概率论与数理统计模拟试题

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概率论与数理统计模拟试题&参考答案

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练习题一一、填空题。

1、已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6,则当A 、B 互不相容时,P(B)=___________,而当A 、B 相互独立时,P(B)=__________。

2、已知X ~),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________,X 的最可能值为__________。

3、若)(~λP X ,则=EX ,=DX 。

4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为:则η的边缘分布_____________,ξ,η是否独立?_____________(填独立或不独立)。

5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本,则样本均值11()n X X X n=++ 服从__________。

6、设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,则这件产品为次品的概率为 。

7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x xx x x ϕ+≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它,则E ξ=__________。

二、判断题。

1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ,它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。

( )2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本,S 是样本方差,则222(1)~()n Sn χσ-。

( )3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。

( )4、已知θ 是θ的无偏估计,则2θ 一定是2θ的无偏估计。

( )5、在5把钥匙中,有2把能打开门,现逐把试开,则第3把能打开门的概率为0.4。

( )三、选择题。

1、某元件寿命ξ服从参数为λ(11000λ-=小时)的指数分布。

3个这样的元件使用1000小时后,都没有损坏的概率是 (A )1e -; (B )3e -(C )31e --(D )13e -2、设X 的分布函数为)(x F ,则13+=X Y 的分布函数()y G 为(A )()3131-y F (B )()13+y F (C )1)(3+y F (D )⎪⎭⎫⎝⎛-3131y F3、设随机变量(3,4)N ξ ,且()()P c P c ξξ≤=>,则c 的取值为() (A )0; (B )3; (C )-3; (D )24、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是()。

概率论与数理统计模拟题训练

概率论与数理统计模拟题训练

X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本,求θ 的最大似然估计量。
四、应用题 1.一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,
它取 1 元,2 元,3 元,各个值的概率别为 0.3, 0.4, 0.3 ,某天售出 250 只蛋糕,试用中心极限定理求这天
(B) T = X − µ S2 / n
5.在假设检验问题中,检验水平α 的意义是(
(C) T = X − µ S3 / n

(D) T = X − µ S4 / n
(A) 原假设 H0 成立,经检验被拒绝的概率;
(B) 原假设 H0 成立,经检验不能被拒绝的概率;
(C) 原假设 H0 不成立,经检验被拒绝的概率; (D) 原假设 H0 不成立,经检验不能被拒绝的概率;
P{X

500}
=1−
P{X
<
500}
=1−
⎧ P⎨
X

500
<
500

500 ⎫ ⎬
⎩ 150
150 ⎭
=
1−
P
⎧ ⎨
X

500
<
⎫ 0⎬
=
1−
Φ(0)
=
0.5
⎩ 150 ⎭
2.
解: X
~
σ2 N (66.5, )
n
,设 H 0 : X = 70 , H1 : X ≠ 70 ,

T
=
X S

µ
~
t(n
10、10 个乒乓球中有 6 个新球,4 个旧球,从中任取两个,已知所取的两个球中有一个是旧球,则另一个

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题(1)一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。

正确打“√”,错误打“×”)⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( )⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( )二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生;(2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。

三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差.六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<,的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题(1)评分标准一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。

概率论与数理统计 模拟试题

概率论与数理统计 模拟试题

. . . .概率论与数理统计 模拟试题一考试类别:闭 考试时量:120 分钟一.填空题(每空2分,共32分):1.设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P .2.若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .3.已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P .4.从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .5.若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6.随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7.设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8.设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,s i n 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9.一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10.设),(Y X 的联合分布列为则Z 的分布列为 .11.若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二.选择题(每题3分,共12分):1.设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3.设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) A.⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4.设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u >三.某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四.箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五.设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 其它求: 1)常数c ; 2))241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六.在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列.七.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本:()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()0,+∞,试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)概率论与数理统计一 2. )1,0(N 3. 0.8 0.255. ⎩⎨⎧-≤≤-,011,1ππy 6. 0.35 8. 1 0.5 9. )61,10(B10. 2/911. 2 选择题 A C B A 解: 设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产%40)(%,35)32==A P A ;Y p Z p其它%5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 2分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,6分从而由贝叶斯公式, 36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 9分四. 解: 由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815=⋅=====C C C C X P C C X P 561)4(,565)3(1515383316152823=⋅===⋅==C C C C X P C C C C X P . 7分 )3()2())3()2(()31(=+===⋃==≤<∴X P X P X X P X P . 1455655615=+=. 9分五.解: 1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 有6|3122|21110310210210210102c y c dy y c dy x cy dxdy cxy =⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰, 6=∴c ; 4分2)⎰⎰⎰⎰==<<<<21412141012026),()241,210(dydxxy dydx y x f Y X P=25663)411(2|31630130214121=-=⋅⎰⎰dx x dx y x ; 8分3)dxdy y x f Y X P X P ⎰⎰+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>43),(),43()43(1672|3166111103102434343==⋅==⎰⎰⎰⎰dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)⎰⎰⎰⎰⎰⋅===>>1031002|3166),()(dx y x dydx xy dxdy y x f Y X P xxy x52214==⎰dx x . 16分六.解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为,2215)0,0(11119112110=⋅===C C C C Y X P 335)1,0(11112112110=⋅===C C C C Y X P ,,335)0,1(11111011212=⋅===C C C C Y X P .661)1,1(1111111212=⋅===C C C C Y X P 6分七.解:似然函数()()1212121,,,;,;,nn i i L x x x f x θθθθ=⋅⋅⋅=∏()[)()12111,21min ni i x i neI x θθθθ=--+∞∑=(4分)要使()1212,,,;,n L x x x θθ⋅⋅⋅最大,必须min i x 1θ≥且()11ni i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值为1θ=min i x . (8分) 而2θ的最大似然估计值是使2121nL eλθθ-=取最大值的点. 此处()11ni i x λθ==-∑. (12分)故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x -最大似然估计量为1ˆθ=min i X , 2ˆθ=min i X X -. (16分)概率论与数理统计 模拟试题二考试类别:闭卷 考试时量:120分钟 试卷类型: A 卷一.填空题(每空2分,共40分)1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5.设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6.已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ,则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P .9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P .13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P .15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( )①. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( )①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( )①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f其它求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)5.设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本,X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他, 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

江西理工大学概率论与数理统计考试模拟试题

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江西理工大学概率论与数理统计考试模拟试题第一部分:选择题1. 某班级有60名学生,其中30人喜欢蓝色,25人喜欢红色,20人既喜欢蓝色又喜欢红色。

则该班级中至少喜欢蓝色或红色的学生人数是多少?A. 35人B. 45人C. 50人D. 55人2. 随机变量X服从均匀分布U(4, 8),则P(X ≤ 5)的值是多少?A. 1/2B. 1/4C. 3/8D. 1/83. 一批共100件产品,其中有10件次品。

从中任取两件进行检验,设X为两件中次品的件数,X服从的概率分布是:A. 二项分布B(2, 0.1)B. 二项分布B(2, 0.9)C. 泊松分布P(10)D. 正态分布N(2, 10)4. 已知随机变量X的概率密度函数为f(x) = { kx, 0 < x < 1; 0, 其他若P(X < 0.25) = 0.0625,则常数k的值是多少?A. 1B. 4C. 8D. 165. 设二维随机变量(X, Y)服从联合概率密度函数f(x, y) = { c(x^2 +y^2), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; 0, 其他则常数c的值是多少?A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 1第二部分:计算题1. 设A,B是两个相互独立的事件,已知P(A) = 0.4,P(B) = 0.6,请计算P(A ∪ B)。

2. 设X为随机变量,服从正态分布N(48, 16^2),求P(44 ≤ X ≤ 52)。

3. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = { cx^2, 0 < x < 2; 0, 其他请计算常数c的值。

