哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(理)含答案
2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学(详细答案版)
2017年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第三次模拟考试理科数学一、选择题：共12题1．设复数z满足z⋅(1+i)=2i(i是虚数单位)，则|z|=A.√2B.2C.1D.√5【答案】A【解析】本题考查复数的概念、复数的四则运算.z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i,|z|=√1+1=√2.2．A={x|y=lg(x2+3x−4)}，B={y|y=21−x2}，则A∩B=A.(0,2]B.(1,2]C.[2,4)D.(−4,0)【答案】B【解析】本题考查一元二次不等式、指数函数的图象与性质、集合的基本运算.A= {x|x2+3x−4>0}={x|x<−4或x>1}.因为1−x2≤1，故y=21−x2≤21，则B= {y|0<y≤2}.所以A∩B=(1,2].3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)单调递减的函数是A.y=−x3B.y=ln|x|C.y=cosxD.y=2−|x|【答案】D【解析】本题考查指数函数、幂函数、对数函数、三角函数的图象与性质. 选项D，y=2−|x |={2−x ,x >02x ,x <0，显然它是偶函数，并且由指数函数的图象与性质知它在在区间(0,+∞)单调递减. 选项A ，它是奇函数；选项B ，ln |x |=ln|−x|，故它是偶函数，而在区间(0,+∞)上y =ln |x |=lnx 单调递增；选项C ，显然在区间(0,+∞)不是单调递减的. 选项D 正确.4．等比数列{a n }中，若a 12=4，a 18=8，则a 36为A.32B.64C.128D.256【答案】B【解析】本题考查等比数列.a18a 12=q 6=2，a 36=a 18∙q 18=a 18∙(q 6)3=8×23=64.5．已知α∈(0,π2)，且2cos2α=cos(π4−α)，则sin2α的值为A.18 B.−18C.78D.−78【答案】C【解析】本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式. 运用公式化简得2(cos 2α−sin 2α)=√22(cosα+sinα)，由于α∈(0,π2)，故cosα+sinα≠0，则有cosα−sinα=√24，两边平方得到，sin 2α+cos 2α−2sinαcosα=18，2cosαsinα=sin2α=78.6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a ，b 分别为18,27，则输出的a =A.0B.9C.18D.54【答案】B【解析】本题考查算法与程序框图. 第一次循环得到，a=18,b=9，第二次循环得到，a=9,b=9，此时a=b，输出a=9，结束循环.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83B.43C.8√23D.4√23【答案】A【解析】本题考查几何体的三视图及体积. 该四棱锥的体积为13×22×2=83.8．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 A.15 B.25C.35D.310【答案】C【解析】本题考查排列与组合、古典概型. 所有的情况总数有A 66个，三个男生全部相邻的情况有A 44∙A 33，三个男生都不相邻的情况有A 33(2A 33+2C 32A 22)种，故3位男生中有且只有2位男生相邻的事件总数为A 66−[A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)]种，所以概率其为1−A 44∙A 33+A 33(2A 33+2C 32A 22)A 66=35.9．已知AB ⊥AC ，AB =AC ，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若∠BAM =π3，则t 的值为 A.√3−√2 B.√2−1C.√3−12D.√3+12【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算、正弦定理.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故点M 在BC 上. 在ΔABM 中，∠BAM =π3,∠ABM =π4，由正弦定理，AM =BM∙sinπ3sin π4=√6BM 3，同理，在ΔAMC 中，有MC ＝AM∙sinπ6sin π4=√33BM ，故t =CM CB=CM CM+BM=√3−12.10．中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|=|F 1F 2|且|PF 2|=5，若椭圆C 1的离心率e 1∈(35,23)，则双曲线的离心率e 2的范围是 A.(32,53) B.(53,2)C.(2,3)D.(32,3)【答案】C【解析】本题考查椭圆与双曲线的定义及离心率. 设椭圆C1的方程为x 2a12+y2b12=1，双曲线C2的方程为x2a22−y2b22=1，由题设有{2c+5=2a12c−5=2a2，两式相加得a1+a2=2c，两边同时除以c，a1c +a2c=2，即1e1+1e2=2，1e2=2−1e1，其中e1∈(35,23)，则−1e1∈(−53,−32)，那么1 e2∈(13,12)，故e2∈(2,3).11．三棱锥P−ABC中，底面ΔABC满足BA=BC，∠ABC=π2，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为A.2B.3C.2√3D.3√3【答案】B【解析】本题考查空间几何体的结构及均值不等式. 设外接球的球心为O，AC中点为D，外接球半径为R，AB长为x，三棱锥的高为h，则13∙12∙x2∙ℎ=92,x2=27ℎ.显然外接球的球心在PD所在的直线上，在RtΔOAD中，OA=R，AD=√22x,OD=(ℎ−R)2，R2=(√2 2x)+(ℎ−R)2，则R=x22+ℎ22ℎ=12×27ℎ+ℎ22ℎ=27ℎ2+ℎ2=274ℎ2+ℎ4+ℎ4≥3(274ℎ2∙ℎ4∙ℎ4)13=94，当且仅当274ℎ2=ℎ4时，ℎ=3. 故当外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为3.12．设函数f(x)=√lnx+x+m，若曲线y=1−e2cosx+1+e2上存在(x0,y0)，使得f(f(y0))=y0成立，则实数m的取值范围为A.[0,e2−e+1]B.[0,e2+e−1]C.[0,e2+e+1]D.[0,e2−e−1]【答案】D【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性与值域、导数的计算及其在研究函数中的应用. 因为y=cosx的值域为[−1,1]，故y=1−e2cosx+1+e2的值域为[1,e]，故y0∈[1,e].函数f(x)=√lnx +x +m 在定义域上单调递增，存在y 0满足f(f(y 0))=y 0，设存在y ′使得f (y 0)=y ′,f (y ′)=y 0，假设y ′<y 0，根据f(x)在定义域上单调递增，有f (y ′)<f(y 0)，即y 0<y′，与假设相矛盾；同理，反之假设y ′>y 0，亦可得矛盾，故y ′=y 0,f (y 0)=y 0，即y 0=√lny 0+y 0+m ，两边同时平方得，g (y 0)=m =y 02−ln y 0−y 0,y 0∈[1,e ]. 对g(y 0)求导得g ′(y 0)=2y 0−1y 0−1，令g ′(y 0)=0,y 0=1，当y 0∈(1,e]时，g ′(y 0)>0，故g(y 0)单调递增，由此，m 最小值为g (1)=0，最大值为g (e )=e 2−1−e ，所以m ∈[0,e 2−e −1].二、填空题：共4题13．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______. 【答案】27【解析】本题考查分层抽样. 抽取女教师为1280×100=15，则总有有x =15+12=27人.14．平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有S ΔPABSΔPCD=PA·PB PC·PD(其中S ΔPAB 、S ΔPCD 分别为ΔPAB 、ΔPCD 的面积)；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有V P−ABEV P−CDF=______(其中V P−ABE 、V P−CDF 分别为四面体P—ABE 、P—CDF 的体积).【答案】PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF【解析】本题考查合情推理. 由平面上的情况通过类比法可以得到，两个三棱锥的的体积比为各自三条棱乘积之比，即V P−ABEVP−CDF=PA⋅PB⋅PEPC⋅PD⋅PF .15．