(完整word版)平面向量基础试题(一)

合集下载

（完整版）平面向量基本概念练习题

（完整版）平面向量基本概念练习题第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是（）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等向量D ．模相等的向量3．下列命题中，正确的是（）A ．|a | = |b |?a = bB ．|a |> |b |?a > bC ．a = b ?a 与b 共线D ．|a | = 0?a = 04．在下列说法中，正确的是（）A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有（）A ．2个B ．3个C ．6个D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________；（2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________；（3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；（5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？O A B C D E F12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB u u u r 、BC u u u r 、CD u u u r （1cm 表示200m ）；（2）求DA u u u r 的模．*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

平面向量题目及详细答案.doc

A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。

，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。

=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。

=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。

= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。

一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。

(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题

1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图，其中45°直角三角板的斜边与所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起，直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量答案若向量答案若向量答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

(完整版)平面向量测试题(含答案)一

必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（ 5 分× 12=60 分） :1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A ．7B．10C．13D． 45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则下列关系式中正确的是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）12（B） 21（C） 2 3（D） 32r r(2 x 3, x) 互相平行，其中r r）11、若平面向量a(1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C.2或2 5；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 (5 分× 5=25 分 ):13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b．15、已知向量 a 3, b (1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。

(完整版)平面向量练习题集答案(可编辑修改word版)