4. 一批钢筋的长度服从均值为10cm,标准差为0.2cm的正态分布。

若随机抽取10根钢筋,求其平均长度大于10.1cm的概率。

5. 已知随机变量X和Y相互独立,X为正态分布N(4, 1),Y为正态分布N(5, 4)。

求X + Y的概率密度函数。

第三部分:证明题证明:二项分布的期望值和方差分别为np和npq,其中p为成功概率,q为失败概率,n为试验次数。

概率论与数理统计模拟试题

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选择题1.设h⑴,卩2。

)为两个分布函数,苴相应的概率密度/i(X),/2(尤〕是连续函数,则必为概率密度的是(D)A /1U)/2WB 2f2W F lWD fiMF2W + /2(尤)耳002.设随机变量X飞(0,1), Y~N (1,4)且相关系数二1,则(D)A P(Y=-2X-1)=1B P(Y=2X-1)=1C P(Y=-2X+1)=1D P(Y=2X+1)=13.已知概率论的期末考试成绩服从正态分布,从这个总体中随机抽取n二36的样本,并计算得英平均分为79,标准差为9,那么下列成绩不在这次考试中全体考生成绩均值卩的的宜信区间之内的有(),并且当置信度增大时,置信区间长度()。

已知:Z005 = 1.645,减小,减小,增大,增大答案:D解析:由题知,cr=9, n=36, X =79当 & 二时,1-—=2所以Z% 二Z。

®二—(J9X- — S =79 _ -— xl.645 = 76.5325yjn 亠J36—c9X+ —Za/9 =79 +^=x 1.645 =81.4675yjn〜J36即卩的的置信区间为(,)且当u的置信度1-a增大时,置信区间的长度也增大。

故,答案为D.4・下列选项中可以正确表示为分布函数F(x)或连续性随机变量的概率密度函数f(x)的是答案:B.解析:考点1.分布函数要满足右连续。

A 不满足右连续考点2.连续性随机变量的概率密度函数的X 范I 期为(-8,*0),且在这个范|刑上积分和为.为,D 为(-1)。

故C, D 错误5.设随机变MX,r 服从正态分布N(—1,2),“(1,2),并且X, Y 不相关,aX + Y 与X +bY 亦不相关,则().(A) a — b = 1(B) a —b = 0 (C) a + b = 1 (D) a+b = 0应选(D).解 X~N(—1,2),厂N(l,2),于是D (X )= 2,D (K )=2. 又 Cov(X,Y) = 0.Cov(aX + Y^X+bY) = 0. 由协方差的性质有Cov(aX + Y,X +aY)=aCov(X, X) + Cov(Y, X) + abCov(X, Y) + bCov(Y 、Y) = aD(X)+bD(Y) = 2a + 2b =0故a + b = 0•故选(D)・&设X 为禽散性随机变量,且p = P[X=ad(i = l,2……),则X 的期望EX 存在的充分 条件是()0,x <0 0,x<0-,0 < x < 2A. F(x) = 33—,2 < x<5 4 B. F(x)=l,x> 57tx.— < x< 1 4 l,x>lC. f(x) = <,x>0 0,x<0D ・ f(x)=sinsK 竺20,其它limmslim n t s答案:D解析:EX 存在o 习伽|/川收敛,所以是EX 存在的必要条件并不一泄是充分条件.而Bn=l不能保证收敛,因而正确选项是D期望和级数知识的综合考察。

哈工大--最全版本--概率论模拟试题

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概率论与数理统计模拟试题(一)一、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分)1.设事件,,A B C 两两独立,且ABC φ=,1()()()2P A P B P C ==<, 9()16P A B C =,则()P A = . 2.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等. 则()P A = .3.设随机变量~(1,1)X -,则X Y e =的概率密度为()Y f y = .4.设随机变量[]~0,6X U ,1~12,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭,且X 与Y 相互独立,则根据切比雪夫不等式有:(33)P X Y X -<<+≥__________.5.总体22~(,),0.04X N μσσ=抽取容量为16的样本,测得均值1.416,若μ的置信区间是(1.4160.098,1.4160.098)-+,则置信度_________. 二、选择题(每小题3分,共5小题,满分15分)(每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项的字母填在题后 的括号内)1.设,,A B C 是三个独立的随机事件且0()1P C <<. 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ) (A )AB 与C ; (B )BC 与C ; (C )A B -与C ; (D )AB 与C .2.设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+,则2Y X =的概率密度为( ) (A )21(14)y π+; (B )21(4)y π+; (C )22(4)y π+; (D )22(1)y π+.3.如下四个函数中不是随机变量分布函数的是( )(A )21,0()1,02x F x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ (B )0,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(C )()(),x F x f t dt -∞=⎰其中()1f t dt ∞-∞=⎰(D )0,0()1,0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4.随机变量7~(1,1),X U Y X -=,则( )(A )X 与Y 不相关,不独立 (B )X 与Y 相关,不独立 (C )X 与Y 不相关,独立 (D )X 与Y 相关,独立 5.设1,,n X X 是总体X 的样本,2,EX DX μσ==,X 是样本均值,2S 是样本方差,则( )(A )21(,)XN nμσ; (B )2S 与X 独立;(C )2S 是2σ的无偏估计; (D )222(1)(1)n S n χσ--. 三、(10分)某炮台上有三门炮,假定第一门炮的命中率为0.4,第二门炮的命中率为0.3,第三门炮的命中率为0.5,今三门炮向同一目标各射一发炮弹. 结果有两弹中靶,求第一门炮中靶的概率?四、(10分)某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度为,0()0,0t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩设各周的需求量是相互独立的,试求两周需求量的概率密度.五、(10分)设随机变量X 的密度函数1,203(),10,x f x A x B ⎧-<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎩其他,分布函数()F x 在2x =处的值5(2)6F =,求(1),A B . (2)若||Y X =,求,X Y 联合分布函数(,)F x y 在(2,3)处的值.六、(14分)总体X密度函数2232,(1,) ()(1)0,xf x xθθθ⎧∈⎪=-⎨⎪⎩其他抽取简单随机样本1,,nX X,求θ的矩估计和最大似然估计.七、(6分)证明若2~()X n χ,则,2EX n DX n ==.概率论与数理统计模拟试题(二)一、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分) 1.已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======,则,,A B C 都不发生概率为 .2.随机变量2~(),12X P EX λ=,则(1)P X ≥= .3.随机变量X 的密度函数为1,0121(),1340,x f x x ⎧<<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他,则12Y X =-的密度函数()Y f y =__________.4.设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤<⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.则方差DX = . 5.已知一批零件的长度(,1)XN μ,从中随机地抽取16个零件,得样本均值40x =,则μ的置信度0.95的置信区间为__________.二、选择题(每小题3分,共5小题,满分15分)(每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项的字母填在题后 的括号内)1.设,,A B C 三个事件两两独立,则,,A B C 相互独立的充分必要条件是( ) (A )A 与BC 独立; (B )AB 与A C 独立;(C )AB 与AC 独立; (D )AB 与AC 独立.2.下列四个函数中,能成为随机变量密度函数的是 (A )||()x f x e-= (B )21()(1)f x x π=+(C)22,0()00xx f x x -⎧≥=<⎩, (D )1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩3.随机变量,X Y 独立同分布,11~(,),(1)22X N P X Y μ+≤=,则μ= .(A )1- (B )0 (C )12(D )14.将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正、反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A )1; (B )1-; (C )0; (D )21. 5.设12,,,n X X X 是来自具有2()n χ分布的总体的样本,X 为样本均值,则EX和DX 的值为( )(A )EX n =,2DX =; (B ),2EX n DX n ==; (C )1,2EX DX ==; (D )1,EX DX n n==. 三、(10分)设一批晶体管的次品率为0.01,今从这批晶体管中抽取4个,求其中恰有1 个次品和恰有2个次品的概率?四、(10分)(,)X Y 的密度2,0(,)(0)0,x e y xf x y λλλ-⎧<<=>⎨⎩其他求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z .五、(10分)随机变量01015~,~,131384444X Y EXY ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求(1)(1)P X Y +≤; (2)max(,)E X Y .六、(6分)在射击比赛中,每人射击三次(每次一发),约定全部不中得0分,只中一弹得5分,中二弹得10分,中三弹得20分。