已知数列{a n}满足a n=(n2+4n)cosnπ，则{a n}的前50项的和为______.【答案】1375【解析】本题考查等差数列及其前n项和.a2k−1=−4k2−4k+3,a2k=4k2+8k,k∈N∗，故有a2k−1+a2k=4k+3，令b k=4k+3，则它是以7为首项，4为公差的等差数列，于是{a n}的前50项的和就等于{b k}的前25项和，即25∙b1+b25∙b242∙4=7×25+25×242×4=1375.k的情况类比得以数16．已知圆C:x2+y2=25，过点M(−2,3)作直线l交圆C于A，B两点，分别过A，B两点作圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为______.【答案】2x−3y+25=0【解析】本题考查圆的切线的性质、直线的一般式方程、圆和直线的位置关系. 设点A(x1.y1),B(x2,y2),N(x0,y0). 由圆的切线的性质，AN⊥OA,BN⊥OB，于是k AN∙K OA=−1,k BN∙K OB=−1，则{(x1−x0)(x1−0)=−(y1−y0)(y1−0)(x2−x0)(x2−0)=−(y2−y0)(y2−0)，点A、B在圆C上，故其满足圆的方程，于是化简得{x1x0+y1y0=25x2x0+y2y0=25，故直线AB满足方程x0x+y0y=25，点M(−2,3)在直线AB上，将其代入可得AB方程为2x−3y+25=0.三、解答题：共7题17．已知x0=π3是函数f(x)=msinωx−cosωx(m＞0)的一条对称轴，且f(x)的最小正周期为π(Ⅰ)求m值和f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)设角A，B，C为ΔABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f(B)=2，b=√3，求a−c2的取值范围.【答案】(1)f(x)=msinωx−cosωx=√m2+1sin(ωx−φ)⇒T=2πω=π⇒ω=2x0=π3为对称轴，所以2×π3−φ=kπ+π2⇒φ=−kπ+π6⇒1m=tanφ=√3⇒m=√3⇒f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2⇒kπ−π6≤x≤kπ+π3所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)(2)f(B)=2sin(2B−π6)=2⇒2B−π6=π2⇒B=π3由正弦定理2R=bsinB =2=asinA=csinC得a−c2=2sinA−sin(A+π3)=32sinA−√32cosA=√3sin(A−π6)∵A∈(0,2π3)∴A−π6∈(−π6,π2)∴a−c2∈(−√32,√3)【解析】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象与性质、正弦定理. (Ⅰ)将f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式，由最小正周期可以确定ω的值，x0=π3是f(x)的对称轴，由此求出φ值，得到f(x)解析式，进而确定其单调增区间.(Ⅱ)易求出B=π3，由正弦定理将边a,c用其对角的正弦值表示出来，得到a−c2=√3sin(A−π6)，根据A的取值范围，求出a−c2的范围.18．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X，求X的分布列与数学期望.(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值(精确到0.01)，并说明理由.【答案】(1)(0.06×2+0.18+2a+0.42+0.52+0.11+0.03)×0.5=1⇒a=0.31(2)依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为(0.11+0.06+0.03)×0.5=0.1X B(3,0.1)P(X=k)=Ck∙0.1k∙(1−0.1)3−k(k=0,1,2,3)3EX=3×0.1=0.3(3)月用水量超过3吨的居民占10%，所以(3−x)×0.31=5100⇒x≈2.84(吨)【解析】本题考查频率直方图、二项分布.(1)各个矩形面积之和为1，由此可求出a值.(2)根据频率直方图求出中抽取用水量不低于3吨的居民的概率，X服从二项分布，列出其分布列，求得期望.(3)可确定x在[2.5,3)范围内，用水量大于3吨的居民已有10%，那么剩下的在区间[x,3)的居民应有5%，故(3−x)×0.31=5，求出x.10019．如图，在棱台。
2017年哈三中一模理科数学答案
更正：哈三中一模高三理科数学答案：第18题第（2）问答案：分布列不变，数学期望改为0.4，给您带来不便深表歉意。
一模数学 理科B 卷答案一、选择题ADCBC DAABD BA二、填空题13. 64 14. 60 15. )7(155 16. )32,43[2ee 三、解答题17. 解：（Ⅰ） 0cos cos )2(=+-Cb B ac ，∴0cos sin cos )sin 2(sin =+-C B B A C ，A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=∴,……………………………………3分21cos =∴B ,3π=B …………………………………………………………6分 （II ）由ABC ∆外接圆半径为1，可知3=b ， ……………………………7分又B ac b c a cos 2222=-+,3)2(333)(22++≤+=+∴c a ac c a 323≤+<∴c a …………………………………………………………10分∴周长的范围是]33,32( ………………………………………………12分18. 解：（Ⅰ） 1.0,6.0==优合格p p …………………6分（Ⅱ）X 可取值为4,3,2,1,0……………10分2000809=EX ………………12分19.解： （Ⅰ）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点。
设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且12OG CF =.由已知//DE CF ，且12DE CF =.//DE OG ∴且DE OG =，所以四边形DEOG 为平行四边形.//EO DG ∴，即//BE DG ...........3分 BE ⊄ 平面ACD ，DG ⊂平面ACD ,所以//BE 平面ACD ........................4分 （Ⅱ）由已知ABFE 为边长为2的正方形， AD EF ∴⊥.因为平面ABEF ⊥平面EFCD ,又DE EF ⊥，,,EA EF ED ∴两两垂直..........5分 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系。
黑龙江省哈尔滨市高三数学下学期第三次模拟考试试题
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）高三第三次模拟考试数学（理）答案1、B2、B3、D4、C5、B6、C7、D8、B9、D 10、C 11、B 12、A13、3 14、23- 15、21- 16、33±=k 或3±=k 17、（1）()12212--⋅=-=n n a q , （2）1221212--⋅-+=⋅=n n n n n T n b ）(, 18、（1）略；（2）510 19、（1）210420C C（2）()1510664422===A A A P ξ，()15816644121412===A A C C C P ξ，()A A P A ξ===2444666215，()34=ξE 20、（1）13422=+y x （2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y 得()04163422=+++kx x k ，由0>∆知412>k 3443416221221+=+-=+k x x k k x x , ()()0421212122121>++++=+=⋅x x k x x k y y x x OB OA ，解得342<k 所以21332-<<-k 或33221<<k （3）1434221=+y x C ：，设),(00y x H ，直线3400=+y y x x MN ：，003434y n x m ==,， 所以2211334m n += 21、（1）()[]()22221211++-+='++=x mx x m mx e x f x mx e x f x x )(,)( 当m <0时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递减；当12m >时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递增；当102≤≤m 时，)(x f 在()∞+，0单调递增 （2）()()22221121++-='+=mx mx mx e x f mx e x f x x )(,)( 因为)(x f 有两个极值点，所以10442>∴>-m m m ,.设21x x ,为方程0122=+-mx mx 两根，则()(),,,,x x x x x m +==>∴∈121211200112 又()12111+=mx e x f x ，()12222+=mx e x f x ，注意到()1121mx e x f x =，()2222mx e x f x =， ()()()m e e x e x x e x e m x f x f x x x x 121212*********>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 又()()()x x x x x e x e x e x e f x f x mx x -+-++==1211221111212222设()()(),,(,)x x g x x e xe x -⎡⎤=-+∈⎣⎦21201122，()()()x x g x e e x -'=+-2112，故()g x 在(,)01单调递减，在(,)12单调递增，所以，()()g x g e <=1，因此，()()f x f x e m <+<12. 22、（1）2C 的直角坐标方程为1322=-+)(y x ；（2）PQ 最小值为1；PQ 最大值为5 23、（1）(][)∞+-∞-，，75 ；（2）02a <<。
