线性代数B-2.5 矩阵的秩+习题s(课堂PPT)
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2016(6)矩阵的秩课件
阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R ( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算含在A的前1,2,4列构成的子式
3 3 2 2 2 0 5 6 16 0. 5
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
若 A 经一次初等行变换变为 B ，则 R ( A ) R ( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) R( B ).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
i k 当A B或 A r B 时，
ri r j
在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,
因此 D r 0，从而 R( B ) r .
ˆr, D r ri krj ri k rj Dr kD ˆ r 0, 若D
ˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式 ,
R( B ) r .
ˆ r 0, 若D
则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R ( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算含在A的前1,2,4列构成的子式
3 3 2 2 2 0 5 6 16 0. 5
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
若 A 经一次初等行变换变为 B ，则 R ( A ) R ( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) R( B ).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
i k 当A B或 A r B 时，
ri r j
在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,
因此 D r 0，从而 R( B ) r .
ˆr, D r ri krj ri k rj Dr kD ˆ r 0, 若D
ˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式 ,
R( B ) r .
ˆ r 0, 若D
则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
线性代数B-2.5矩阵的秩+习题s
线性代数B-2.5 矩阵的秩+习
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
线性代数电子课件 第十三讲 矩阵的秩
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 0 0 0
R(B) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
R( A) 2, R(B) 3.
三、再论矩阵的等价标准形
一个矩阵A总可经过一系列初等变换化为
其中数r就是矩阵A的秩。
等价标准形
Er O
O O mn
r由A唯一确定，它是一个关于初等变换的不变量。
定理2.6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩
相等。
推论 两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同 的等价标准形。
2 1 0 3 2
例2
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0,
00 4
R(B) 3.
例3
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
线性代数矩阵的秩ppt课件
设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
大学课程大一数学线性代数上册14.矩阵的秩课件
或
A
2
r1r2
B
1
2
,
s
s
则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价, 由书上第127页推论
可知 A 的行向量组的秩与 B 的行向量组的秩相等.
(2) 用初等行变换化 A 为阶梯形矩阵 U;
(3) U 的行向量组的秩与 A 的行向量组的秩相同.
4
例1 求下列矩阵 A 行向量组的一个
1 2 1 0 1
(4) 阶梯形矩阵 U 的列向量组的极大无关组就是 U 中每个非
零行第一个非零元所在的列向量所组成的向量组.
3
向量组秩的求法之二
(1) 将向量组 1, 2, , s 按行排成矩阵，并作行初等变换，
例如 1
1
A
2
r2
B
2
,
0,
或
1
2
A
2
r1r2
B
1
,
s
s
s
s
1
1
其非零行的行数为 r(A), B 通过初等行变换化为阶梯形矩阵, 其非零行的行数为 r(B), 则
行 A0数为B0 r(A通)过+ 初r(B等),行故变r换 可A0以化B0 为 阶r梯(A形) 矩r阵(B,);其非零行的
9
(2) r(A+B) r(A) + r(B);
证法一 记 A = (1, 2 ,, n), B = (1, 2 , , n).
如果引入下列定义, 则可以把以上两个结论叙述的更简练.
定义1 矩阵 A = (aij)mn 中行向量组的秩称为行秩, 列向量组 的秩称为列秩.
定理1 初等变换不改变矩阵行秩和列秩.
线代课件-矩阵的秩
6
4 1
4 0
0
0
0
0
行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ．
第二步求 A 的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行
的第一個非零元，所與在之的對列應的是選取矩陣 A 的第一、
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0
1
6
1
§2.6 矩陣的秩
一、矩陣的秩的概念
定義：在 m×n 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位於這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式．
顯然，m×n 矩陣
A的
k
階子式共有
C
k m
C
k n
個．
概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、餘子式、代數餘子式
1 2 2 1 1
例：設
A
2
4
8
0
,
b
2
，求矩陣
A
及矩陣
2 4 2 3 3
3
6
0
6
4
B = (A, b) 的秩．
分析：對 B 作初等行變換變為行階梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為B ( A, b)，則 A 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
解：B
2
4
பைடு நூலகம்
8
0
2
r
~
0
0
2
矩阵的秩教学课件
当A=O时，规定R(A)=0 即：若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为 0，则 R(A) s；若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则R(A) < t.
练习：P55 29、30
例 1 求矩阵 A 的秩 R(A) ，其中 3 2 1 1
A = 1 2 3 2 4 4 2 3
解： 按定义，存在不为零的二阶子式：
123
例如，已知A= 0 1 0 1 ，因为 0 1 0 =10，
0010
001
所以R(A)=3.
12 又如 B= 0 1
00
110 R(B)=2； C= 0 1 0
001
R(C)=3.
