第十章 组合变形PPT课件
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《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
第 10 章 组合变形
dD=200mm。圆轴的容许应力 100MPa 。试按第四强度理
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
材料力学组合变形完整ppt文档
200
F
F
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的 变形组合类型
拉伸和弯曲的组合
200 F F
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
判断危险截面，应力叠加，并进行校核（如下）
200 F F
任意横截面上拉伸正应力： 任意横截面上弯曲正应力：
同一个方向上的正应力可以根据分布情 况直接叠加，叠加后仍为单向应力状态，直 接校核强度。
1. 分解 竖直xy面：
水平xz面：
2. 分别求两个面内的弯矩，绘制弯矩图
竖直xy面：
水平矩图确定可能的危险截面
竖直xy面：
FL
水平xz面：
2FL
FL
结论： 危险截面可 能是中点或 固定端。
4. 通过叠加求危险截面的最大正应力
z
z
y
y
Mxy Mxz Wz Wy
Mx
2 y
Mx
2 z
W
y
竖直xy面：
FL
Z
水平xz面：
2FL FL
求中点处的最大正应力：
FL FL
Wz Wy
求固定端的最大正应力：
0 2FL
Wz Wy
5. 强度校核
2FL
固定端的最大正应力： max
y
Wy
[σ]=20FL/bh
2
m ax[]
梁满足强度要求
组合变形/扭转与弯曲的组合
§8.4 扭转与弯曲的组合
3.确定危险截面，求基本变形的应力
拉伸
N
FN A
(均布 ),
弯曲
Mm
a x Mm a Wz
x(线性 )
项目组合变形概述.ppt
工程力学
项目十 组合变形
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
2
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念 课题10.2 斜弯曲 课题10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合变形 课题10.4 偏心压缩与偏心拉伸 课题10.5 截面核心
课题10.6 弯曲与扭转组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M1Ql1Q0.80.2QNm 44
T 1QD1Q0.360.18QNm
2
2
（3）强度分析
eq 3
M 2 T 2
W
( 0 .2Q )2 ( 0 .18 Q )2
0 .03 3
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
解决组合变形问题的基本步骤：
1、外力分析：
将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等 效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生 一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2、内力分析：
Pz
y
z
y Mz M=PL
My
z
工程力学
项目十 组合变形
例 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，
D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
项目十 组合变形
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
2
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念 课题10.2 斜弯曲 课题10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合变形 课题10.4 偏心压缩与偏心拉伸 课题10.5 截面核心
课题10.6 弯曲与扭转组合变形
工程力学
项目十 组合变形
课题10.1 组合变形的概念
绞车轴的弯矩图和扭矩图如
图c、d所示。
工程力学
项目十 组合变形
由图可见危险截面在轴的中点C
处，此截面的弯矩和扭矩分别为：
M1Ql1Q0.80.2QNm 44
T 1QD1Q0.360.18QNm
2
2
（3）强度分析
eq 3
M 2 T 2
W
( 0 .2Q )2 ( 0 .18 Q )2
0 .03 3
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
工程力学
项目十 组合变形
解决组合变形问题的基本步骤：
1、外力分析：
将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等 效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生 一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2、内力分析：
Pz
y
z
y Mz M=PL
My
z
工程力学
项目十 组合变形
例 某齿轮轴，n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，
D2=168mm， =20o ， d=50mm，[]= 50MPa。校核轴的强度。
（1）外力分析：
取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z 、 P2y和径 向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮 中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶。
材料力学 第十章组合变形(123)PPT课件
MPa。
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
18
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
F y F c4 o o 0 s q 2 ca 4 o o 0 s 0 .3q 8 a 3
F z F s4 io n 0 q 2sa 4 io n 0 0 .3q 2 a 1
19
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。 F'
F'
F
F'
纵向对称面?
