试题分析：两直线互相垂直，满足，整理为，解得或. 考点：直线的位置关系6．0x y -=或40400x y +-=.【分析】由过点()2020,2020P 且在两坐标轴上截距相等，分直线过原点和不过原点两种情况分类讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解.【详解】由题意，过点()2020,2020P 且在两坐标轴上截距相等，（1）当直线过原点时，此时过点()2020,2020P 的直线方程为y x =，即0x y -= 符合题意；（2）当直线不过原点时，设直线方程为1x y a a+=， 将点()2020,2020P 代入直线1x y a a +=，即202020201a a +=，解得4040a =， 所以所求的直线方程为4040x y +=，即40400x y +-=，综上可得，所求直线的方程为0x y -=或40400x y +-=.故答案为：0x y -=或40400x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中正确理解直线在坐标轴上的截距的概念，以及合理利用直线的点斜式和截距式方程求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．141(7,(,)222---- 【分析】向量1227te e +与向量12e te +夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可．【详解】由题意1221cos601e e ⋅=⨯⨯︒=， 1227te e +与向量12e te +的夹角为钝角，则12(27)te e +⋅12()e te +0<，即222211222(27)782770te t e e te t t t ++⋅+=+++<，解得172t -<<-，又由271t t =，得2t =±，∴所求t 的范围是141(7,(,)222---． 故答案为：141(7,)(,)222---． 【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形．8．10x -=或4340x y +-=【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程.【详解】当直线l 斜率不存在时，方程为:1l x =，与两直线交点分别是()1,3，()1,6-，距离为9，符合题意；当直线l 斜率存在时，方程可设为:(1)l y k x =-，3k ≠-，直线l 与直线360x y +-=联立，得交点63,33k k k k +⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 直线l 与直线330x y ++=联立，得交点36,33k k k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故两点间的距离为222633693333k k k k k k k k +--⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，化简得43k =-， 即直线方程为4:(1)3l y x =--，即4340x y +-=， 综上，直线l 方程为:10l x -=或4340x y +-=.故答案为：10x -=或4340x y +-=.【点睛】本题考查了直线方程的应用和两直线的交点求法，求解过程中要对斜率是否存在进行讨论，属于易错题.9．7290x y +-=【分析】先利用向量AB ，AC 写出A ∠的平分线的一个方向向量，再根据方向向量设直线方程，点代入求得参数，即得一般式方程.【详解】向量()3,4AB =，()8,6AC =-，故A ∠的平分线的一个方向向量为344317,,,555555AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A ∠的平分线所在直线的方程可设为71055x y m ++=， 将(4,1)A 代入方程得295m =-， 故直线方程为71290555x y +-=，即7290x y +-=. 故答案为：7290x y +-=.【点睛】本题考查了利用方向向量求直线方程的方法，属于基础题.10．12【分析】求出三条直线的交点坐标，从而可求得三角形的面积n S ，再求极限即可。
2021年上海交通大学第二附属中学高二数学文上学期期末试题含解析
2020-2021学年上海交通大学第二附属中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6 B．12 C．18 D．9参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由求和公式和性质可得a7的值，而所求等于3a7，代入计算可得．【解答】解：由题意可得等差数列的前13的和S13===39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选D【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，划归为a7是解决问题的关键，属基础题．2. 若集合A={x|ax2﹣ax+1＜0}=?，则实数a的值的集合是( )A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4} C．{a|0＜a≤4}D．{a|0≤a≤4}参考答案：D【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】由已知中集合A={x|ax2﹣ax+1＜0}=ф，我们可以分a=0和两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：集合A={x|ax2﹣ax+1＜0}=ф，等价于ax2﹣ax+1＜0无解当a=0时，原不等式可化为1＜0，满足条件；当a≠0时，ax2﹣ax+1＜0无解?即解得：0＜a≤4综上满足条件的实数a的集合为{a|0≤a≤4}故选D【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，解题的关键是等价于ax2﹣ax+1＜0无解，其中解答时易忽略对a=0的讨论，而错解为{a|0＜a≤4}，而错选C．3. 等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q，若，，则（）A. B. 2 C. D. 3参考答案：B【分析】根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列中，若，则，若，则，解可得，则，又由，则有，解可得；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质．4. 下列求导运算正确的是 ( )A．(x+ B．(log2x)′=C．(3x)′=3x log3e D． (x2cosx)′=-2xsinx参考答案：B5. 如图是一个简单组合体的三视图，其中正视图、侧视图都是由一个等边三角形和一个正方形组成，且俯视图是一个带有对角线的正方形，则该简单几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：A6. 设是有正数组成的等比数列，为其前项和，已知，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B7. 函数在区间( )内有零点.A. B.(0,1) C.D.(1,2)参考答案：C 略8. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )A．i>20 B．i<20 C．i>=20 D．i<=20参考答案：A9. 如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．10. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．15参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 参考答案：12. 过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．参考答案：x+2y ﹣4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A （x 1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，==﹣∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=013. 从集合{，，，}中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是．参考答案：14. 下面关于四棱柱的四个命题：① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；② 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面面面全等，则该四棱柱为直四棱柱；④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。