矩阵的秩： 定义2 设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高
阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为 零，则=r
从例 1 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较高时, 按定义求秩的计算量很大.
然而对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行 的行数.
并且每个矩阵都能用行初等变换化为行阶梯
形矩阵. 问题是，初等变换是否改变矩阵的秩呢?
于是我们有下面的定理：
定理 1 矩阵 A 经初等变换后，其秩不变.
证明： 设R(A) = r，对其实施有限次的初等
1 0
3 2
一、矩阵的秩
k 阶子式： 定义1 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m, n))，
位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置 所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.
2123 例如，已知矩阵 A= 4 1 3 5 .
2012 223
选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式 4 3 5 . 212
3 2 0
练习：P55 29、30
例 1 求矩阵 A 的秩 R(A) ，其中 3 2 1 1
A = 1 2 3 2 4 4 2 3
解： 按定义，存在不为零的二阶子式：
123
例如，已知A= 0 1 0 1 ，因为 0 1 0 =10，
0010
001
所以R(A)=3.
12 又如 B= 0 1
00
110 R(B)=2； C= 0 1 0
001
R(C)=3.
矩阵的秩： 定义2 设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高
阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为 零，则=r
从例 1 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较高时, 按定义求秩的计算量很大.
然而对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行 的行数.
并且每个矩阵都能用行初等变换化为行阶梯
形矩阵. 问题是，初等变换是否改变矩阵的秩呢?
于是我们有下面的定理：
定理 1 矩阵 A 经初等变换后，其秩不变.
证明： 设R(A) = r，对其实施有限次的初等
1 0
3 2
一、矩阵的秩
k 阶子式： 定义1 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m, n))，
位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置 所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.
2123 例如，已知矩阵 A= 4 1 3 5 .
2012 223
选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式 4 3 5 . 212
3 2 0
矩阵的运算和和矩阵的秩课件
A
1 1
1 1
B
1 1
1
1
求AB
注：⑵由AB=0一般不能得到A=0或B=0.
例2.4
设
1
A
2
2
4
B
1 2
3 1
C
7 1
1
2
求AB，AC
注：⑶若AB=AC，且A≠0,则一般不能得到B=C.
矩阵乘法满足旳运算律：
§2.1 矩阵旳基本运算
1) (AB)C=A(BC) （结律合） k(AB)=(kA)B=A(kB)
（1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加旳和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘旳积，记作lA
l 0 0
lI
0
l
0
0
0
l
称为数量矩阵
§2.1 矩阵旳基本运算
称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A旳负矩阵，记为-A． 矩阵旳减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij)
12 12
300 260
44
矩阵C与A、B之间 有什么关系？
矩阵C旳第i行第j列旳元素等于矩阵A旳第i行旳元 素与矩阵B旳第j列旳相应元素乘积之和。
§2.1 矩阵旳基本运算
定义2.2 设 A=(aij) m×s ，B=(bij)s×n ，那么称
C=AB=(cij) m×n 为矩阵A与B旳乘积.其中
0
例如：A
0
0
4 0 0
0 0 2
0 1 5
0 1 8
0 0 0
A1
A2
0 0
0 0
0 0
3 0
2 0
0 9
矩阵的秩公开课一等奖课件省赛课获奖课件
性质 5 maxR( A), R(B) R( A, B) R( A) R(B)
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性质 6 R( A B) R( A) R(B)
性质 7 R( AB) minR( A), R(B)
性质 8 若 AB = O，则 R( A) R(B) n ( n 为 A 的列数或 B 的行数)
证 ( A E) (E A) 2E R( A E) R(E A) R(2E) n 其中 R(E A) R( A E)
故 R( A E) R( A E) n
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四、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的办法 ① 运用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数；
② 初等变换法
证 P, Q可逆
P, Q可表达为若干初等矩阵的乘积
又，初等变换不变化矩阵的秩， 故结论成立.
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性质 5 maxR( A), R(B) R( A, B) R( A) R(B)
证 ① A 的最高阶非零子式必定是(A,B)的非零子式，
(但不一定是最高阶非零子式) 故 R( A) R( A, B) 同理，R(B) R( A, B)
又，R( A) n 1 A至少有一个 n-1 阶非零子式 ( A 的余子式)
A*至少有一个 1 个非零元素 R( A* ) 1
结合以上两式，得 R( A* ) 1
返回 上页 下页
③ 若 R( A) n 1 ， A的 n-1 阶子式全为零 A*是零矩阵 R( A* ) 0
返回 上页 下页
将两式结合，有
R( AB) minR( A), R(B)
另外，运用下一章的知识，还可证明： 性质 8 若 Am×nBn×s = Om×s，则 R( A) R(B) n
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性质 6 R( A B) R( A) R(B)
性质 7 R( AB) minR( A), R(B)
性质 8 若 AB = O，则 R( A) R(B) n ( n 为 A 的列数或 B 的行数)
证 ( A E) (E A) 2E R( A E) R(E A) R(2E) n 其中 R(E A) R( A E)
故 R( A E) R( A E) n
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四、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的办法 ① 运用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数；
② 初等变换法
证 P, Q可逆
P, Q可表达为若干初等矩阵的乘积
又，初等变换不变化矩阵的秩， 故结论成立.
