多项式的长除法
初中数学初一数学上册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
二Байду номын сангаас学情分析
初一年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简单的代数知识。在此基础上，他们对多项式的概念和运算已有初步的了解。然而，长除法作为一项新的运算技能，对学生而言具有一定的挑战性。他们对长除法的运算步骤和规则可能还不够熟悉，需要通过本章节的学习来逐步掌握。
4.通过课堂小结和课后作业，巩固学生对长除法的掌握，提高他们的运算技巧和自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和积极性，使他们认识到数学在日常生活和未来发展中的重要性。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和细心，使他们养成良好的学习习惯和克服困难的勇气。
3.引导学生在合作学习中尊重他人，善于倾听和表达，培养他们的人际交往能力和团队精神。
6.教学反思：
a.在教学过程中，教师要关注学生的反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。
b.教师应注重自身教育教学水平的提升，不断学习新的教育教学理念和方法，为学生的成长和发展提供更好的指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以一个生动的实际情境作为导入，如“小明的妈妈在超市购物，使用多项式表示购物金额，并运用长除法计算找零”。通过这个情境，引导学生思考如何运用已学的数学知识解决实际问题，为新课的学习做好铺垫。
3.小组代表分享：各小组选派代表分享讨论成果，其他小组成员补充，共同探讨长除法的运算技巧。
4.教师点评：针对学生的讨论，给予积极的评价和指导，纠正他们的错误观念，强化正确的方法。
（四）课堂练习
1.设计练习题：针对本节课所学内容，设计难易程度不同的练习题，让学生独立完成。
多项式的运算
多项式的运算多项式是代数中的基本概念之一，它由常数、变量和指数幂的乘积组成。
在数学中，多项式的运算是解决代数问题的重要手段之一。
本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算，其操作规则比较简单。
1. 加法对于两个多项式的加法，只需要将相同次数的项的系数相加，保留相同的指数。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相加得到：(A + B) = (3x^2 + 2x^2) + (5x + 4x) + (2 + 1)(A + B) = 5x^2 + 9x + 32. 减法多项式的减法与加法类似，只需将减数中各项的系数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相减得到：(A - B) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 4x) + (2 - 1)(A - B) = x^2 + x + 1二、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项分别相乘，并将同类项合并。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x + 1将两个多项式进行乘法运算得到：(A * B) = (3x^2 * 2x) + (3x^2 * 1) + (5x * 2x) + (5x * 1) + (2 * 2x) + (2 * 1)(A * B) = 6x^3 + 3x^2 + 10x^2 + 5x + 4x + 2(A * B) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2三、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，在实际计算中可采用长除法的方法进行。
例如：被除多项式：6x^3 + 16x^2 + 9x + 2除数多项式：2x + 1进行除法运算得到：3x^2 + 7x + 1____________________2x + 1 | 6x^3 + 16x^2 + 9x + 2- (6x^3 + 3x^2)_______________13x^2 + 9x + 2- (13x^2 + 6.5x)______________2.5x + 2- (2.5x + 1.25)___________0.75通过长除法运算可以得到商多项式为：3x^2 + 7x + 1，余数为0.75。
一般多项式的形式
一般多项式的形式多项式是数学中的一个重要概念，它在代数学、微积分、数论等领域中都有广泛的应用。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是实数或复数，称为多项式的系数，n 是多项式的次数，x 是变量。
多项式的次数是指最高次项的次数。
多项式的次数对于多项式的性质和解的求解有很大的影响。
下面将介绍一些与多项式相关的重要概念和性质。
1. 零点和因式定理多项式 P(x) 的零点是使得 P(x) = 0 的 x 值。
零点可以用来确定多项式的因式。
例如，如果 x = a 是多项式 P(x) 的一个零点，那么 (x - a) 就是 P(x) 的一个因式。
2. 多项式的乘法多项式的乘法是指将两个多项式相乘的运算。
多项式的乘法可以通过分配律和结合律来进行。
例如，将多项式 P(x) 乘以多项式 Q(x)，可以将 P(x) 的每一项与 Q(x) 的每一项相乘，然后将结果相加。
3. 多项式的除法多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。
