最短路径

– dijkstra算法与最小生成树prim算法的唯一不同之处是:
• dist[i]表示i到根的距离，而在prim中dist[i]表示i到生成树的最短距离。
最短路树和最小生成树
s s
最小生成树
在prim算法中： pre[i]维护的是生成树中节点i的父亲。 dist[i]:生成树中i到父亲的边的权值。
– – – – 用两个数组来维护最短边的权值和端点编号。 dist[i]：从i出发到达生成树的临时最短边（会被多次更新） pre[i]：该边的两个端点。i pre[i] 算法模块：
• 找到从生成树出发的最短边 • 将该边加入生成树 • 更新未加入各点的临时最短边
– 其中dist[i]最小，且未加入生成树的边，必是我们要找的最短边。
最短路树
在dijkstra算法中： pre[i]维护的是最短路树中节点i的父亲。 dist[i]:最短路树中i到根的所有边的权值之和。
找最短边开始扩展 pre[i] 生成树
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i dist[i]
– 思考，请证明算法正确性 思考，
为什么单源最短路(或最小生成树)形 成树?
• 考虑下图 • 如果u z的路只取一条即可
树的特点
1：无回路：即任意两节点间有且仅有一条路径 2：除了根节点，每个节点均有且仅有1个父亲 3：由2可得：N个节点必有N-1条边 由以上可知：在求最小生成树和最短路时，程序 会生成一棵最小生成树和最短路树，因此程序中 的存储结构可使用父亲表示法，只记录每个节点 的父亲即可！
最短路树和最小生成树
s s
最小生成树 在prim算法中，pre[i]实际维护的 是生成树中节点i的父亲。
最短路树
单源点最短路径
• • 求一个点到其它所有点的最短路 dijkstra算法与最小生成树prim算法几乎一样
– – – – – 都是把源点出发的最短路树看作一个整体 dist[i]维护从1到达i的临时最短路长度，即从根到i的长度。(会被多次更新) 每次扩展一个离根最近的节点，把它加入最短路树。 修正剩余所有点的最短路长度dist[i] 若要输出最短路径，则用pre[i]维护i号点的父亲即可。
最短路径
• 最优性原理 • 松驰操作 • 算法
–求一点到其它所有点的最短路
• bellman-ford算法 • SPFA算法 • dijkstra算法
–求图中任意两点间最短路
• floyd算法
最小生成树prim算法
• 把生成树中的所有点看作一个整体 • 实质是不停找从生成树出发的最短边进行 扩展。 • 标程中最短边的维护