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)

《概率论与数理统计》试题(1)一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。

正确打“√”,错误打“×”)⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( )⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( )二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生;(2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。

三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差.六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<,的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题(1)评分标准一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。

概率论与数理统计模拟题

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《概率论与数理统计》模拟题一.单选题1.对于事件A,B,下列命题正确的是( D ).A.若A,B 互不相容,则A 与B ̅也互不相容.B.若A,B 相容,那么A 与B̅也相容. C.若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立. D.若A,B 相互独立,那么A 与B ̅也相互独立.2.在一次假设检验中,下列说法正确的是( A ). A.既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B.如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C.增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D.如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误3.对总体X~N(μ,σ²)的均值和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间( D ).A.平均含总体95%的值B.平均含样本95%的值C.有95%的机会含样本的值D.有95%的机会的机会含μ的值4.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是( C ). A.在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B.在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C.在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D.在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率5.在一次假设检验中,下列说法正确的是( C ). A.第一类错误和第二类错误同时都要犯B.如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C.增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D.如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误6.设θ 是未知参数θ的一个估计量,若θθ≠ E 则θ是θ的( B ).A.极大似然估计B.矩法估计C.相合估计D.有偏估计7.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用( B ).A.t 检验法B.u 检验法C.F 检验法D.σ2检验法8.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有( D ).A.样本值与样本容量B.显著性水平C.检验统计量D.A,B,C 同时成立9.对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受H0:μ=μ0,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是( A ).A.必须接受H0B.可能接受,也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.不接受,也不拒绝H010.设A 和B 为两个任意事件,且A ⊂B ,P(B)>0,则必有( B ).A.P (A )<P (A |B )B.P (A )≤P (A |B )C.P (A )>(A |B )D.P (A )≥P (A |B )11.已知P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(B|A)=0.5,则P(A|B)=( B ).A.1/2B.1/3C.10/3D.1/512.甲.乙两人独立的对同一目标各射击一次,其中命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是乙命中的概率是( C ).A.3/5B.5/11C.5/8 B.6/1113.设A 和B 为两个任意事件,则下列关系成立的是( C ).A.(A ∪B )−B =AB.(A ∪B )−B ⊃AC.(A ∪B )−B ⊂AD.(A −B )∪B =A14.设A 和B 为两个任意事件,且A ⊂B ,则必有( D ).A.P (A )<P(AB)B.P (A )≤P(AB)C.P (A )>P(AB)D.P (A )≥P(AB)15.设每次实验成功的概率为p(0<p<1)则在三次独立重复试验中至少一次成功的概率为( B ).A.p 3B.1-p 3C.(1-p)3D.1-(1-p)316.某人射击时,中靶的概率为2/3,如果射击直到中靶子为止,则射击次数为3的概率( A ). A. 2/27 B.2/9 C.8/27 D.1/2717.设随机事件A 和B 满足P (B |A )=1,则( C ).A.为必然事件B.P (B |A )=0C.B ⊂AD.B ⊃A18.设一随机变量X 的密度函数φ(−x )=φ(x ),F(x)是X的分布函数,则对任意实数a 有( B ). A.F (−a )=1−∫φ(x )a0dx B.F (−a )=12−∫φ(x )a0dx C.F (−a )=1−F(a) D.F (−a )=2F (a )−119.变量X 的密度函数为f (x )={Cx 30<x <10其它,则常数C=( B ).A.3B.4C.1/4D.1/320.设X和Y相互独立,且分别服从N(0,1)和N(1,1)则( B ).A.P{X+Y≤0}=12B.P{X+Y≤1}=12C.P{X−Y≤0}=12D.P{X−Y≤1}=1221.设X和Y独立同分布,且P{X=1}=P{Y=1}=12,P{X=−1}=P{Y=−1}=12,则下列各式成立的是( A ).A.P{X=Y}=12B.P{X=Y}=1 C.P{X+Y=0}=14D.P{XY=1}=1422.总体方差D等于( C ).A.1n ∑(X i−X̅)2ni=1B.1n−1∑(X i−X̅)2ni=1C.1n∑X i2−(EX)2ni=1D.1n−1∑(X i−EX)2ni=123.设随机变量X~N(μ,σ²),则随着σ的增大,概率P{|X−μ|<σ}为( C ).A.单调增加B.单调减少C.保持不变D.增减不定24.设随机变量X和Y均服从正态分布X~N(μ,4²),Y~N(μ,5²),记p1=P{X<μ−4},p2= P{Y≥μ+5},则( A ).A.对任何实数μ都有p1=p2B.对任何实数μ都有p1<p2C.仅对个别值有p1=p2D.对任何实数μ都有p1>p225.设X1,X2,…,X n为来自总体的一个样本,X̅为样本均值,EX未知,则总体方差DX的无偏估计量为( B ).A.1n ∑(X i−X̅)2ni=1B.1n−1∑(X i−X̅)2ni=1C.1n ∑(X i−EX)2ni=1D.1n−1∑(X i−EX)2ni=126.设总体X~f(x,θ),θ为未知参数,X1,X2,…,X n为X的一个样本,θ1(X1,X2,…,X n).θ2(X1,X2,…,X n)为两个通缉量(θ1,θ2)为θ的置信度为1-α的置信区间,则应有( C ).A.P{θ1<θ<θ2}=αB.P{θ<θ2}=1-αC.P{θ1<θ<θ2}=1-αD.P{θ<θ1}=α27.在假设建设检验中,记H0为检验假设,则所谓犯第一类错误的是( D ).A.H0为真时,接受H0B.H0不真时,接受H0C.H0不真时,拒绝H0D.H0为真时,拒绝H028.袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球.则第二人取到黄球的概率是( B ).A.1/5B.2/5C.3/5D.4/529.事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( D ). A.“甲种产品滞销,乙种产品畅销” B.“甲.乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”30.设A,B,C 表示三个随机事件,则A ⋃B ⋃C 表示( A ) A.A,B,C 中至少有一个发生; B.A,B,C 都同时发生; C.A,B,C 中至少有两个发生; D.A,B,C 都不发生.31.已知事件A,B 相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P (A ⋃B )=( C ) A.0.65 B.1.3 C.0.9 D.0.332.设X ~B (n,p ),则有( D )A.E (2X -1)=2np;B.E (2X +1)=4np +1;C.D (2X +1)=4np (1-p )+1A.;D.D (2X -1)=4np (1-p )33.X则a =( A )A.1/3B.0C.5/12D.1/434.常见随机变量的分布中,数学期望和方差一定相等的分布是( D ) A.二项分布; B.标准正态分布; C.指数分布; D.泊松分布.35.在n 次独立重复的贝努利试验中,设P (A )=p,那么A 事件恰好发生k 次的概率为( B ). A.p k ; B.(nk )p k (1-p)n-k ; C.p n-k (1-p)k ; D.p k (1-p)n-k .36.设X A.1/4,1/16; B.1/2,3/4; C.1/4,11/16; D.1/2,11/16.37.设随机变量X 的密度函数f (x )={2x x ∈[0,A]0 其他,则常数A=( A ).A.1;B.1/2;C.1/2;D.2.38.若T ~t(n),下列等式中错误的是( C ).A.P{T>0}=P{T ≤0};B.P{T ≥1}=P{T>1};C.P{T=0}=0.5;D.P{T>t α}=P{T<-t α}.39.设X ~N(μ1,σ12),它有容量为n 1的样本X i ,i=1,2,…n 1;Y ~N(μ2,σ22),它有容量为n 2的样本Y j ,j=1,2,…n 2.它们均相互独立,X 和Y 分别是它们样本平均值,s 12和s 22分别是它们样本方差,σ12,σ22未知但是相等.则统计量212121221121)2()()(n n n n n n s n s n Y X +-++---μμ应该服从的分布是( C ).A.t(n 1+n 2);B.t(n 1+n 2-1);C.t(n 1+n 2-2);D.F(n 1-1,n 2-1).40.设X ~N(μ1,σ2),它有容量为n 1的样本X i i=1,2,…n 1;Y ~N(μ2,σ2),它有容量为n 2的样本Y j j=1,2,…n 2.均相互独立,s 12和s 22分别是它们样本方差.则统计量1122221211--n s n n s n 应该服从的分布是( D ).A.χ2(n 1+n 2-2);B.F(n 2-1,n 1-1);C.t(n 1+n 2-2);D.F(n 1-1,n 2-1).41.若μˆ1和μˆ2同是总体平均数μ的无偏估计,则下面叙述中,不正确的是( B ). A.2μˆ1-μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; B.21μˆ1-21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计; C.21μˆ1+21μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计 D.32μˆ1+31μˆ2仍是总体平均数μ的无偏估计.42.假设检验时,当样本容量n 固定时,缩小犯第Ⅰ类错误的概率α,则犯第Ⅱ类错误的概率β( B ).A.一般要变小;B.一般要变大;C.可能变大也可能变小;D.肯定不变.43.