a •aa •a平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则A、B、C、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB 与CD 是共线向量，则A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a •b) •c＝a •(b •c)；③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2 MN ；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a 与 b 不共线，则(a＋b)⊥(a－b).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a|＝正确；(a •b) •c≠a •(b •c)；OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，MN = MD + DC + CN 且MN = MA + AB + BN ，两式相加可得2 MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；因为a，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点O，点M 在线段DO上，且 DM = 1 DO ，点 N 在线段 OC 上,且ON = 1OC ,设 AB =a , AD =b ,试用 a 、b 表示 AM ， AN ，33MN .【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点 O ，1 1 1所以 DO ＝ DB ＝ ( AB － AD )＝ (a －b )，2 2 2 AO ＝ OC ＝1 AC ＝1( AB ＋ AD )＝1＋b ).(a2 2 2 1 1又 DM ＝ DO ， ON ＝ OC ，3 31所以 AM ＝ AD ＋ DM ＝b ＋ DO31 1 1 5 ＝b ＋ × (a －b )＝ a ＋ b ，3 2 6 6AN ＝ AO ＋ ON ＝ OC 1＋ OC34 4 1 2 ＝ OC ＝ × (a ＋b )＝ (a ＋b ). 3 3 2 3所以 MN ＝ AN － AM 2 1 5 1 1 ＝ (a ＋b )－( a ＋ b )＝ a － b . 3 6 6 2 6【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练 2】O 是平面 α 上一点，A 、B 、C 是平面 α 上不共线的三点，平面 α 内的动点 P 满足OP ＝1OA ＋λ( AB ＋ AC )，若 λ＝时，则 PA • ( PB ＋ PC )的值为 .2【解析】由已知得OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )，1 1即 AP ＝λ( AB ＋ AC )，当 λ＝时，得 AP ＝ ( AB ＋ AC )，2 2所以 2 AP ＝ AB ＋ AC ，即 AP － AB ＝ AC － AP ，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以 PA • ( PB ＋ PC )＝ PA • 0＝0，故填 0. 题型三向量共线问题【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1) 若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线.【解析】(1)证明：因为 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5 AB ，所以，共线.又因为它们有公共点 B ，所以 A ，B ，D 三点共线. (2)因为 k a ＋b 和 a ＋k b 共线，所以存在实数 λ，使 k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量，所以 k －λ＝λk －1＝0，所以 k 2－1＝0，所以 k ＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 O 是正三角形 BAC 内部一点， OA +2 OB +3 OC =0，则△ OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（）3 A.2 2 B.3 1 C.2D.3【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0，整理可得OA ＋ OC ＋2( OB ＋ OC )＝0.1令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E ，BC 边的中点为 F ，则点 O 在点 F 与点 E 连线的处，即 OE ＝2OF .31 h h 1设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h ，则 S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝ • OE • ( ＋ )＝ OE ·h ，2 2 2 21 1 1S △OAB ＝ AB • h ＝ AB ·h ，2 2 42由于 AB ＝2EF ，OE ＝ EF ，所以 AB ＝3OE ，3 1S △ OAC OE • h 2 所以＝ 2 ＝ .故选 B.S △ OAB 总结提高1 AB • h 341. 向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2. 判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3. 当向量 a 与 b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当向量 a 与 b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||；当向量 a 与 b 不共线时，|a ＋b |＜|a|＋|b |.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例 1】如图▱ABCD 中,M ,N 分别是 DC ，BC 中点.已知 AM =a , AN =b ,试用 a ，b 表示 AB ， AD 与 AC【解析】易知 AM ＝ AD ＋ DM1＝ AD ＋ AB ，21AN ＝ AB ＋ BN ＝ AB ＋ AD ，2⎧AD + 1 AB = a , ⎪即⎨⎪AB + ⎩ 2 1AD = b . 2 2 2所以 AB ＝ (2b －a )， AD ＝ (2a －b ).3 32所以 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (a ＋b ).3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足 PA ＋ BP ＋ CP ＝| PD |0，则1 等于( )1A.3B.2C.1D.2【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 PB ＋ PC ＝2 PD ，因| PD |此结合 PA ＋ BP ＋ CP ＝0 即得 PA ＝2 PD ，因此易得 P ，A ，D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以即选 C.题型二向量的坐标运算【例 2】已知 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若 u ＝3v ，求 x ；(2)若 u ∥v ，求 x . 【解析】因为 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以 u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1).＝1，⎪3 3 3⎨(1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)，所以 2x ＋1＝6－3x ，解得 x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⎧2x +1 = (2 - x ),⇔ ⎩3 =⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. n π n π【变式训练 2】已知向量 a n ＝(cos 7 ，sin 7 )(n ∈N *)，|b|＝1.则函数 y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2 的最大值为.π【解析】设 b ＝(cos θ，sin θ)，所以 y ＝|a 1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos7，sin π 141π 141π π 7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 7 ，sin 7 )(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(7－θ)，所以 y 的最大值为 284. 题型三平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已知△ABC 的角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，设向量 m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若 m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，角 C ＝3，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为 m ∥n ，所以 a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得 a 2＝b 2，即 a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为 m ⊥p ，所以 m ·p ＝0，即 a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以 a ＋b ＝ab .由余弦定理，得 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0. 所以 ab ＝4 或 ab ＝－1(舍去). 1 1 3 所以 S △ABC ＝ ab sin C ＝ ×4× ＝ 3.2 2 2 【点拨】设 m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【变式训练 3】已知 a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若 m ⊥n ，且 a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为()A.10－5B.10＋5C.10－2D.10＋2 1 【解析】由 m ⊥n 得 2cos 2C －3cos C －2＝0，解得 cos C ＝－或cos C ＝2(舍去)，所以 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 2C ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由 10＝a ＋b ≥2 ab ⇒ab ≤25，所以 c 2≥75，即 c ≥5 3，所以 a ＋b ＋312 4 ×2 3 c ≥10＋5 3，当且仅当 a ＝b ＝5 时，等号成立.故选 B.典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例 1】已知 a ，b 夹角为 120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )；(3) a 与(a ＋b )的夹角 θ.【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b 1 ＝16＋4－2×4×2× ＝12，2 所以|a ＋b |＝2 3.(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2 1 ＝16－3×4×2× ＋2×4＝12.21(3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2× ＝12.2 所以 cos θ＝ a • (a + b ) ＝＝ | a || a + b |3 ，所以 2 πθ＝6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练 1】已知向量 a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且 c ⊥a ，则 a 与 b 的夹角大小是 .【解析】由 c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2＋a ·b ＝0， 1所以 cos θ＝－，所以 θ＝120°.2题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】在△ABC 中， AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值.【解析】①当∠A ＝90°时，有 AB · AC ＝0， 2 所以 2×1＋3·k ＝0，所以 k ＝－；3②当∠B ＝90°时，有 AB · BC ＝0，又 BC ＝ AC － AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 11 所以 2×(－1)＋3×(k －3)＝0⇒k ＝ 3 ；③当∠C ＝90°时，有 AC · BC ＝0，所以－1＋k ·(k －3)＝0，所以 k 2－3k －1＝0⇒k ＝3 ±213.2 113 ±13所以k 的取值为－，或.3 3 2【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC 中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .【解析】因为2 AB ·BC ＋2 BC ·CA ＋2 CA ·AB＝( AB ·BC ＋CA ·AB )＋( CA ·AB ＋BC ·CA )＋( BC ·CA ＋BC ·AB )( AB ＋BC )＋BC ·( CA ＋AB )( BC ＋CA )＋CA ·＝AB ·C B＝AB ·BA ＋C A ·AC ＋BC ·＝－42－62－52＝－77.77所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－.2题型三平面向量的数量积的综合问题π，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy 同向【例3】数轴Ox，Oy 交于点O，且∠xOy＝3的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e1＋y e2，则点P 的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2). (1)求| OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；(2)过点Q 的直线l⊥OQ，求l 的直线方程(在斜坐标系中).1e2＝，【解析】(1)依题意知，e1·2且OQ ＝－e1＋2e2，所以OQ 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3.所以| OQ |＝3.e1＝－e21＋2e1•e2＝0.又OQ ·e1＝(－e1＋2e2) ·所以OQ ⊥e1，即OQ 与Ox 成90°角.(2)设l 上动点P(x，y)，即OP ＝x e1＋y e2，又OQ ⊥l，故OQ ⊥ QP ，(－e1＋2e2)＝0.即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] ·1所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ·＋2(y－2)＝0，2所以y＝2，即为所求直线l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (5，0).对于某个正实数 k ，存在函数 f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ • (OAOQ＋ | OQ |)(λ 为常数)，其中点 P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则 k 的取值范围为()A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设OA＝ OM ，| OA |OQ＝ ON ， OM ＋ ON ＝ OG ，则OP ＝λ OG .因为 P (1，a )， | OQ | kak 2kak 2Q (k ，ak 2)， OM ＝(1，0)， ON ＝(， )， OG ＝( ＋1， )，则直线 OG 的ak 2 ak 2方程为 y ＝ x ，又OP ＝λ OG ，所以 P (1，a )在直线 OG 上，所以 a ＝，所以 a 2＝1－2k . 因为| OP |＝1＋a 2＞1，所以 1 2 0，所以 k ＞2. 故选 A.－＞ k。

(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为

(word完整版)平面向量题型及方法

平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么?（向量可以平移)。

如：已知A （1，2），B （4，2），则把向量AB 按向量a ＝（－1，3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5．平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行. 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有0）； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题:(1）若a b =，则a b =.（2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前,终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底,则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

平面向量最全面基础题(含详解答案)

