中考数学 热点专题六图形与证明

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中考数学几何模型专题专题六—勾股定理

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专题六勾股定理模型26 “勾股树”模型故事“勾股树”毕达哥拉斯树(如图), 也叫“勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的“枝千”就越茂密.模型展现基础模型勾股定理: 222a b c+=.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,,b c满足222a b c+=或222a c b+=或222b c a+=,那么这个三角形是直角三角形在直角三角形外,分别以三边作同样图形,可得下面结论作等边三角形作半圆作等腰直角三角形作正方形(毕达哥拉斯树的起始图形)怎么用?1. 找模型分别以直角三角形三边为边作相同图形2. 用模型根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题结论分析:结论: 123S S S +=以作等边三角形为例.证明: 如解图, 过点 D 作 DM AC ⊥ 于点 M ,ACD 是等边三角形, 12AM MC b ∴==, 在 Rt ADM 中, 3tan tan602DM AM DAC AM b ∠=⋅=⋅=, 2111332224S DM AC b b b ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 同理可得, 222333,44S a S c ==, ()222212333444S S a b a b ∴+=+=+, Rt ABC 满足 222a b c +=,()222123344S S a b c ∴+=+=.123.S S S ∴+=拓展延伸其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可, 同学们可以参考给出的证明过程, 自行完成.满分技法以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键.勾股数中常见图形面积公式:1 ;2S =⨯⨯三角形底高2 S =等边三角形边长; 21;2360n r S π=⨯半圆 2 S =正方形边长典例小试例 1 如图,和 AC 为直径的半圆的面积(与模型的作图方法一致), 则123,S S S 和满足的关系式(求面积,可使用结论)为( )A . 123S S S +=B . 123S S S =+C . 123S S S >+D . 123S S S =⋅考什么?圆的面积计算,勾股定理思路点拨满足模型,选填项目中,可直接使用结论,高效解题。

中考数学复习·图形的相似+相似三角形专题(位似、相似、相似三角形证明及应用)名校名师全解全练精品课件

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A.12.36 cm C.32.36 cm
5-1 【解析】∵黄金比为 ≈0.618 , ∴ 它 的 宽 约 为 2 0.618×20≈12.36 cm.
【答案】A
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2 . (2010 中考变式题 )已知 = = ,且 a + b+ c≠0 ,则 2 5 7 2a+3b-2c 的值为( a+b+c 5 A. 14 )
的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比值为
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中考典例精析
(2011·河北)如图所示,在6×8网格图中,每 个小正方形边长均为1.点O和△ABC的顶点均为小正方形
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的顶点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′,使△A′B′C′和 △ABC位似,且位似比为1∶2. (2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.(结果保留根号) 【点拨】位似图形一定是相似图形,可以利用相似图形的性质计算或 证明. 【 解 答 】 (1) 如 图 所 示. (2)AA′ =CC′ = 2. 在
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第六章 图形的相似与解直角三角形 第23讲 图形的相似与位似
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三
考点训练
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考点知识精讲
考点一 成比例线段与比例的定义及性质
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1.对于四条线段 a、b、c、d,如果 做成比例线段,简称比例线段.
那么这四条线段叫
2.表示两个比相等的式子叫做比例式,简称比例. 3.连比:连在一起的三个数的比,叫做连比. a c 4.比例的基本性质:如果 = ,那么 ad=bc ,反之也成立.其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项,b 与 c 叫做比例内项.特殊地 = ⇔b2=ac. b c

初三数学图形的认识、图形与证明知识精讲 北师大版

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初三数学图形的认识、图形与证明知识精讲一. 本周教学内容:图形的认识、图形与证明(三)相似三角形二. 教学目标:通过对相似三角形基础知识的复习,解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点:熟练地解决与相似三角形相关的问题四. 课堂教学:中考导航⎪⎩⎪⎨⎧黄金分割比例的性质成比例线段比例线段⎩⎨⎧相似三角形判定相似三角形性质相似三角形中考课程标准要求考点考纲要求 了解 理解 掌握 灵活应用 概念√ 性质 √ 比例线段黄金分割 √ 了解概念√ 相似三角形的判定 √ 射影定理 √ 相似三角形相似三角形的性质√ 位似图形位似√例1. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )答案:B例2. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BD 于F ,则PE +PF 的值为( )A.512 B. 2 C.25D.513答案:A例 3. 某装饰公司要在如图所示的五角星形中,沿边每隔20厘米装一盏闪光灯。