多项式的除法可以通过长除法来进行。
长除法的步骤是：首先将除式的最高次项与被除式的最高次项相除，得到商的最高次项；然后将商的最高次项与除式相乘，并减去得到的结果与被除式相减，得到一个新的多项式；接着将新的多项式再次除以除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。
4. 多项式的根和重数多项式的根是使得多项式等于零的x 值。
一个多项式可以有重根，即多个不同的x 值对应于相同的根。
重根的个数称为多项式的重数。
多项式的重数可以通过求导来确定，对多项式进行求导后，多项式的重数等于导数为零的次数。
5. 多项式的插值多项式的插值是指通过已知的数据点来确定一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。
插值多项式可以用来近似一个函数，并在给定的数据点上计算函数的值。
多项式的认识与运算法则总结
多项式的认识与运算法则总结多项式是数学中常见的一种代数表达式，它由若干个单项式按照加法或减法运算组成。
在代数学中，多项式是研究代数方程的重要工具，也是数学建模中常用的数学形式之一。
本文将对多项式的认识与运算法则进行总结。
一、多项式的基本概念多项式是由若干个单项式按照加法或减法运算组成的代数表达式。
每个单项式由一个常数系数与一个或多个变量的乘积组成，变量的指数必须是非负整数。
例如，3x^2 + 2xy - 5 是一个多项式，其中3、2和-5是常数系数，x^2、xy是单项式。
二、多项式的次数与系数多项式的次数是指多项式中各单项式的最高次数。
例如，多项式3x^2 + 2xy - 5的次数是2，因为x^2是最高次数的单项式。
多项式的系数是指各单项式中的常数因子。
例如，多项式3x^2 + 2xy - 5的系数分别是3、2和-5。
三、多项式的加法与减法多项式的加法与减法运算是指将相同次数的单项式进行系数的加法或减法运算。
例如，多项式3x^2 + 2xy - 5与4x^2 + 3xy + 2 可以进行相加运算，得到7x^2 + 5xy - 3。
多项式的减法运算与加法运算类似，只需将相减的系数进行减法运算即可。
四、多项式的乘法多项式的乘法运算是指将两个多项式的各单项式进行乘法运算，并将结果按照次数进行合并。
例如，多项式(3x + 2)(2x - 1)可以进行乘法运算，得到6x^2 + x - 2。
在乘法运算中，需要注意变量的指数相乘的法则，即x^m * x^n = x^(m+n)。
五、多项式的除法多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
在多项式的除法运算中，需要使用长除法的方法进行计算。
例如，将多项式6x^2 + x - 2除以3x + 1，可以得到商式为2x - 1，余式为-3。
六、多项式的因式分解多项式的因式分解是指将一个多项式表示为若干个单项式的乘积的形式。
在因式分解中，需要运用到多项式的乘法法则和分配律。
多项式的基本运算知识点
多项式的基本运算知识点多项式是数学中的一个重要概念，在代数学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍多项式的基本运算知识点，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的表示形式多项式由各项的系数和指数构成，一般形式为：P(x) = a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0，其中 a_n、a_{n-1}、...、a_2、a_1、a_0 分别表示多项式的系数，n 表示最高次项的指数。
二、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式相加得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x^2 - 5x + 1，它们的加法运算可以表示为 P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) + (2x^2 - 5x + 1) = 5x^2 - x - 1。
三、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将一个多项式减去另一个多项式得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x^2 - 5x + 1，它们的减法运算可以表示为 P(x) - Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) - (2x^2 - 5x + 1) = x^2 + 9x - 3。
四、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个或多个多项式相乘得到一个新的多项式。
例如，对于多项式 P(x) = 3x^2 + 4x - 2 和 Q(x) = 2x + 1，它们的乘法运算可以表示为 P(x) * Q(x) = (3x^2 + 4x - 2) * (2x + 1) = 6x^3 + 11x^2 - 4x - 2。
五、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到一个新的多项式或一个除法式。
例如，对于多项式 P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 4x - 2 和 Q(x) = 2x + 1，它们的除法运算可以表示为 P(x) / Q(x) = (6x^3 +11x^2 - 4x - 2) / (2x + 1)。
多项式的基本概念与运算法则