平面向量最全面基础题一、填空题1．下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r； ⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；2．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 3．在等边三角形ABC 中，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则CE AF ⋅=u u u r u u u r __________．4．已知矩形ABCD 的边长为2AB =，3BC =，E 为BC 边上靠近点B 的三等分点，则AE AC →→⋅=__________．5．如图，在平行四边形ABCD 中，AO a →→=，DO b →→=，用向量,a b →→表示向量CB →=______.6．已知|a r |＝3，|b r |＝4，求|a b -r r |的取值范围_____．7．设向量,a b v v 不平行,向量2a b λ-r r 与2a b +rr 平行,则实数λ=___________. 8．已知向量(),12OA k =u u u v ，()4,5OB =u u u v ，(),10OC k =-u u u v ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______9．已知向量()2,6a =-v ，()3,b m =v ，若a b a b +=-v v v v，则m =______. 10．如图，在ABC ∆中，13AD AB =u u u r u u u r ，点E 为CD 的中点.设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则AE =u u u r ______（用a r ，b r 表示）.11．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a r 、b r 、c r 满足(2)0a tb c +⋅=r r r ，则实数t 的值为_______．12．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.13．已知(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，则a r 在b r 的方向上的投影为________．14．已知5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影等于______二、解答题15．已知向量()2,0a =r ，()1,4b =r .（1）若向量ka b +r r 与2a b +r r 垂直，求k 的值；（2）若向量ka b +r r 与2a b +r r 的夹角为锐角，求k 的取值范围；（3）求a b +r r 和2a b -r r夹角的余弦值. 16．已知向量()3,2a =v ，(1,3)b =v －，()5,2c =v ．(1)求62a b c v v v ＋－；(2)求满足a mb nc v v v＝＋的实数m ，n ； (3)若()//(2)a kc b a v v v v ＋－，求实数k .17．在平面直角坐标系中，已知向量2a =r ，3b =r ，且326a b -=r r .（1）求向量,a b r r 的夹角θ；（2）求()()22a b a b +⋅-r r r r 的值.。

平面向量 Word版(含答案)

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题）已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A2 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知向量a =(x ,1),b=(3,6),a ⊥b ,则实数x 的值为（）A ．12B ．2-C ．2D ．21-【答案】B3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+--3.(22B ---+3.(22C -+-+ .(4,3)D -【答案】B4 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）OAB ∆,点P 在边AB 上,3AB AP = ,设,OA a OB b ==,则OP =12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -PBA【答案】B5 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a ,②()()λλ⊗=⊗a b a b ,③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c , ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立; ② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时,()()λλ⊗=⊗a b a b 不成立;③当,,a b c 不共面时,()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立,例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅ a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=- a b a b ,故1221x y x y ⊗=-a b 恒成立.6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ,则cos 2θ等于（）A ．1-B ．0C ．12D ．2【答案】B 解析:212cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .7 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在平行四边形ABCD 中,AE →=13AB →,AF →=14AD →,CE 与BF 相交于G 点.若AB →=a ,AD →=b ,则 AG →=（）A ．27a +17bB ．27a +37bC ．37a +17bD ．47a +27b【答案】C8 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b（）A ．2B C ．D ．【答案】C9 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若向量)1,1(),0,2(==b a ,则下列结论正确的是（）A ．1=⋅B ．||||b a =C ．⊥-)(D ．//【答案】C10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图2,一条河的两岸平行,河的宽度600d =m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km,水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为（）A ．8 km/hB ．C ．km/hD．10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 【答案】B11．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）平面四边形ABCD 中0AB CD += ,()0AB AD AC -=⋅,则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】B 由0AB CD += ,得AB CD DC =-=,故平面四边形ABCD 是平行四边形,又()0AB AD AC -=⋅ ,故0DB AC =⋅,所以DB AC ⊥,即对角线互相垂直.12．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知(1,2)=a ,(0,1)=b ,(,2)k =-c ,若(2)+⊥a b c ,则k =（）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B13．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））向量(2,0),(,)a b x y == ,若b 与b a - 的夹角等于6π,则|b |的最大值为（）A ．4B ．C ．2 D【答案】A15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知点A (1,5)-和向量a =(2,3),若3AB a =,则点B 的坐标为（）A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14) 【答案】设(,)B x y ,由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩,所以选D ．16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,//()a a b +,则m =（）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】【解析】向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,()(2,1)a b m +=+,因为//()a a b +∴(1)2m -+=,3m =-故选C .17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（）A ．=a b a b B ．+=+a b a b C．()()= a b c a b cD ．2= a a a【答案】D18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设向量12(,)a a a = ,12(,)b b b = ,定义一运算:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ,11(,sin )n x x = .点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（）A ．1,2π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【答案】C二、填空题19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）已知向量,的夹角为60,12==,_________=+;向量与向量2+的夹角的大小为_________.【答案】632π20．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD 的中点,则___________.AE BD ⋅=BAEDC【答案】121．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中90C ∠=o ,BC =2 则=⋅BC AB ________ .【答案】-422．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）若向量a 、b 满足2||||==,与b 的夹角为︒60,则=+||_______【答案】32;23．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知在三角形ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧).则的取值范围为____.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-37,3524．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知e 1、e 2、e 3为不共面向量,若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2+e 3,c =e 1+e 2-e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,且d =xa +yb +zc ,则x 、y 、z 分别为_*****_.【答案】答案:52 ,-12,-1解:由d =xa +yb +zc 得e 1+2e 2+3e 3=(x +y +z )e 1+(x -y +z )e 2+ (x +y -z )e 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解得:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故x 、y 、z 分别为52,-12,-1.25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知平面向量a2,)(b a a -⊥;则><b a ,cos 的值是_______.【答案】21; 26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的点,则DE CB ⋅的值为____________.【答案】127．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知向量,a b, ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为________.【答案】4π三、解答题28．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知(s i n ,c o sa θθ= 、b =(1)若//a b,求tan θ的值;(2)若()f a b θ=+, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅.【答案】解:(1)//,sin 0a b θθ∴=sin tan θθθ∴⇒(2)(sin 1)a b θθ+=+a b ∴+===(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===由余弦定理可知:222cos 230b c a A bc +-==7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅=== (其它方法酌情给分)。

平面向量基本定理基础训练题(含详解)