黑龙江省哈六中2017届高三第三次模拟考试 数学理试题(含答案)word版
哈尔滨市第六中学2017届高三第三次模拟考试数学（理工类）一．选择题。
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则M N 为 （ ）A. ()2,1B.()+∞,1C. [)+∞,2D. [)+∞,1 2．在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.设00(,)M x y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，则0y 的取值范围是 （ ） A.()0,2 B ．[]0,2 C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞4．在坐标平面内,不等式组⎩⎨⎧+≤-≥1,1||2x y x y 所表示的平面区域的面积为 （ ）A.22B.38 C.322 D ． 2 5. 下列命题中正确命题的个数是 （ ） （1）cos 0α≠是2()2k k Z παπ≠+∈的充分必要条件；（2）若0,0a b >>且211a b+=，则4ab ≥; （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （4）设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<<=-. A ．4B ．3C ．2D ．16.三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角 三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 （ ） A．12+．6+．8+ D ．4 7.函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则xx f x f x ∆∆--→∆2()(lim000等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．48. 已知命题p ：函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称．则下列命题是真命题的是 （ ） A ．q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数'()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式 为 （ ）A ．1()2sin()24f x x π=+B ．1()4sin()24f x x π=+ C ．()2sin()4f x x π=+ D ．13()4sin()24f x x π=+10. 设函数na x x f )()(+=，其中⎰=20cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中 4x 系数为 （ ） A ．360- B ．360 C ．60- D ．6011．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足()sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++((0,))λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ ）A.内心B.重心C.外心D.垂心12．过椭圆14922=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线,点B A ,为切点.过B A ,的直线l 与x 轴, y 轴分别交于点,P Q 两点, 则POQ ∆的面积的最小值为 （ ） A.21 B. 32 C. 1 D. 34 二．填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
哈三中2016－2017学年度上学期高三学年期末考试数学试卷（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合，，则A. B. C. D.2.点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为A. B. C. D.3.下列说法错误的是A.在中，若，则B.若，则为的等比中项C.若命题与为真，则一定为真D.若，，则，4. 已知三个不同的平面，三条不重合的直线，有下列四个命题：①若，则；②若，则；③若；④若，则其中真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个5.已知=，，，则A． B． C． D．6．已知则A． B． C． D．7. 某小组有7人，已知利用假期参加义工活动次数为1,2,3的人数分别是2,2,3，现从这7 人中随机选取2人作为代表参加座谈，则选出的2人参加义工活动次数之和是4的概率为A． B． C． D．8.几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是A. B.C. D.9.已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的2A． B. C. 4 D.10. 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点,是圆心,若四边形面积的最小值为,则的值为A．3 B．2 C． D．11. 在二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为A. B. C. D.12. 已知，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之和为A.3B. 2 C．1 D.随的变化而变化第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知，，，则从小到大的顺序为______14. 已知双曲线的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方侧视图程是15.已知抛物线方程，过焦点的直线斜率为与抛物线交于两点，满足，又，则直线的方程为__________________16.已知函数，则不等式的解集为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在中内角所对的边分别为，已知（I）求角的大小；（II）若，求的面积．18. 已知正项数列的前项和为，满足，，且（I）求；（II）设数列前项和为，求.19．如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面，并得到四棱锥．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）是棱的中点，过的与平面平行的平面，设平面截四棱锥所得截面面积为，三角形的面积为，试求的值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．20.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，上顶点为．为抛物线的焦点，且， 0．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为（），在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数（）(Ⅰ) 若恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ) 若，求证：对于任意，不等式成立．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求．23．选修4—5：不等式选讲已知（Ⅰ）已知关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（Ⅱ）解不等式哈三中2016－2017学年度上学期高三学年期末考试数学答案（理）选择题：1.A2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.B9.D10.A11.C12.A填空题：13.c<b<a 14. 15. 16.解答题：17. （1）（2）18.（1）；（2）19.(1)略 (2)1:2 (3)20.（1）（2）21.（1）（2）略22.（1）（2）23. （1）（2）。