多项式的基本概念与运算法则多项式是高中数学中的重要内容之一，它广泛应用于代数运算、函数研究和数学建模等方面。
本文将介绍多项式的基本概念以及常用的运算法则。
一、多项式的基本概念多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式按照加法运算构成的代数表达式。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中，P(x)为多项式的名称，an、an-1、...、a1、a0为系数，n为多项式的次数，x为自变量。
多项式的次数由最高次数的单项式决定，而系数则代表单项式的系数。
例如，对于多项式P(x) = 3x4 + 2x3 - 5x2 + x - 7，其次数为4，系数分别为3、2、-5、1和-7。
二、多项式的运算法则1. 加法运算多项式的加法运算是指将相同次数的单项式相加。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的和可以表示为：P(x) + Q(x) = (3x2 - 2x + 5) + (2x2 + x - 3) = 5x2 - x + 2。
2. 减法运算多项式的减法运算是指将相同次数的单项式相减。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x2 + x - 3，它们的差可以表示为：P(x) - Q(x) = (3x2 - 2x + 5) - (2x2 + x - 3) = x2 - 3x + 8。
3. 乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式相乘。
例如，对于多项式P(x) = 3x2 - 2x + 5和Q(x) = 2x - 3，它们的乘积可以表示为：P(x) * Q(x) = (3x2 - 2x + 5) * (2x - 3) = 6x3 - 13x2 + 11x - 15。
在进行多项式的乘法运算时，需要应用分配律和乘法法则，逐项相乘后将同次幂的项进行合并，并按次数从高到低排列。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。
本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。
最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。
一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。
这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。
二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。
通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。
接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。
2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。
具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。
3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。
此时，商的多项式即为所求结果。
需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。
三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。
四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。
初中数学知识归纳多项式的基本概念和运算
初中数学知识归纳多项式的基本概念和运算初中数学知识归纳：多项式的基本概念和运算在初中数学中，多项式是一个非常重要且应用广泛的数学概念。
本文将对多项式的基本概念和运算进行系统归纳和阐述。
一、多项式的基本概念多项式是由单项式相加（或相减）而得到的代数式。
其中，单项式由常数与字母的乘积组成，常数部分称为系数，字母部分称为变量，变量中的字母称为未知数。
例如，2x^2 + 3xy - 4 是一个多项式。
其中，2x^2、3xy和-4 都是单项式，2、3 和-4 是它们的系数，x^2、xy 是变量部分。
二、多项式的分类根据多项式的项数来分类，可以将多项式分为一元多项式和多元多项式。
1. 一元多项式：只有一个变量的多项式称为一元多项式。
例如，3x^2 + 2x - 1 就是一个一元多项式。
2. 多元多项式：含有多个变量的多项式称为多元多项式。
例如，4x^2y + 3xy^2 - 2xy + 5 是一个多元多项式。
三、多项式的运算多项式的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将依次进行讲解。
1. 加法和减法多项式的加法和减法都是针对同类项进行的。
所谓同类项，是指具有相同变量部分的单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 2x - 1 和2x^2 - 3x + 4进行加法运算，可以按照同类项进行相加：(3x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 3x + 4) = (3x^2 + 2x^2) + (2x - 3x) + (-1 + 4) = 5x^2 - x + 3。
同理，多项式的减法也是类似的。
例如，(3x^2 + 2x - 1) - (2x^2 - 3x + 4) = (3x^2 - 2x^2) + (2x + 3x) + (-1 - 4) = x^2 + 5x - 5。
