《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
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《圆的一般方程》_精品课件-ppt【北师大版】1
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
2.当 2 DE2 4F0时方 , 程 x2y2DxEyF0称为 圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特 点：
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E2 4F 0
《圆的一般方程》教用课件北师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
2 的方程，并画出曲线.
图解
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例 3.已 知 直 线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2 x 0 ， 若 点 P 在 圆 C上 ， 试 确 定 点的P 坐 标 ， 使 点 P到 直 线 l的 距 离最 小 ， 并 求这个最小值。
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• 课堂练习： • 课堂练习第1、2、3题 • 小结 ： • 1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化 • 3．用待定系数法求圆的方程 • 4．求与圆有关的点的轨迹。
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• 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转 化等数学思想方法，提高学生的整体素质， 激励学生创新，勇于探索。
• 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般 方程与标准方程间的互化，根据已知条件确 定方程中的系数，D、E、F．
将上式展开得 x2y22a x2bya2b2r20
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey Fபைடு நூலகம் 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey Fபைடு நூலகம் 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
北师大版高中数学必修2《圆的一般方程》参考课件
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
（2）当
D2 E2 4F 0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
( A)a 1 2
(B)a 1 (C)a 1
2
2
(D)a 1 2
(D)
x (3)圆 x2 y2 8x 10y F 0 与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A)
( A)6
(B)5
(C )4
( D )3
(4)点 A(3,5) 是圆 x2 y2 4x 8y 80 0 的一条弦的中点,
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合 由两点间的距离公式，得
y M
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A线(的3，方0程)距，离并的画比出为曲12线的。点的轨迹，求此曲
高中数学北师大版必修二《圆的一般方程》课件
是不是所有X2+Y2+Dx+Ey+F=0情势 的方程都可以表示一个圆？？
x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得：
(x-D/2)2+(y-E/2)2=(D2+E2-4F)/4
（1）当D2+E2-4F>0，方程表示 以（-D/2, -E/2）为圆心，以 r D2 E 2 4F 为半径的圆。
2
(2)当D2+E2-4F＝0，方程表示一个点 （-D/2, -E/2）。
分析：我们可以利用配方法，解答这些类型的题，同样我 们也可以利用圆的一般方程的判定式来解决。
(3) x2+y2+2ax-b2=0 D=2a, E=0, F=-b2, 所以，D2+E2-4F=4(a2+b2) a=b=0时，4(a2+b2)=0，表示点 a≠0或b≠0时， 4(a2+b2) >0，表示圆。
解得：D=-8,E=6,F=0; 所以圆的一般方程为：
x2+y2-8x+6y=0
(x-4)2+(x+3)2=52
圆心为(4,-3)，半径为5
比较圆的一般方程求解这题和圆的 标准方程求解这题。
可以看出：
(1) 求圆的方程有配方法和待定系数法； (2) 正确选择圆的方程求解问题。
例3.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0）距离的比为1／2 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实 数解，不表示任何图形。
因此，形如二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0， D2+E2-4F>0时， 方程叫做圆的一般方程。
北师大版高中数学必修二圆的一般方程课件
( A )6
(B )5
(C )4
(D )3
第二十页，共27页。
(4)点 A (3,5 )是圆 x2y24x8y800的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
x y80
第二十一页，共27页。
例题. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（ xD)2(yE)2D 2E24F
2
2
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
（2）没有xy这样的项。
第十二页，共27页。
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原_点__(0_,_0)_ (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
A(-3，3) •
C(2, 2) (1) 入射光线及反射光线与
•
(2) x轴夹角相等.
(2)点P关于x轴的对称点Q在 反射光线所在的直线l 上.
• B(-3，-3)
(3)圆心C到l 的距离等于
圆的半径.
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 第二十二页，共27页。
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
设圆的(方 x8程 )2(为 y3)2r2
把(点 5,1)代入 r2 得 1,3
(x8)2(y3)213
故 圆 的 一 般 方 程 为 x 2 y 2 1 6 x 6 y 6 0 0
高中数学北师大版必修2《第2章22.2圆的一般方程》课件
20
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
北师大版数学必修二：2.2.2圆的一般方程ppt课件
= -95
所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
1
2
3
4
5
解法 2:由 A(1,12),B(7,10),得
1
AB 的中点坐标为(4,11),k AB=- ,
3
那么AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
3--1 = 0
=1
联立
,得
,
=
2
+ -3 = 0
探求三
易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得
- + 5 + + 26 = 0,
-2-2 + + 8 = 0,
5 + 5 + + 50 = 0,
= -4,
解得 = -2,
= -20.
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
2
2
D +E -4F=0
x2+y2+Dx+Ey
D
E
2
2
D
E
2
2
表示点 - ,表示以 - ,-
+F=0
2
2
D +E -4F>0
为
圆心,以
1
2
D2 + E 2 -4F为半
径的圆
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,那么k的取值范围是
北师大版高中数学必修二_圆一般方程_课件27页PPT
设圆的(方 x8程 )2(为 y3)2r2
把(点 5,1)代入 r2得 1,3
(x8)2(y3)213
故 圆 的 一 般 方 程 为 x 2 y 2 1 6 x 6 y 6 0 0
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习：求过A三 (0,0)点 ,B(6,0)C , (0,8)的圆的 . 设圆的x2 方 y2程 D为 xE yF0
（1）当 D 2E 24 F0时，表示圆，
圆心-D2,E2
r D2E24F 2
（2）当 D 2E 24 F0时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D 2E 2 4 F 0时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 1 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 2
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（ xD )2 (yE )2D 2E 2 4 F
22
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
（2）没有xy这样的项。
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2y2 0__原__点_(_0,_0_) (2)x2y22x4y60____ (3)x2y22axb2 0________
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M||OM| 1}
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2
1
(x3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
把(点 5,1)代入 r2得 1,3
(x8)2(y3)213
故 圆 的 一 般 方 程 为 x 2 y 2 1 6 x 6 y 6 0 0
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习：求过A三 (0,0)点 ,B(6,0)C , (0,8)的圆的 . 设圆的x2 方 y2程 D为 xE yF0
（1）当 D 2E 24 F0时，表示圆，
圆心-D2,E2
r D2E24F 2
（2）当 D 2E 24 F0时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D 2E 2 4 F 0时，不表示任何图形
例2. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 1 的点的轨迹， 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 2
两种方程的字母间的关系：
(x-a)2+(y-b)2 =r2
（ xD )2 (yE )2D 2E 2 4 F
22
4
形式特点：（1）x2和y2的系数相同，不等于0
（2）没有xy这样的项。
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2y2 0__原__点_(_0,_0_) (2)x2y22x4y60____ (3)x2y22axb2 0________
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M||OM| 1}
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2
1
(x3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
圆的标准方程课件北师大版高中数学必修2
圆锥曲线简介
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
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点到直线距离公式
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
பைடு நூலகம்A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
2 2
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2) ( y 3) 0 表示点（2，3）
2 2 2 2
x 2, y 3
( x 2) ( y 3) 2 不表示任何图形
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的 方程 y 方法一：
பைடு நூலகம்A(5,1)
几何方法
O E
x
B(7,-3)
C(2,-8)
2 2
展开得
x y 6x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1)2 ( y 2)2 4
(2) x y 2x 4 y 6 0