人教版高中数学圆锥曲线及方程全部教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标

知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1

解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．

2．难点：椭圆的标准方程的推导．

解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．

解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1F2两点如图2-13 ，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1F2的距离之和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征――到两定点F1F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

1 将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

2 这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

二椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分： 1 2 点的集合；

3 代数方程；

4 化简方程等步骤．

1 建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图2-14 ．设|F1F2| 2c c＞0 ，M x，y 为椭圆上任意一点，则有F1 -1，0 ，F2 c，0 ．

2 点的集合

由定义不难得出椭圆集合为：

P M||MF1|+|MF2| 2a

3 代数方程

4 化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3 a2-c2 x2+a2y2 a2 a2-c2

②为使方程对称和谐而引入bb还有几何意义，下节课还要

a＞b＞0 ．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在xF1 -c，0 、F2 c，0 ．这里c2 a2-b2．

2．两种标准方程的比较引导学生归纳

0 、F2 c，0 ，这里c2 a2-b2；

-c 、F2 0，c ，这里c2 a2+b2，只须将 1 方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

三例题与练习

例题 8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a 10，2c 8．

∴a 5，c 4，b2 a2-c2 52-45 9．∴b 3

因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1

练习2 [ ]

由学生口答，答案为D

四小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数大于|F1F2| 的点的轨迹．

3．图形如图2-15、2-16．

4．焦点：F1 -c，0 ，F2 c，0 ．F1 0，-c ，F2 0，c ．

五、布置作业

12-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1| 2，A2

F1的距离最大，|A2F1| 14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1ABF2的周长．

作业答案：

4ABF2的周长为4a．

六、板书设计

一、教学目标

知识教学点