力学平衡稳定性(动画)稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡
12.2 静力学系统平衡位置的确定及稳定性判断
12.2 稳定平衡与不稳定平衡实例（6-1）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例题对于第12.1节例题12.1-2,(1)假设系统不是在θ=30°位置,而是在任意角θo位置,即θ=θo位置保持静止平衡状态,求力偶M的值;(2)该例题计算结果表明,M=3.75mgL时系统能够在θ=30°位置保持静力学平衡状态,请问这属于哪种类型的平衡?图2(1)W (θ)=M (θ-θo )-7.5mgL (cos θo -cos θ)从功函数表达式可知,系统运动初始位置不同时功函数也不同,但只是相差一个常数.为什么？W ′(θ)=M -7.5mgL sin θ,令W ′(θo )=0得:M =7.5mgL sin θo ,系统在θ=θo 位置静止平衡时M =7.5mgL sin θo .W(θ)=3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)] 1W(θ)=M(θ-π/6)-7.5mgL(cos30°-cos θ)3M =3.75mgL 24θo =30°图2假设3.75mgL =10W(θ)= 3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)]4结论：本系统在30°位置的平衡是稳定平衡，在150°位置的平图3图4图2图5有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）12.2 不稳定平衡实例（6-2）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例12.1-4、求图示无重组合梁支座A的约束力.图2图4解把A 铰用外力等效替代,设系统从静止开始加速运动(C 铰向下),系统运动至任意位置时动能及力系作功:图3图2θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒θr F αM αr F αr F αw DK BJ BA A sin sin sin )(21++-=56CD BC :sin :sin =αθαθsin sin 117=⇒αθθααd d F M F F w A ⋅++-=⇒cos 4cos )38()(' 21ααθθcos 11cos 7=⋅⇒d d 00令=)('w 2114118183F M F F A --=得：θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒6789W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4假设M =100W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4结论：图2所示系统为不稳定平衡图51112.2 静力学系统平衡位置的确定及稳定性判断（6-3）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡定理12.2-1单自由度物体系统运动过程中力系对系统做的功是系统参数的一元函数,该函数(即功函数)的驻点位置与系统运动起始位置无关;功函数的所有驻点位置都是系统能够保持静止平衡状态的位置,系统在这些位置静止时所受力系都是平衡力系,而在除此以外的其他任何位置,系统静止时所受力系都不是平衡力系.系统在功函数极大值位置的平衡是稳定平衡,在功函数常量位置的平衡是随遇平衡.在其他驻点位置的平衡是不稳定平衡.如何确定功函数的极大值、极小值位置？设q o 位置是功函数w(q)的驻点位置,即w ′(q o )=0,那么系统在q o 位置可处于静止平衡状态,则有:1)当w ″(q o )<0时q o 位置是功函数的极大值位置,系统在该处的平衡是稳定平衡;2)当w ″(q o )>0时q o 位置是功函数的极小值位置,系统在该处的平衡是不稳定平衡;3)当w ″(q o )=0时q o 位置是功函数的驻点但不一定是极值位置,要考察更高阶导数才能确定.25x y =25x y -=35x y =45x y =例12.2-1 图示细杆OA、AB长度都为L,OA杆上作用有力偶M, A铰销钉上作用有竖直力F1, 滑块B上有水平力F2 ,不计构件自重.图示θ=30°时系统处于静止平衡状态,求力偶M大小,并判断平衡的稳定性.图2)cos 22(sin )(21θθθθL L F L F M w -⋅-⋅-=θθθsin 2cos )(' 21L F L F M w ⋅--=θθθcos 2sin )('' 21L F L F w ⋅-=0) 30(' =︒w L F F M )2/3(21+=⇒解令系统从θ=0位置开始运动,OA 杆逆时针转动,功函数：0)30(''>︒w 2132F F >⇒不稳定平衡；0)30(''<︒w 2132F F <⇒稳定平衡；0)30('' =︒w 2132F F =⇒0 sin 2 cos ''' 3021≠⋅+=︒=θθθL F L F w 无极值,不稳定平衡.123456789图2例12.1-1 匀质圆轮半径为r,质量为m1，受到力偶M作用。
