曲线参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程(教案)
曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。
教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。
教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。
教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。
第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。
第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。
曲线的参数方程和与普通方程的互化
例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程， 并说明点M的轨迹图形是什么？
解： 取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤：（1）消参； （2）注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是
参数方程曲线弧长公式
参数方程曲线弧长公式参数方程曲线弧长公式是研究参数方程曲线长度的重要工具，下面将从什么是参数方程曲线、弧长的概念、弧长公式的推导和应用等方面详细介绍这一重要的数学概念。
一、什么是参数方程曲线？参数方程，顾名思义，是通过一个或多个参数来描述一个曲线所在的位置以及其运行的方向和速度。
参数方程的形式如下：x = f(t)y = g(t)其中 t 这个参数可以看做时间，f(t) 和 g(t) 分别是 x 和 y轴的函数表达式。
通过不同的 t 值，可以得到参数方程中的每一个点，从而画出一条曲线，这就是参数方程曲线，也称为参数曲线或参数化曲线。
二、弧长的概念在学习参数方程曲线弧长公式之前，我们首先需要了解什么是弧长。
弧长指的是曲线的长度，也就是说，如果我们将一条曲线放在直线上拉直，那么直线的长度就是这条曲线的弧长。
三、弧长公式的推导参数方程曲线弧长的计算公式如下：L = ∫[a, b]√(x’²+y’²)dt其中，a 和 b 分别表示曲线的起点和终点，x’ 和y’ 分别表示曲线在 x 和 y 方向上的导数，即速度。
整个公式的意思是，将曲线分成许多微小的线段，每一个线段的长度为√(x’²+y’²)dt，将每个线段长度加起来即是曲线的长度。
四、弧长公式的应用弧长公式在数学、物理等领域都具有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，弧长公式可以用来计算从起点到终点的路径长度，以便对机器人实现路径规划和运动控制；在物理学中，弧长公式可以用来计算曲线电场的电势差，以及粒子在弯曲的弯道上所需的能量等问题。
总之，参数方程曲线弧长公式是一项非常重要的数学工具，具有广泛的应用领域。
掌握弧长公式的概念和计算方法，有利于我们更好地理解曲线的特性以及在实际问题中应用它。
第二讲：曲线的参数方程
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
x 1 cos
∴
参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
一、曲线的参数方程
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以 便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
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参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间 上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求 解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目 录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述
13.2 参数方程
1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的 倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然 后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换 写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点 到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二 参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方 程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等 变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离
曲线参数方程
曲线参数方程
曲线参数方程是数学中的一种表示曲线的方法，它是由参数方程得到的。
参数方程是指将一条曲线的x和y坐标都表示为一个值t的函数，这个t值称为参数。
曲线参数方程可以用于描述各种复杂的图形，它常用于物理、工程和计算机图形学等领域。
曲线参数方程的一般形式是：
x=f(t)
y=g(t)
其中，函数f(t)和g(t)都是关于参数t的函数。
通过不同的参数值t，我们可以得到曲线上的不同点坐标(x,y)。
例如，对于一个圆形，它的参数方程可以表示为：
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
其中，r为圆的半径，参数t在0～2π之间取值，表示圆上的点的位置。
类似地，对于其他的曲线形状，可以通过不同的f(t)和g(t)函数来表示。
使用曲线参数方程可以使得我们更加方便地进行坐标运算和图像变换。
同时，在一些数学问题中，例如求曲线长度、曲线与坐标轴围成面积等，使用参数方程可以更加方便地进行计算。
需要注意的是，在使用曲线参数方程时，我们需要根据实际问题确定参数t的取值范围，以确保我们得到的曲线上的点都是符合要求的。
总之，曲线参数方程是一种非常有用的数学工具，它为我们的数学和工程问题提供了方便、快捷的解决方案。
无论是从理论上还是实际应用中来看，曲线参数方程都是一种非常值得探究和研究的数学工具。
曲线的参数方程知识讲解
曲线的参数方程编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。
2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。
3. 掌握参数方程与普通方程的互化。
4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数，即()...........()x f ty g t=⎧⎨=⎩①，并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y=，叫做曲线的普通方程。
要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。
要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等. 要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2、普通方程化为参数方程（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。
直角坐标系中曲线的参数方程
参数方程的参数范围和周期性
参数t有一个特定的取值范围，表示曲线上点的运动轨迹。当 参数t超出其取值范围时，曲线上的点会重复出现。
对于具有周期性的曲线，其参数方程可能具有周期性，即当 参数t增加一个特定的值时，曲线上的点会重复出现。这种周 期性可以通过观察曲线的形状和参数t的变化规律来识别。
04
参数方程的求解方法
参数方程用于描述曲线的形状和变化 规律，通过设定参数的变化范围，可 以绘制出完整的曲线图形。
参数方程简化了曲线绘制的计算过程 ，使得绘制复杂的曲线变得相对简单 。
参数方程在解决物理问题中的应用
在物理问题中，很多物理量是随时间 变化的，参数方程可以描述这种变化 过程，帮助我们理解物理现象和规律。