黑龙江省哈尔滨市高三数学第三次模拟考试试题 理
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题 理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B．2 C．3 D．26. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ． 121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取 值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14.函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”； （2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分） 设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分 121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)nn a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分12< (12)分18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y = (12)分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =100BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅== ……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ， 221212(,),(,)22y y A y B y pp ……………………..1分 由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --= 222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==- ……………………2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分 当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. (6)分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)A B t =+ (7)分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分, 即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分） （Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立， 则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-， 设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-， 由之前讨论可知，11ln a-≤-， 当10a >>时，11ln a-≤-恒成立， 当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥， 综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+， 因为12()()0g x g x +=， 所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()212122x x -+，…………………………………………………..9分 令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-， 整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥得证……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA S AOB…………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。
【黑龙江省哈尔滨三中】2017届高三上学期期末理科数学试卷-答案
黑龙江省哈尔滨三中2017年高三上学期期末理科数学试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，2．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再求出2球都是红球包含的基本事件个数m==1，由此能求出2球都是红球的概率．【解答】解：袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，基本事件总数n==6，2球都是红球包含的基本事件个数m==1，2球都是红球的概率为p==．3．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，α与β相交或平行；在③中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在④中，m与n异面或平行．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：在①中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故③正确；在④中，若m∥α，α∩β=n，则m与n异面或平行，故④错误．5．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据⊥时•=0，求出x的值，再计算﹣的模长．【解答】解：=（x，2），=（﹣2，1），⊥，∴•=﹣2x+2=0，解得x=1，∴﹣=（1+2，2﹣1）=（3，1），∴|﹣|==．6．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据余弦函数性质可判断A，举反例a=b=c=0可判断B，由命题的真假可判断C，根据特称命题的否定是全称命题，借助全称命题写出命题的否定形式可判断D．【解答】解：对于A，根据余弦函数的单调性可知，若A＞B，则cosA＜cosB，故A正确；对于B，取a=b=c=0，显然满足b2=ac，但不满足b是a，c的等比中项，故B错误；对于C，若命题p与p∧q为真，则q一定为真命题，故C正确；对于D，∵特称命题的否定是全称命题，∴￢p：∃x∈（0，+∞），lnx≥x﹣1，故D正确．∴说法错误的是：B．7．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可得：a1+a2+a3=4，a n﹣2+a n﹣1+a n=7，可得3（a1+a n）=4+7，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：a1+a2+a3=4，a n﹣2+a n﹣1+a n=7，∴3（a1+a n）=4+7，∴a1+a n=，∴S n==22，∴，解得n=12．8．【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的体积πr3=π．9．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴==，解得：tanα=，∴===﹣．10．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】S 四边形PACB =S △PAC +S △PBC ，当|PC |取最小值时，|PA |=|PB |取最小值，即S △PAC =S △PBC 取最小值，此时，CP ⊥l 由此利用四边形PACB 面积的最小值，即可得出结论．．【解答】解：圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2=1，则圆心为C （1，﹣2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S 四边形PACB =S △PAC +S △PBC而S △PAC =|PA |•|CA |=|PA |，S △PBC =|PB |•|CB |=|PB |，又|PA |=|PB |=，∴当|PC |取最小值时，|PA |=|PB |取最小值，即S △PAC =S △PBC 取最小值，此时，CP ⊥l ，四边形PACB 面积的最小值为，S △PAC =S △PBC =，∴|PA |=2，∴|CP |=3，∴=3， ∵k ＞0，∴k=3．