动力学中的平衡与稳定性分析
动力学中的平衡与稳定性分析动力学是研究物体在作用力下的运动规律的学科，平衡和稳定性是动力学中一个重要的概念。
平衡指的是物体处于稳定的状态，不受到任何干扰而保持静止或匀速直线运动；稳定性则是指物体在一定偏离平衡位置范围内具有恢复力，能够迅速回到平衡状态。
动力学中的平衡分为静态平衡和动态平衡。
静态平衡是指物体处于静止状态，不受到任何作用力或受到的作用力相互抵消，使得物体维持在一个静止的位置。
在静态平衡下，物体所受的合力和合力矩均为零。
动态平衡则是指物体以一定的速度作匀速直线运动，所受的合力和合力矩仍然为零。
静态平衡和动态平衡都是稳定的状态，只是物体的运动方式不同。
稳定性是指物体在平衡位置附近能够恢复到原来的平衡状态的性质。
平衡位置是指物体受到作用力后停留的位置。
在稳定平衡下，物体受到微小的扰动后会发生回归，恢复到原来的平衡状态。
稳定性的分析可以通过偏微分方程或者相图分析进行。
在偏微分方程方法中，通过对物体受到的外力和物体的位移关系进行微分，得到稳定性的判据。
相图分析则是通过将物体受力和受力矩绘制成相图，根据相图的形状来判断物体的稳定性。
在动力学中，稳定性分为两种类型：线性稳定和非线性稳定。
线性稳定是指物体在平衡位置附近的位移和受力之间呈线性关系，即物体经过微小的扰动后能够回到平衡位置。
非线性稳定则是指物体在平衡位置附近的位移和受力之间不呈线性关系，但仍具备稳定性。
非线性稳定包括了相位稳定、周期稳定和混沌。
相位稳定是指物体在一定范围内变化时，其周期在一致的范围内波动。
周期稳定则是指物体在一定周期内波动，并能在周期内完成一定的运动规律。
混沌是指物体在一定范围内的微弱扰动会导致突然的不可预测的运动变化，常常出现在非线性系统中。
总结起来，动力学中的平衡与稳定性分析涉及物体在作用力下的运动规律以及物体所处的稳定状态。
平衡可分为静态平衡和动态平衡，稳定性分为线性稳定和非线性稳定。
通过偏微分方程和相图分析可以对动力学系统的稳定性进行分析。
(完整版)物理竞赛讲义(四)一般物体的平衡、稳度
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义第四讲：一般物体的平衡、稳度【知识要点】（一）一般物体平衡条件受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：ΣF=0ΣM=0若将力向x、y轴投影，得平衡方程的标量形式：ΣF x=0 ΣF y=0 ΣM z=0（对任意z轴）（二）物体平衡种类（1）稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。
特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。
（2）不稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。
特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。
（3）随遇平衡：当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。
特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。
（三）稳度：物体稳定程度叫稳度。
一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度越高；重心越低，底面积越大，物体稳度越高。
一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣF=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。
对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。
这部分问题和处理复杂问题的能力，如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。
【典型例题】【例题1】如图所示，匀质管子AB长为L，重为G，其A端放在水平面上，而点C则靠在高h=L/2的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角=45°，处于平衡时，它与水平面之间的动摩擦因数的最小值。
【例题2】如图代表某一竖直平面，在其面内有两根均匀细杆AB 和BC ，质量相同，长度分别为，它们共同接触水平地面，端点记为B ，各自的另一端A 和C 分别靠在相对21l l 、的两堵竖直墙上。
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性大学物理中的力学平衡：物体的平衡与稳定性在大学物理学习中，力学平衡是一个基本概念，也是我们研究物体静止与稳定性的重要工具。
了解物体的平衡与稳定性对于我们理解力学规律、应用于实际问题具有重要意义。
本文将详细介绍大学物理中的力学平衡、物体的平衡以及稳定性，并从实例角度加深理解。