平面向・根本定理根底练习题〔含详解〕一、单项选择题1.在A A 8c 中,E 是AC 的中点,BC = 3BF ＞假设而=工,衣=B ,那么丽=〔3.A,8, C 三点不共线,且点.满足OU .月+3=6,那么以下结论正确的选项是〔4 .在△A8C 中,E 为AC 上一点,AC = 3AE^ P 为BE 上任一点、,假设一一一 3 1AP = mAB + nAC(m > 0,〃 > 0),那么—+ -的最小值是 ni nB. 10 D. 12 5 .在等腰梯形A8CD 中,AB//DC , AB = 2DC. E 为BC 的中点,那么〔〕 6 .在平行四边形A5CD 中,假设右后=4瓦,那么诟=〔〕学校;姓名: 班级: 考号:C. 1 - 1 rD. —a ——b 3 32・如图,方=[,AC = b^ Bl5 = 3DC ,用£、办表示那么45等于〔 A.B. 1 - > rC. —a + —h 4 4D. 3 - 1 r — a + — b 4 4 1 - 31 — a +—b 4 4 一 1 ____ ? ____ A. OA = -AB + -BC一 ? 一 1 ________ B. OA = -AB + -BC 3 3—1 —,2 — C. OA = — AB — BCD. OA = --AB--BC A. 9C. 11 T 3 T 1 一 A. AE = -AB+-AD 4 2 — 1 T 1 一 C. AE = -AB+-AD 4 2 T 3 T 1 T B. AE =」A8+ — A . 2 2 T 3 T 1TD. — 4 43 6 4B. -AB-ADC. -AB + -AD 5 5 二、填空题7 .在正方形48CQ 中,M,N 分别是的中点,假设/=幺而+以丽,那么实数九〞 =.8 .△A8C,假设点D 满足'万,且丽=23(4eR),那么2 =.A. —AB + AD 5 D. —AB + AD 4参考答案1. A【解析】【分析】根据向量的运算法那么计算得到答案.【详解】正皮+入汐毛衣+|〔金衣〕=1通-次亨力应选：A.【点睛】此题考查了向量的根本定理,意在考查学生的计算水平和转化水平.2. D【解析】分析：用向量的加法法那么表示出Afi,再由数乘与减法运算可得.详解：由题意__ ____ ____ 3 ___ 3 __ ___ 3 _ ] _ 3 _AD = AB + BD = a + — BC =d +二〔AC — A8〕=a + —〔b -ci〕 = —a + — h ♦4 4 4 4 4应选D.点睛：此题考查平面向量根本定理,考查平面向量的线性运算,解题时抓住向量线性运算的运算法那么〔加法、减法、数乘等〕就可以把任一向量用基底表示出来.3.D【解析】【分析】由3A +砺+ 0心=6可知,所以.为AABC的重心,运用向量的加法运算,T 2 1T -= 一一x —〔A8+ AC〕,整理后可求结果.3 2【详解】由于.4+oQ+od =〔i,所以.为AABC的重心,T 7 1 -> -> 1T T 1 2Tl 7所以QA = ——x — (A8+ AC) = 一一( A8+ AC) = 一一( A8+ AB+ 8C)= —二48 一一3c.3 2 3 3 3 3应选:D.【点睛】此题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的根本定理,属于根底题.4. D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定〃?,〃的关系,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：AP = mAB + nAC = mAB + 3nAE^A,8,E三点共线,那么：〃? + 3〃 = l,据此有：3 1 (3 1 Y 、9n m 回~nt — + —= — + — (〃? + 3〃) = 6 + — + —>6 + 2—x—= 12, m n \ m n J m n V in n当且仅当m =1,〃 =,时等号成立.2 63 1综上可得：二十一的最小值是12.m n此题选择O选项.【点睛】此题主要考查三点共线的充分必要条件,均值不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化水平和计算求解水平.5. A【解析】【分析】根据题意,选基底荒,行表示向量/即可求解.【详解】由等腰梯形A3CQ中,AB = 2DC , E为8c的中点可知,AE = AB+BE(X)AE = AD+DC+CE = AD^-AB + CE®2T T 3 T ①+②得：2AE = AO+二A8,2T 3 T 1 一即AE = -AB+-AD.4 2应选：A【点睛】此题主要考查了向量的加法,向量的基底,属于容易题.6. A【解析】【分析】由在=4瓦,得在=：也,在△8EC中,利用向量加法可得.【详解】vCE = 4EZ),.-.CE = -CD,।・・・・・—।।।・... BE = BC + CE = AD + — CD = —— AB + AD5 5应选:A.【点睛】此题考查平面向量的线性运算.用向量表示某一向量的两个关键点：⑴用向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.⑵要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.47.-3【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算法那么可得=2 _ __ .// + — AD = AB + AD ,由2)2+2=1平而向量根本定理可得J ,即可得解.〃十丁1【详解】由题意画出图形,如下图：.4 ____________________ BD N C由题意可得衣=夭宿+ 4 病=人〔而+ 两〕 + 〃〔而+ 7= /i〔A8 + ； 8c〕 + 〃〔AO + goC〕= 4〔45 + ；4O〕+ 4W〕AD+^AB\ +外荏+ 〔〃 +.酝X +幺=1又就=丽+莅,所以J 1 ,k=l3 4从而二〔2 + 〃〕= 2,即2 + 〃 =不.4 故答案为：y.【点睛】此题考查了平而向量线性运算法那么、平而向量根本定理的应用根底题.I8.—3,考查了运算求解水平,属于【解析】【分析】根据题意,利用平而向量的根本定理,化简即可得到结论. 【详解】由而可得4而=3而+ /,4所以,3AD + AD = 3AB + AC^即3〔而-而〕=正-所以,3前=灰,故= .3故答案为：一1.3【点睛】此题考查平面向量的根本定理,属于根底题.。