11．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z 的最值，再由z=2x +y 的最大值是最小值的2倍列式求得a 值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得A （a ，a ），联立，得B（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，由6a=3，得a=．12．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F1PF2的内切圆的半径、直线F1M的方程，联立求出N的横坐标，即可得出结论．【解答】解：联立两曲线方程，消去y可得x=，设P（x0，y0），直线l的方程为=1①，设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，则由等面积可得=（4+）r，∴r==y M②，直线F1M的方程为y=（x+）③，联立①②③，化简可得x=6，∴x N=2，∵x M=1，∴x M+x N=3二、填空题13．【考点】模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，则，即可得出结论．【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则，∴S=．14．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的c，a，b，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆长轴端点为（﹣4，0），（4，0），焦点为（﹣3，0），（3，0），∴对于双曲线中，c=4，a=3，得b=，∴双曲线的渐近线方程为：，15．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=0.20.3＜0.20=1，b=log0.23＜log0.21=0，c=log0.24＜log0.23=b，∴c＜a＜b．16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出p的值，再设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，利用在直角三角形ABC中，求出tan∠BAC，得出直线AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：∵，∴由抛物线的性质，可得=1，∴p=2．如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，∴|AC|=n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==2，∴直线l的方程为y=2（x﹣1）．三、解答题17．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos（C+）=0，由余弦函数的性质，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（II）由余弦定理可得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由4S n=a n+12+2a n+1+1，当n≥2时，4S n﹣1=a n2+2a n+1，两式相减得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣2）=0，则a n﹣a n﹣1=2，由等差数列通项公式即可求得a n；﹣1（2）==（﹣），采用裂项法即可求得数列前n 项和为T n．19．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q 是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP ∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A﹣BCDE 各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比．20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知Q（6，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=6+c，解得c=2．在Rt△F1BQ中，|BF2|=2c=a，所以a=4，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+4（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，联立⇒（4k2+3）x2+32kx+16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数求出函数的最值，问题即可解决，（Ⅱ）欲证明不等式成立，从图象分析可先证＜f′（x）＜，分别构造函数，根据导数和函数的单调性和最值关系即可证明22．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）分类讨论解不等式即可．。
(全优试卷)黑龙江省哈尔滨高三第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
哈师大附中2017年高三第三次模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z满足()12z i i⋅+=（i是虚数单位），则z=（）B.2C.12.(){}2lg34A x y x x==+-，{}212xB y y-==，则A B=（）A.(]0,2B.(]1,2C.[)2,4D.()4,0-3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞单调递减的函数是（）A.3y x=- B.lny x=C.cosy x= D.2xy-=4.等比数列{}na，若124a=，188a=，则36a为（）A.32B.64C.128D.2565.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos2cos4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A.18 B.18-C.78 D.78-6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a=（）A.0B.9C.18D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83B.43 C. D.第7题8.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.3109.已知AB AC ⊥，AB AC =，点M 满足()1AM t AB t AC=+-，若3BAM π∠=，则t 的值为（ ）1 C. D.10.中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点，()1,0F c -，()2,0F c ， P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若椭圆1C 的离心率132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ）A.35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,3D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭11.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为（ ）A.2B.3C.D.12.设函数()f x =，若曲线11cos 22e ey x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.20,1e e ⎡⎤-+⎣⎦ B.20,1e e ⎡⎤+-⎣⎦ C.20,1e e ⎡⎤++⎣⎦ D.20,1e e ⎡⎤--⎣⎦ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______.14.平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有PAB PCD S PA PBS PC PD∆∆=（其中PAB S ∆、PCD S ∆分别为PAB ∆、PCD ∆的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有P ABEP CDFV V --=______（其中P ABE V -、P CDF V -分别为四面体P ABE —、P CDF —的体积）.