物体的平衡分析物体的平衡可以分为两种情况：平衡在一维的情况称为一维平衡，平衡在三维的情况称为三维平衡。
一维平衡在一维平衡中，物体的平衡状态仅需考虑物体在水平方向上的力平衡。
假设物体在水平面上，当物体受到力的合力为零时，物体处于一维平衡状态。
这个概念比较容易理解，就像在一个水平的桌面上放置一个书本，只有当受到的外力合力为零时，书本才能保持静止不动。
三维平衡在三维平衡中，物体同时受到多个方向的力作用，物体的平衡状态需要考虑力的合力以及力矩平衡。
力矩的概念涉及到物体的旋转，当物体受到的合力矩为零时，物体处于平衡状态。
例如，如果我们将一个木块放在桌子的边缘，只有当木块受到的合力矩为零时，它才能保持在桌子上不掉下来。
稳定性分析物体的稳定性是指物体在平衡状态下，受到干扰时能否返回原始的平衡位置。
根据稳定性的不同，物体可以分为稳定平衡、不稳定平衡和部分稳定平衡。
稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势增强，我们称这种平衡状态为稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个U型凹槽中，无论它发生微小偏移，都会回归到凹槽的底部，保持原有平衡。
不稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势减弱，甚至偏移越大越不容易回归平衡位置，我们称这种平衡状态为不稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个尖顶上，即使微小的偏移也会导致圆球离开尖顶，不再保持平衡。
部分稳定平衡部分稳定平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的状态。
当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势存在，但其强度较弱。
例如，将一个圆锥形物体放置在一个斜面上，当它发生轻微偏移时，可能会回到原位，但在较大偏移时可能会滚落。
力学系统中的平衡与不平衡状态研究
力学系统中的平衡与不平衡状态研究力学系统是物体或物体集合的组合，它们之间通过力的作用相互联系。
在力学系统中，平衡和不平衡是两种重要的状态。
平衡状态指的是系统内部各个部分的力相互抵消，没有产生任何运动或变形的趋势。
而不平衡状态则是指系统内部存在未抵消的力，从而导致系统发生运动或变形。
平衡状态是力学系统的稳定状态之一。
在平衡状态下，系统内部的各个部分的力之和为零，物体不会发生运动或变形。
这种平衡可以是静态平衡或动态平衡。
静态平衡是指物体处于静止状态，不受外力的作用。
动态平衡则是指物体处于匀速直线运动状态，受到的合外力为零。
平衡状态是力学系统的一种稳定状态，它使得物体能够保持相对稳定的位置或状态。
不平衡状态是力学系统的另一种重要状态。
在不平衡状态下，系统内部存在未抵消的力，物体会发生运动或变形。
不平衡状态可以分为静态不平衡和动态不平衡。
静态不平衡是指物体处于静止状态，但受到的合外力不为零，从而导致物体发生形变。
动态不平衡则是指物体处于加速运动状态，受到的合外力不为零，导致物体发生运动。
研究力学系统中的平衡与不平衡状态对于理解物体的运动和变形规律具有重要意义。
通过研究平衡状态，可以探究物体如何保持相对稳定的位置或状态。
这对于设计和构建稳定的结构、机器和设备至关重要。
例如，在建筑工程中，研究平衡状态可以帮助我们设计出稳定的建筑结构，防止倒塌和损坏的发生。
在机械工程中，研究平衡状态可以帮助我们设计出平衡的机械装置，提高机器的性能和效率。
而研究不平衡状态则可以揭示物体的运动和变形规律。
通过研究不平衡状态，可以了解物体在受到外力作用下的运动轨迹和变形方式。
这对于预测和控制物体的运动和变形具有重要意义。
例如，在交通工程中，研究不平衡状态可以帮助我们预测车辆在不同路况下的运动轨迹，从而提高交通流量的效率和安全性。
在航天工程中，研究不平衡状态可以帮助我们预测航天器在不同引力场中的运动轨迹，从而实现精确的航天任务。
除了对实际应用具有重要意义外，研究力学系统中的平衡与不平衡状态还可以深化对物理规律的理解。
压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT
cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料 低碳钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置； 随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡； 不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核 已知拖架D处承受载荷 例题F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：
《物体平衡的稳定性》 讲义
《物体平衡的稳定性》讲义在我们的日常生活和物理学的研究中，物体平衡的稳定性是一个十分重要的概念。
理解物体平衡的稳定性，对于解释许多自然现象、解决工程问题以及保障我们的日常生活安全都具有重要意义。
首先，我们来明确一下什么是物体的平衡。