轴线
7
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
一.力的分解
Fy Fcos
Fz Fsin
z
C
(y, z)
Fz
Fy
Fy
8
CL11TU3
Mz Fy(l x)以z为中性轴弯曲
My Fz(l x)以y为中性轴弯曲
Mz Fcos(lx)Mcos My Fsin(lx)Msin
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M
的应力
z
Mz yMycos
Iz
Iz
y
9
M
的应力
y
Myz Mzsin
21
例题 8-1 z
(e)
MyA
z
D1 z
MzA
D2
y
yyBiblioteka (m )A a x M W y y A M W z zA 0 3 .6 .5 q 1 4 1 (1 6 2 2 0 ) 0 .2 2 q 3 6 1 ( 1 6 7 2 6 0 ) (2.1 5130)q
材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
10第十章组合变形
三 组合变形时的应力叠加法
1 分解 3 叠加
a
2 计算
P
分解
=>
P
+
M=Pa
A
B
A
B
A
B
σA N
Mσ= σ‘+ σ
N ? '? N
A
叠加
σA′
M
?
?
Mzy
计算
σA
Iz
A
<=
A
+
A
σB
叠加
B
<=
σB′
σB
B
+
B
§10.2 斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时 ,则弯曲变形后 ,梁
的轴线不在外力作用面内 .
强度够了。
? '? P
A
?
Pey ?
Iz
x
b
δ
σtmax σtmin
例题2、铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材 料的许用拉应力[? t]＝30MPa，许用压应力[? c]＝120MPa。
试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
F 350
y1 z0 y z1
150
50
150
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A ? 15000 mm2
22
N=P=80kN
P
M=Pe=400Nm
? '? P
A
?
My Pey ??
Iz
Iz
? t max
?
P? A
My ?
Iz
PM ?
A WZ
P
y r P
M
组合变形习题PPT课件
一个袋子中有5个红球和5个白球，从中随 机抽取5个球，求取出5个球中颜色相同的 概率。
高难度习题解析
总结词
这些习题难度较大，需要学 生具备较强的逻辑思维和分 析能力。
题目1
一个袋子中有10个不同颜色 的球，从中随机抽取3个球， 求取出3个球中颜色种类最 多的概率。
题目2
题目3
一个班级有20名学生，从中 选出5名学生代表，要求男 女比例相等且来自不同宿舍， 问共有多少种不同的选法。
04
组合变形的注意事项
力的作用点与方向
力的作用点
力的作用点是确定物体运动状态的依据，在分析受力时，必须明确力的作用点。
力的方向
在分析受力时，要明确力的方向，特别是对于作用在刚体上的力，其方向通常由 箭头的指向表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力的大小与单位
力的大小
在分析受力时，要明确力的大小，通常用实线段表示力的大小，并在其旁边标注相应的 数值。
组合变形的实例解析
平面力系的组合变形
总结词
平面力系中，力的方向和作用点对确定刚体运动 状态十分重要。
总结词
平面力系中，力的合成与分解是解决复杂问题的 关键。
详细描述
在平面力系中，力的方向和作用点发生变化时， 刚体的运动状态也会随之改变。例如，当一个水 平推力作用在静止的木箱上时，木箱会沿推力方 向移动；而当这个推力作用点改变时，木箱的运 动轨迹也会发生变化。
组合变形的分类
线性组合变形
将多个简单形按照线性关系组合在一起，形成新 的复杂形。
对称组合变形
将多个简单形按照对称关系组合在一起，形成新 的复杂形。
非线性组合变形
将多个简单形按照非线性关系组合在一起，形成 新的复杂形。
第十章组合变形-修订版 17页PPT文档
解：在切槽的截面
A1 055m 0 2m 10
P
Wy 56102 65102mm 3
10
Wz 10 652
2510mm 3 6
MZ
y
My
z
切槽的截面上的内力
N1kN
M y 1 13 0 5 1 3 0 5 N m
M z 1 1 3 0 2 .5 1 3 0 2 .5 N m
22
z
τ
D1 σ
y
x D2
D1
D2
τσ
τσ
τσ
τσ
五 建立强度条件
(1) r313[]
r41 2[(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2] []
把主应力代入
(2) r3 242[]
对圆形截面
Wt 2W
r4 232[]
M W
判定E为危险截面
RBz
Pr
Rc
z
My图
Mymax
Prab l
Pt
RBy
E
Mz max
Pt ab l
RCy
Mz图
PtD 2
T图
T Pt D 2
四 计算应力,确定危险点. T Wt M W
D1,D2 两点为危险点 D1点主应力为
1 3
} 2
()2 2
2