设X ~N(μ,σ2),μ和σ2均未知,X 是样本平均值,s 2是样本方差,则(X -t 0.051-n s ,X +t 0.051-n s )作为的置信区间时,其置信水平为( C ).A.0.1;B.0.2;C.0.9;D.0.8.44.已知一元线性回归直线方程为yˆ=a +4x,且x =3,y =6.则a=( D ). A.0; B.6; C.2; D.-6.45.设(x 1,y 1),(x 2,y 2),...(x n ,y n )是对总体(X,Y)的n 次观测值,l YY =∑=-ni iy y12)(,l XX =∑=-n i ix x12)(分别是关于Y,关于X 的校正平方和及l XY =∑=--ni i i y y x x 1))((是关于X 和Y的校正交叉乘积和,则它们的一元回归直线的回归系数b=( A ).A.XX XY l l ;B.XX XY l l ;C.YY XX XY l l l 2; D.YYXX XY l l l .46.设A,B 为两个事件,则AB =( D ).A.A B ;B.A B;C.A B ;D.A ∪B .47.若X ~N(0,1),ϕ(x)是它的密度函数,Φ(x)是它的分布函数,则下面叙述中不正确的是( A ). A.Φ(-x)=-Φ(x); B.ϕ(x)关于纵轴对称; C.Φ(0)=0.5; D.Φ(-x)=1-Φ(x).48.对单个总体X ~N(μ,σ2)假设检验,σ2未知,H 0:μ≥μ0.在显著水平α下,应该选( A ). A.t 检验; B.F 检验; C.χ2检验; D.u 检验.49.甲乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为0.8,乙击中敌机的概率为0.5,则恰有一人击中敌机的概率( B ).A.0.8B.0.5C.0.4D.0.650.设X~N(μ,0.3²),容量n=9,均值X 5=,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是( C ).(查表Z 0.025=1.96)A.(4.808,6.96)B.(3.04,5.19)C.(4.808,5.19)D.(3.04,6.96)二.填空题 1.设X 1,X 2,…,X 16是来自总体X~(4,σ2)的简单随机样本,2σ已知,令1611X 16ii X==∑则统计量4X-16σ服从分布 N(0,1) (必须写出分布的参数).2.设2X~μσ(,),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为71.111=∑=ni i X n3. 设X~U[a,1],X 1,…,X n 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 121-∑=ni i X n4.已知F 0.1(8,20)=2,则F 0.9(20,8)= 0.55、设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值(x 1,x 2,…,x n )落入W 的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 0.156.设样本的频数分布为X 0 1 2 3 4 频数 13212则样本方差s 2= 27.设X1,X2,,Xn 为来自正态总体N(μ,σ²)的一个简单随机样本,其中参数μ和σ²均未知,记,221Q )ni i X X ==-∑(,则假设H 0:μ=0的t 检验使用的统计量是X t (1)n n Q=- (用X 和Q表示)8. 设总体X~N(μ,σ²),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,则样本均值X = n 2σ9. 设总体X ~b,(np),0<p<1,X 1,X 2,…,X n 为其样本,则n 的矩估计是 X n p =10.设总体X ~[U,θ],(X 1,X 2,…,X n )是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是{}12max X X X n θ=,,11.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下:+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4.则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量 212.设X 1,X 2,X 3,X 4是来自正态总体N(0,2)2的样本,令Y=(X 1+X 2)2+(X 3-X 4)2,则当C= 1/8 时CY ~x 2(2).13.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值样本方差 s 2=214.设A.B 为随机事件,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(B|A)= 0.715. 若事件A 和事件B 相互独立,P(A)=α,P(B)=0.3,P (A⋃B )=0.7,则α= 3/716.设X ~N(2,σ²),且P{2<x<4}=0.3,则P{x<0}= 217.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80/81,则该射手的命中率为 2/318. 三个人独立地解答一道难题,他们能单独正确解答的概率分别为1/5.1/3.1/4,则此难题被正确解答的概率为 3/519.设有一箱产品由三家工厂生产的其中1/2是第一加工厂生产的,其余两家工厂各生产1/4,又知第一.第二工厂生产的产品有2%的次品,第三工厂生产的产品有4%的次品,现从箱中任取一只,则取到的次品的概率为 2.5%20.一个盒子中有10个球,其中有3个红球,2个黑球,5个白球,从中取球两次,每次取一个(有放回)则:第二次取到黑球的概率为 0.221. 由长期统计资料得知,某一地区在4月下雨(记事件A)的概率为4/15,刮风(记作事件B)概率为7/15,刮风又下雨(记作事件C)概率为1/10则:p(B|A)= 3/822.一盒子中黑球.红球.白球各占50%,30%,20%,从中任取一球,结果不是红球,则取到的是白球的概率为 2/723.某公共汽车站甲.乙丙动人分别独立地等1.2.3路汽车,设每个人等车时间(单位分钟)均服从[0,5]上的均匀分布,则三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率为 0.35224. 若随机变量X ~(2,σ²)且p{2<X<4}=0.3,则p{X<2}= 0.525. 若随机变量X ~N(-1,1),Y ~N(3,1)且X 和Y 相互独立,设随机变量Z=X-2Y+7,则Z ~ N(0,5)26.设随机变量X ~N(1,22),则EX 2= 5三.计算题1.已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.[答案]:.007125.0)95.0()05.0(}2{223===C X P2.某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率. [答案]:).02.0,400(~b XX 的分布律为,)98.0()02.0(400}{400kk k k XP -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0,1,,400.k = 于是所求概率为 }1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=3.已知100个产品中有5个次品,现从中无放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率. [答案]:.00618.0}2{310025195≈==C C C X P4.某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布,求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. [答案]:由概率的性质,得}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-!28.0!18.0!08.012108.0e.0474.0≈5.某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.[答案]:以7:00为起点0,以分为单位,依题意 ~X ),30,0(U ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,0300,301)(x x f为使候车时间X 少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为}3025{}1510{<<+<<X P X P 3130130130251510=+=⎰⎰dx dx6.某元件的寿命X 服从指数分布,已知其平均寿命为1000小时,求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.[答案]:由题设知,X 的分布函数为.0,00,1)(1000⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-x x e x F x 由此得到}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,则).1,3(~1--e b Y所求概率为}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(13310103----=--=e e e C7.设某项竞赛成绩N X~(65,100),若按参赛人数的10%发奖,问获奖分数线应定为多少?[答案]:设获奖分数线为,0x 则求使1.0}{0=≥x X P 成立的.0x )(1}{1}{000x F x X P x X P -=<-=≥,1.0106510=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=x即,9.010650=⎪⎭⎫⎝⎛-Φx 查表得,29.110650=-x 解得,9.770=x 故分数线可定为78.8.设随机变量X 具有以下的分布律,试求2)1(-=X Y 的分布律.4.01.03.02.02101i p X -[答案]:Y 所有可能的取值0,1,4,由,2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,1.0}1{}0)1{(}0{2=-=====+=======-==X P Y P X P X P Y P X P X P Y P9.已知随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=4,140,4/0,0)(x x x x x F ,求).(X E[答案]:随机变量X 的分布密度为,,040,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x f故.2841)()(424==⋅==⎰⎰∞+∞-x dx x dx x xf X E10.设05.0=α,求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数. [答案]:由于,95.005.01)(05.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得,645.105.0=u 而水平0.05的双侧分位数为,025.0u 它满足:,975.0025.01)(025.0=-=Φu 查标准正态分布函数值表可得.96.1025.0=u 2χ分布.11.设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:(1)样本均值X 的数学期望与方差;(2)}.24.0|21{|≤-X P[答案]:)1(由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n所以,252,21~2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D)2(由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4.021N X - 故⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=12.⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=其它100101)(x x xA x x f ,则求常数A.期望EX 及方差DX. [答案]:011(1)x dx -=++⎰10()A x dx -⎰,得A=1 ()EX xf x dx +∞-∞==⎰01(1)x x dx -++⎰10(1)0x x dx -=⎰22()EX x f x dx +∞-∞==⎰021(1)x x dx -++⎰120(1)1/6x x dx -=⎰ 61)D(x)22=-=EX EX (。