当一个物体所受到的合力为零，同时合力矩也为零的时候，这个物体就处于平衡状态。
简单来说，就是物体在这种状态下既不发生平动，也不发生转动。
然而，平衡状态还可以进一步细分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种类型。
稳定平衡是指当物体受到微小的扰动而偏离平衡位置后，能够自动地恢复到原来的平衡位置。
比如一个放在碗底的小球，当我们稍微推它一下，它会晃动几下然后回到碗底原来的位置。
这是因为在稳定平衡状态下，物体偏离平衡位置时，其重力势能会增加，从而产生一个使物体回到平衡位置的恢复力。
不稳定平衡则与稳定平衡相反。
当物体处于不稳定平衡状态时，一旦受到微小的扰动，就会加速偏离原来的平衡位置，而无法回到原位。
一个常见的例子是把一个小球放在倒置的碗顶，轻轻一碰，小球就会滚落下来。
在这种情况下，物体偏离平衡位置时，重力势能反而降低，没有恢复力使其回到原来的位置。
随遇平衡则是指物体在受到扰动偏离平衡位置后，能够在新的位置保持平衡。
比如一个水平放置的圆柱体，无论它在水平面上滚动到哪个位置，都能保持平衡。
那么，是什么因素决定了物体处于哪种平衡状态呢？一个关键的因素是物体的重心位置和支撑面的关系。
对于一个有固定支撑的物体，如果其重心在支撑面所围成的区域内，那么物体通常处于稳定平衡状态。
比如说，一个底面积较大的金字塔，由于其重心较低且在底座范围内，所以非常稳定。
反之，如果物体的重心在支撑面之外，那么物体往往处于不稳定平衡状态。
像一个细长的杆子竖直放置，重心很高且容易超出支撑范围，就很不稳定。
此外，物体的质量分布也会影响平衡的稳定性。
质量分布越均匀，物体越容易保持平衡的稳定性。
比如一个质量均匀的圆盘，比起质量分布不均匀的形状，更容易保持平衡。
力学平衡稳定性稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡 ppt课件
设 想 此 时 有 一 个 偏 离 平 衡 态 的 虚 变 动 ， 则 有 ：
S1S2S0
2
平 衡 态 的 条 件 是 ： 1S0(平 衡 判 据 ） 2S0（ 稳 定 性 判 据 ）
由 热 力 学 第 一 、 二 定 律 ：
dUTdSdW 系
1
等熵、无外功的系统过程：
在等温不做功的情况下： dF 0
由此可得： 等温不做功的系统中进行的过程， 系统的自由能绝不会增加，而平衡 对应于自由能F取最小值的宏观态
若将系统对外做功分为膨胀功与非膨胀功，有： dW系 PdV dW系
有之前1式：
dU TdS dW系 作勒让德变换：
dG SdT VdP dW系
同理分析：
T T P P
(热平衡条件） (力学平衡条件） (相平衡条件）
将 稳 定 性 判 据 2 U 0 应 用 于 热 力 学 系 统 ：
2 U 2 S U 2 V S 2 2 S 2 U V SV V 2 U 2 SV 2 0
写成二次型的形式
由2式,同时T
=
U S
V
:
2U
S2
V
T S
V
T U
V
U S
V
T CV
0
（ T 0 ) C V d Q 系 d T V 0
具体分析
热平衡时: T系 =Ta
由系统内部的涨落，使得: T系>Ta
此 时 ,热 量 从 系 统 传 向 外 界 ， 则 : dQ系0
代入热平衡稳定性条件：
U1U2U0
2
1U0 （平衡判据） 2U0（平衡稳定性判据）
热力学势 平衡判据 （熵除外）
结构力学—结构稳定
杆件伸长量 杆件轴力 应变能 外力势能
2 / 2
N EA / l 2EA / 2l 2 1 1 EA Ve N 2 EA2 P 2l 2 2l * EP (1 ) P 1 1 1 VP P 1 2l 2 EA
1
dEP EA ( 1 ) 0 d l
若
稳定方程
l
EI
1 0
Pcr 20.19 EI / l 2
cos nl sin nl
nl tan nl EI 1 (nl) 2 k l Pcr n 2 EI 解方程可得nl的最小正根
P
若
l
EI
k 0 tan nl 0 sin nl 0 nl 2 EI Pcr 2 l
P
k
k
1
nl tan nl
k l EI
12
0
2 EI k 3 12 EI / l l/2 P
nl 1.45
高一物理 第八讲 一般物体的平衡及稳度
F f2
①
以球心o为轴,列力矩平衡方程且 f1，f2达到最大静摩擦力: f1 N1
Fs f1r f 2 r N1r N 2 r
②
f2 N2
O
G
r
N2
N1
f1 图2
将式1带入式2，得：
( F G)( 1) Fs r ( N1 N 2 ) r微偏平衡位置时，物体所 受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样 的平衡叫随遇平衡。 特点：处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置时 ，重心高度不变。
【例1】—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，球 跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为 ,如果在球 上加一个竖直向下的力F，如图1所示。问；力F离 球心的水平的距离 s 为多大，才能使球做逆时针转 s 动？