若)15(BC -=米,则需安装闪光灯( )A. 100盏B. 101盏C. 102盏D. 103盏答案:A例4. △ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,且AF :FD=1:5,连接CF ,并延长交AB 于点E ,则AE :EB 等于( )A. 1:8B. 1:6C. 1:9D. 1:10答案:D例5. (1)如图1所示,已知△ABC 中,AB>AC ,试用直尺(不带刻度)和圆规在图1中过点A 作一条直线l ,使点C 关于直线l 的对称点在边AB 上(不要求写作法,也不必说明理由,但要保留作图痕迹。

)图1(2)如图2所示,已知格点△ABC,请在图2中分别画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2,并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2,而△A2B2C2与△ABC的相似比等于5。

(最新)2020年中考数学复习 专题6 四边形与三角形的综合(精讲)试题

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专题六四边形与三角形的综合毕节中考备考攻略纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形;2016年第25题综合考查菱形和三角形全等;2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形;2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例1 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC,AB =AD,对角线AC,BD 交于点O,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若AB =5,BD =2,求OE 的长.【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DCA ,得出CD =AD =AB,即可得出结论; (2)先判断出OE =OA =OC,再求出OB =1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明:∵AB∥CD ,∴∠CAB =∠ACD. ∵AC 平分∠BAD ,∴∠CAB =∠CAD , ∴∠CAD =∠ACD ,∴AD =CD. 又∵AD=AB,∴AB =CD.又∵AB∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵AB=AD,∴四边形ABCD 是菱形; (2)解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA =OC =12AC,OB =OD =12BD =1.在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,∴OA =AB 2-OB 2=2. ∵CE ⊥AB,∴∠AEC =90°. 在Rt △AEC 中,O 为AC 中点, ∴OE =12AC =OA =2.四边形与三角形全等例2 (2018·张家界中考)在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE =AD,DF ⊥AE,垂足为点F. (1)求证:DF =AB ;(2)若∠FDC=30°,且AB =4,求AD.【解析】(1)利用“AAS ”证△ADF≌△EAB 即可得证;(2)由∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF +∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°,据此知AD =2DF,根据DF =AB 可得答案.【答案】(1)证明:在矩形ABCD 中,AD ∥BC, ∴∠AEB =∠DAF.又∵DF⊥AE ,∴∠DFA =90°,∴∠DFA =∠B. 又∵AD=EA,∴△ADF ≌△EAB,∴DF =AB ;(2)解:∵∠ADF+∠FDC =90°,∠DAF +∠ADF=90°,∴∠FDC =∠DAF=30°,∴AD =2DF.∵DF =AB =4,∴AD =2AB =8.四边形与三角形相似例3 (2018·资阳中考)已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC,且MD =CM,DE ⊥AB 于点E,连接AD,CD.(1)求证:△MED∽△BCA; (2)求证:△AMD≌△CMD;(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2=175S 1时,求cos ∠ABC 的值.【解析】(1)易证∠DME=∠CBA ,∠ACB =∠DE M =90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,可知BM =CM =AM,又由MD∥BC 可证明∠AMD=∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD;(3)易证DM =12AB,由(1)可知△MED∽△BCA ,所以S 1S △ACB =⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2=14,所以S △MCB =12S △ACB =2S 1,从而可求出S △EBD =S 2-S △MCB -S 1=25S 1,由于S 1S △EBD =ME EB ,从而可知ME BE =52,设ME =5x,EB =2x,从而用x 表示出AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明:∵MD∥BC ,∴∠DME =∠CBA. ∵∠ACB =∠DEM=90°,∴△MED ∽△BCA ; (2)证明:∵∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴BM=CM =AM,∴∠MCB =∠MBC. ∵∠DMB =∠MBC , ∴∠MCB =∠DMB=∠MBC. ∵MD ∥BC,∴∠CMD =180°-∠MCB. 又∵∠AMD=180°-∠DMB , ∴∠AMD =∠CMD. 在△AMD 与△CMD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧MD =MD ,∠AMD =∠CMD,AM =CM ,∴△AMD ≌△CMD(SAS );(3)解:∵DM=CM,∴AM =CM =DM =BM, ∴DM =12AB.由(1)可知△MED∽△BCA ,∴S 1S △ACB =⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2=14,∴S △ACB =4S 1. ∵CM 是△ACB 的中线,∴S △MCB =12S △ACB =2S 1,∴S △EBD =S 2-S △MCB -S 1=25S 1,∴S 1S △EBD =ME EB ,∴S 125S 1=ME EB ,∴ME EB =52. 