《概率论与数理统计》模拟试题及答案

《概率论与数理统计》模拟试题及答案

模拟试题一一、 填空题(每空3分,共45分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。

P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立,A 与B 都不发生的概率为19,A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为: ;3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ;4、已知随机变量X 的密度函数为:,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ;7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时,~(3)Y t =;8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本,11ni i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =,求参数a 的置信度为95%的置信区间: ;二、 计算题(35分)1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为:1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求:1){|21|2}P X -<;2)2Y X =的密度函数()Y y ϕ;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ;3、(11分)设总体X 的概率密度函数为:1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

概率论与数理统计模拟试题及解答

概率论与数理统计模拟试题及解答

模拟试题(一)参考答案一.单项选择题(每小题2分,共16分)1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是( ) (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为( )(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是( ) (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则=Y ( ))1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是( ) (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则( ) (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N Xn(C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,( )不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是( ) (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题(每空2分,共14分)1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.解 根据切比雪夫不等式,12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X 服从分布________(并写出其参数).解 设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题6分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布; (2) Y X ,的边缘分布; (3) Y X ,是否独立;(4) )(XY E .解 (1) YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61(2)41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .(3)因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. (4)613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值; (2) )21(≤<-X P ; (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销?(假定该商品在某一段时间内每人最多买一件).解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球,,黑球,,01X 求总体X 的分布;(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解(1) X 1 0 PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; (2)nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n xR ˆ,又由样本值知,m n x i-=∑,故估计值为1ˆ-=m n R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下(单位:Ω):A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137;B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? (2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F )解 (1) 2221122210 σσσσ≠=:,:H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F (在0H 成立时),由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==:,:H H . 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )10(~t (在0H 成立时),查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得005.2120000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题(二)参考答案一.单项选择题(每小题2分,共16分)1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示( ). (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====( ). (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则( )(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D ( ) (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是( )(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( )(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是( )(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率( ) (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题(每空2分,共14分)1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0-1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==X λ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=:H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.(本题8分)设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球;Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球;Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:(1)取到的球是黑球的概率;(2)若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.(本题6分)设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,,,,002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.(本题12分) 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立;(2) 计算)(Y X P =的值;(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P , 所以Y X ,不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.(本题12分)设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ;(2) )(XY E ; (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.(本题6分)一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.(本题7分)设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.(本题14分)从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样?)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ;第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.(本题5分) 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x , 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题(三)参考答案一.填空题(每小题2分,共14分)1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ(0>λ)的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H :,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题(每小题2分,共16分)1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为( )(A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是( ) (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为( ) (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有( ) (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是( ) (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y ( )(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是( )(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当( )时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ(B) μ已知,检验2σ=20σ(C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解 本题应选C. 三.(本题8分)有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少?解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.(本题8分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少?解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.(本题12分)1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布;(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为: Y 的边际分布为:X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他,,,,00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(1210211e2e 1---+.六.(本题8分)设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-,,,,000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ;(2) 随机变量X 的概率密度; (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ,,,(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.(本题8分)设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他,,,,0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.(本题10分)设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分?解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.(本题12分)两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异?(10.0=α)解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ;第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.(本题4分)设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数,,为奇数,,X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===)()()]([x x X P x T X T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题(四)参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且,784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故,784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他,,,,010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题8分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率;(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布; (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它,,,,00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关;(2) )1(≤+X Y P . 解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X341⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =,故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布;并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他,,,,0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时,))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它,,,,0101)(y y f Y 即]10[~,U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)21 1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=n i i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ:,:H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。

概率论与数理统计

概率论与数理统计

概率论与数理统计(经管类模拟练习题)一.单项选择题1. 有10张奖券,8张为20元,2张为50元,从中随机抽取1张,则所得奖金的平均值是( )A. 26B. 78C. 120D. 90答案:A2. 甲、乙两人同时向目标射击,已知甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.7,目标被击中的概率为A. 0B. 0.42C. 0.5D. 0.88答案:D3. 连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( )。

A. 1)(0≤≤x fB. 在定义域内单调不减 若随机变量X 的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分,则称X 为连续型随机变量,f(x)称为X 的概率密度函数(分布密度函数)。

C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.1)(lim =+∞→x f x答案:C4. 下列关于正态分布的说法中正确的是( ) A. 随机变量),(~2σμN X ,则 σ=)(X D B. 随机变量),(~2σμN X ,则σ=)(X E C. 随机变量),(~2σμN X ,则2)(μ=X E D. 随机变量),(~2σμN X ,则2)(σ=X D答案:D5. 已知A 、B 、C 为三个随机事件,则A 、B 、C 不都发生的事件为( ) A. ABC B. C B A C. C B A D. ABC 答案:B6. 以A 表示事件“甲乙都击中目标”,则其对立事件A 是( )A. 甲击中目标,乙没有击中目标B. 甲乙都没有击中目标;C. 甲没有击中目标或者乙没有击中目标D. 甲没有击中目标,乙击中目标 答案:C7. 抛掷2枚均匀对称的硬币,恰好有两枚正面向上的概率是( )A. 0.125B. 0.25C. 0.375D. 0.5答案:B8. 下列事件运算关系正确的是( )A. A B BA B +=B. A B BA B +=C. A B BA B +=D. B B -=1 答案:A9. 下列说法中正确的是( )A. 如果事件B A ,有∅=B A ,称B A ,互为对立事件B. 若A 与B 相互独立,则A 与B 也相互独立C. 设B A ,是两个事件,有)()()(A P B P A B P -=-D. 设B A ,是两个事件,有)()()(B P A P B A P +=答案:B10. 设A ,B 是两个随机事件,则下列等式中不正确的是( ) A. )()()(B P A P AB P =,其中B A ,互不相容; B. )|()()(B A P B P AB P =,其中0)(≠B P C. )()()(B P A P AB P =,其中B A ,相互独立 D. )|()()(A B P A P AB P =,其中0)(≠A P 答案:A11. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x ,记X Y 2=,则=)(Y E ( )A. 1-B. 0C. 1D. 2答案:D12. 有甲,乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。