C α D
A
β B
图3
解：设墙与杆间摩擦系数为u；杆平衡时，取 B轴，受力如图4所示，则：
l l T Sin ( ) G Sin 3 2
3Sin T G 2Sin( )
C A
将力沿水平与竖直方向分解，可得：
3sin cos f G T cos G 1 2sin( ) 3sin sin N T sin G 2sin( )
α
T
D
f
β
B
G
N 图4
可取任意值。 若 f 0 ，即 2tg tg 时，
若
f 0
，即f 方向向上，即 2tg tg 时，
1 1 2 ( ) 3 tg tg
若
f 0
，即f 方向向下，即 2tg tg 时，
《物体平衡的稳定性》 知识清单
《物体平衡的稳定性》知识清单一、什么是物体平衡的稳定性在日常生活和物理学中，我们经常会遇到物体平衡的现象。
简单来说，物体平衡就是指物体处于静止或者匀速直线运动的状态。
然而，物体在平衡状态下，其抵抗外界干扰、保持原有平衡状态的能力是不同的，这就引出了物体平衡稳定性的概念。
物体平衡的稳定性，指的是当物体受到微小的扰动时，它能够自动恢复到原来平衡位置的能力。
如果物体在受到扰动后，能够轻易地回到原来的平衡位置，我们就说这个物体的平衡是稳定的；反之，如果物体在受到扰动后，不仅不能回到原来的位置，反而偏离得越来越远，那么这种平衡就是不稳定的；还有一种情况是，物体在受到扰动后，会在新的位置达到平衡，这种平衡被称为随遇平衡。
二、影响物体平衡稳定性的因素1、重心位置物体的重心位置是影响其平衡稳定性的关键因素之一。
一般来说，重心越低，物体的稳定性就越好。
例如，金字塔的结构之所以稳定，就是因为其重心较低。
我们可以想象一个立着的铅笔，如果把铅笔削尖的一端朝上，它很容易倒下；而把铅笔较粗的一端朝上，它就相对稳定得多，这就是重心位置高低对平衡稳定性的影响。
2、支撑面大小支撑面越大，物体的平衡稳定性越高。
支撑面是指物体与支撑物接触的部分所围成的面积。
比如，一个四脚的凳子比一个单脚的凳子更稳定，因为四脚凳子的支撑面更大。
在行走时，如果我们把双脚分开得更宽，也会感觉更稳定，这也是由于增大了支撑面的缘故。
3、物体的质量分布物体质量分布的均匀程度也会影响平衡稳定性。
质量分布越均匀，物体越容易保持平衡。
例如，一个质量均匀的球体在平面上滚动时，其平衡稳定性相对较高；而一个质量分布不均匀的物体，在受到扰动时，容易因为质量分布的不均匀而导致失衡。
4、外力的作用外力的大小、方向和作用点都会对物体的平衡稳定性产生影响。
如果外力较小且作用在物体的稳定区域内，物体可能仍然保持平衡；但如果外力较大或者作用在不稳定的区域，物体就很容易失去平衡。
三、稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡的实例1、稳定平衡的实例（1）不倒翁不倒翁的底部较重，重心很低，无论怎样推它，它都会自动恢复到直立的位置，这是典型的稳定平衡。
力与物体的平衡之平衡的种类
力与物体的平衡之平衡的种类班级 姓名一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a ）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的．二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大，这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1—1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不稳定平衡．三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1—1（c ）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；减少者为不稳定平衡；不变者，为随遇平衡．如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有最低的位置．不稳定平衡状态对应重力势能的极大值，亦即物体的重心有最高的位置．随遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变．四、数学 sinα ·cosβ＝21 [sin （α＋β）＋sin （α－β）] sinα ·sinβ＝—21 [cos （α＋β）－cos （α－β）]θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∆=∆⋅⋅∆∆=∆+∆-∆+∆-∆++∆⋅∆∆=∆+∆∆+∆∆+∆∆∆∆=∆∑∑∑n n i i i sin sin 212sin cos )2sin 3sin sin 2sin 0sin (sin 212sin cos )2sin 25cos 2sin 23cos 2sin 2(cos 2sin cos 1、 有一玩具跷板，如图所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）．2、如图所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．