IEEE 745浮点数标准

IEEE 745浮点数标准
解读IEEE标准754：浮点数表示
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出处。

N的实际值n由下列式子表示：
其中：
★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。

★ S(sign)表示N的符号位。

对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。

★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。

对应值e值也可正可负。

★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。

M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。

三、浮点数格式
IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。

前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。

限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。

★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。

★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。

上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则
|E|=132,e=132-127=5 。

k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。

此时m的计算公式如下图所示：
标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。

如M="101"，则
|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.625
2、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。

此时e，m 的计算都非常简单。

注意，此时小数点左侧的隐含位为0。

为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。

后文我们还会继续讨论。

有了非规格化形式，我们就可以表示0了。

把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。

非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。

3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。

此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。

五、范例
仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。

我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。

下面这张表罗列了N
可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。

说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！
这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：
★ 看 N 列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小
二进制位。

这不是偶然，正是巧妙设计的结果。

观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。

于是我们求出最大的非规格数为：
上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。

注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。

★ 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 "1+" 。

★ 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。

这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。

再继续往下看，发现增量值逐渐增大。

可见，浮点数的取值范围不是均匀的。

六、实战
我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。

测试环境：GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。

如下所示
代码:
~/coding/assemble $ gdb
(gdb) list
1 .section .data
2 f1:
3 .float 5
4 f2:
5 .float 0.1
6 .section .text
7 .global _start
8 _start:
9 nop
10
(gdb) x/f &f1
0x80490a4 <f1>: 5
(gdb) x/xw &f10x80490a4 <f1>: 0x40a00000
(gdb) x/f &f20x80490a8 <f2>: 0.100000001
(gdb) x/xw &f20x80490a8 <f2>: 0x3dcccccd
(gdb)
从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为 0x40a00000，二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 (0000)
0000)。

红色数字为E，可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ；蓝色数字为M, 且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^0 * 1.25 * 2^2 = 5，结果被验证了。

同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001，误差0.000000001由此产生了。

七、未完成
关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。

这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。

写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及做的一点贡献。

参考书目：
①: Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1
②: Randal E. Bryant, David R. O’Hallaron, Computer Systems A Programmer’s Perspective (Beta Draft), PartⅠ，Chapt.Ⅱ， 2.4
③: Rechard Blum, Professional Assembly Language
主题词：单片机数制转换器，单片机浮点数转换器
人们研制电子计算机的初衷就是为了用于科学计算。