概率论与数理统计练习题及其答案

概率论与数理统计练习题及其答案

概率论与数理统计模拟试题(概率论部分)一、填空题(每小题3分):1、同时抛出两枚硬币,两枚硬币均为正面的概率为 ;2、依次抛两枚骰子,若第一枚为3点,则第二枚也为3点的概率为 ;3、设事件A 、B ,()0.8,()0.5,()P A P AB P AB === ;4、若事件A 、B 互斥,()0.3,()0.4,()P A P B P A B ==-= ;5、设A 和B 相互独立,且()0.4,()0.3P A P B ==,则()P A B += ;6、设随机变量~(0,1)X N ,分布函数为()x Φ,则(0)Φ= ;7、设2(0,)XN σ,若{}20.45P X <-=,则{}22P X -<<= ;8、已知随机变量X 服从区间[0,1]上的均匀分布,21Y X =-,则DY = ; 9、设随机变量X 与Y 相互独立,方差分别为2和3,则(23)D X Y -= ; 10、设随机变量X 、Y 满足()()()E XY E X E Y =,则协方差(,)Cov X Y = ; 11、设随机变量X 、Y 满足0XY ρ=,则协方差(,)Cov X Y = ; 二、选择题(每小题3分,每题只有一个正确答案):1、设事件A 、B ,()0,P AB =则下面说法中正确的是( ).()A A 、B 互斥;()B A 、B 相互独立;()C ()0P A =或()0P B =;()D ()()P A B P A -=.2、(),(),(),()P A a P B b P A B c P AB ====( ).()A a b -; ()B c b -; ()C a ab -; ()D b a -.3、设事件A 、B 互斥,()0P A >,()0P B >,则下面说法中正确的是( ); ()A ()0P B A >;()B ()()P A B P A =;()C ()0P A B =;()D ()()()P AB P A P B =.4、()0.8,()0.7,()0.8,P A P B P A B ===则下面说法中正确的是( );()A A 、B 相互独立;()B A 、B 互斥;()C A B ⊂;()D ()()()P A B P A P B +=+.5、设事件A 、B 相互独立,则下面的说法中,错误的是( );()A A 与B 独立;()B A 与B 独立;()C ()()()P AB P A P B =;()D A 、B 一定互斥.6、设随机变量X 的概率密度为2(3)4(),x f x x --=-∞<<∞,则( )(0,1)N .3()4X A -; ()B ; 3()2X C +; ()D . 7、设总体X 服从2(3,4)N ,且常数c 满足{}{}P X c P X c >=<,则C 等于( );()A 3; ()B 2; ()C 1; ()D 0.8、设()P A p =,则n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为( ).()A p ; ()B 1p -; ()C (1)n p -; ()D 1(1)n p --.9、设随机变量X 与Y 相互独立,方差分别为6和3,则(2)D X Y -=( ).()A 9; ()B 15; ()C 27; ()D 33.10、若随机变量X 和Y 的协方差(,)0Cov X Y =,则下列结论中正确的 ( ) ()A X 、Y 相互独立; ()B ()D X Y DX DY +=+;()C ()D X Y DX DY -=-; ()D ()D XY DX DY =⋅.三、计算题(一维随机变量部分)1、如图系统由3个电子元件组成,各元件独立工作,其正常工作的概率皆为0.8,求系统正常工作的概率.解:()()()()P P AB C P AB P C P ABC ==+- ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+- 0.80.80.80.80.80.80.928.=⨯+-⨯⨯=2、在区间(0,1)上任意取5个数,求这5个数中有2个大于23的概率. 解:设取得的数为X ,则2133P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭,又设5个数中大于23的个数为Y ,则{}2522511802133243P Y C -⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3、设随机变量X 在[]2,5上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:由已知,X 的分布密度为:1,25()30,.x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则 {}5312333P X dx >==⎰,设在三次独立观测中观测值大于3的次数为Y ,则2(3,)3Yb ,那么{}223333212202()()()33327P Y C C ≥=+=.4、已知离散型随机变量X 的分布列为:10120.10.40.20.3-⎛⎫ ⎪⎝⎭,求: (1) {1 1.5}P X -<≤;(2) 2()E X 、DX . 解: (1) {1 1.5}0.40.20.6P X -<≤=+=. (2) 0.7EX =2()00.410.340.3 1.5E X =⨯+⨯+⨯=. 22()() 1.50.70.8.DX E X EX =-=-= 5、已知随机变量X 的概率密度为:(12),01()0,A x x f x +<<⎧=⎨⎩其它, (1) 求A 的值; (2) 计算{0.10.5}P X << 解: (1) 由 11()(12)2f x dx A x dx A +∞-∞==+=⎰⎰得12A =. (2): {}0.50.10.10.5()P X f x dx <<=⎰.0.50.11(12)0.322x dx =+=⎰.6、已知随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布,求X Y e =的概率密度函数.解:X 的概率密度:1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩,其他 当0Y ≤时,()0Y f x =;当0Y >时,(){}{}(ln )X Y X F y P Y y P e y F y =≤=≤=,故1,1()0,Y X y e y f y F ⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他. 7、已知连续型随机变量X 的密度函数为sin 0,()0A x x f x π<<⎧=⎨⎩ 其他.,求: (1)常数A ; (2)求33P X ππ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.解: (1) 由 01()sin 2f x dx A xdx A π+∞-∞===⎰⎰,得 12A =. (2)330311()sin 3324P X f x dx xdx πππππ+-⎧⎫-<<===⎨⎬⎩⎭⎰⎰.四、(二维随机变量部分:边缘分布、函数分布、概率、期望、方差)1、在区间(0,1)任意取2个数,求这2个数之和小于65的概率。

概率论与数理统计模拟试卷一 一判断题(10 分,每题 2 分)

概率论与数理统计模拟试卷一 一判断题(10 分,每题 2 分)