3、一根质量为m 的均匀杆，长为L ，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k 为何值时才能使杆处于稳定平衡？4、（1）如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O 转动．它处于与轴垂直的匀强磁场中，（ ）（2）图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？5、一均匀光滑的棒，长l ，重Ｇ，静止在半径为Ｒ的半球形光滑碗内，如图2-16所示，Ｒ＜l /2＜2R．假如θ为平衡时的角度，Ｐ为碗边作用于棒上的力．求证：⑪Ｐ＝（l ／4R ）Ｇ； ⑫（cos2θ／cos θ）＝l ／4R ．6、如图所示，一个半径为Ｒ的14光滑圆柱面放置在水平面上．柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A ，另一端B 恰与水平面相切，试求铁链A 端所受拉力以及均匀铁链的重心位置．(A) (B) (C) (D) B B7、如图所示，两把相同的均匀梯子AC 和BC ，由C 端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A 和B 相距6m ，C 端离水平地面4m ，总重200 N ，一人重600 N ，由B 端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数μ＝0.6，则人爬到何处梯子就要滑动？8、有一半径为R 的圆柱A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱B ，用手扶着圆柱A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r 的值各应满足什么条件？答案1、分析和解：假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个θ角，则：在平衡位置，系统的重力势能为(0)2(c o s )E L l m g α=- 当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一3所示，此时系统的重力势能为 ()[cos cos()][cos cos()]E mg L l mg L l θθαθθαθ=-++--2cos (cos )mg L l θθ=-()(0)2(c o s 1)(c oP E E E m g L l θθ∆=-=-- 故只有当cos L l θ<时，才是稳定平衡．2、分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
力学系统中的平衡条件与稳定性分析
力学系统中的平衡条件与稳定性分析在我们的日常生活和各种工程应用中，力学系统无处不在。
从建筑物的结构稳定性到机械装置的运行，从天体的运动到微观粒子的相互作用，力学原理都起着至关重要的作用。
而在力学系统中，平衡条件和稳定性分析是理解和设计系统的关键因素。
首先，让我们来谈谈什么是力学系统中的平衡条件。
简单来说，当一个力学系统处于平衡状态时，它所受到的合外力为零，并且合外力矩也为零。
这意味着系统中的各个部分都处于相对静止或者匀速直线运动的状态。
想象一个放在水平桌面上静止的物体，它受到重力向下的作用，同时桌面给它一个向上的支持力。
当这两个力大小相等、方向相反且作用在同一条直线上时，物体就处于力的平衡状态。
再比如一个杠杆，在支点两侧的力乘以力臂的乘积相等时，杠杆就处于力矩的平衡状态。
然而，仅仅满足平衡条件并不意味着系统就是稳定的。
稳定性分析则是要研究当系统受到微小扰动时，它是否能够回到原来的平衡状态，或者进一步偏离平衡状态。
稳定性可以分为三种主要类型：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
稳定平衡就像是一个放在山谷底部的球，如果受到轻微的推动，它会在重力和地形的作用下回到原来的位置。
不稳定平衡则像是放在山峰顶部的球，稍有风吹草动，它就会滚落下去，远离原来的位置。
随遇平衡则像是放在一个平坦平面上的球，无论它在平面上的哪个位置，都能保持平衡。
为了更深入地理解力学系统的稳定性，我们需要引入一些数学工具和概念。
比如，通过分析系统的势能函数，我们可以判断系统的稳定性。
当势能函数在平衡位置处有极小值时，系统处于稳定平衡；当势能函数在平衡位置处有极大值时，系统处于不稳定平衡；而当势能函数在平衡位置处是常数时，系统处于随遇平衡。
在实际应用中，力学系统的稳定性分析具有重要意义。
以建筑物为例，如果建筑物的结构设计不合理，可能会在受到风力、地震等外部作用时失去稳定性，从而导致严重的后果。
在航空航天领域，飞行器的稳定性直接关系到飞行安全。
高一物理平衡的稳定性PPT课件
即时应用(即时突破，小试牛刀) 2.用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁 和球P之间夹有一矩形物块Q，如图4－2－6所 示．P、Q均处于静止状态，则下列相关说法正确的 是( )
图4－2－ 6
第17页/共37页