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第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
A1 055m 0 2m 10
P
Wy 56102 65102mm 3
10
Wz 10 652
2510mm 3 6
MZ
y
My
z
切槽的截面上的内力
N1kN
M y 1 13 0 5 1 3 0 5 N m
M z 1 1 3 0 2 .5 1 3 0 2 .5 N m
22
z
τ
D1 σ
y
x D2
D1
D2
τσ
τσ
τσ
τσ
五 建立强度条件
(1) r313[]
r41 2[(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2] []
把主应力代入
(2) r3 242[]
对圆形截面
Wt 2W
r4 232[]
M W
判定E为危险截面
RBz
Pr
Rc
z
My图
Mymax
Prab l
Pt
RBy
E
Mz max
Pt ab l
RCy
Mz图
PtD 2
T图
T Pt D 2
四 计算应力,确定危险点. T Wt M W
D1,D2 两点为危险点 D1点主应力为
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第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
第十章组合变形
M Iy
y
zm ax
压
中性轴
s m ax
M
z
M
y
F
Wz
Wy
斜弯曲梁强度计算
当材料的抗拉、压许用应力相同时，斜弯曲梁的强度条件为:
s m ax
M zm ax Wz
M ym ax Wy
s
应当指出，如果材料的抗拉、压能力不同，则 须分别对拉、压强度进行计算。
利用强度条件，可以解决工程实际中的三类计算 问题：校核强度、设计截面尺寸、确定许用荷载。
第十章 组合变形
§10-1 组合变形的概念 §19-2 斜弯曲变形的应力和强度计算 §10-3 拉伸(压缩)和弯曲组合变形的计算 §10-4 偏心拉伸(压缩)杆件的强度计算 及截面核心
§10-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念 1.组合变形：构件同时发生两种以上基本变形 2.分类
①斜弯曲——两个平面弯曲的组合
y max
3 . 42 kN m
（３）校核强度
由型钢表查得№18号工字钢的抗弯截面模量分别为:
W z 185 cm
s
max
3
W y 26 cm
y max
3
M
z max
M
9 . 40 10 185 10
6 3
3 . 42 10 26 10
3
6
Wz
Wy
50 . 81 131 . 54 182 . 35 s 170 M Pa
Wz
Wy
39 . 66 118 . 57 148 . 23 M Pa s 170 M Pa
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例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m
的均布力作用， []=12MPa，许可挠度为：L/200 ，E=9GPa，
试校核此梁的强度和刚度。
q
解：1、外力分解
A
B
q z q si n 8 0 .40 4 3N 7 5 /m 8
L
q y q co 8 s 0 0 .8 0 9 74 N 1 /m 4 y
20
§9－5 轴向拉(压)与弯曲组合
一、拉(压)弯组合变形的概念：
杆件同时受轴向力和横向力（或产生平面弯曲的力矩）的 作用而产生的变形。
F2 F1
弯曲与扭转的组合
轴向压缩与弯曲的组合
3
立柱 ——
P
风 荷 载
偏心压缩与弯曲的组合
4
P
q
h
轴向压缩与 弯曲的组合
5
F
F1
m
拉伸+扭转+弯曲
y
x
z
F
两个平面的弯曲
y
F
z
6
三、组合变形的分析方法——叠加法 前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。 叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种
（每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。 四、组合变形计算的总思路 1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。 2、计算——计算每种基本变形的应力、变形。 3、叠加——将基本变形的计算结果叠加起来。
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§10 — 2 斜弯曲
一、斜弯曲的概念
梁上的外力都垂直于轴线，外力的作用面不在梁的纵向对
w m aw x z 2 m a w 2 y m x a1 x .9 1 2 9 1 .6 0 2 3 1 .0 6 (m 2 ) m
w m a1x .0 6(m 2) m w 3 .3 2 10 30 0 1.5 6 (m)m
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例 ：悬臂梁 L=1m, F1=0.8 kN，F2=1.65 kN。 1) b×h=9×18; 2 ) 梁的横截面为圆形 d=13 cm。求：此梁的最大正应力。
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四、对于无棱角的截面如何进行强度计算——