2. 乘法多项式的乘法是指将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项进行相乘，再将所有的结果相加。
例如，对于多项式2x + 3 和3x - 4 进行乘法运算：(2x + 3)(3x - 4) =2x * 3x + 2x * (-4) + 3 * 3x + 3 * (-4) = 6x^2 - 8x + 9x - 12 = 6x^2 + x - 12。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
在教学结束后，设计一些拓展延伸题，让学生在课后进行思考。这些题目可以涉及长除法在实际问题中的应用，也可以是长除法运算规律的总结。旨在提高学生的数学素养，培养学生的创新意识。
6.设想六：课后反思，不断提高
鼓励学生在课后进行反思，总结自己在长除法学习中的优点和不足。同时，教师也要对自己的教学进行反思，不断调整教学方法，提高教学质量。
3.设想三：合作交流，共同进步
将学生分成小组，进行合作学习。在小组内，学生相互讨论、交流，共同解决问题。教师巡回指导，及时解答学生的疑问，促进学生之间的优势互补，提高学习效率。
4.设想四：注重过程，关注评价
在教学过程中，关注学生的参与程度、合作交流能力和解决问题的能力。通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种形式，全面评价学生的学习效果。
4.练习结束后，教师挑选部分学生的作业进行展示和讲评，分析解题过程中的优点和不足。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结长除法的运算步骤和关键技巧。
2.学生分享学习心得，交流在解题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的教学进行总结，强调长除法在实际问题中的应用，以及与其他数学知识的联系。
七年级数学下册《多项式除以多项式长除法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解多项式除以多项式的定义，理解其与整数的除法之间的联系与区别。
2.学会使用长除法进行多项式除以多项式的计算，掌握商的确定、余数的求解等关键步骤。
能够运用长除法解决实际问题，提高数学运算能力。
4.掌握在多项式除以多项式过程中，如何进行因式分解、合并同类项等基本操作。
2.作业完成后，认真检查，确保无误。
多项式的除法
多项式的除法多项式的除法是数学中一个重要的概念，用于求解多项式的商和余数。
在本文中，我们将介绍多项式的除法的概念和相关的计算方法。
一、多项式的定义与表示多项式是由系数和幂次构成的代数表达式。
一般形式为：P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁x + aₙ其中，P(x)为多项式，a₀, a₁, ..., aₙ为系数，x为自变量，n为幂次。
多项式可以用系数和幂次的形式表示，也可以用展开的形式表示，如：P(x) = 3x³ + 2x² - 5x + 1二、多项式的除法定义多项式的除法是指将一个多项式除以另一个多项式，求解商和余数的过程。
具体而言，对于两个多项式P(x)和Q(x)，其中Q(x)≠0，存在唯一的多项式R(x)和S(x)，使得：P(x) = Q(x) * R(x) + S(x)其中，R(x)为商多项式，S(x)为余数多项式。
三、多项式的除法计算方法计算多项式的除法通常使用长除法的方法进行。
首先，将被除式的最高次方与除数的最高次方进行比较，确定商的最高次方。
然后，用被除式的最高次方的项除以除数的最高次方的项，得到商的最高次方的项。
将商的最高次方的项与除数相乘，得到一个新的多项式。
将这个新的多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复以上步骤，直到新的被除式的次数小于或等于除数的次数。
最终得到的商和余数即为所求的结果。
例如，求解多项式P(x) = 2x³ - 5x² - 3x + 1 除以Q(x) = x - 2的商和余数。
首先，比较被除式和除数的次数，确定商的次数为3次，即P(x)的最高次方为3，Q(x)的最高次方为1。
然后，将2x³除以x，得到2x²。
将2x²与Q(x)相乘，得到2x³ - 4x²。
将P(x)和2x³ - 4x²相减，得到-P(x) = -x² - 3x + 1。
长除法因式分解
长除法因式分解是一种数学技巧，用于将一个多项式分解为若干个较简单的多项式的乘积。
这种方法可以帮助我们解决复杂的数学问题，例如求解方程或积分。
举个例子，我们希望将下列多项式进行长除法因式分解：
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
首先，我们可以将这个多项式写成一个除法的形式，如下：
(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) / x
接下来，我们可以使用长除法的方法，将x^4 除以x，得到x^3 作为商。
然后将x^3 乘x 得到x^4，减去x^4 得到0。
再将0 加上4x^3 得到4x^3，再除以x 得到4x^2 作为商。
然后将4x^2 乘x 得到4x^3，减去4x^3 得到0。
再将0 加上6x^2 得到6x^2……
以上过程，直到我们将整个多项式分解为若干个较简单的多项式的乘积为止。
最终，我们可以得到以下的长除法因式分解：
x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x^3 + 4x^2 + 6x + 4) x + 1
我们可以看到，通过使用长除法因式分解，我们将原来较复杂的多项式分解为了较简单的多项式的乘积。