时至今日，尽管现在单片机应用领域宽广、色彩缤纷，但复杂计算仍不可或缺的内容。

针的对定点数不能胜任复杂计算的缺点，人们在实践中约定了不同格式、不同精度的浮点数，实现了浮点运算。

因为计算机只能识别二进制数，完成二进制数的运算，所以我们所说的浮点数一般都是指二进制浮点数。

与定点数相比，浮点数能较好地兼顾表达式数值范围，能简捷地表示出很大或很小的数值。

浮点由阶码和尾数两部分组成，阶码为带符号的整数，尾数为小于1带符号的小数（如尾数的绝对值还满足大于或等于1/2，则称该浮点数为规格化浮点数）。

计算过程中主要以足够长的尾数来保证数据的精度，以阶杩来调整数模（绝对值）的大小（即改变小数点的位置），并自动进行符号处理。

因此浮点数具有精度高、数的表达范围宽等特点，特别适用于计算过程复杂、精度要求高的场合。

目前单片机常用的浮点数格式，不外乎有四种格式：三字节格式、IEEE-754标准格式、IEEE-754标准变形1和IEEE-754标准变形2，
共4种格式。

作为单片机程序员来说，在编写程序时经常要检验程序中的浮点数运算结果是否正确，但手中又没有合适的检验工具，非常麻烦。

对此我就深有体会。

为此我收集整理有关浮资料，并编写了一款非常实用的转换工具，它能辅助你编写有关浮点数运算方便的程序，尤其是有关浮点数表格的制作，更是事半功倍。

你只需将要转换的十进制定点数编制成一个文本文件，利用FON浮点数转换器“载入”，如图（2），点击一下转换按钮，顷刻间便可完成一个文件数据的转换。

也可将浮点数转换为十进制定点数，即逆转换。

FON浮点数转换器，我也在工作中使用了两年多，效果非常好，为节省了不少时间。

下面是浮点数转换器的部分截屏：
单个数据转换（图1）
多组数据转换（格式1）（图2）
多组数据转换（格式2）（图3）主要用于制作浮点数表格
多组数据逆转换（图4），此时的定点数会出现此尾数差异，并不影响精度
单片机浮点数格式说明
★ MCS-51三字节格式：
浮点数格式如下：
地址eb BY0 BY1
内容 SEEE EEEE MMMM MMMM MMMM MMMM
用三个字节表示，第一个字节的最高位为数符S，正数为0，负数为1，其余七位为阶码（二进制补码形式）；第二字节为尾数的高字节；第三字节为尾数的低字节，尾数用双字节ＢＣＤ码纯小数（原码）来表示。

例：已知 a=-123.4；b=0.7577；c=56.34；d=1.276；
用ＢＣＤ码浮点数表示时，分别为a=831234H；b=007577H；c=025634H；d=011276H。

★ MCS-51三字节浮点数规格化：
为了提高运算精度，正数的尾数最高位规定为1，负数的尾数的最高位规定为0，这种形式的浮点数为规格化数（又称浮点操作数）。

运算之前所有的浮点数都应转成规格化数。

*************************************************************
★ IEEE-754标准的格式：
一个浮点数用两个部分表示，尾数和2的幂，尾数代表浮点上的实际二进制数，2的幂代表指数，指数的保存形式是一个0到255的8位值，指数的实际值是保存值(0到255)减去127，一个范围在-127到+128
之间的值，尾数是一个24位值（代表大约7个十进制数），最高位MSB通常是1，因此省略不保存，一个符号位表示浮点数是正或负。

地址eb BY0 BY1 BY2
内容 SEEEEEEE E.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
S （第31位）代表符号（数符）位1是负，0是正；
E 偏移127的幂，二进制阶码=(EEEEEEEE)-127；
. 小数点；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。

此方法用最较少的位数实现了较高的有效位数，提高了精度。

零是一个特定值，幂是0 尾数也是0。

阶码的计算方法：
阶码采用指数的移码，阶码= 指数P+7FH
阶码（移码）eb=指数P+7FH
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）
由1位符号位、8位指数、23位有效数组成。

能表示的数据范围为：±1.2×10^(-38)~3.4×10^38，超出范围为溢出。

精度为2-24 即5.9× 10-8。

-------------------------------------------------------------
如果eb=P+7EH，那么指数P=int（Z）+1 ，
（广洲天龙AVR单片机浮点数格式定义的移码为7EH，而IEEE-754标准定义的是7FH，故我们取移码为7FH）-------------------------------------------------------------
* 在由二进制浮点数转为十进制定点数时，注意在尾数的左边有一个省略的小数点和1，这个1在浮点数的保存中经常省略,但在还原时应加上去。

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★ IEEE-754_1标准的格式：
地址eb BY0 BY1 BY2
内容 PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
Pt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；
S 代表符号（数符）位，1是负，0是正；
. 小数点在数符的右边；
E 代表幂偏移，即指数偏差；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。

阶码的计算方法：
（1）十进制整数（可带小数）：
阶码eb=指数P+7EH
其中：指数P=int（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）
（2）纯小数：
阶码eb=指数+7EH
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）
注：IEEE-754_1主要用于PIC系列单片机浮点数格式
***************************************************************
★ IEEE-754_2标准的格式：
地址eb BY0 BY1 BY2
内容 PtEEEEEEE S.MMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
Pt 代表阶符，阶符视阶的正负而定；
S 代表符号（数符）位1是负，0是正；
. 小数点在数符的右边；
E 代表幂偏移，即指数偏差；
M 24位的尾数保存在23位中，只存储23位，隐含最高位1。

阶码采用1字节移码，以80H~0FFH表示0~127，以01H~7FH表示-127~-1。

阶码的计算方法：
（1）十进制整数（可带小数）：
阶码eb=指数P+80H
其中：指数P=int（Z）+1，Z=ln（A）/ln（2）
（2）纯小数：
阶码eb=指数+80H
其中：指数P=int（Z），Z=ln（A）/ln（2）
能表示的数据范围为：5.8×10^(-39)~1.7×10^38，超出范围为溢出。

---------------------------------------------------------------
注：Pt 表示阶符，Pt=0表示阶码为正数；Pt=1表示阶码为负数
（如0.1的阶为-3，则阶码=（-3）+ 80H=7DH ）
IEEE-754_1与IEEE-754_2只是阶码字节的内容不同，而尾数的内容是相同的。