首先确定中性轴的位置；
其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；
最后进行强度计算。
y
F
z
k
中性轴
y
A LB
z Fz
k
Mz
k
My k
Mzyk Iz
Myzk Iy
F
1、令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
Fy
Mzy0 Myz0 0
Iz
Iy
——中性轴方程（过截面形心的一条斜直线）
解：一、外力分解
F2
（Fy=F2， Fz=F1）
F1
二、强度计算
z
MzmaxF2L1.65(kN)m
MymaxF12L1.6(kN)m
1、矩形截面：
L
maxMW zm z axMW ym y ax
119.6 15 1 8 20 610 3111.68 0 91 20 610 3
6
6
9.94(MP)a
Iz
Iy
Wz
Wy
强度条件（简单应力状态）—— max
13
4、剪应力
z
FszSy Iyh
FzSy Iyh
,
y
FsySz Izb
FySz Izb
,
y
Fsz z
y2 2z 在弯曲变形中不是主要的。z
y
5、刚度计算
wy m ax
Fy L3 3EIz
,
wz max
Fz L3 3E I y
F
Fsy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
wmax
2、强度计算
b=80mm h=120mm
M zma xqy8L271 834 .3297N2mz M yma xqz8L235 838 .3248N7m
qz q q y 26034'
16
y
max
Mz Wz
My Wy
q
19870211032201418271080302 8 .8(M 6 ) P a
Fz Fsin
z
x
Fz Fy
2、任意横截面任意点的“σ”
F
y
（1）内力： M z(x)xF yxFco s
k
M y(x)xF zxFsin z F z
（2）应力：k Mz
Mz yk Iz
,
My k
M y zk Iy
F
Fy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
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正应力的分布——
在 Mz 作用下：
1
第十章 组合变形
§10—1 组合变形概述 §10—2 斜弯曲 §10－3 轴向拉(压)与弯曲组合 §10－4 偏心拉（压） 截面核心 §10－5 弯曲与扭转 组合变形小结
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§10—1 组合变形概述
一、组合变形：杆件在外力作用下包含两种或两种以上 基本变形的变形形式。
二、实例 烟囱在风载和自重作用下—— 汽车路牌杆在风载作用下——
wy 2wz2
(FyL3)2(FzL3)2 3EzI 3EyI
z wz
wmaxw
tan wz F z I z I z tan wy I y F y I y
w
wy
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三、结论
1、“σ”代数叠加，“τ”和变形矢量叠加。 2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
m
ax
Mzm Wz
axMym ax Wy
L
y
zh
y
b
18
2、圆形截面：
y
M M z 2M y 21.625 1.622.3 (kN ) m
z
ma xM W ma x 12. 31133601301.07(MP ) a
32
My
Mz M
注意：矩形截面——
m
ax
Mzm Wz
axMym Wy
ax
圆形截面——
max
Mz2maxMy2max W
W d 3 32
6
6
z
wz
wy
3、刚度计算
w
wz max
5qzL4 384EIy
5358103
38491031120803
11.99(mm)
26034'
12
wymax
5qyL4 384EIz
5714103
10.63(mm)
3849103 1 801230
12
tan wz 11.99
wy 10.63
48.44
y
在 My 作用下：
y
Mz
z
z
My
y
k
zFz
F
Fy
（3）叠加：
k
Mz
k
My k
Mzyk Iz
Myzk Iy
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y b
a
z
c
y b
a
y
x
z
My
c
z
x
F
d
3、强度计算 危险截面——固定端
d
MzmaxFyl,
MymaxFzl
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
tma x cma xM zmaym x a xM ymazm x axMzmax Mymax
称面内,变形后梁的轴线不在外力的作用平面内,由直线变为曲
线（梁上的外力都垂直于轴线且过弯曲中心，但不与形心主轴
重合或平行）。 P
纵向对称面
P
Fz
平面弯曲：挠曲线在纵向对称面内。 斜弯曲：挠曲线不在纵向对称面内。
挠曲线所在的平面
8
二、斜弯曲的计算
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10
二、斜弯曲的计算
y
x
1、荷载的分解
F
Fy Fcos