A．P物体受4个力 B．Q受到3个力 C．若绳子变长，绳子的拉力将变小 D．若绳子变短，Q受到的静摩擦力将增大
第32页/共37页
图4－2－12
第33页/共37页
解析：选C.对物体受力分析如图所示，物体在竖 直方向上合力为零可得：N＝mg＋Fsinθ，N随θ 的减小而减小，f为滑动摩擦力，f＝μN，可见f随 N的减小而减小，只有C正确．
第34页/共37页
知能优化训练
第35页/共37页
本部分内容讲解结束
第31页/共37页
变式训练2 放在水平地面上的物块，受到一个与 水平面方向成θ角斜向下的力F的作用，物块在水 平地面上做匀速直线运动，如图4－2－12所示， 如果保持力F的大小不变，而使力F与水平方向的 夹角θ减小，那么地面受到的压力N和物块受到的 摩擦力f的变化情况是( ) A．N变小，f变大 B．N变大，f变大 C．N变小，f变小 D．N变大，f变小
变式训练1 如图4－2－9所示，质量为M的楔形 物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ.斜面 上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存 在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，物块和 楔形物块始终保持静止，则地面对楔形物块的支 持力为( )
图4－2－9
第25页/共37页
A．(M＋m)g B．(M＋m)g－F C．(M＋m)g＋Fsinθ D．(M＋m)g－Fsinθ
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力学平衡稳定性(动画)稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡
由2式,同时T
=
U S
V
:
2U
S2
V
T S
V
T U
V
U S
V
T CV
0
（ T 0 ) C V d Q 系 d T V 0
具体分析
热平衡时: T系 =Ta
由系统内部的涨落，使得: T系>Ta
此 时 ,热 量 从 系 统 传 向 外 界 ， 则 : dQ系0
代入热平衡稳定性条件：
最大功原理
热力学第一定律：
dU dQ dW系 有关系式：
TdS dQ 得：
dU TdS dW系
1
利用勒让德变换，得：
dF SdT dW系
若为可逆等温过程dT 0，由1得:
dFdW系 （可逆等温过程）
若经历的是不可逆等温过程，则由1得：
dFdW系 （不可逆等温过程）
最大功原理： 在可逆等温过程中系统所做功 最大，由此得最大功原理。
T T P P
(热平衡条件） (力学平衡条件） (相平衡条件）
将 稳 定 性 判 据 2 U 0 应 用 于 热 力 学 系 统 ：
2 U 2 S U 2 V S 2 2 S 2 U V SV V 2 U 2 SV 2 0
写成二次型的形式
CV dQ系 dT V 0dT0
系统会因为放热而降温回到热平衡 反之:
CV 0 dT0， 系统会因为放热而升温偏离热平衡
结 论 ： C V 0 保 证 了 系 统 的 热 平 衡 稳 定 性
2U 2U
S2
V
2U
S2U VDU SV， U VS
DS,V
SV V2S
D T ， P D S ,V 0 3
物体平衡的种类及其判断方法
物体平衡的种类及其判断方法作者：蒋汉松来源：《中学教学参考·理科版》2013年第02期物理竞赛中把物体的平衡分为：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
它是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的三种平衡情况。
处于势场的物体和场一起具有势能，而物体都有向势能较小位置运动的趋势。
（1）稳定平衡：如果平衡物体受外界微小扰动偏离平衡位置时，该物体在所受各力或力矩的作用下将回到平衡位置，这种平衡称为稳定平衡。
例如，带正电的小球在两个带等量正电荷中点时的平衡状态就可视为稳定平衡。
从能量角度看，所谓稳定平衡是指物体处于势能最小位置时的平衡。
对它有一个微小的扰动，使它离开平衡位置，外界就必须对它做功，这样势能增加，扰动后物体就要自动地回到原来势能较小的位置。
（2）不稳定平衡：当物体达到平衡后，受到微小扰动而偏离平衡位置时，如果该物体在各力或力矩的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回到平衡位置，这种平衡称为不稳定平衡。
例如，带负电的小球在两个带等量正电荷中点时的平衡状态就可视为不稳定平衡。
从能量角度看，所谓不稳定平衡是指物体处于势能最大时的平衡。
使它离开平衡位置，外界不必对它做功。
任何微小扰动，总引起重力对它做功，势能减小，这样它将继续减小势能，再也不可能回到原来那个势能最大的位置。
（3）随遇平衡：如果平衡物体受外界微小扰动而偏离平衡位置时，该物体所受合力或合力矩仍为零，并能在新的位置继续保持平衡，这种平衡称为随遇平衡。
例如，与液体密度相同的实心物体浸没在该液体内部的平衡状态就可称为随遇平衡。
从能量角度看，所谓随遇平衡是指处于平衡状态的物体，在受到微小扰动后，势能始终保持不变，因此可以在任意位置继续保持平衡。
