中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题(含答案及解析)

中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题

专题四 图形折叠中的直角三角形存在性问题（原卷）

【精典讲解】

1、如图例3-1，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，△B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE △BC 交AB 边于点E ，将△B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为

图例3-1

图例3-2

图

例3-3

2、如图例4-1，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把△B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．

图例4-1 图例4-2

图例4-3

3、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别

是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．

图例5-1图例5-2图例

5-3

4、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.

图例6-1图例6-2图例6-3

【针对训练】

1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )

A．3B．3

2

C．2或3D．3或

3

2

2、如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则AD

DF

的值为

A．11

13

B．

13

15

C．

15

17

D．

17

19

3、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA．点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）

A．3B．3C．3

2

D．3

4、如图，矩形ABCD中，3

AB=，4

BC=，点E是BC边上一点，连接AE，把矩形沿AE折叠，使点B落在点B'处．当CEB'

∆为直角三角形时，BE的长为____________．

5、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD 上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直

线上时，DF的长为_____．

6、如图，在菱形ABCD中，△DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE△AB 交直线AD于点E，将△A沿PE折叠，点A落在F处，连接DF，CF，当△CDF为直角三角形时，线段AP的长为__________．

中考数学冲刺难点突破图形折叠问题

专题四图形折叠中的直角三角形存在性问题（答案

及解析）

【精典讲解】

1、如图例3-1，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△B=30°，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE△BC交AB边于点E，将△B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为

图例3-1 图例3-2图例3-3

2、如图例4-1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

图例4-1 图例4-2 图例4-3

3、如图例5-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，1BC =，点M ，N 分别

是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C ∆为直角三角形，则BM 的长为 ．

图例5-1

图例5-2

图例

5-3

4、如图例6-1，在△MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.

图例6-1图例6-2图例6-3

【针对训练】

1、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )

A．3B．3

2

C．2或3D．3或

3

2

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得△AB′E=△B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B 落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

△当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．

【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

△当点B′落在矩形内部时，如图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

△AC=22

=5，

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△△B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

△△AB′E=△B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到△EB′C=90°，

△点A、B′、C共线，即△B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，