基于Dijkstra算法最短路径设计

基于Dijkstra算法的最短路径设计
摘要：Dijkstra算法是用于计算一个节点到其他所有节点最短路径的典型单源路径算法。

该算法要求图中不存在负权边。

在算法设计中，我们用邻接矩阵来存储图。

在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。

用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，然后再输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。

关键字：最短路径；Dijkstra算法；算法流程图；算法源程序
1.算法定义
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图G=(V,E) 中，假设每条边E[i] 的长度为w[i]，找到由顶点V0 到其余各点的最短路径。

2.算法描述
2.1算法思想原理
设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。

此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.2算法过程描述
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

2.3算法适用范围
⑴单源最短路径；
⑵有向图和无向图；
⑶所有边权非负。

开始定义全局变量dist[N]，v0,cost[N][N]初始化变量final[N],i,v,w,
min,k
K=0
K<N V=0
V<N final[v] = false;dist[v] = cost[v0][v];
Y
final[v0] =
true
N
i=0
i<N-1初始最短长度无穷大
W=0
W<N !final[w] && dist[w] < min
Min = dist[w]v = w;
Y
Y Y W++
加入新边final[v] = true
W=0
W<N !final[w] && dist[v] + cost[v][w] < dist[w]dist[w] = dist[v] + cost[v][w];
Y W++
N
i=0
i<N-1i<N-1输出dist[i]
v0++;Y
return 0;
N
Y N
N
I++
N K++;
N
I++
END 图1 算法流程图
在该实验中，我们用邻接矩阵来存储图。

在该程序中设置一个二维数组来存储任意两个顶点之间的边的权值。

用户可以将任意一个图的信息通过键盘输入，然后再输入要查找的两个顶点，程序可以自动求出这两个顶点之间的最短路径。

下面介绍一实例，实例的无向图为图2。

图2 无向图
4.1算法源程序(C++)
#include <stdio.h>
#include "Conio.h"
#define true 1
#define false 0
#define I 9999 // 无穷大
#define N 6 // 城市顶点的数目
int cost[N][N] = {
{0,2,1,I,I,I},
{2,0,2,3,I,I},
{1,2,0,3,1,I},
{I,3,3,0,1,5},
{I,I,1,1,0,2},
{I,I,I,5,2,0}};
int dist[N]; // 存储当前最短路径长度
int v0 = 'A' - 65; // 初始点是A
int main()
{
int final[N],i,v,w,min,k;
printf("\n任意两个定点之间的最短路径如下：\n\n");
for(k=0;k<N;k++)
{
// 初始化最短路径长度数据，所有数据都不是最终数据
for (v = 0; v < N; v++)
final[v] = false;
dist[v] = cost[v0][v];
}
// 首先选v0到v0的距离一定最短，最终数据
final[v0] = true;
// 寻找另外N-1 个结点
for (i = 0; i < N-1; i++)
{
min = I; // 初始最短长度无穷大
// 寻找最短的边
for (w = 0; w < N; w++)
{
if (!final[w] && dist[w] < min)
{
min = dist[w];
v = w;
}
}
final[v] = true; // 加入新边
for (w = 0; w < N; w++)
{ // 更新dist[] 数据
if (!final[w] && dist[v] + cost[v][w] < dist[w])
{
dist[w] = dist[v] + cost[v][w];
}
}
}
for (i = 0; i < N; i++)
{
printf("%c->%c: %2d\t", v0 + 65, i + 65, dist[i]);
}
printf("\n");
v0++;
}
return 0;
}
图3 运行结果图
参考文献
[1] 吴家琴.基于迪杰斯特洛模型的物流运输最短路径的选择.物流技术,2013(11)
[2] 王景存,张晓彤,陈彬.一种基于Dijkstra算法的启发式最优路径搜索算法.北京科技大学学报,2007(3)
[3] 唐文武,施晓东,朱大奎.GIS中使用改进的Dijkstra算法实现最短路径的计算.中国图像图形学报,2000(12)
[4] 吴京,景宁,陈宏盛.最佳路径的层次编码及查询算法.计算机学报,2000(2)。