概率论与数理统计模拟试卷一一.判断题(10分,每题2分)1. 在古典概型的随机试验中,0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2.连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) )(x f )(x F 3.若随机变量X 与Y 独立,且都服从1.0=p 的 (0,1) 分布,则Y X = ( ) 4.设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ,则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5.在一个确定的假设检验中,当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二.选择题(15分,每题3分)1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ,重复进行试验直到第次才取n 得 次成功的概率为)1(n r r ≤≤ .(a) ; (b) ; r n r r n p p C −−−−)1(11r n rr n p p C −−)1((c) ; (d) . 1111)1(+−−−−−r n r r n p pC r n r p p −−)1(2. 离散型随机变量X 的分布函数为,则)(x F ==)(k x X P . (a) ; (b) )(1k k x X x P ≤≤−)()(11−+−k k x F x F ; (c) ; (d) )(11+−<<k k x X x P )()(1−−k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布,则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(a) 是连续函数; (b) 恰好有一个间断点; (c) 是阶梯函数; (d) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=−)23(Y X D .(a) 40; (b) 34; (c) 25.6; (d) 17.6 5. 设为总体的一个样本,),,,(21n X X X ")2,1(2N X 为样本均值,则下列结论中正确的是 .(a) )(~/21n t nX −; (b) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=−;(c) )1,0(~/21N nX −; (d) )(~)1(41212n X ni i χ∑=−.二. 填空题(28分,每题4分)1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为,则随机变量的概率密度函数)(x f X e Y 3=为=)(y f Y3. 设X 为总体中抽取的样本()的均值, 则)4,3(~N X 4321,,,X X X X )51(<<−X P = .4. 设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f 则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设,则随机变量)(~m t X 2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间(单位:秒),取),(~2σμN X 16=n 的样本,得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ,则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为XP 2θ)1(2θθ−2)1(θ−已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ,则参数的极大似然估计值 为三. 计算题(40分,每题8分)1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时,一合格品被误认为是次品的 概率是0.02;一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2.设随机变量X 与Y 相互独立,X ,Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布,试求Y X Z 23+=的密度函数.)(z f Z 3.某商店出售某种贵重商品. 根据经验,该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(52周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体,为总体),(~2σμN X ),,,(21n X X X "X 的一个样本.求常数 k , 使∑=−ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5.(1) 根据长期的经验,某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X (单位:kg). 已知8=σ kg, 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品,测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ? (%5=α)(2) 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取)048.0,(2μN 5个样品,测得其纤度为: 1.31, 1.55, 1.34, 1.40, 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常?试用%10=α作假设检验.四. 证明题(7分)设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机Z Y X ,,),1(p B变量Y X +与Z 相互独立.附表: 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表2χ6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题(10分,每题2分) 是 非 非 非 是 . 二. 选择题(15分,每题3分) (a)(d)(b)(c)(d). 三. 填空题(28分,每题4分)1.1/22 ;2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ; 3.0.9772 ; 4. 当时10<<x ⎩⎨⎧<<−=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY;5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . ),1(m F 四. 计算题(40分,每题8分)1. A 被查后认为是合格品的事件,B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=×+×=+=B A P B P B A P B P A P , (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. (1分) ⎩⎨⎧>=−其他0)(x e x f x X λλ⎩⎨⎧>=−其他)(y e y f y Y μμ0≤z 时,,从而 0)(=z F Z 0)(=z f Z ; (1分) 0≤z 时, ∫∞+−∞−=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ−−−−−−−==∫(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>−−=−−0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 为第i 周的销售量, i X 52,,2,1"=i (1分)i X )1(~P 则一年的销售量为 ,∑==521i iXY 52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理,所求概率为1522521852185252522)7050(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<−<−=<<Y P Y P (4分) 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=−+=−Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X −−−+−−=−"")1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i −=−=−)1(1,0~2分⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−σn n N X X i dze nn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ−−∞+∞−∫−=−dz e nn znn z 221201212σσπ−−∞+∫−=)3(122分σπnn −=σπnn kn122−=σ令=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||)分(2)1(2−=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ−=,拒绝域为 96.1)1(025.02==−≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==−=U ,落在拒绝域内,故拒绝原假设,即不能认为平均折断力为570 kg . 0H [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==−=U , 落在拒绝域外,故接受原假设,即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)0H (2) 要检验的假设为 (1分) 221220048.0:,048.0:≠=σσH H []22122079.0:,79.0:≠=σσH H 检验用的统计量 )1(~)(2202512−−=∑=n X Xi iχσχ,拒绝域为 或488.9)4()1(205.022==−>χχχαn711.0)4()1(295.0212==−<−χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内,[,落在拒绝域内,]711.0086.06241.0/0538.020<==χ 故拒绝原假设,即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 0H 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP (2分)2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ; )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ;;)0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P ;)1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P;)0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P . )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P 所以 Y X +与Z 相互独立. (5分)。

概率论与数理统计

概率论与数理统计

《概率论与数理统计》模拟试卷一1、设A,B 是两个互不相容的事件,P (A )>0 ,P (B )>0,则( )一定成立。

[A] P (A)=1-P (B ) [B] P (A│B)=0 [C] P (A│B )=1 [D] P (A B )=02、设A,B 是两个事件,P (A )>0 , P (B )>0 ,当下面条件( )成立时,A 与B 一定相互独立。

[A] P(A B )=P (A )P (B ) [B] P (AB )=P (A )P (B ) [C] P (A│B )=P (B ) [D] P (A│B )=P(A ) 3、若A 、B 相互独立,则下列式子成立的为( )。

[A] )()()(B P A P B A P =[B] 0)(=AB P[C] )()(A B P B A P = [D] )()(B P B A P = 4、下面的函数中,( )可以是离散型随机变量的概率函数。

[A] {}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C] {}31(0,1,2)2k P k k ξ===[D] {}41(1,2,3)2k P k k ξ===---5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数,则下列个组中应取( )。

[A]1,2a =-32b = [B] 2,3a =23b =[C] 3,5a =25b =- [D] 1,2a =32b =-二、【判断题】(本大题共5小题,每小题3分,共15分)正确的填T ,错误的填F ,填在答题卷相应题号处。

6、事件“掷一枚硬币,或者出现正面,或者出现反面”是必然事件。

( T )7、通过选取经验函数()12;,,...,k x a a a μ中的参数使得观察值i y 与相应的函数值()12;,,...,i k x a a a μ之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。

《概率论与数理统计》模拟试卷

《概率论与数理统计》模拟试卷

《概率论与数理统计》模拟试卷一、填空题1.三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设i A 表示第i 只考签被抽到(1,2,3)i =,则“至少有一只考签没有..被抽到〞这一事件可表示为 . 2.设()0.4P A =,()0.3P B =,()0.6P A B =,则()P AB = .3.一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .4.随机变量X 的分布函数为0,0()0.4,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则{1}P X == .5.设随机变量~(,25)X N μ,且{5}0.5P X >=,则μ= .6.设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩其它,则常数A = .7.设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,且16n =,()4D X =,则p = . 8.设二维随机变量(,)X Y 的分布律为则{}P X Y == .9.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则2{()}P X E X == .10.设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则2[()]E X Y -= . 11.()1D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则(321)D X Y -+= .12.设X 和Y 的方差DX 和DY 都存在,且满足()()D X Y D X Y +=-,则X 与Y 的相关系数XY ρ= .13.设1210,,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本,则统计量2221210X X X +++服从自由度n = 的2χ分布.14.设来自总体~(,1)X N μ的容量为16的样本的样本均值 5.11x =,其未知参数μ的置信水平为1α-的置信区间为(4.62,5.60),则α= .15.设正态总体2~(,)X N μσ,其中2,μσ均未知,12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验方法使用统计量t = .二、计算题1.设随机变量X 的概率密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ,求⑴{1}P X ≥;⑵分布函数()F x .2.设随机变量X 的概率密度函数1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,⑴求XY e =的概率密度函数()Y f y ;⑵求Y 的数学期望()E Y .3.设,X Y 的联合概率密度函数为,01,01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,⑴求X 和Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ;⑵推断X 与Y 的是否独立?4.将两封信随意投入3个邮筒,设X 和Y 分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X 和Y 的联合分布律;⑵求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y .5.设总体X 的概率密度函数22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>为未知参数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本.⑴求未知参数θ的矩估量量ˆθ;⑵推断所求的估量量ˆθ是否为θ的无偏估量量.6.设总体X 的概率密度函数||1(;)()2x f x e x θθθ-=-∞<<+∞,其中0θ>为未知参数,6,3,1,2,4,7,8,9---为来自总体的X 样本值,求θ的极大似然估量值.参考答案一、填空题1.123A A A 2.0.3 3.0.3 4.0.6 5.56.2 7.0.5 8.0.4 9.12e10.6 11.27 12.0 13.10 14.0.05 15X三、计算以下概率问题1.解:⑴1{1}1{1}10.5P X P X xdx ≥=-<=-=⎰⑵当0x <时,()0F x =; 当01x ≤<时,2()2xx F x xdt ==⎰;当12x ≤<时,211()(2)212xx F x xdx x dx x =+-=--⎰⎰; 当2x ≥时,()1F x =;所以2200,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩,.2.解:⑴()1,01,0,x f x <<⎧=⎨⎩其他 (){}{}X Y F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时,()0Y F y =; 当0,y ≥时,(){ln }(ln )Y X F y P X y F y =≤=,()()Y Y f y F y '=,于是1,1()0,Y y ey f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他⑵1()()1XxE Y E e e dx e ===-⎰3.解:⑴当01x <<时,11()(,)()2X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰; 当01y <<时,101()(,)()2Y f y f x y dx x y dx y +∞-∞==+=+⎰⎰; ⑵(,)()()X Y f x y f x f y ≠∴X 与Y 不是相互独立的。