《平面向量》基础测试题

基础测试（一）选择题（第题4分，共24分）1．计算BA++等于（）．DBAC+CD（A）0 （B）0（C）2DB（D）2 AC【提示】+＝（CDAC+）＋（BABA+AC+CDDBAD+＝0．DB+）＝DA【答案】（B）．【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是（）．（A）（3，－4）（B）（－3，4）（C）（3，4）（D）（－3，－4）【提示】2b－a＝2（0，－1）－（3，2）＝（－3，－4）．【答案】（D）．【点评】本题考查向量的坐标运算．3．下列各组向量中，共线的是（）．（A）a＝（－2，3），b＝（4，6）（B）a＝（1，－2），b＝（7，14）（C）a＝（2，3），b＝（3，2）（D）a＝（－3，2），b＝（6，－4）【提示】若a＝（x，y），b＝（x2，y2），则a与b共线的充要条件是x1 y2－x2 y1 ＝0．这里（－3）×（－4）－2×6＝0．故选（D）．【答案】（D）．【点评】本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件．对于（A），（－2）×6－3×4＝－24≠0，排除（A）；对于（B），1×14－（－2）×7＝28≠0，排除（B）；对于（C），2×2－3×3＝－5≠0，排除（C）．4．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为（）．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【提示】∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，因AB ＝（1，－1），BC ＝（5，x －2），得1×5＋（－1）×（x －2）＝0，解出x ＝7．【答案】（C ）．【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件．5．设s 、t 为非零实数，a 与b 均为单位向量时，若|s a ＋t b |＝|t a －s b |，则a 与b 的夹角θ 的大小为（）．（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° 【提示】由|s a ＋t b |＝|t a －s b |，得s 2a 2＋t 2b 2＋2 st a · b ＝t 2a 2＋s 2b 2－2 st a b ．又a 、b 均为单位向量，|a |＝1，|b |＝1，即a 2＝1，b 2＝1．∴ 4 s t a ·b ＝0，有|a |·|b |cos θ ＝0，得cos θ ＝0．∴ θ ＝90°．【答案】（D ）．【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律．6．如图，D 、C 、B 三点在地面同一条直线上，从C 、D 两点测得A 点仰角分别为α、β，（α ＞β），则A 点距地面高度AB 等于（）．（A ）)sin(cos sin βαβα-m （B ）)cos(cos sin βαβα-m（C ）)sin(cos cos βαβα-m （D ）)cos(cos cos βαβα-m【提示】在△ACD 由正弦定理，得AC ＝)(sin sin βαβ-s m ，再在直角三角形中求AB ．【答案】（A ）．【点评】本题主要考查应用正弦定理解三角形的有关知识．（二）填空题（每题4分，共20分）1．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________．【提示】 2a －21b＝2（1，2）－21（3，1）＝（2，4）－（23，21）＝（2－23，4－21）＝（21，321）．【答案】（21，321）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算．2．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．【提示】由AB 与CD 共线，先得x ＝10，再求|BD |的长．【答案】73．【点评】本题考查向量的模、向量的坐标运算及向量共线的充要条件．3．已知点P 1（1，2），P 2（－2，1），直线P 1P 2与x 轴相交于点P ，则点P 分21P P 所成的比λ 的值为_____．【提示】由直线P 1P 2与x 轴相交于点P ，得点P 的纵坐标为0，于是0＝λλ+⨯+112，即λ ＝－2．【答案】－2．【点评】本题考查线段的定比分点的坐标公式．4．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．【提示】由已知，x ＝2，y ＝4，h ＝－5，k ＝－2，代入平移公式⎩⎨⎧+='+='ky y h x x ，得x ′＝－3，y ′＝2．【答案】（－3，2）．【点评】本题考查点的平移公式．主要应分清平移前后点的坐标．5．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2．则这个三角形的最小角的度数是___________．【提示】先由已知条件判断△ABC 三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角．由于c ＞b ＞a ，则a 对的角A 为最小．利用余弦定理，得cos A ＝bcac b 2222-+＝)26(2222)26()22(222+⨯⨯-++＝23，∴ A ＝30°．【答案】30°．【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题．（三）解答题（每题14分，共56分）1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．【提示】AB 、AC 的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出AB 、AC 的坐标后，可得2AB ＋AC 的坐标，（1）可解，对于（2），可先求AB 、AC 的值，代入 cos θ ，即可；对于（3），设所求向量的坐标为（x ，y ），根据题意，可得关于x 、y 的二元方程组，解出x ，y ．【答案】（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则 x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得 2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．【点评】本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力．2．如图，已知AB ＝DC ＝a ，BC ＝b ，且|a |＝|b |．（1）用a ，b 表示AD ，AO ，OB ；（2）求AC ·BD ．【提示】由AB ＝DC ，可判定四边形ABCD 为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求AD ，AO ，OB ．又AC ＝AB ＋BC ．BD ＝AD －AB ，AD ＝BC 利用数量积的运算性质及已知条件|a |＝|b |．可求AC ·BD ．【答案】（1）∵ AB ＝DC ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形． ∴ AD ＝BC ＝b ．∴ AC ＝AB ＋BC ＝a ＋b ，BD ＝AD －AB ＝b －a ，而 AO ＝21AC ，OB ＝－21BD ，∴ AO ＝21a ＋21b ，OB ＝21a －21b ．（2）∵ AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，∴ AC ·BD ＝（b ＋a ）（b －a ）＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0．