设ME =5x,EB =2x,则BM =7x, ∴AB =2BM =14x. ∵MD AB =ME BC =12,∴BC =10x, ∴cos ∠ABC=BC AB =10x 14x =57.1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,O,D 分别是边AC,AB 的中点,过点C 作CE ∥AB 交DO 的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD 是菱形;(2)若四边形AECD 的面积为24,tan ∠BAC =34,求BC 的长.(1)证明:∵点O 是AC 的中点,∴OA =OC.∵CE ∥AB,∴∠DAO =∠ECO. 又∵∠AOD=∠COE ,∴△AOD ≌△COE(ASA ),∴AD =CE, ∴四边形AECD 是平行四边形. 又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴CD =AD =12AB,∴四边形AECD 是菱形;(2)由(1)知,四边形AECD 是菱形,∴AC ⊥ED.在Rt △AOD 中,tan ∠DAO =OD OA =tan ∠BAC =34,可设OD =3x,OA =4x, 则ED =2OD =6x,AC =2OA =8x.由题意可得12·6x·8x=24,∴x =1,∴OD =3.∵O,D 分别是AC,AB 的中点, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴BC =2OD =6.2.(2018·盐城中考)在正方形ABCD 中,对角线BD 所在的直线上有两点E,F 满足BE =DF,连接AE,AF,CE,CF,如图.(1)求证:△AB E≌△ADF;(2)试判断四边形AECF 的形状,并说明理由. (1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD, ∴∠ABD =∠ADB ,∴∠ABE =∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,∠ABE =∠ADF,BE =DF ,∴△ABE ≌△ADF(SAS ); (2)解:四边形AECF 是菱形. 理由:连接AC,交BD 于点O. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴OA =OC,OB =OD,AC ⊥EF, ∴OB +BE =OD +DF,即OE =OF. ∵OA =OC,OE =OF,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵AC⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.3.(2018·湖州中考) 已知在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB ≥AC,D,E 分别为AC,BC 边上的点(不包括端点),且DC BE =ACBC=m,连接AE,过点D 作DM ⊥AE,垂足为点M,延长DM 交AB 于点F. (1)如图1,过点E 作EH⊥AB 于点H,连接DH.①求证:四边形DHEC 是平行四边形; ②若m =22,求证:AE =DF ; (2)如图2,若m =35,求DFAE的值.(1)证明:①∵EH⊥AB ,∠BAC =90°, ∴EH ∥CA,∴△BHE ∽△BAC,∴BE BC =HEAC .∵DC BE =AC BC ,∴BE BC =DC AC ,∴HE AC =DC AC, ∴HE =DC.∵EH ∥DC,∴四边形DHEC 是平行四边形; ②∵AC BC =22,∠BAC =90°,∴AC =AB.∵DC BE =22,HE =DC,∴HE BE =22. 又∵∠BHE=90°,∴BH =HE. ∵HE =DC,∴BH =CD,∴AH =AD. ∵DM ⊥AE,EH ⊥AB, ∴∠EHA =∠AMF=90°,∴∠HAE +∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°, ∴∠HEA =∠AFD.∵∠EHA =∠FAD=90°,∴△HEA ≌△AFD,∴AE =DF ; (2)解:过点E 作EG⊥AB 于点G.∵CA ⊥AB,∴EG ∥CA,∴△EGB ∽△CAB, ∴EG CA =BE BC ,∴EG BE =CA BC =35. ∵CD BE =35,∴EG =CD. 设EG =CD =3x,AC =3y,则BE =5x,BC =5y, ∴BG =4x,AB =4y. ∵∠EGA =∠AMF=90°, ∴∠GEA +∠EAG=∠EAG+∠AFM ,∴∠AFM=∠AEG.∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA,∴DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34.毕节中考专题过关 1.(2018·乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD 中,∠BAC =90°,E 是BC 的中点,AD ∥BC,AE ∥DC,EF ⊥CD 于点F.(1)求证:四边形AECD 是菱形;(2)若AB =6,BC =10,求EF 的长.(1)证明:∵AD∥BC ,AE ∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形.∵∠BAC =90°,E 是BC 的中点,∴AE =CE =12BC,∴四边形AECD 是菱形;(2)解:过A 作AH⊥BC 于点H.∵∠BAC =90°,AB =6,BC =10,∴AC =102-62=8.∵S △ABC =12BC·AH=12AB·AC ,∴AH =6×810=245.∵点E 是BC 的中点,BC =10,四边形AECD 是菱形,∴CD =CE =5.∵S ▱AECD =CE·A H =CD·EF ,∴EF =AH =245.2.(2018·青岛中考)已知:如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E,点G 为AD 的中点,连接CG,CG 的延长线交BA 的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB =AF ;(2)若AG =AB,∠BCD =120°,判断四边形ACDF 的形状,并证明你的结论.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB =CD,∴∠AFG =∠DCG.又∵GA=GD,∠AGF =∠CGD ,∴△AGF ≌△DGC,∴AF =CD.∴AB =AF ;(2)解:四边形ACDF 是矩形.证明:∵AF=CD,AF ∥CD,∴四边形ACDF 是平行四边形.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD =