9—4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9—6提高压杆稳定性的措施详细版.ppt

解：
P E 87.1 P
i d 0.025m 4
l 40l
i
μ 1
.精品课件.
7
用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为
P
40 l 81.7
l 2.04m
.精品课件.
8
例题： 压杆截面如图所示。若绕 y轴失稳可视为两端 固定，若绕 z轴失稳,可视为两端绞支。已知:杆长 l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。 求压杆的临界应力。
只有在 cr F 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 临界力 Fcr（临界应力 cr ）。
cr
2E
2
P
或 2E P
令1
E
P
.精品课件.
3
1，当 ≥ 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 欧拉公式。
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可 取 E=206MPa，F=200MPa，得
C
cr
2 2E 2
a
P
s
b
D
1
0 < 2 称为小柔度杆，cr = s
2 <
> 1
1 称为中柔度杆，cr = a b 称为大柔度杆（细长杆），cr
.精品课件.
=
2E 2 6
例题 ：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量 E 2.03105 MPa ,σ P 300MPa ，杆的直径d=100mm, 杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？
已知： E = 200 GPa， P = 200 MPa ， S = 240 MPa ， 用直线公式时，a = 304 MFa， b =1.12 MFa。
.精品课件.
12
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
P E 100 P
压杆的 = 1
(D4 d 4)
i
I A
64 (D2
d 2)
1 4
F cr
2 EI (l )2
F cr
2 EI (l)2
2
E
d
64
4
(l)2
求得: d = 24.6mm。 取 d = 25mm
.精品课件.
19
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l i
d
l
200
4
1 E 97 P
由于 > 1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。
.精品课件.
20
例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径=0.08m，
z
y
30mm
.精品课件.
9
z
解：
1 E 99
P
30mm
iy
Iy A
1 (0.030.023)
12
0.0058m
0.03 0.02
iz
I z 0.0087m A
μ y 0.5
μz 1
.精品课件.
y
10
y y l 86 iy
z z l 115 iz
因为 z > y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 > 1，用
大柔度杆（细长压杆） 临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致 相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆和小柔度杆
临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定 程度上可以提高压杆的稳定性。
.精品课件.
30
P
i D 0.02m 4
AB
l AB
i
173
P
AC
l AC
i
100
P
两杆都可用欧拉公式
F
A
600
300
B
C
4m
F
.精品课件.
NAB
A
NAC
23
例图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径 d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，
P=200MPa， s=240MPa，
E=206GPa，稳定 安全系数为nst=3。 试求Hale Waihona Puke Baidu许荷截[F]。
1 E 100
P
2，
当
＜1
但大于某一数值 2
a s 的压杆不能应用欧拉
b
公式，用经验公式 cr a b （中等柔度的杆）
.精品课件.
4
当 2 （小柔度杆）时，按压缩的强度计算即
cr
F A
S
.精品课件.
5
临界应力总图
cr cr=s
sA B P
O 2
1 E 100
cr=ab
（1） 尽可能使I增大；（2） 尽可能使各方向值相等。
.精品课件.
28
2、改变压杆的约束条件 细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比， 所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。
比如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中 间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。
.精品课件.
29
3、合理选择材料
D2 d2
4
l i
4l D2 d2
P 100
lmin 100
0.052 0.042 4 1.精品课件.
1.6m
13
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
l
3 4
l min
1.2m
l 4l 75 1
i
D2 d2
2
a
b
S
304 240 1.12
57
用直线公式计算
i
2
2E (l )2
2E ( ) 2
i
l
i i I
A
σ
cr
π2E λ2
F Cr A Cr
柔度（长细比） 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易
失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算
压杆的临界应力 cr 。
.精品课件.
2
二， 欧拉公式的应用范围
E=200GPa，P=200MPa，容许应力[]=160MPa。 由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax
F
A
600
300
B
C
4m
.精品课件.
21
解： 由平衡方程
N
AB
F 2
N AC
3F 2
计算出
l 2 3m AB
l 2m AC
F
A
600
300
B
C
4m
F
.精品课件.
NAB
A
NAC
22
P
E 99
A
C
2m
F B 3m
D
.精品课件.
24
解：（1） 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向 压力的关系为：
xA A
C
2m
yA
N
F
B 3m
F5N2 0 F2N 5
（2） I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9106 m4
64
64
A (D2 d 2 ) 2 (1002 802 ) 106 2.8103 m2
F
cr
A
cr
(a
b)
4
(D2
d
2)
155.5KN
.精品课件.
14
cr a b 301MFa
临界压力是
F cr cr A 478KN
活塞的工作安全因数
n
F cr
F
11.5
nst
所以满足稳定性要求。
.精品课件.
15
例题：油缸活塞直经 D = 65mm，油压 F =1.2MPa。 活塞杆长度 l =1250mm，材料为35钢，S = 20MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。
活塞杆
D
F
d
活塞
.精品课件.
16
D
F
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F D2 F 3980 N
4
.精品课件.
活塞杆
d
17
D
F
活塞
活塞杆承受的临界压力应为
F cr nst F 23900 N
把活塞的两端简化为铰支座。
.精品课件.
活塞杆
d
i I A
λ μl
i
18
用试算法求直径
（1）先由 欧拉公式 求直径
§ 9—4 欧拉公式的应用范围 • 经验公式
一、临界应力 1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 的平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。
F
cr
(
2 EI
l)2
为长度系数 l 为相当长度
.精品课件.
1
cr
Fcr A
2E (l)2
I A
2E (l)2
4
4
i
I A
2.9 106 2.8 103
0.032m
.精品课件.
25
两端铰支 =1 l 13.5 109
i 0.032
p
2E p
2 200 109
200 106
100
p ∴ 可用欧拉公式
Fcr
2EI (l)2
4.67105 N
467kN
由稳定条件 n Fcr 3 N
欧拉公式计算临界力。
2E
F cr A
A
cr
2 89.5KN
z
.精品课件.
11
例题：外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， 材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求：
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；
（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界 应力。
N Fcr 467 156kN 33
.精品课件.
26
[N] 156kN
[F ] 2 [N ] 62.4kN 5
.精品课件.
27
§ 9—6 提高压杆稳定性的措施
1.压杆的合理截面
合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。
l i I
i
A
所以在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比 较大的截面。比如空心杆等。