【点评】本题考查平面向量的加减法，基本定理、数量积及运算律．解题时注意结合平面图形的几何特征，寻求向量之间的联系．由题目的条件及结论可知，四边形ABCD 为菱形． 3．一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小时的速度航行，一灯塔M 在船北偏东15°，经40分钟后，灯塔在船北偏东45°．求船与灯塔原来的距离．【提示】先画船航行的示意图，将题目的已知条件分别与三角形内的边、角对应起来，从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决．【答案】如图，设船原来的位置为A ，40分钟后的位置为B ，则AB ＝36×32＝24（海里）．在△ABM 中，∠BAM ＝30°＋15°＝45°． ∠ABM ＝180°－（45°＋30°）＝105°，∴ ∠AMB ＝180°－（∠ABM ＋∠BAM ）＝30°．由正弦定理，得 AM ＝AMB AB ∠sin · sin ∠ABM＝︒30sin 24· sin 105°＝12（2＋6）（海里）．答：船与灯塔原来的距离为12（2＋6）海里．【点评】本题考查解斜三角形的应用问题．关键是画出示意图（这里必须弄清方位角的概念），建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题．4．在□ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，求这个平行四边形的面积．【提示一】要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角．由周长为18，知两条邻边的和为9，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角．【提示二】在△AOB 和△BOC 中利用余弦定理求解．【解法一】如图，在□ABCD 中，设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，在△ABC 中，据余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2 AB BC cos ABC ．在△ABD 中，据余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2 AB · AD cos DAB ．由已知 AC ＝65，BD ＝17，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，BC ＝AD ．故角 65＝x 2 ＋(9－x ) 2－2 AB BC cos ABC ， 17＝x 2 ＋（9－x 2）＋2 AB BC cos ABC ，二式相加，得 82＝4 x 2－36 x ＋162 即 x 2－9 x ＋20＝0 解得 x ＝4，或x ＝5，在△ADB 中，由余弦定理，得 cos ∠DAB ＝ABAD BDAB AD ⋅-+2222＝542175422⨯⨯-+＝53．∴ s in ∠DAB ＝54．∴ sin □ABCD ＝AB · AD s in DAB＝4×5×54＝16．【解法二】在△AOB 和△BOC 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2 OA · OB cos ∠AOB ， BC 2＝OC 2＋OB 2－2 OC · OB cos ∠BOC ，可设 AB ＝x ，则BC ＝9－x ，而OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝21BD ，∠AOB ＋∠BOC ＝180°，代入后化简，可求得 x ＝4或x ＝5．在△ADB 中，由余弦定理，得 cos ∠DAB ＝ABAD BDAB AD ⋅-+2222＝542175422⨯⨯-+＝53．∴ s in ∠DAB ＝54．∴ sin □ABCD ＝AB · AD s in DAB＝4×5×54＝16．【点评】本题考查余弦定理的灵活运用．3．如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°方向上，从城A 出发有一条出路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿着公路向城A 走去．走20千米后到达D 处．测得CD ＝21千米，这时此人距城A 多少千米．【提示】要求AD 的长，在△ACD 中，应用正弦定理，只需求∠ACD ，而∠CDB 是△ACD 的一个外角，∠CAD 已知，故只需求∠CDB ，在△CDB 中，已知两边，可利用余弦定理求角．【答案】由已知，在△CDB 中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，据余弦定理，有 cos ∠CDB ＝DBCD BCDBCD⋅-+2222＝－71．∴ sin ∠CDB ＝CDB 2cos 1-＝374．在△ACD 中，∠CAD ＝20°＋40°＝60°， ∴ ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°． ∴ sin ∠ACD ＝sin （∠CDB －60°）＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60° ＝374×21－（－71）×23＝1435．由正弦定理，得 AD ＝CADCD ∠sin · sin ∠ACD ＝15（千米）．答：此人距A 城15千米．【点评】本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用．解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决．4．已知平面向量a ＝（7，9），若向量x 、y 满足2x ＋y ＝a ，x ⊥y ，|x |＝|y |，求x 、y 的坐标．【提示】设x ＝（x 1，x 2），y ＝（y 1，y 2），由已知，可以得到含有x 1，x 2，y 1，y 2的四个关系式，建立方程组，解之即可．【答案】设x ＝（x 1，x 2），y ＝（y 1，y 2）．由2x ＋y ＝a ，得 2（x 1，x 2）＋（y 1，y 2）＝（7，9），即⎩⎨⎧=+=+)2(92)1(722211y x y x 由x ⊥y ，得x 1y 1＋x 2y 2＝0． ③ 由 |x |＝|y |，得 x 12＋x 22＝y 12＋y 22＝0． ④ 将（1）式化为 y 1＝7－2 x 1，（2）式化为 y 2＝9－2 x 2，代入③式，得 x 1（7－2 x 1）＋x 2（9－2 x 2）＝0，即 2（x 12＋x 22）＝7 x 1＋9 x 2， ⑤ 代入④式，得 x 12＋x 22＝(7－2 x 1) 2 ＋(9－2 x 2) 2，即 3（x 12＋x 22）＝28 x 1＋36 x 2－130． ⑥ 由⑤、⑥，得⎩⎨⎧=+=+．529726212221x x x x 解之得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51152321x x 或⎩⎨⎧==．5121x x 分别代入（1）、（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=52351121y y 或⎩⎨⎧-==．1521y y ∴ x ＝（523，511），y ＝（－511，523）．或 x ＝（1，5），y ＝（5，－1）即为所求．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，两点间距离公式及运算能力．。