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性质 5 maxR( A), R(B) R( A, B) R( A) R(B)
证 ① A 的最高阶非零子式必定是(A,B)的非零子式，
(但不一定是最高阶非零子式) 故 R( A) R( A, B) 同理，R(B) R( A, B)
又，R( A) n 1 A至少有一个 n-1 阶非零子式 ( A 的余子式)
A*至少有一个 1 个非零元素 R( A* ) 1
结合以上两式，得 R( A* ) 1
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③ 若 R( A) n 1 ， A的 n-1 阶子式全为零 A*是零矩阵 R( A* ) 0
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将两式结合，有
R( AB) minR( A), R(B)
另外，运用下一章的知识，还可证明： 性质 8 若 Am×nBn×s = Om×s，则 R( A) R(B) n
第二十一讲 矩阵的秩课件ppt
§3.3 矩 阵 的 秩 §3.3 矩 阵 的 秩
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
()
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列初等变换
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质;
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换,
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矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换, 引 入矩 阵的行 秩的概 念, 进 而引 入列 秩 和秩的概 念,
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
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矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
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线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
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B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
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A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
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的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
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A 3
5
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r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
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1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
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0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
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说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
25矩阵的秩及习题处理
T34(4)：解： 2
3 2 2 3 令A 1 1 0 ，则 | A | 1 1 0 1 0，且： 1 2 1 1 2 1 2
A11
1 0 2 1
2 3 2 1
2 3
1, A12
4, A22
1
3
0
1 1
1, A13
T
3)当r ( A) min{ m , n}时，称矩阵 A为满秩矩阵。
注： (1) 非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有 | A | 0，
A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。
(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 观察： 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
1 已知 A 0 例1： 2 1 3 2 0, 解 0 2
1 0 3 2 1 1 , 2 1 00 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
2 2
3 2 2 1 0 , 2 3 2 , 1 3 00 0 1 5 2
§2.5 矩阵的秩
1. k 阶子式
定义 : 设A (a ij )是m n矩阵，从 A中任取 k行k列 ( k min{ m , n}), 把位于这些行和列的相 保持它们原来的相对位 矩阵 A的一个 k阶子式。
1 0 A 0 2 0 0
交处的元素，
置所构成的 k阶行列式，称为
B , A
1 - 2 A 1 BA1 1 1 ，且 A 则D 0 1 ， 1 A 0 1 - 2 3 4 1 - 2 1 1 1 A BA 0 1 2 3 0 1 2 1 ， 1 0 1 2 1 2 1 0 1 所以 A . 0 0 1 2 0 0 0 1
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P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为54的矩阵，A0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
19
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为54的矩阵，A0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1 1 1 1
4 2
2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
6
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
8
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
11
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
3 2 0 5 0 考虑由A的 1、2、4 列构成的
解A 因 2 3 1 为 6 0 2 4 3 1 6 5 1 4 3 1 .矩阵A 0 2 3 3 1 6 0 2 2 6 5 5 1 . ~ 1000 6004 1401
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n
A
a
21
a22 L
a2n
当|A|0时 r(A)n.
L L L L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
9
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
1 1 x
16
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .
1 1 x
17
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。18
任课教师:胡凤珠
1
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
2
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
3
一、矩阵的秩的概念
A2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031
可见r(A0 )＝3,
又因A0的子式
3 2 5 3 2 6 0
~ 行阶行梯变换形 矩0 0 0 1 阵 0 0 4 6 0 0 4 3 0 4 1 1 0 4 8 1 所 零以 子这式.个子式是A2 的最0 5 高阶1非2
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
7
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 4 2 1 7 2 3 5 3 1 B 0 0 0 2 0 0 3 1 0 0 0 1 0 4 2 3 0 2 5 3 . 解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
2 0 2 5
20
P21 ,2
解 ： D ( 1 ) ( 1 )1 3 5 2 ( 1 )2 3 3 0 1 ( 1 )4 3 4
1 5
a11 a12 -1 a14
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
4
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2 3 2 1 0 非 式零 全元 为为 零对. 以角3元个的非3阶零子行式的首
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
解答：可能有 .
例如
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0
0 1
0 是等于0的3阶子式. 0
10
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
5
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1km ,1kn)
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所
例5
即AB与B等价
13
例6
14
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法
寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法
把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
15
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A的 秩 .