这样就可以帮助我们更容易地解决复杂的数学问题。
需要注意的是，长除法因式分解的过程是逐步递进的，因此我们应该一步一步地进行长除法因式分解，而不是尝试一次性将多项式完全分解。
这样可以帮助我们避免出错，并使分解过程更为清晰。
多项式函数的性质与运算
多项式函数的性质与运算多项式函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于各个领域。
掌握多项式函数的性质和运算方法，对于深入理解数学以及解决实际问题都有着不可或缺的作用。
本文将从多项式函数的定义、性质和运算等方面进行探讨。
一、多项式函数的定义多项式函数是指由常数和变量的乘积及它们的和组成的函数。
一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0，其中an，an-1，…，a2，a1，a0为常数，x为变量，n为非负整数。
二、多项式函数的性质1. 零函数：如果多项式函数的系数全为零，则该函数为零函数，记作f(x) = 0。
零函数的图象为x轴。
2. 恒等函数：如果多项式函数的系数全为零，只有常数项不为零，则该函数为恒等函数，记作f(x) = c，c为常数。
恒等函数的图象为一条平行于x轴的直线。
3. 定义域：多项式函数的定义域为所有实数。
4. 值域：对于一个n次多项式函数f(x)，它的值域是所有实数。
5. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由最高次幂的系数的符号决定。
如果最高次幂的系数为正数，则函数是偶函数；如果最高次幂的系数为负数，则函数是奇函数；如果最高次幂的系数为零，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 零点和因式分解：多项式函数的零点是使得函数值为零的实数解。
通过因式分解，可以将多项式函数表示为若干个一次或多次幂的乘积。
三、多项式函数的运算1. 加法和减法：多项式函数的加法和减法运算与普通的数的加法和减法类似。
对于两个多项式函数f(x)和g(x)，将对应项相加或相减即可。
2. 乘法：多项式函数的乘法运算要注意将每一项都相乘并进行合并。
如果f(x)是n次多项式函数，g(x)是m次多项式函数，则它们的乘积函数h(x)是(n+m)次多项式函数。
3. 除法：多项式函数的除法运算可以通过长除法进行。
将除数除以被除数，得到一个商和余数。
商为次数比被除数低的多项式函数，余数为次数更低的多项式函数。
多项式函数短长除法
多项式函数短长除法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多项式函数短除法，又称多项式长除法，是一种用于对多项式进行除法运算的方法。
在代数学中，多项式函数是由常数和变量的幂次构成的函数，例如：f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 7。
而多项式函数的长除法则是将一个多项式除以另一个多项式，并得出商和余数的过程。
多项式函数短除法是一种比较基础的数学运算方法，在代数学中有着广泛的应用。
它主要用于简化多项式函数的形式，而且还可以用于求解多项式方程的根。
接下来，我们将介绍多项式函数短除法的具体步骤和原理。
多项式函数的短除法的基本思想是通过多次除法运算逐步简化被除式的次数，直到不能再继续除尽为止。
下面我们以一个简单的例子来说明多项式函数的短除法：假设我们要将多项式f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 7 除以g(x) = x + 2，首先我们需要按照次数的高低，将f(x)和g(x)写成标准形式：然后我们将两者用长除法的方式进行计算，即：3x^3 + 5x^2 - 2x + 7 / x + 2首先我们将最高次项相除，得到3x^2，然后将3x^2与g(x)相乘再减去，得到3x^3 + 6x^2，并将其减去f(x)，得到- x^2 - 2x + 7。
最后剩下的0就是余数，而商则是3x^2 - x，所以将f(x)除以g(x)的结果就是商为3x^2 - x，余数为0。
通过上面的例子，我们可以清晰地看到多项式函数的短除法的基本原理和步骤。
在实际运用中，我们还需要注意以下几点：1. 如果除数是一个一次多项式，我们可以通过比较次数来确定商的次数。
如果除数是x + 2，那么商的次数应该是1，即商为ax + b。
2. 在进行长除法计算时，需要注意每一步的细节，尤其是减法的运算，避免出错。
3. 如果余数不为0，则说明除法并不能完全除尽，需要继续进行除法运算。
第二篇示例：多项式函数短长除法是数学中一种常用的运算方法，用来求解多项式函数之间的商和余数。
核心素养下的深度学习教学——“多项式除以多项式(长除法)”拓展课教学实录
２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀核心素养下的深度学习教学多项式除以多项式(长除法) 拓展课教学实录◉上海市西外外国语学校初中部㊀陈㊀玲㊀㊀摘要:多项式除以多项式(长除法)是教材安排在 整式 的运算以及因式分解后面的拓展内容．较为复杂的多项式用长除法可以轻松分解因式,同时与高年级学习解高次方程㊁余数定理等有十分紧密的联系,其原理可以类比小学竖式除法,易懂易操作．利用类比的方法进行长除法教学,可以使学生对 数 到 式 的认知更全面,能较好地培养抽象能力和推理能力,也体现了深度学习和大单元教学思想．关键词:长除法;因式分解;高次方程;余数定理１教学目标及重难点本节课的教学目标:(１)理解并掌握长除法的操作步骤与过程,能用长除法因式分解及解高次方程．(２)经历从数的除法类比到多项式除法的过程,初步认识类比在数学中的作用．(３)感悟类比是认识新事物的主要方法,能将类比的方法延伸到日常生活与学习中．