(完整word版)平面向量(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：平面向量一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=（）A ．5B ．10C ．25D ．102 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ=（）A ．13B ．23 C ．43D ．24 ．（2012年高考（四川文））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（）A ．||||a b =且//a bB ．a b =-C ．//a bD ． 2a b =5 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x =（）A ．—1B ．—12C ．12D ．16 ．（2012年高考（广东文））(向量、创新)对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=ab （）A ．12B ．1C ．32D ．527 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC =（）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,28 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是（）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =9 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（）A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b -D ．4455a b -二、填空题10．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.11．（2012年高考（上海文））在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .12．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 13．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。

(完整版)平面向量测试题及详解

平面向量第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17D.17[答案] A[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知，P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM →) ＝P A →·AP →＝－|P A →|2＝－⎝⎛⎭⎫23|MA →|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b[答案] B[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ， ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b .5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10，又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ，则 AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[答案] C[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] 解法1：如图以C 为原点，CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，设M (x 0，y 0)，∵BM →＝2MA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2(3－x 0)y 0－3＝2(－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝1，∴CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. 解法2：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →，∴CB →·CM →＝CB →·(CB →＋BM →)＝|CB →|2＋CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → ＝9＋23×3×32×⎝⎛⎭⎫－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0[答案] D[分析] 由于向量AC →，AB →有公共起点，因此三点A 、B 、C 共线只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →＝λAB →，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊕b ＝(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊕OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A ．2；πB ．2；4π C.12；4π D.12；π [答案] C[解析] 设点Q (x ′，y ′)，则OQ →＝(x ′，y ′)，由新定义的运算法则可得： (x ′，y ′)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊕(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ，得⎩⎨⎧x ′＝2x ＋π3y ′＝12y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－π6y ＝2y ′，代入y ＝sin x ，得y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′－π6，则 f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53 D ．1[答案] B[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知，AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量，因此向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线．由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可知，角A 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别是向量AB →，AC →方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．[答案]5[解析] 3a ＋b ＝(3,6)＋(－2，y )＝(1,6＋y )， ∵a ∥b ，∴－21＝y2，∴y ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝ 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[答案] 2 3[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案] λ<－32且λ≠－3[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， ∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)， ∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ， ∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， ∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝asin A，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π，若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1.20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值． [解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a .(1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4，当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2，所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k 2≤－125.解得1≤k 2≤3. 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。

平面向量练习试题[附答案]

平面向量练习题一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.02.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－29.1210.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos＝||||AC AB AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。

平面向量的基本题目

平面向量的基本题目练习一1．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向；③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等3.下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同4．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( )A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线 5．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |≠|CD |，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( )A ．a ∥c B ．a ＝c C ．a 与c 不共线 D ．以上都有可能7．(2011～2012²临沂高一检测)以下说法错误的是( )A ．零向量与任一非零向量平行B ．零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同D ．平行向量一定是共线向量8．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB ，CD 满足|AB |>|CD |，且AB 与CD 同向，则AB >CDC ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A ，B ，C ，D 四点共线9．设是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A. a 与的长度必相等 B ．a ∥ C ．a 与一定不相等 D. a 是的相反向量 10．如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC 相等的向量是________．11．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA .其中正确命题的序号是________．12．如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与AO ，BO 相等的向量；(2)写出与AO 共线的向量；(3)写出与AO 的模相等的向量； (4)向量AO 与CO 是否相等？[答案] 1、A 2、D 3、D 4、A 5、A 6、D 7、C 8、C练习二1．向量（+）+（+）+化简后等于（）A. B ． C ． D ． 2．、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（）A ． ∥且、方向相同B ． =C ． =-D ．以上都不对3．化简（AB -）+（-）的结果是（）A ． B ． C ．AC D ．AE4．在四边形ABCD 中，=+AD ，则（）A ．ABCD 是矩形B ．ABCD 是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形5．下列四式不能化简为的是（）A ．（AB +）+ ) B ．（+）+（+CM ）C ． +-BMD ． -+6.设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)7．设（+CD ）+（BC +DA ）=,≠0,则在下列结论中，正确的有（） ①∥; ②+=; ③+=; ④｜+｜＜｜｜+｜｜A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8．已知=,=, =,DE =,=,则+++= ．9．若向量、满足｜+｜=｜｜+｜｜，则与必须满足的条件为．10．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为． 11. =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ．12.已知矩形ABCD ，｜｜=43,设=,=,BD =，求｜++｜．13．已知正方形ABCD 的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A ．0B ．3C ． 2D ．22练习三1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ;B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7);C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10);D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)43,21(- 2．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)；④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．仅②4．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ;5．已知12,e e 是不共线的向量，12a e e λ=+ ，122b e e =- ，则,a b共线的条件是λ=（）A.0 B.-1 C.-2D.12- 6．已知等差数列{}n a 满足59OC a OA a OB =⋅+⋅，若,,A B C 三点共线，则（）A.312a =B.512a =C.712a =D.912a =7．在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=,其中,不共线，则四边形ABCD 为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形 8．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝19．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b11．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 13．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．14．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .15.设两非零向量和不共线， (1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.16.设和是两个不共线的非零向量，若向量，试证明：A 、C 、D 三点共线.17．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．18.P 是ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对的边的长度分别为5,8,9，若58PA PB + 90PC +=，则点P 是ABC ∆的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心19.P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心 20.P 是ABC ∆所在平面上一点，若0PA PB PC ++= ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心21.P 是ABC ∆所在平面上一点，若||||||PA PB PC == ，则点P 是ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心22.O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，这里0λ≥，则动点P 的轨迹一定通过ABC∆的（）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习四 1、已知a 、b 为两个单位向量，下列命题正确的是（）（A ）a =b （B ）a ²b =0 （C ）|a ²b |<1 （D ）a 2=b 22、若|a |=2，|b |=21，a 与b 的夹角为600,则a ²b=（）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）23、已知∆ABC 中，=a ，=b ,当a ²b<0时 ∆ABC 是（）（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）等腰直角三角形 4、设|a |=12，|b |=9,a ²b =254-，则a 与b 的夹角大小为（）（A ）045（B ）0135（C ）060（D ）01205.已知a+b =2i -8j ，a-b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6、若a //b ，则a ²b =（）（A ）0 （B ）–1 （C ）|a ||b | （D ）±|a ||b |7、下列叙述不正确的是（）（A ）向量的数量积满足交换律（B ）向量的数量积满足分配律（C ）向量的数量积满足结合律（C ）a ²b 是一个实数 8、已知|a |=6，|b |=4，则（a +2b ）²（a –3b ）=–72，a 与b 的夹角为（）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）01209、已知|a |=2，|b |=4，a 与b 的夹角为3π，那么向量a –4b 的模是（）（A ）2 （B ）6 （C ）32 （D ）1210、|a |=2，|b |=4，向量a +43b 与a –43b 的位置关系是（）（A ）平行（B ）垂直（C ）夹角为3π （D ）不平行也不垂直11、已知|a |=6, b 为单位向量，它们之间的夹角为060，则a 在b 方向上的投影为_____。

