2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)

2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2}2.已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C ．D．23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61﹣﹣12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6.圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97.函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8.正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10.设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（共4小题）13.平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣．15.已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16.已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为≤﹣．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19.过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥P A1．20.设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y ≤1.04）≈0.85．22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23.设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z﹣1|．【解答】解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．【知识点】复数求模3.【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．【解答】解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．【知识点】进行简单的合情推理4.【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式5.【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．【解答】解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．【知识点】函数图象的作法8.【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．【知识点】由三视图求面积、体积9.【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．【知识点】双曲线的简单性质10.【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．【知识点】不等关系与不等式、奇偶函数图象的对称性11.【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用12.【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．【解答】解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【知识点】数列与不等式的综合、数列递推式二、填空题（共4小题）13.【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．【解答】解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．【知识点】简单线性规划15.【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．【知识点】椭圆的简单性质16.【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．【解答】解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．【知识点】函数恒成立问题三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定19.【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥P A1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥P A1．【知识点】抛物线的简单性质20.【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．【解答】解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．【解答】解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义22.【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．【知识点】函数图象的作法、不等式恒成立的问题。