教学重点:长除法的操作步骤与过程(具体计算过程仍然是单项式除以单项式㊁单项式乘多项式㊁整式的减法等)．类比小学竖式除法,体会长除法的思想．教学难点:在确定除式时要从常数项的因数开始考虑并试商．２教学实录２．１小组游戏,引入课题小组游戏:教师事先做好四套七巧板,如图１,七巧板的边缘上均有问题或者答案,任意打乱后分给学生,学生需将对应问题和答案进行边与边的拼接,最后组合成图,用时最短的小组获胜．图１㊀㊀㊀图２学生最后的成品之一如图２所示．所选的题为 整式 内容要求的基本题:(１)因式分解:x２－１０x y＋２５y２－３x＋１５y．答案为(x－５y－３) (x－５y)．(２)计算:(２４x４y２＋１２x３y３－１８x２y４)ː６x２y２．答案为４x２＋２x y－３y２．(３)因式分解:x２－２x－４y２－４y．答案为(x＋２y)(x－２y－２)．(４)因式分解:x２＋６x y－１６y２．答案为(x－２y) (x＋８y)．(５)计算:２a b(３a２b－２a b２)．答案为６a３b２－４a２b３．(６)计算:(２x)５ː(８x３)．答案为４x２．(７)计算:(３x２－２x＋１)－(－x２＋x－３)．答案为４x２－３x＋４．设计意图:暖场,缓解学生的紧张感,同时复习所学内容．有小组完成得特别快．师:你们小组是怎么做到如此快就拼好了,是计算出来的吗?生１:我们没有计算,靠观察,可以通过项数㊁常数项以及与因式分解结果形式的不同比对．比如,最后一题的中两个多项式的常数分别是１与－３,求两个多项式的差,结果是４,我们就找结果中常数项为４的式子;题干中是关于a,b的式子,就找含a,b的式子;再比如多项式除以单项式的这道题,我们看到多项式是三项并且都含有y,那么就找结果是三项也含有y的式子．师:以上问题都涉及哪些知识点?生２:有多项式的加减法㊁乘法,因式分解,单项式除以单项式,多项式除以单项式．师:请问上述运算是不是还少一种?生３:没有多项式除以多项式!师:好!那我们今天就学习多项式除以多项式．２．２重温小学竖式除法,类比多项式除法先引导学生运用竖式除法写出 ５５０８ː１７ 的算３４Copyright©博看网. All Rights Reserved.教学导航２０２３年５月下半月㊀㊀㊀式,如图３．图３待所有学生计算完成后,教师再提出问题:为什么要首先上 ３ ?竖式第四行的第一个数字 ４ 怎么得来余数０说明了什么?生４:３乘１７等于５１;５５减去５１等于４;余数０说明了是整除．师:这样的除法是否能应用于多项式的除法呢?例１㊀计算:(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)．例１的求解分三步,如图４所示．(x ３－５x ２＋８x －４)ː(x －２)＝x ２－３x ＋２图４设计意图:模仿竖式进行计算．在每一步过程中体会上 商 ,每一步作差时体会同类项的加减,在书写上注意列队整齐且每一列的次数相同．这样由 数 到 式 的过渡,被除数可称为被除式,除数称为除式,商称为商式,余数称为余式．小试牛刀１．０计算:(x ３－８x ２＋５x ＋１４)ː(x ＋１)．学生练习,同时邀请一名学生上台演算．教师在下面查看每一位学生的演算过程．学生出现作差问题,例如上一行是－８x ２下一行是x ２,应该是－８x ２－x ２＝－９x ２,部分学生结果是－７x ２．这种错误的主要原因是作差不够熟练,我们可以在每一步乘积的结果前面加竖线和一个减号,作为提醒．师:如果现在要求将x ３－８x ２＋５x ＋１４因式分解怎么办设计意图:引导学生将所学知识用于因式分解,培养学生逻辑思维能力．生５:根据 被除数＝除数ˑ商 就可以将其写成因式分解的形式!原式＝(x ＋１)(x ２－９x ＋１４),还能继续分解,原式＝(x ＋１)(x －７)(x －２)．师:非常棒!原来长除法还能进一步帮助我们分解因式．例２㊀求(５x ４＋３x ３＋２x －４)ː(x ２＋１)的商式和余式．设计意图:利用例２这种缺项的多项式除法,让学生明白 缺项补齐 降幂排列 的重要性,排列整齐后非常便于作差,类似于小学各数位的数量级,不能错乱．另外,这道题有余式,能让学生体会不是所有的多项式都能被整除,以及什么情况(当余式的次数低于除数的次数时)下,运算终止．小试牛刀２．０用长除法计算:(x ３－８)ː(x －２)．学生练习时,同时邀请一名学生上台演算,教师在下面查看每一位学生的演算过程．个别学生知道了要补齐缺项,却没有按照降幂排列．正常应该写成x ３＋０x ２＋０x －８,有学生写成x ３－８＋０x ２＋０x ,其中一位竟然能写正确,他在上商x ２与除式x －２相乘时,自己对整齐了位置,如x ３－０－２x ２,但是这样会增加计算的难度．自我反思:对于上述问题,如果能让学生先试错,然后由学生自己讨论总结步骤会更佳．教师先给了步骤,学生仍然会出错．例３㊀各显神通,请用不同方法因式分解:x ３＋６x ２＋１１x ＋６．方法一:裂项分组分解;方法二:长除法．设计意图:裂项分解对拆分数字有一定要求,因此学生一直很难掌握．希望学生通过例３能多尝试不同拆分方式,以提高自身对数字的敏感度．如果多数学生都掌握了这类题型,长除法就是非常友好的．本题的难点在于没有给出除式,所以有 试商 的过程,好在目前这个阶段用x －１,x ＋１等大多都能整除．这也是因式定理的初步运用,旨在让学生知道怎么用并感受因式定理的神奇．下面展示学生的几种解法．生６:分裂成x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６,前三项用十字相乘法,进而找公因式．原式＝x ３＋６x ２＋５x ＋６x ＋６＝x (x ２＋６x ＋５)＋６(x ＋１)＝x (x ＋１)(x ＋５)＋６(x ＋１)＝(x ＋１)[x (x ＋５)＋６]＝(x ＋１)(x ２＋５x ＋６)＝(x ＋１)(x ＋２)(x ＋３)．生７:分裂成x ３＋x ２＋５x ２＋１１x ＋６,后三项用十字相乘法,进而找公因式．方法与同学４类似．