(完整版)平面向量基础试题(一)(可编辑修改word版)

下列四式不能化简为AD 的是（）11. 平面向量基础试题（一）已知向量二 Y 满足 a =lr 1>= (2, 1),且a ・l>=0,则 a-'l>i=(已知向量和（i, 2） , b=（2, 3）,若3 线，则实数01=（一・选择题（共12 小题）A. 2. A. 3. A. 已知向量驴（1- (1, 5)B. 2) , b= (•I, 4) 若向量:a ，b 满足丄Idld 90" B. 60"C. 45°D. 30°已知a 与b 均为单位向量, V T B . VT O C- VT SD . 4(-1,C ・ b= (0, 3) D- (2, 1) （•2, 1） , a*b=5r 则詁亍的夹角为（它们的夹角为60。

，那么I a + 3b F （4. A. B. V5 C. 2 D. Vs5. A.已知A （3, 0） , B （2, 1）,则向量曲的单位向量的坐标是（（1,-1） B. （-1, 1） C.（爭，警）D. 您，爭）6. 已知点P （3 5） , Q （2, 1）,向量匸（■入，1）,若PQ//ir,则实数入等于() 4.4 5 B ・-5 A. S 知向量竽 U i D.号（1, 2） , b= （2» X）.若Mb 与平行，则实数X 的值是（A. 4B. -1C ・A 8. A. 已知平面向量a= (1, 2), b=C-2, ID )，且a“b，则| b |为(2^56. V B C- 3A /5D. 19. 已知向量鼻（3, 1） . b=（X, -1）,若7 也诀线，则X 的值等于（A. •3B. 1 C ・ 2 D. 1 或 2ID.A. —•需D.磊A. HB+AD-BKB. (AD+MB)+(BC+CH)C ・(AB+CD)+BCD- OC-OA+CD0A= a* OB^ b* 0C= c ，则下列等式中成立的是二・选择题（共10小题）12•如图所示，已知AC 二3BC ， ■* 3_ I T * 2 213. 已知向量驴（2, 6）, b= (-1, X),14. 已知向量竽（2 3）, b= (3, m),15. 已知向量于（-1, 2）. b= (tTb 1) r 若向量a+b 与直，则 m=16-已知 1=(2, 1), b 二(3, ID ）,若a 丄（3・b ）,则I 自+b I 等于17.设 mER,向量护(m 十2. 1) , b= <lr -2m),且 a 丄 b,贝!)la+b =18・若向量ir=（2, 1） , n= （3, 2A.） T 且<2ir-n ）〃 <ir+3n ），则实数入二 19. 设向量a ，b 不平行，向量屮mb 与C2-m ） a+b 平行，则实数m 二20. 平面内有三点A (O 3) , B (3, 3) , C(X, 1),且A£〃 AG 则x 为21•向量匸（入+1, 1）,；二（入+3, 2），若mPm 则入二22.设 B (2, 5) , C (4, .3) , AD= Cl ，4),若BCJAD ，则入的值为三•选择题（共8小题）23.在△ABC 中，A84, BC=6, ZACB=120\ 若赢.2丽，则 AC*^=24.已知a EFJ 夹角为120\且|a =4r b=2.求:c-2a~bD-(1) ( a2b)• ( a+b)；(2) 3各4b・25.已知平面向量a，b满足la =1» I b'=2.（1）若：与亍的夹角e=120\求寫+W的值;（2）若（扁+亍）丄（kab），求实数k的值.26-已知向量芋(3, 4) , b= (4, 2) •<1）求向量亏与亍夹角的余弦值;（2）若向量aAb与a+2b平行r求入的值•27-已知向量驴(2, 2) , b= (3 4)・（1）求与三亍的夹角:（2）若:满足7丄（壬亍），（舌环〃瓦求坐标.28・平面内给定三个向量驴(1, 3) , b= (-1, 2) , c= (2, 1).<1）求满足a=mb+n<：的实数m, n；（2）若（a+kc）〃（2l>n）,求实数k・29.已知△ABC的顶点分别为A (2r 1) , B (3, 2) , C (3, -1) , D在直线BC 上・（I）若BO2BD,求点D的坐标;（D）若AD丄BC,求点D的坐标•30.已知a=(l, t)，b=(-5, 2 )Ma*b=b 求当k 为何值时,(1)ka+b*^a-3bS直;(2) 1＜8+1＞与3-31＞平行・平面向量基础试题（一）参考羞案与试题解析-•选择题（共12小题）1- （2017*天津学业考试）已知向量鼻（1. 2） r b= （.1, 1）.则2a+b 的坐标(•1, 4) C - (0, 3) D ・(2, 1)(1, 2) , b= (4, 1),C-lr 1) = <1,5）-故选：A.2- （2017*天津学业考试）若向量亏，亍满足I al=VTo ，b= （2 1） , a*b=5. 则？与亍的夹角为（A. 90"B. 60°C. 45°D. 30°【解答】解:(.2, 1) , ••• lb |=A /(-2)^+1 2=75X ! a ； =VT6T a*b=5»两向量的夹角6的取值范圉是，06 [0, n],与b 的夹角为 45°.故选：C.3. （2017•甘肃一模）已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60。