例如，振动和波动的问题可以用参数 方程来描述，通过求解参数方程，可 以得到物理量的变化规律。
利用三角函数求解参数方程
总结词
利用三角函数求解参数方程是一种常见的方法，适用于参数方程中含有三角函数的情况。
详细描述
当参数方程中含有三角函数时，可以利用三角函数的性质和恒等式来求解。例如，如果 参数方程中包含正弦函数和余弦函数，可以利用三角恒等式将它们转换为单一的三角函 数形式，从而简化求解过程。此外，还可以利用三角函数的周期性和对称性等性质来简
05
参数方程的应用实例
地球的运动轨迹描述
要点一
总结词
参数方程在描述地球的运动轨迹时，可以精确地表示地球 绕太阳的椭圆轨道。
要点二
详细描述
参数方程通过引入两个参数（通常是时间和角度）来表示 地球在直角坐标系中的位置，能够精确地描述地球绕太阳 的椭圆轨道，包括地球的近日点和远日点。
摆线的参数方程表示
参数方程与直角坐标方程的转换
各种曲线PROE的参数方程
45.梅花线(圆角五星)
方程：theta = t*360 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
9.双弧外摆线 方程： l=2.5
b=2.5 x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)
10.星形线 方程：a=5
x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 11.心脏线
方程：a=10 r=a*(1+cos(theta))
theta=t*360 12.圆内螺旋线 方程：theta=t*360
r=10+10*sin(6*theta) z=2*sin(6*theta)
13.正弦线 方程：x=50*t y=10*sin(t*360) z=0
14.太阳线 (发光的太阳，见 73) 15.费马曲线（有点像螺纹线） 数学方程：r＊r = a*a*theta
方程：a = 10 b = 20
theta = t*360*3 x = a*cos(theta) y = b*sin(theta)
z=t*12 49.空间螺旋梅花线 方程：theta = t*360*4 r=10+(3*sin(theta*2.5))^2
z = t*16 50 鼓形线 方程：r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10
方程：r = 5 theta = t*1800 z =(cos(theta-90))+24*t 21.三叶线 方程：a=1
曲线的一般方程化为参数方程
曲线的一般方程化为参数方程曲线是数学中的重要概念之一，我们可以通过数学公式来表达曲线的形式。
一般来说，曲线的方程可分为两种形式：一种是直角坐标系下的方程，另一种则是参数方程。
本文将为大家介绍如何将曲线的一般方程化为参数方程。
一、什么是参数方程参数方程又叫向量函数，是用向量的方式来描述直线、曲线或曲面的方程。
参数方程通常表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x、y表示坐标，t表示参数。
通过不断改变参数t的值，我们可以得到一些点的坐标值，进而组成曲线或者图形。
二、曲线的一般方程假设我们有一条曲线，它的一般方程形式为：f(x, y) = 0其中，f表示一个函数，x、y则是曲线上的点的坐标。
一般方程最常见的例子便是圆的一般方程：x^2 + y^2 = r^2其中，r为圆的半径。
如果想将这个方程式化为参数方程，我们需要进行以下步骤：1. 通过任意曲线上的一个点P(x,y)，假设P在纵坐标上，即y≠0。
现在我们将P点移动到原点O，即平移(-x, -y)。
2. 在新的坐标系下，求出曲线上一点(x1, y1)和原点O的连线与x轴正方向的夹角θ。
这里我们可以通过三角函数求出：θ = arctan(y1 / x1)3. 我们可以将曲线分为若干小部分，每一部分的长为ds，曲线上的点距离P点的距离为s。
4. 我们假设P点到曲线上的每一个点的距离为t，即t = s = ∫ds5. 最后，我们得到的参数方程为：x = tcos(θ) + xy = tsin(θ) + y至此，我们已经将曲线的一般方程化为了参数方程。
在实际的应用中，参数方程可以更加灵活地展现出曲线的形态，为我们的研究提供更多的参考。
总结：本文介绍了如何将曲线的一般方程化为参数方程，主要包括寻找曲线上的一点，求出曲线上任意一点和原点的夹角以及计算曲线长度的几个步骤。
通过这些步骤，我们可以将曲线更加方便地描述出来，并展现出更加精美的形式。
笛卡尔曲线参数方程
笛卡尔曲线参数方程笛卡尔曲线参数方程是描述平面上曲线的一种数学表达方法。
它是由法国数学家笛卡尔在17世纪提出的，通过参数方程的形式，可以准确地描述曲线上每个点的坐标。
这种表达方式在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
在笛卡尔曲线参数方程中，曲线上的每个点都可以表示为关于参数的函数。
一般来说，我们可以用两个参数来表示平面上的点，即x 和y坐标。
笛卡尔曲线参数方程的一般形式为：x=f(t)y=g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过调整参数t的取值范围，我们可以绘制出曲线上的所有点。
这样的参数方程可以描述各种各样的曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
笛卡尔曲线参数方程的优点在于可以灵活地描述各种复杂的曲线形状。
相比于用解析方程或隐式方程来描述曲线，参数方程更加直观和易于处理。
例如，对于一个圆形，我们可以用参数方程x=r* cos(t)，y=r*sin(t)来描述，其中r是半径，t是参数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出整个圆形。
笛卡尔曲线参数方程在计算机图形学和计算机辅助设计等领域也有广泛的应用。
在这些领域中，我们常常需要用计算机来生成各种复杂的曲线形状。
通过使用参数方程，我们可以利用计算机的计算能力来生成曲线上的大量点，从而实现曲线的绘制和渲染。
此外，笛卡尔曲线参数方程还可以方便地描述曲线上的一些特殊点，比如曲线的拐点、极值点等。
通过求导和求导数等数学方法，我们可以求得参数方程对应的曲线的斜率和曲率等特征值，从而对曲线进行进一步的分析和研究。
总的来说，笛卡尔曲线参数方程是一种重要的数学工具，它可以用来描述平面上各种复杂的曲线形状。
通过调整参数的取值范围，我们可以绘制出曲线上的所有点，从而实现曲线的绘制和渲染。
在计算机图形学和计算机辅助设计等领域，参数方程被广泛应用于曲线的生成和处理。
通过对参数方程的分析，我们可以进一步了解曲线的特性和性质。
因此，研究和应用笛卡尔曲线参数方程具有重要的理论和实际意义。
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
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（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
参数方程
17 参数方程知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数．2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)． 要点整合1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法．题型一．参数方程化为普通方程(或极坐标方程)例1.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.消去参数的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．变式：在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π3＝33，θ2＝π3，得ρ2＝3，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2.题型二．直线的参数方程中参数几何意义的应用例2.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] (1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )， ∴a ＝1.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2； ②弦M 1M 2的中点⇔t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ④1|M 0M 1|＋1|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|. 