４４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀图５生８:如图５,用长除法,除以x ＋１,整除．再把商进行分解．教师肯定了３位学生的做法,鼓励大家一题多解．同时,重点强调并再次总结长除法的便捷,以及如何寻找可能整除的除式．小试牛刀３．０解方程:(１)x ２－３x ＋２＝０;(２)x ３＋４x ２＋x －６＝０．设计意图:前面已经讲到长除法可以用来因式分解,该第(１)小题是一目了然的十字相乘法的运用,利用这个简单的题感悟解方程的一种思路降次!通过因式分解实现降次!师:虽然我们还没有学过解一元二次方程,但是大家通过因式分解轻松解出了二次方程．那么如果是三次方程呢,是否也能通过因式分解求出根呢?请同学们尝试解答第(２)小题．生９:想到构造完全平方式,先裂项分解将方程化为x ３＋４x ２＋４x －３x －６＝０,找出公因式x ＋２．最终得出(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,求出三个根．图６生１０:将方程左边多项式除以x －１,能被整除,如图６．长除法用起来十分顺利,而且商仍可再分解．最终由(x －１)(x ＋２)(x ＋３)＝０,解得x １＝１,x ２＝－２,x ３＝－３．师:以上两位同学的思路和方法都值得大家学习,希望大家都可以找到自己擅长的方法．生１１:长除法更容易想到,容易掌控．师:恭喜大家掌握了解高次方程的思想(降次)以及方法(通过长除法因式分解)!２．３课后练习以下两题建议用两种方法求解:(１)因式分解:x ３－３x ２－１３x ＋１５．(２)在有理数范围内是否存在m 和n ,使x ３＋m x ２＋n x ＋３３可以被x ２＋１０x ＋１１整除若存在,求出m 和n 的值;若不存在,请说明理由．设计意图:两种方法并行,第(２)小题不仅可以用长除法,还可以想到 ３３ 的因数,题中已经有了１１,那另一个一定是３,同时体会到降幂的逻辑顺序．后期可以介绍待定系数法．２．４课堂小结本节课通过类比小学竖式除法,引出多项式除以多项式,感受降幂排列及缺项时的添补,在运算过程中,作差时一定要看清楚各项的系数．运用长除法得到的商式和余式,将 数 提到 式 的高度．通过长除法,解决较为复杂的因式分解问题,让学生获得新的解题方法,并体会长除法思想,初步感受因式定理．３教后感多项式除以多项式 是七年级上册第九章 整式 的拓展内容． 整式 要求学生掌握整式的加减㊁整式的乘法㊁因式分解㊁单项式除以单项式㊁多项式除以单项式,唯独多项式除以多项式出现在拓展部分．笔者以为如果学生能掌握长除法,对其处理较难的因式分解问题有一定帮助,同时也能为学生后期学习解高次方程㊁高次不等式㊁求分式函数的值域等高中知识打下扎实基础．长除法的思想源于小学竖式除法,学生容易模仿,能在模仿类比的过程中体会 数 到 式 的迁移．基于这些想法,笔者于２０２２年１１月２９日开设了一节多项式除以多项式(长除法) 的公开课．在授课过程中,根据学生的知识㊁能力水平,在类比时引入长除法,同时不舍弃裂项分解,突出重点,逐步迁移到高次方程,取得了较好的教学效果,指向深度学习,为学生日后学习余数定理埋下种子．从这个意义上讲,本课是在核心素养意义下的深度学习．在教学过程中,七巧板游戏环节设计成以往知识的复习,在暖场的同时引出本节课内容,激发学生学习新知的兴趣．由于担心时间紧,没有投屏．如果投屏,能让完成最快的小组成员分享其 锦囊妙计 (思考过程),效果会更好．遗憾的是,少了学生试错㊁讨论㊁总结的过程．在例２及小试牛刀２．０的环节可以放手让学生试错讨论总结,缺项时的计算步骤应该由学生先做,然后关注他们出现了什么困难,组织学生讨论,相互帮助,最后总结出缺项式的步骤．本节课中小组的功能没有调动起来．长除法是高中㊁大学的余数定理教学中的一个环节,该过程的讲解应该再耐心一点,可以通过二次方程的根来阐述该定理,让学生感受其真实性,再通过类比延伸到三次方程,达到这节课的完美闭环．由于在长除法的运用过程中,大量除法㊁乘法㊁减法的运算揉在一起,学生稍不注意就出错,因此在平时的训练中应加强综合运算,提高学生的运算能力和推理能力．Z５４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
多项式整除计算方法
多项式整除计算方法
1. 嘿，你知道多项式整除计算方法里的长除法吗？就像小学生做除法运算一样！比如说，用 x+2 去整除x²-3x+2，咱就一步一步来，最后就能得
出结果啦，是不是很神奇呀？
2. 还有那个余数定理呢，可重要啦！就好比你在找东西，知道了一个关键信息，就能快速找到啦！像x³-5x²+3x+1 除以 x-1 时，把 1 代进去求值，那就是余数呀，懂了吧？
3. 合成除法也很有意思呢！哇，它就像是一把神奇的钥匙，能快速打开计算的大门哦。
比如计算x³+2x²-x+1 除以 x-2，用合成除法一下子就能搞定呢！
4. 嘿，你有没有试过对多项式进行因式分解来帮助整除呀！就如同解开一个复杂的谜题，一旦解开，一切都清晰了。
比如2x³-6x²+4x，分解一下，整除计算就简单多了呀，太奇妙了吧！
5. 系数比较法也很实用哦！这不就像是在对比不同的东西，找出它们的特点嘛。
比如两个多项式，通过比较系数就能知道能不能整除啦，是不是很赞？
6. 特殊值法也别小瞧呀！那感觉就像买彩票中了奖一样惊喜呢。
比如对某个多项式，找个特殊值一试，说不定整除的情况就一目了然啦！
7. 哎呀呀，还有好多多项式整除计算方法等着我们去探索呢！它们就像一个个宝藏，等着我们去发现挖掘！赶紧行动起来吧，让我们在数学的世界里尽情遨游呀！
我的观点结论就是：多项式整除计算方法丰富多彩，每一种都有其独特之处和奇妙的地方，值得我们好好去研究和运用！。
多项式的长除法
n n 1 0 1 m m 1 0 1
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且 a0 0， b0 0 .