如何来判断物体的平衡种类？常用的方法有以下几种。
（1）受力（力矩）分析法：当质点偏离平衡位置时，如果所受外力指向平衡位置，则是稳定平衡；如果外力背离平衡位置，则是不稳定平衡；如果外力为零，则是随遇平衡。
平衡名词解释
平衡名词解释
定义：
在力学系统里，平衡是指惯性参照系内，物体受到几个力的作用，仍保持静止状态，或匀速直线运动状态，或绕轴匀速转动的状态，叫做物体处于平衡状态，简称物体的“平衡”。
分类：
因稳度的不同，物体的平衡分为：稳定平衡、随遇平衡、不稳定平衡三种情况。
其他意义：
1.对立的两个方面、相关的几个方面在数量或质量上均等或大致均等：收支平衡、产、供、销总体平衡、生态平衡。
2.几股互相抵消的力作用于一个物体上，使物体保持相对的静止状态：保持身体平衡飞机失去了平衡。
3.平稳安适：心理平衡。
平稳安适：心理平衡。
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3
由2式,同时T
=
U S
V
:
2U
S
2
V
T S
V
T U
V
U S
V
T CV
0
（T 0)
CV
dQ系
dT
0
V
具体分析
热平衡时: T系 = T a
由系统内部的涨落，使得: T系 > T a
此时,热量从系统传向外界，则: dQ系 0
代入热平衡稳定性条件：
CV dQ系 dT V 0 dT 0
热力学势
基本关系式
条件
相应关系式
U
等熵
dU dW系
dU TdS dW系
等熵不做功
dU 0
F
dF SdT dW系
等温 等温不做功
dF dW系
dF 0
G
等温等压
dG dW系
dG SdT VdP dW系
等温等压无非 膨胀功
dG 0
H
等熵等压
dH dW系
dH TdS VdP dW系 等熵等压无非
最大功原理
热力学第一定律：
dU dQ dW系 有关系式：
TdS dQ 得：
dU TdS dW系
1
利用勒让德变换，得：
dF SdT dW系
若为可逆等温过程 dT 0，由1得:
dF dW系 （可逆等温过程）
若经历的是不可逆等温过程，则由1 得：
dF dW系 （不可逆等温过程）
dG SdT VdP dW系
同理分析：
dG dG
dW系 dW系
（可逆等温等压过程） （不可逆等温等压过程）
最大功原理：
系统在可逆的等温等压过程中所做
非膨胀功最大
在等温等压无非膨胀功条件下： dG 0 （等温等压无非膨胀功）
所以： 在等温等压无非膨胀功的系统发生 过程中，自由焓G绝不会增加，平衡态 对应于自由焓具有最小值的宏观态
2G 0 2H 0
2S 0
平衡判据： 1S 0
应用于孤立系统各部分中，可得：
T T P P
(热平衡条件） (力学平衡条件） (相平衡条件）
将稳定性判据 2U 0应用于热力学系统：
2U
2U S 2
V
S
2
2
2U SV
SV
2U V 2
S
V
2
0
写成二次型的形式
最大功原理： 在可逆等温过程中系统所做功 最大，由此得最大功原理。
在等温不做功的情况下： dF 0
由此可得： 等温不做功的系统中进行的过程， 系统的自由能绝不会增加，而平衡 对应于自由能F取最小值的宏观态
若将系统对外做功分为膨胀功与非膨胀功，有： dW系 PdV dW系
有之前 1 式：
dU TdS dW系 作勒让德变换：
2U S
2U
V
S 2
V
2U
SV
2U
SV
S
2U
V
V
2
S
根据线性代数，正定二次型系数有下列条件：
2U
S
2
V
0
2
2U
S 2
V
2U
SV
2U
S
V
2U
D
U S
V
， UV
S
DS,V 0
V
2
S
DT， P DS,V 0
DT， P DT,V
DT， P DT ,V
P S
V T
T V
T
CV
(P
V )T
因为 T 0，CV 0
则
(P V )T 0
所以： T 1 V (P V )T 0
最终得：
CTV
0 0
热平衡稳定性条件 力学平衡稳定性条件
焓H
同理分析： dH 0 等熵等压无非膨胀功）
即： 在满足以上条件的系统发生的过程中， 焓决不会增加，平衡态对应于焓具有 最小值的宏观态
总结：
在三种不同的条件下，系统分别向F、G、H 减小 的方向变化，平衡态分别对应于F、G、H的最小值
注意： 在绝热过程中没有最大功原理，因为绝热过程中有 dU = dW系
膨胀功
dH 0
平衡的稳定性条件
平衡的稳定性判据和条件
考虑孤立系统 可知该过程总是向熵增加的方向进行，有：
dS 0 因而达到平衡态后，熵有最大值，且不变化。
设想此时有一个偏离平衡态的虚变动，则有：
S 1S 2S 0
2
平衡态的条件是： 1S 0 (平衡判据） 2S 0（稳定性判据）
由热力学第一、二定律：
dU TdS dW系
1
等熵、无外功的系统过程：
U 1U 2U 0
2
1U 0 （平衡判据） 2U 0 （平衡稳定性判据）
热力学势 平衡判据 （熵除外）
U
1U 0
F
1F 0
G
1G 0
H
1H 0
S
1S 0
平衡稳定 性判据
2U 0
2F 0
系统会因为放热而降温回到热平衡 反之:
CV 0 dT 0， 系统会因为放热而升温偏离热平衡
结论：CV 0保证了系统的热平衡稳定性
2U
S 2
V
2U
SV
2U
SV
2U
D
U S
V
， UV
S
V
2
S
DS,V
DT， P DS,V 0 3
由3式:
DT， P DS,V