其中：|t 1|＋|t 2|＝（|t 1|＋|t 2|）2 ＝（t 1＋t 2）2－2t 1t 2＋2|t 1t 2|.变式：已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值与|AB |.解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－53，t 1t 2＝18.所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18， |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝（－53）2－4×18＝3， 所以|MA |·|MB |＝18，|AB |＝ 3.题型三．极坐标方程与参数方程的综合应用例3.(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时点P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.求参数方程中最值问题的三个策略(1)曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；(2)当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；(3)利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．变式： 以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，椭圆C ：x 216＋y 24＝1.(1)求点M 的直角坐标与曲线C 的参数方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点，P 是C 上的一个动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2得cos θ＝255，sin θ＝55，又ρ＝5，∴x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝1，∴点M 的直角坐标为(2，1)．将a ＝4，b ＝2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos βy ＝b sin β可得椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos βy ＝2sin β(β为参数)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.∵M (2，1)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，代入上式可得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线l 的斜率k ＝－12.∴直线l 的普通方程为y ＝－12x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2x 216＋y 24＝1，解得A (0，2)，B (4，0)，∴|AB |＝25， 过椭圆C 上的动点P 作直线l 1∥l ，则当l 1与椭圆C 相切时可求点P 到直线l 的最大值． 设l 1的方程为：y ＝－12x ＋m ，代入x 216＋y 24＝1整理得2x 2－4mx ＋4m 2－16＝0，由Δ＝16m 2－8(4m 2－16)＝0，解得m ＝±2 2.显然当m ＝－22，P (－22，－2)时，点P 到直线l 距离最大为d ＝4（2＋1）5，从而(S △P AB )最大＝12|AB |·d ＝12×25×4（2＋1）5＝4(2＋1)．【真题演练】1.在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）． （1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），化为标准方程是：1922=+y x ； a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0；联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0341922y x y x ， 解得⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25242521y x ，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和)2524,2521(-．（2）l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =17=17，φ满足tan φ=43， 又d 的最大值d max =17，所以|5sin （θ+φ）-a -4|的最大值为17， 得：5-a -4=17或-5-a -4=-17， 即a =-16或a =8．2.在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为），（32π，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值答案：解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x =4， 设P （x ，y ），M （4，y 0），则x 4=y y 0，∴y 0=4yx ，∵|OM||OP|=16，∴ x 2+y 2 02=16， 即（x 2+y 2）（1+y 2x ）=16，∴x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即（x 2+y 2）2=16x 2，两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：（x -2）2+y 2=4（x ≠0），∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（x -2）2+y 2=4（x ≠0）．（2）点A 的直角坐标为A （1， ，显然点A 在曲线C 2上，|OA|=2， ∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d = 4−1= 3， ∴△AOB 的最大面积S=12|OA|•（2+ 3）=2+ 3．3.在直角坐标系x O y 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=kty tx 2，（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k m y m x 2，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：02)sin (cos =-+θθρ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．答案：解：（1）∵直线l 1的参数方程为 y =kt x =2+t，（t 为参数）， ∴消掉参数t 得：直线l 1的普通方程为：y =k （x -2）①； 又直线l 2的参数方程为 y =m kx =−2+m，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x =-2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2-y 2=4，即C 的普通方程为x 2-y 2=4； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）- 2=0， ∴其普通方程为：x +y - ，联立 x 2−y 2=4x +y = 2得： y =− 22x =3 2，∴ρ2=x 2+y 2=184+24=5．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ= 5．。
参数方程
