误差理论与数据处理知识总结

第一章绪论

1.1研究误差的意义

1.1.1研究误差的意义为：

1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差

2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据

3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。1.2误差的基本概念

1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差

1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3精度

1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2精度可分为：

1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度

2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度

3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4有效数字与数据运算

1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

1.4.3数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：

1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加一

2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变

3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。

1.4.4数据运算规则：

1）在近似数加减运算时，运算数据以小数位数最少的数据位数为准

2）在近似数乘除运算、平方或开方运算时，运算数据以有效位数最少的数据位数为准

3）在对数运算、三角函数运算时，数据有效位数应查表得到。

第二章误差的基本性质与处理

2.1随机误差

2.1.1随机误差的产生原因：1）测量装置方面的因素 2）环境方面的因素 3）人员方面的因素。

2.1.2随机误差一般具有以下几个特性：对称性，单峰性，有界性，抵偿性。

2.1.3正态分布：服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征，由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。

2.1.4算术平均值：在系列测量中，被测量的n 个测得值的代数和除以n 而得到的值称为算术平均值。 2.1.5残余误差：一般情况下，被测量的真值为未知，可用算术平均值代替被测量的真值进行计算：

x l i i -=υ , υi

为l i

的残余误差。

2.1.6算术平均值的计算校核：算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。其规则为

1）合残余误差代数和应符： 当

x n l

n

i i

=∑=1，求得的x 为非凑整的准确数时，∑=n

i i 1υ为零；

当

x n l n

i i 〉∑=1，求得的x 为凑整的非准确数时，∑=n

i i

1υ

为正，其大小为求x 是的余数；

当

x n l n

i i 〈∑=1

，求得的x 为凑整的非准确数时，∑=n

i i

1

υ

为负，其大小为求x 是的亏数。

2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，

A n

n

i i 21≤

∑=υ； 当n 为奇数时，

A n n i i ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-≤∑=5.02

1

υ。

2.1.7测量的标准差：测量的标准偏差简称为标准差，也可称之为方均根误差。

2.1.8单次测量的标准差σ是表征同一被测量的n 次测量的测得值的分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。

2.1.9在等精度测量列中单次测量的标准差按下式计算：n

n

1

i 2i

∑==

δ

σ

2.1.10贝塞尔公式：1

-n n

1

i 2i

∑==

υ

σ据此式可由残余误差求的单次测量的标准差的估计值。

2.1.11评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差1

-n 3

2n

1

i 2i

∑==

υ

ρ和平均误差1

-n 5

4n

1

i 2i

∑==

υ

θ。

2.1.12算术平均值的标准差x σ是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。

2.1.13在n 此测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的n

1

，当测量次数n

愈大时，测量精度越高。 2.1.14标准差的其他计算方法：