----------------------------------------------------------------
例：十进制数50.265化为32位规格化浮点数。

解 A=50.265，则Z=ln50.265/ln2，P=int(Z)+1，故P=6；
X=A/2P=50.265/26=0.785390625，将定点小数：0.785390625 转为二进制数为：
1100 1001 0000 1111 0101 1100B，取其24位，检查24位是否为1，否则，将二进制数左移，直至二进制数的最高位为1；隐含尾数整数的1，将二进制数的最高位改为数的数符位（正数为0，负数为1）。

则：0100 1001 0000 1111 0101 1100B = 49H,0FH,5CH；
而阶码eb=P+80H=6+80H=86H
二进制浮点数为：86H, 49H,0FH,5CH
****************************************************************
★ 浮点BCD码的格式：
浮点ＢＣＤ码，是以纯小数（原码）来表示。

小数点的位置由阶来确定。

[阶符.阶码]，数符.尾数（4字节），即带符号的阶码与带符号的尾数。

阶符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；
数符：正数为“+”，可隐含；负数为“-”；
阶码：根据小数点的位置来确定。

0.1-->阶符为“+”,数符为“+”，阶为00
0.01-->阶符为“-”,数符为“+”，阶为01
22.00-->阶符为“+”，数符为“+”，阶为02
-0.1-->阶符为“+”,数符为“-”，阶为00
-0.01-->阶符为“-”,数符为“-”，阶为01
-22.00-->阶符为“+”，数符为“-”，阶为02
阶-->这里所说的阶是十进制浮点数的阶,即为小数点的位置。

“+”阶小数点的位置向右移；“-”阶小数点的位置向左移。

如： [阶符.阶码]，数符.尾数
-0.012345678，浮点BCD码为：[-01]，-12345780H
0.012345678，浮点BCD码为： [-01]，12345780H
0.12345678，浮点BCD码为： [00]，12345780H
12345678，浮点BCD码为： [08]，12345780H
-12345678，浮点BCD码为： [08]，-12345780H
------------------------------------------------------------
注：在单片机编程中定义为：
阶符：正阶为00H，负阶为FFH
数符：正数为00H，负数为FFH
为了与人们的习惯相一至，在这里仍采用“+，-”号来表示。

**************************************************************
★ 浮点数错误判断及提示：
以下是IEEE-754标准所能表达数据的范围，其它标准请参照，只溢出的范围有所不同而已。

FFFFFFFH 不是一个数，提示："输入有误"
7F80000H 正无穷大正溢出，提示："正溢出"
FF80000H 负无穷大负溢出，提示："负溢出"
附注：
（1）IEEE标准是美国电子电气工程师协会定义的国际标准浮点数格式；
（2）符号-表示数据的正负，在最高有效位（MSB）。

负数的符号位为1，正数的符号位为0；
（3）有效数字-表示数据的有效数字，反映数据的精度。

有效数字一般采用规格化形式，是一个纯小数，所以也被称为尾数、小数或分数。

（4）阶码与阶之间的换算公式为：移码（阶码）=补码（阶）+偏移量；阶=移码-偏移量
其中阶又称为指数；移码又称偏移码；80H（或7FH）为偏移量。

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四种浮点数对照表
输入数据51 三字节IEEE-754 标准IEEE-754_1 IEEE-754_2
0 000000H 00000000H 0000 0000H 0000 0000H
1 018000H 3F800000H 81000000H -1 818000H 81800000H 0.5 008000H 3F000000H 80000000H -0.5 808000H 80800000H 0.1 7DCCCDH 7D4CCCCDH -0.1 FDCCCDH 7DCCCCCDH π /180 7B8EFAH 7B0EFA35H Ln
2 00B172H 80317218H 01B505H 813504F3H
E ≈ 2.7182818 02ADF8H 822DF854H
90 07B400H 87340000H 10 -10 5FDBE7H 5F5BE6FFH 10 10 229503H A21502F9H 88.02969 07B00FH 87300F34H π /2 01C910H 81490FDAH 100.25 07C880H 42C88000H 87488000H 50.265 06C90FH 84490F5CH 86490F5CH -5 83A000H C0A00000H 83A00000H -12.5 C1480000H 84C80000H -12.345 C145851EH
2004-08-07 整理。