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______.16.已知圆22:25C x y +=，过点()2,3M -作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0π3x =是函数()()sin cos 0f x m x x m ωω=-＞的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π （Ⅰ）求m 值和()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若()2f B =，b =求2ca -的取值范围.18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由. 19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面B C D E ，四边形BCDE 为直角梯形，BC CD ⊥，1CD =，N 为CE 中点，(),0AM AF R λλλ=∈＞.（Ⅰ）λ为何值时，MN ∥平面ABC ？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN 与平面BMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的右焦点为F ，过椭圆C 中心的弦PQ 长为2，且90PFQ ∠=︒，PQF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，S为直线x =1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，设1S 、2S 分别为12A SA ∆、MSN ∆的面积，求12S S 的最大值.21.（本小题满分12分） 已知()()2ln x f x e x a =++.（Ⅰ）当1a =时，①()f x 在()0,1处的切线方程；②当0x ≥时，求证：()()21f x x x ++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，212:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线1C 上的点到电线2C 距离的最小值；（Ⅱ）若把1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的2线1C '.设()1,1P -，曲线2C 与1C '交于A ，B 两点，求PA PB+.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知x ，y R ∈. （Ⅰ）若x ，y 满足132x y -＜，126x y +＜，求证：310x ＜；（Ⅱ）求证：44331628x y x y xy ++≥.哈师大附中三模理科数学答案二、填空题13.27 14. PA PB PE PC PD PF⋅⋅⋅⋅ 15. 1375 16.23250x y -+=三、解答题17．解（1）()()sin cos f x m x x x ωωωϕ=-=----------------1分22T ππωω⇒==⇒=---------------2分03x π=为对称轴，所以2=32k ππϕπ⨯-+---------------3分1tan6k m m πϕπϕ⇒=-+⇒==⇒=分()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭令22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦---------------6分（2）()2sin 2226623f B B B B ππππ⎛⎫=-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭---------------8分 由正弦定理22sin sin sin b a c R B A C====得32sin sin()sin )2326c a A A A A A ππ-=-+==----------------10分20,,366222c A A a ππππ⎛⎛⎫⎛⎫∈∴-∈-∴-∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝---------------12分 18．解：（1）()0.0620.1820.420.520.110.030.51a ⨯++++++⨯=---------------1分0.31a ⇒=---------------3分（2）依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为()0.110.060.030.50.1++⨯=-----------5分()3,0.1XB ∴---------------6分()330.1(10.1)(0,1,2,3)kk k P X k C k -∴==⋅⋅-=X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.00130.10.3EX =⋅=--------9分（3）月用水量超过3吨的居民占10%，所以()530.31100x -⨯=--------10分 2.84x ⇒≈（元）--------12分19．解： （1）当12λ=，即M 为AF 中点时//MN 平面ABC ，--------1分 取CD 中点P ，连,PM PN////AC ABC AM MF MP AC MP ABC CP PD MP ABC ⊂⎫=⎫⎪⇒⇒⎬⎬=⎭⎪⊄⎭平面平面平面--------3分 ////////////BC ABC CP PD NP DE NP BC NP ABC CN NE DE BC NP ABC ⊂⎫⎪⎫⎫⎪⇒⎬⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎭⎪⎪⎭⎪⎪⊄⎭平面平面平面--------5分所以，平面//MNP 平面//ABC MN ABC ⇒平面--------6分 （2）取BC 中点O ，连,OA OEABC BCDE AB AC AO BC AO BCDE OB OC AO ABC ⊥⎫⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎭⎪⎪⊂⎭平面平面平面平面，1//2//OC BC ED OE CD OE BC BC ED CD BC ⎫⎫==⎪⎪⇒⎬⎪⇒⊥⎬⎪⎭⎪⎪⊥⎭以,,OE OC OA为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系--------8分()()110,1,0,1,0,0,0,22A C E EF BA⎛==⎝⎭，所以111111,,,,,,022422F M N⎛⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),,n x y z=为平面BMN的法向量，则()302293,3004xyn BN n BNnyn MN n MN⎧+=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇔⇔⇒=-⎨⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩-=⎪⎩--------10分4cos,AN n-=分所以，直线AN与平面MNB--------12分20．解：（1）弦PQ过椭圆中心，且2PFQπ∠=，所以112c OF PQ===，--------2分不妨设()()0000,,0P x yx y>，所以000121012PFQS OF y y x b=⋅==⇒=⇒=------------4分所以椭圆方程为2212xy+=--------5分（2）设直线1:A S x yt=2222x y+=中，得221812(2)0y yt t+-=，解得1269tyt=+--------7分同理，设直线2:A S x y=+，带入2222x y+=中，得2224(2)0y yt t++=，解得2221tyt=-+--------8分1222122291||33A SA MSNS SA SA t t SSM SN t t ++==++--------10分 22222(9)(33)214(3)33t t t ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≤=+--------11分 当且仅当22933t t +=+，即t =时取“=” --------12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)x f x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10x F x e x x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x