概率论与数理统计模拟试题5套带答案

概率论与数理统计模拟试题5套带答案

06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题(每题3分,共15分)1. 设A ,B 相互独立,且2.0)(,8.0)(==A P B A P ,则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X,且3.0}42{=<<X P ,则=<}0{X P __________.3. 设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =,()()1D X D Y ==,则=-])[(2Y X E ___4.设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本,则统计量2211()n i i X μσ=-∑服从__________分布.5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X,且95}1{=≥X P ,则=≥}1{Y P __________. 二、选择题(每题3分,共15分)1. 一盒产品中有a 只正品,b 只次品,有放回地任取两次,第二次取到正品的概率为 【 】 (A)11a a b -+-;(B) (1)()(1)a a a b a b -++-;(C) a a b +;(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】(A) 2; (B)12; (C) 3; (D)13.3. 设A 、B 为两个互不相容的随机事件,且()0>B P ,则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1;()B ()0=B A P ;()C ()1=B A P ;()D ()0=AB P .4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数,则X 的取值范围是【 】()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π;()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ;()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ. 5. 设()2,~σμN X ,b aX Y -=,其中a 、b 为常数,且0≠a ,则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ;()C ()22,σμa b a N +; ()D ()22,σμa b a N -.三、(本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.5和0.4,现已知目标被命中,求它是乙命中的概率.四、(本题满分12分)设随机变量X 的密度函数为xx ee Ax f -+=)(,求: (1)常数A ; (2)}3ln 210{<<X P ; (3)分布函数)(x F .五、(本题满分10分)设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y的概率密度.六、(本题满分10分)将一枚硬币连掷三次,X 表示三次中出现正面的次数,Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求:(1)(X ,Y )的联合概率分布;(2){}X Y P>.七、(本题满分10分)二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x求:(1)系数A ;(2)X ,Y 的边缘密度函数;(3)问X ,Y 是否独立。

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模拟试题A一.单项选择题(每小题3分,共9分)1. 打靶 3 发,事件表示“击中i发”,i = 0, 1, 2, 3。

那么事件表示 ( )。

( A ) 全部击中; ( B ) 至少有一发击中;( C ) 必然击中; ( D ) 击中 3 发2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。

( A ) ; ( B ) ; (C) ; (D)3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中 0 < p < 1 ,n = 1, 2,…,那么,对于任一实数x,有等于 ( )。

( A ) ; ( B ) ;( C ) ; ( D )二、填空题(每小题3分,共12分)1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________2.设且有,,则=___________。

3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率为,则4人中至多1人需用台秤的概率为: __________________。

4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。

三、(10分)已知,求证四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。

直到查到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数:五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求:( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大?六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是:如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率:( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A),( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B),( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。

七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。

八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。

九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算得,问新产品的强力标准差是否有显著变化? ( 分别取和 0.01,已知,)十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下:从经验和理论知与之间有关系式?且各独立同分布于。

试用最小二乘法估计a , b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1. (B);2. (B);3.(D)二、填空题1. P(B)P(A|B);2. 0.3174;3. ;4.=0.3024三、解:因,故可取其中 u~N ( 0, 1 ) ,,且u与y相互独立。

从而与y也相互独立。

又由于于是四、的分布律如下表:五、( i= 1,2, 3 ) 分别表示居民为肥胖者,不胖不瘦者,瘦者B :“居民患高血压病”则,,,,由全概率公式由贝叶斯公式,六、(x , h)联合概率密度( 1 ) P(A) =( 2 )( 3 )七、证一:设事件A在一次试验中发生的概率为p ,又设随机变量则,故证二:八、因为所以w的分布律为w的分布函数为九、要检验的假设为:;在时,故在时,拒绝认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大。

当时,故在下接受,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。

注::改为:也可十、模拟试题C(A.B.D)一.填空题(每小题3分,共15分)1.设A,B,C是随机事件,则A,B,C三个事件恰好出现一个的概率为______。

2.设X,Y是两个相互独立同服从正态分布的随机变量,则E(|X-Y|)=______。

3.是总体X服从正态分布N,而是来自总体X的简单随机样本,则随机变量服从______,参数为______。

4.设随机变量X的密度函数,Y表示对X的5次独立观察终事件出现的次数,则DY=______。

5.设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本,则X的最大似然估计量=______。

二.选择题(每小题3分,共15分)1.设,则下列结论成立的是()(A)事件A和B互不相容;(B)事件A和B互相对立;(C)事件A和B互不独立;(D)事件A和B互相独立。

2.将一枚硬币重复n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X与Y的相关系数等于()。

(A)-1 (B)0 (C)1/2 (D)13.设分别为随机变量的分布函数,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组值中应取()。

3.设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记则服从自由度为n-1的t分布随机变量为()。

5.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量不相关的充分必要条件为()。

三、(本题满分10分)假设有两箱同种零件,第一箱装50件,其中10件一等品,第二箱装30件,其中18件一等品。

现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回),试求:(1)先取出的零件是一等品的概率;(2)在先取出的零件是一等品的下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

四、(本题满分10分)假设在单位时间分子运动速度X的分布密度为,求该单位时间分子运动的动能的分布密度,平均动能和方差。

五、(本题满分10分)设随机变量X与Y独立,同服从[0,1]上的均匀分布。

试求:六、(本题满分10分)某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件,现从中随机抽取,记,试求:(1)随机变量的联合分布;(2)随机变量的相关系数。

七、(本题满分15分)设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本,试求:八、(本题满分15分)某化工厂为了提高某种化学药品的得率,提出了两种工艺方案,为了研究哪一种方案好,分别对两种工艺各进行了10次试验,计算得假设得率均服从正态分布,问方案乙是否能比方案甲显著提高得率?概率论与数理统计模拟试题C解答模拟试题D(A.B.C)一、填空题(每小题3分,共15分)1.甲、乙二人独立地向同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲命中的概率是______。

2.设X和Y为两个随机变量,且,则。

3.设随机变量X与Y独立,,且,则。

4.设是来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,令为使服从分布,则a=______,b=______.5.设由来自正态总体的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5,则未知数的置信度为0.95的置信区间为______。

二.选择题(每小题3分,共15分)1.当事件A与事件B同时发生时,事件C必发生,则()。

2.设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数()。

(A)是连续函数;(B)至少有两个间断点;(C)是阶梯函数;(D)恰好有一个间断点。

3.设随机变量X和Y独立同分布,记U=X-Y,V=X +Y ,则随机变量U与V也()。

(A)不独立;(B)独立;(C)相关系数不为零;(D)相关系数为零。

4.设总体X服从正态分布,是来自X的简单随机样本,为使是的无偏估计量,则A的值为()。

5.对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平下,接受假设,则在显著水平下,下列结论中正确的是()。

(A)必接受;(B)可能接受,也可能有拒绝;(C)必拒绝;(D)不接受,也不拒绝。

三、(本题满分10分)三架飞机:已架长机两架僚机,一同飞往某目的地进行轰炸,但要到达目的地,一定要有无线电导航。

而只有长机有此设备。

一旦到达目的地,各机将独立进行轰炸,且每架飞机炸毁目标的概率均为0.3。

在到达目的地之前,必须经过高射炮阵地上空。

此时任一飞机被击落的概率为0.2,求目标被炸毁的概率。

四、(本题满分10分)使用了小时的电子管在以后的小时损坏的概率等于,其中是不依赖于的数,求电子管在T小时损坏的概率。

五、(本题满分10分)设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。

证明相互独立。

六、(本题满分10分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为(1)计算;(2)求X与Y的密度函数;(3)求Z=X+Y 的密度和函数。

七、(本题满分15分)设总体X服从正态分布,是来自X的一个样本,是未知参数。

(1)区域的最大似然估计量;(2)是否是的有效估计?为什么?八、(本题满分15分)设有线性模型其中相互独立,同服从正态分布:(1)试求系数的最小二乘估计;(2)求的无偏估计量;(3)求构造检验假设的统计量。

概率论与数理统计模拟试题D解答。

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