参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).3．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．考点一 参数方程与普通方程的互化[典例] 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． [解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin 2θ＋cos 2θ＝1等)．[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解． [题组训练]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)． 解：(1)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ，所以(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.(2)因为曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，①②由y ＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y 2＝2x .2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ， 则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ.所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．考点二 参数方程的应用[典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P (m,0)的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝2，求实数m 的值． [解] (1)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x ＝3y ＋m ，即x －3y －m ＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即x 2－2x ＋y 2＝0.(2)把⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t代入x 2－2x ＋y 2＝0，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0. 由Δ>0，得－1<m <3.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝m 2－2m .因为|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝2，所以m 2－2m ＝±2， 解得m ＝1±3.因为－1<m <3，所以m ＝1±3. [解题技法]1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．[题组训练]1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22，当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z)，α＝－5π6＋2k π(k ∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，直线l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t (t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．[解] (1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，则点A ，B 的极坐标分别为(2，π＋2k π)(k ∈Z)，⎝⎛⎭⎫2，π2＋2k π(k ∈Z)． 设点P 的坐标为(－5＋2cos α，3＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1，即α＋π4＝2k π(k ∈Z)，α＝－π4＋2k π(k ∈Z)时，点P 到直线l 的距离取得最小值，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22， 所以△P AB 面积的最小值S ＝12×d min ×|AB |＝12×22×22＝4.[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[题组训练]1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x 2＋y 2－4x ＋3＝0， 所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α，y ＝sin α，所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．(2)因为C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， 所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0，因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点， 所以圆心到直线的距离为d ＝|4－0－3|22＋(－23)2＝14，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152. 2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos φ，y ＝3＋t sin φ⎝⎛⎭⎫t 为参数，φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．解：(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，圆的半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，(2＋t cos φ)2＋(3＋t sin φ)2－2(2＋t cos φ)－23(3＋t sin φ)＝0， 整理得，t 2＋2t cos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3，∴|MN |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12. ∵φ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，∴cos φ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴|MN |∈[13，4]． 故弦长|MN |的取值范围为[13，4]．[课时跟踪检测]1．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.解：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)的普通方程为y ＝x tan α.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 由于直线与圆相切，则|4tan α|1＋tan 2α＝2，即tan 2α＝13，解得tan α＝±33，由于α∈[0，π)，故α＝π6或5π6.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)由(1)知点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．4．(2019·长春质检)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t 1t 2＝－7， 又|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，∴|P A |·|PB |＝7.5．(2018·南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.6．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.7．(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2， 3 ]， 当m ＋3＜0时，m ＋3＝－4，即m ＝－4－ 3.当m －2＞0时，m －2＝4，即m ＝6.当m ＋3≥0，m －2≤0，即－3≤m ≤2时，d min ＝0，不合题意，舍去． 