x F x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分（2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-< 设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a '=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（） ()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=- 1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+设11()ln(),(0)22h x x x x =--+> 112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增 1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =---> 2()221x g x e x '=--2()42420x g x e ''=->->()g x '∴在(0,)+∞单调递增()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分22． （1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1； 2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=--------10分23（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅= 310x ∴<---------------5分 （2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦------10分。
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2017年高三第三次模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数z满足()12z i i⋅+=（i是虚数单位），则z=（）B.2C.12.(){}2lg34A x y x x==+-，{}212xB y y-==，则A B=（）A.(]0,2B.(]1,2C.[)2,4D.()4,0-3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞单调递减的函数是（）A.3y x=- B.lny x=C.cosy x= D.2xy-=4.等比数列{}na，若124a=，188a=，则36a为（）A.32B.64C.128D.2565.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos2cos4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）A.18 B.18-C.78 D.78-6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a，b分别为18,27，则输出的a=（）A.0B.9C.18D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.83B.43 C. D.第7题8.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.3109.已知AB AC ⊥，AB AC =，点M 满足()1AM t AB t AC=+-，若3BAM π∠=，则t 的值为（ ）1 C. D.10.中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点，()1,0F c -，()2,0F c ， P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若椭圆1C 的离心率132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ）A.35,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B.5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,3D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭11.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆满足BA BC =，2ABC π∠=，P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时，P 到面ABC 的距离为（ ）A.2B.3C.D.12.设函数()f x ，若曲线11cos 22e ey x -+=+上存在()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.20,1e e ⎡⎤-+⎣⎦B.20,1e e ⎡⎤+-⎣⎦C.20,1e e ⎡⎤++⎣⎦D.20,1e e ⎡⎤--⎣⎦ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x =______.14.平面上，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，则有PAB PCD S PA PBS PC PD∆∆=（其中PAB S ∆、PCD S ∆分别为PAB ∆、PCD ∆的面积）；空间中，点A 、C 为射线PM 上的两点，点B 、D 为射线PN 上的两点，点E 、F 为射线PL 上的两点，则有P ABEP CDFV V --=______（其中P ABE V -、P CDF V -分别为四面体P ABE —、P CDF —的体积）.15.已知数列{}n a 满足()24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______.16.已知圆22:25C x y +=，过点()2,3M -作直线l 交圆C 于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点N 时，则点N 的轨迹方程为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知0π3x =是函数()()sin cos 0f x m x x m ωω=-＞的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π （Ⅰ）求m 值和()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设角A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为a ，b ，c ，若()2f B =，b =求2ca -的取值范围.18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值（精确到0.01），并说明理由. 19.（本小题满分12分）如图，在棱台ABC FED -中，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面B C D E ，四边形BCDE 为直角梯形，BC CD ⊥，1CD =，N 为CE 中点，(),0AM AF R λλλ=∈＞.（Ⅰ）λ为何值时，MN ∥平面ABC ？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN 与平面BMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的右焦点为F ，过椭圆C 中心的弦PQ 长为2，且90PFQ ∠=︒，PQF ∆的面积为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，S为直线x =1A S 交椭圆C 于点M ，直线2A S 交椭圆于点N ，设1S 、2S 分别为12A SA ∆、MSN ∆的面积，求12S S 的最大值.21.（本小题满分12分） 已知()()2ln x f x e x a =++.（Ⅰ）当1a =时，①()f x 在()0,1处的切线方程；②当0x ≥时，求证：()()21f x x x++≥.（Ⅱ）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x ++＜成立，求实数a 的取值范围.请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1:1C ρ=，21:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线1C上的点到电线2C距离的最小值；（Ⅱ）若把1C上各点的横坐标都扩大原来为原来的2线1C '.