P ( x )a x a x a x a n 1 n Q ( x )b x b x b x b m 1 m
( 1 ) n m , 这有理函数是真分式；
n n 1 0 1 m m 1 0 1
( 2 ) n m , 这有理函数是假分式；
正如假分数可以通过除法化为整数与真分 数之和：13 1 3 4 43 4 13 12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
多项式的长除法
Polynomial Long Division
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
P ( x )a x a x a x a n 1 n Q ( x )b x b x b x b m 1 m
其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,, an 及
例如
3 23 3 2 x x 4x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1
假分式 多项式 真分式
x 7 商 8 4 2 4x 2x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 2 x x 3 除数 x 2 4 2 7 x 13 x 2 2 4 2 7x 7x 7 多项式 长除法 2 4 8 6x 23 的过程 余数 4 8
假分式
多项式 真分式
7 x 商 8 4 2 除数 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 x2 x 3 x 2 4 7 x 2 13 x 2 2 4 7 x2 7 x 7 2 4 8 6x 2 3 余数 4 8
多项式运算(附答案)
姓名 学生姓名 填写时间 2014-3-28 学科数学年级教材版本人教版阶段 第（ 13 ）周 观察期：□ 维护期：□ 课题名称多项式运算及应用 课时计划第（ ）课时 共（ ）课时上课时间 2014-3-30教学目标大纲教学目标 1、掌握多项式的长除法与综合法 2、掌握余式定理与因式定理 个性化教学目标学生综合能力的训练教学重点 1、 掌握综合法的计算过程2、 余式定理与因式定理的灵活应用 教学难点学生综合应用能力的提升教学过程一、多项式的长除法例1、 计算：（1）x x x x 2)23(23÷+- （2）)1()23(23-÷+-x x x x第一部分：多项式的长除法与综合法（3）)1()23(23+÷+-x x x x跟踪练习：1、 计算： )2()9732(234-÷-+-x x x x2、因式分解176234+--+x x x x ，已知它有一个因式是2x+1.二、多项式的综合法1.多項式的除法定理：設f (x)、g(x)是兩個多項式，且g(x)0≠，則恰有兩多項式q(x)及r (x)使得f (x)q(x)g(x)r(x)＝‧＋成立，其中r (x)0＝或r (x)<degg(x)deg 。
1 2 41 31 3 7＋＋＋＋ ＋＋ (1).f (x)稱為被除式，g(x)稱為除式，q(x)稱為商式，r (x)稱為餘式。
(2).被除式＝除式×商式＋餘式。
(3).簡式：A ＝BQ ＋R2.綜合除法：2x 2x 4＋＋除以x 1－得到商式為x 3＋，餘式為7 依照除法定理可表示成2x 2x 4＋＋＝(x 1－)(x 3＋)＋7綜合除法的作法：注意＋1 ＂變號＂（ｘ-1）餘式 其中1 ＋3 所代表的是商式x 3＋１×１=1 3×1＝3 2＋1＝3 2ax b x c (x e)(f x g )＋＋＝－＋＝2f x (g ef )x eg ＋－－ (整除)依照比較係數法：2a f b g ef g b ae c eg c e(b ae)be ae ＝＝－＝＋＝－＝－＋＝－－⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩長除法表示：(已代換)222ax (b ae)x-e ax bx cax aex(b ae)x c(b ae)x-e(b ae) c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋⇒2ax b x c (x e)[ax (b ae)]＋＋＝－＋＋注意 比較綜合除法表示：餘式思考1：為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式 长除法
多项式长除法多项式的长除法是高中数学中比较重要的一部分，也是学习多项式运算的基础之一。
多项式的长除法是指用一多项式去除另一多项式时得到商式和余式的过程。
下面我们来简单介绍一下多项式的长除法的步骤和方法。
多项式的长除法步骤：1.将被除式按照幂次从高到低排列，如果某一项系数缺失，要补0。
2.将除式按照幂次从高到低排列。
3.用被除式的第一项去除除式的第一项，得到商式的第一项。
即：用被除式的第一项除以除式的第一项，除数不为0，则此项为商式的第一项，否则商式第一项为0。
4.用商式的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果。
得到的差即为余式。
5.把得出的商式和余式写在一起，如果余式的次数小于除式的次数，则已经得出了最终的答案，否则要将余式当作被除式，以此类推，直到余式的次数小于除式的次数。
多项式的长除法举例：例如，要计算多项式f(x)=x^3+2x^2-x-2 除以g(x)=x-1。
第一步，将被除式和除式按幂次从高到低排列：x^3 + 2x^2 - x -2÷ x -1第二步，用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商的第一项：(x^3 + 2x^2 - x - 2) ÷ (x - 1) = x^2第三步，用商的第一项乘以除式中的每一项，并从被除式的第二项开始分别减去结果，得到差即为余式：2x^2 2x+1-----------------x-1 | x^3 + 2x^2 - x - 2-x^3 + x^2----------x^2 - xx^2 - x--------第四步，把得出的商式和余式写在一起，得到答案：x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x^2 + x) (x - 1) + 0所以，多项式f(x)除以g(x)的商为x^2+x，余数为0。
总结：多项式的长除法是一种有效的计算多项式除法的方法。
熟练掌握多项式的长除法可以帮助我们更好地理解和运用多项式的相关知识，也是数学竞赛中必备的基础技能。
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多项式 真分式
XUXZ 18 July 2010
多项式的长除法
Polynomial Long Divly 2010
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
n
n 1
其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且 a0 0， b0 0 .
XUXZ 18 July 2010
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
n
n 1
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
XUXZ 18 July 2010
正如假分数可以通过除法化为整数与真分 数之和：
13 1 3 4 4
3 4 13 12 1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
XUXZ 18 July 2010
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
例如
3 23 3 2 x x 4 x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1
假分式 多项式 真分式
XUXZ 18 July 2010
x 7 商 4 8 2 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 2 x x 3 除数 x 2 4 2 7 x 13 x 2 2 4 2 7x 7x 7 多项式 长除法 2 4 8 6 x 23 的过程 余数 4 8
XUXZ 18 July 2010
x 7 商 4 8 除数 4 x 2 2 x 1 x 3 4 x 2 3 x 2 被除数 x2 x 3 x 2 4 7 x 2 13 x 2 2 4 7 x2 7 x 7 2 4 8 6 x 23 余数 4 8
3 23 3 2 x x 4 x 3x 2 x 7 2 8 2 2 4x 2x 1 4 8 4x 2x 1