综上，m ＝－4－3或m ＝6.8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π3时，|AB |的值； (2)已知点P (1,0)，求当直线l 的倾斜角θ变化时，|P A |·|PB |的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 23＋y 2＝1. 当θ＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝32t (t 为参数)，将l 的参数方程代入x 23＋y 2＝1，得5t 2＋2t －4＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－25，t 1t 2＝－45， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2215. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入x 23＋y 2＝1， 得(1＋2sin 2θ)t 2＋2t cos θ－2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 3，t 4，则t 3t 4＝－21＋2sin 2θ， 则|P A |·|PB |＝－t 3t 4＝21＋2sin 2θ. 又0≤sin 2θ≤1，所以23≤|P A |·|PB |≤2， 所以|P A |·|PB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，2.。
参数方程与曲线的方程
参数方程在解 决实际问题中 有着广泛的应 用，例如物理 学、工程学和
经济学等。
参数方程的一般形式为 x=f(t), y=g(t)，其中 t 为参数。 参数方程中，参数 t 的取值范围会影响曲线的形状和范围。 参数方程可以用来表示复杂的曲线或运动轨迹，使得描述更加直观和方便。 参数方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
应用场景：常用于 描述和分析平面曲 线，如物理运动轨 迹、金融图表等。
注意事项：在应用曲线 方程时，需要注意参数 的选择和计算，以确保 准确性和可靠性。
参数方程与曲线的 方程的联系与区别
参数方程和曲线的方程都是描述曲线 的方法，但参数方程更注重曲线上点 的坐标与参数的关系，而曲线的方程 更注重曲线的几何性质。
工程问题：在机械、建筑、航空等领域中，曲线方程可以用来描述各种工程结构的形状和运动轨迹
经济问题：在金融、经济等领域中，曲线方程可以用来描述各种经济现象和预测未来趋势，如供需关系曲线、经 济增长曲线等
优点：能够清晰地 表达曲线的形状和 变化趋势，方便分 析和预测。
缺点：对于复杂曲 线的表示可能不够 精确，需要更多的 参数和计算。
直角坐标方程：表示曲线上任意一点的x、y坐标之间的关系 参数方程：表示曲线上任意一点在平面上的位置，通过参数来表示 极坐标方程：表示曲线上任意一点的距离和角度之间的关系 球面坐标方程：表示曲线上任意一点在球面上的位置，通过球面坐标来表示
物理问题：描述物体运动轨迹，如行星轨道、抛物线等
数学问题：解决几何、代数等数学问题，如求圆的面积、求解函数极值等
参数方程和曲线的方程在某些情况 下可以相互转化，例如极坐标方程 和直角坐标方程之间的转化。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t时刻，水平位移为
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
M0
o
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
x=100t=1000, t=10,
y=gt2/2=10×102/2=500m.
练习
1、曲线
x y
1 t 4t
2
(t为 参 数 ）与x轴的交点坐标是(
3
B
)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(±25/16, 0)
2、方程
x y
sin cos
(为 参 数)所表示的曲线上一点的坐标是(
cost x ,sin t y
r
r
即
x r cost
r
sin
t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
(为参数)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
参数是联系变数x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
x 3t
例1:
已知曲线C的参数方程是
y
2t2
1（为参数）
(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所
y
2 cos 3 s in
(为 参 数,0
2
)上,若 在
曲 线 上,求
出 它 对 应 的 参 数 值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
以M1在曲线上．
5 3t
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
4
2t 2
1
这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．
6 3t
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以a 2t 2 1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞 行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气 阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多 少？（精确到1m）
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一
点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
x f (t),
y
g
(t
).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点
M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。
D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)
3
已知曲线C的参数方程是
x y
1 at 2
2t
(t为
参
数
，a
R)点M(5,4)
该曲线上. (1)求常数a; （2）求曲线C的普通方程
(1)由题意可知: 1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；
(2)t x 1 代入第二个方程得: y=(x-1)2/4 2
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2cos 6 3 cos , y 2sin sin
4 动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度 分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参 数方程.
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2
12t
5、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线 2
x
500
x=100t，离地面高度y，即：
y=500-gt2/2，
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.
物资落地时，应有y=0，
o
x
即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s， 得x≈10.10m；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
参数方程的概念：
第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
5下列在曲线
x
y
sin 2 cos
sin
(为参数)
上的点是
( B)
A
(1 , 2
2)
B
( 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数;
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式;
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。