设()1,1P-，曲线2C与1C'交于A，B两点，求PA PB+.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知x，y R∈.（Ⅰ）若x，y满足132x y-＜，126x y+＜，求证：310x＜；（Ⅱ）求证：4433 1628x y x y xy ++≥.三模理科数学答案一、选择题二、填空题13.27 14. PA PB PE PC PD PF⋅⋅⋅⋅ 15. 1375 16.23250x y -+=三、解答题17．解（1）()()sin cos f x m x x x ωωωϕ=-=----------------1分22T ππωω⇒==⇒=---------------2分03x π=为对称轴，所以2=32k ππϕπ⨯-+---------------3分1tan6k m m πϕπϕ⇒=-+⇒==⇒=分()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭令22226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦---------------6分（2）()2sin 2226623f B B B B ππππ⎛⎫=-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭---------------8分 由正弦定理22sin sin sin b a c R B A C====得32sin sin()sin )2326c a A A A A A ππ-=-+==----------------10分20,,36622c A A a ππππ⎛⎛⎫⎛⎫∈∴-∈-∴-∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝---------------12分 18．解：（1）()0.0620.1820.420.520.110.030.51a ⨯++++++⨯=---------------1分0.31a ⇒=---------------3分（2）依题意从该城市居民中抽取用水量不低于3吨的概率为()0.110.060.030.50.1++⨯=-----------5分()3,0.1XB ∴---------------6分()330.1(10.1)(0,1,2,3)kk k P X k C k -∴==⋅⋅-=X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.00130.10.3EX =⋅=--------9分（3）月用水量超过3吨的居民占10%，所以()530.31100x -⨯=--------10分 2.84x ⇒≈（元）--------12分19．解： （1）当12λ=，即M 为AF 中点时//MN 平面ABC ，--------1分 取CD 中点P ，连,PM PN////AC ABC AM MF MP AC MP ABC CP PD MP ABC ⊂⎫=⎫⎪⇒⇒⎬⎬=⎭⎪⊄⎭平面平面平面--------3分 ////////////BC ABC CP PD NP DE NP BC NP ABC CN NE DE BC NP ABC ⊂⎫⎪⎫⎫⎪⇒⎬⎪⎪⇒⇒⎬⎬⎭⎪⎪⎭⎪⎪⊄⎭平面平面平面--------5分所以，平面//MNP 平面//ABC MN ABC ⇒平面--------6分 （2）取BC 中点O ，连,OA OEABC BCDE AB AC AO BC AO BCDE OB OC AO ABC ⊥⎫⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎭⎪⎪⊂⎭平面平面平面平面，1//2//OC BC ED OE CD OE BC BC ED CD BC ⎫⎫==⎪⎪⇒⎬⎪⇒⊥⎬⎪⎭⎪⎪⊥⎭以,,OE OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系--------8分()()110,1,0,1,0,0,0,22A C E EF BA⎛==⎝⎭，所以111111,,,,,,,,02224422F M N⎛⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),,n x y z=为平面BMN的法向量，则()302293,30044xyn BN nBNnyn MN nMN z⎧+=⎪⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⎪⇔⇔⇒=-⎨⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎪⎩⎩-+=⎪⎩--------10分cos,AN n=分所以，直线AN与平面MNB分20．解：（1）弦PQ过椭圆中心，且2PFQπ∠=，所以112c OF PQ===，--------2分不妨设()()0000,,0P x yx y>，所以000121012PFQS OF y y x b=⋅==⇒=⇒=------------4分所以椭圆方程为2212xy+=--------5分（2）设直线1:A S xyt=2222x y+=中，得221812(2)0y yt t+-=，解得1269tyt=+--------7分同理，设直线2:A S x yt=，带入2222x y+=中，得2224(2)0y yt t++=，解得2221tyt=-+--------8分1222122291||33A SAMSNS SA SA t tS SM SN t t++==++--------10分22222(9)(33)214(3)33t t t ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≤=+--------11分 当且仅当22933t t +=+，即t ==” --------12分 21．（1）1a =时，2()ln(1)x f x e x =++，21()21xf x e x '=++--------1分 ①(0)1f =，1(0)231f '=+=，所以()f x 在(0,1)处的切线方程为31y x =+--------3分 ②设()()22()ln(1)10xF x ex x x x =++-+-≥()'21()22111x F x e x x =+-+-+--------4分 ()''222222l l ()42210(1)(1)x x x xF x e e e e x x ⎡⎤=--=-+-+>⎢⎥++⎣⎦ 所以，()'F x 在[)0,+∞上递增，所以''()(0)0F x F ≥=--------6分 所以，()F x 在[)0,+∞上递增，所以()(0)0F x F ≥=--------7分 （2）原问题00x ⇔∃≥使得02200ln()0x e x a x -+-< 设22()ln()x u x e x a x =-+-21()22x u x e x x a '=--+ 221()420x u x e x a '=+->+（）()u x '∴在[0,)+∞单调增1()(0)2u x u a''∴≥=-1当12a ≥时，1(0)20u a'=-≥ ()u x ∴在[0,)+∞单调增，min ()(0)1ln 0u x u a ∴==-<a e ∴> --------10分 2当12a <时，1ln()ln()2x a x +<+ 设11()ln(),(0)22h x x x x =--+>112()11122x h x x x -'=-=++ 另11()0,()0022h x x h x x ''>⇒><⇒<< ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增 1()()02h x h ∴≥= 设221()(),(0)2x g x e x x x =---> 2()221x g x e x '=--2()42420x g x e ''=->->()g x '∴在(0,)+∞单调递增()(0)10g x g ''∴>=>()g x ∴在(0,)+∞单调递增()(0)0g x g ∴>>2211ln()ln()22x e x x x x a ∴->->+>+ ∴当12a <时，2()2ln()f x x a x >++恒成立，不合题意--------12分 22．（1）221:1C x y +=，圆心为(0,0)，半径为1；2:2C y x =+--------2分圆心到直线距离d ==分 所以1C 上的点到2C1.--------5分（2）伸缩变换为2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，所以221:143x y C '''+=--------7分 将2C 和1C '联立，得27100t +-=.因为120t t <--------8分1212||||||||||7PA PB t t t t ∴+=+=-=分23（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅= 310x ∴<---------------5分 （2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦------10分。