含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。

随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。

由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。

对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。

一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

例1（2008年高考广东卷（理科） 设k R∈，函数1,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪≥⎩，试讨论函数()F x 的单调性。

解：()()2211,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩。

考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。

（一）若1x <，则()()2211'()1k x F x x --=-。

由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，而当0k >时，'()0F x =有实根，因此，对参数k分0k ≤和0k >两种情况讨论。

（1） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数；（2） 当k >时，()()2211'()11k x F x x x --==--由'()0F x =，得121,1x x ⎛⎛== ⎝⎝，因为0k >，所以121x x <<。

由'()0F x >，得11x <<；由'()0F x <，得1x <因此，当0k >时，函数()F x在(,1-∞-上为减函数，在(1-上为增函数。

（二）若1x >，则'()F x =。

由于当0k ≥时，'()0F x =无实根，而当0k <时，'()0F x =有实根，因此，对参数k分0k ≥和0k <两种情况讨论。

（1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数；（2） 当0k <时，1'()k F x ⎫-⎪== 由'()0F x >，得2114x k >+；由'()0F x <，得21114x k <<+。

因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

综上所述：（1） 当0k >时，函数()F x在(,1-∞-上为减函数，在(1上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（2） 当0k =时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（3） 当0k <时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上为增函数。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

例2 (2008高考浙江卷理科)已知a是实数，函数())f x x a=-（Ⅰ）求函数()f x的单调区间；（Ⅱ）设()g a为()f x在区间[]0,2上的最小值。

（i）写出()g a的表达式；（ii）求a的取值范围，使得()62g a-≤≤-。

解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，())'30a x f x x ⎛⎫- ⎪===>，由'()0f x =得3ax =。

考虑3a 是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'()0f x >，得3ax >；由'()0f x <，得03a x <<。

因此，当0a >时，()f x的单调递减区间为0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递增区间为,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1） 当0a ≤时，()f x在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()00g a f ==。

（2） 当0a >时，()f x在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以： ① 当()0,23a∈，即06a <<时，()f x在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭932a a -=。

② 当[)2,3a∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()())22g a f a ==-。

综上所述，())0,062,~6a g a a a a ⎧≤⎪⎪=<<⎨-≥（ii）令()62g a -≤≤-。

①若0a ≤，无解； ②若06a <<，由62-≤≤-解得36a ≤<； ③ 若6a ≥，由)622a -≤-≤-解得62a ≤≤+。

综上所述，a的取值范围为322a ≤≤三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

例3（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为32256=-+y x 。

（Ⅱ）由于a ≠，所以()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。

由()'0f x =，得121,x x aa=-=。

这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a的取值分0a >和a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。

易得()f x在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a=-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x在2x a=处取得极大值()1f a =。

（2） 当0a <时，则12x x >。

易得()f x在区间),(a -∞，),1(+∞-a内为增函数，在区间)1,(aa -为减函数。

故函数()f x 在11x a=-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x在2x a=处取得极大值()1f a =。

以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。

因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。

当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。

例4（07高考山东理科卷改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x的极值点。

解：由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，()2'22211b x x bf x x x x ++=+=++，()'f x的分母1x +在定义域()1,-+∞上恒为正，方程2220x x b ++=是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。

（1）当480b ∆=-≤，即12b ≥时，方程2220x x b ++=无实根或只有唯一根12x =-，所以()2220g x x x b =++≥在()1,-+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x在()1,-+∞上单调递增，从而函数()f x在()1,-+∞上无极值点。

（2）当480b ∆=->，即12b <时，方程2220x x b ++=，即()'0f x =有两个不相等的实根：121122x x ---==。

这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论： （ⅰ）当0b <时，121,1x x =<-=>-，所以()()121,,1,x x ∉-+∞∈-+∞。

此时，()'f x与()f x随x的变化情况如下表：由此表可知：当0b <时，()f x有唯一极小值点212x -+=。

（ⅱ）当102b <<时，121,1x x =>-=>-，所以()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。

此时，()'f x与()f x随x的变化情况如下表：由此表可知：当102b <<时，()f x有一个极大值点1x =2x =。

综上所述： （1） 当b <时，()f x 有唯一极小值点x =；（2） 当102b <<时，()f x 有一个极大值点x =和一个极小值点x =（3） 当12b ≥时，()f x无极值点。

从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。

（2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx=++(其中常数a,b∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.(Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值. （2010山东文数）（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 解：（Ⅰ） 当=-=)(1x f a 时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x 所以)('x f 222,(0,)x x x x+-=∈+∞因此，，）（12=f 即 曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（f x f y =又,22ln )2(+=f 所以曲线（Ⅱ）因为 11ln )(--+-=xaax x x f ， 所以 211)('xa a x x f -+-=221x a x ax -+--=),0(+∞∈x ，令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递 （2）当0a '≠时,由f (x)=0即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==-①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当110,1102a a<<->>时(0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增；1(1,),()0x h x a∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增。