曲线参数方程

第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
6 3t
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞 行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气 阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多 少？（精确到1m）
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
5下列在曲线
x
y
sin 2 cos
sin
(为参数)
上的点是
( B)
源自文库
A
(1 , 2
2)
B
( 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数;
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式;
500
x=100t，离地面高度y，即：
y=500-gt2/2，
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念：
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线 2
x
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一
点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t),
y
g
(t
).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点
M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t时刻，水平位移为
D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2cos 6 3 cos , y 2sin sin
cost x ,sin t y
r
r
即
x r cost
y
r
sin
t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
M0
o
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2t2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
y
2 cos 3 s in
(为 参 数,0
2
)上,若 在
曲 线 上,求
出 它 对 应 的 参 数 值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。