含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点

导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且

在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

例1（2008年高考广东卷（理科） 设k R

∈

，函数

1

,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩

，

试讨论函数()

F x 的单调性。

解：

()(

)2

2

11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩

。

考虑导函数

'()0

F x =是否有实根，从而需

要对参数k

的取值进行讨论。

（一）若1

x <，则

()

()

2

2

11'()1k x F x x --=

-。由于当0

k ≤时，

'()0

F x =无实根，而当0

k >时，

'()0

F x =有实根，

因此，对参数k

分0

k ≤和0

k >两种情况讨论。

（1） 当0

k ≤时，

'()0

F x ≥在

(,1)

-∞上恒成立，

所以函数()

F x 在

(,1)

-∞上为增函数；

（2） 当

k >时，

()

()

2

2

11'()11k x F x x x --=

=--

由

'()0

F x =

，得121,1x x ⎛⎛

== ⎝⎝

，

因为0

k >，所以

12

1x x <<。

由

'()0

F x >，

得

11x <<；由

'()0F x <

，

得

1x <

因此，当0

k >时，函数()

F x

在

(,1-∞-

上为减函数，在

(1-

上为增

函数。 （二）若1

x >，

则

'()F x =。由于当0

k ≥时，

'()0

F x =无实根，而当0k <时，

'()0

F x =有实根，

因此，对参数k

分0

k ≥和0

k <两种情况讨

论。

（1） 当0

k ≥时，

'()0

F x <在[)1,+∞

上恒成立，

所以函数()

F x 在[)1,+∞

上为减函数；

（2） 当0

k <

时，

1'()k F x ⎫-⎪

== 由'()0

F x >，得

2

114x k >+

；由

'()0

F x <，

得

2

1

114x k <<+

。

因此，当0

k <时，函数()

F x 在

211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣

⎭上为减函数，在

211,4k ⎡⎫

++∞⎪⎢⎣⎭

上为增函

数。 综上所述：

（1） 当0

k >时，函数()

F x

在

(,1-∞-

上为

减函数，

在

(1上为增函数，在[

)

1,+∞上为减函数。 （2） 当0

k =时，函数()

F x 在

(,1)

-∞上为增

函数，在[)1,+∞

上为减函数。

（3） 当0

k <时，函数()

F x 在

(,1)

-∞上为增

函数，在

211,14k ⎡

⎫+⎪⎢⎣

⎭上为减函数，在

211,4k ⎡⎫

++∞⎪⎢⎣⎭

上为增函数。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

例2 (2008高考浙江卷理科)已知

a是实数，函数(

))

f x x a

=-

（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；

（Ⅱ）设()g a为()f x在区间[]0,2上的最小值。

（i）写出()g a的表达式；（ii）求a的取

值范围，使得()

62

g a

-≤≤-。

解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，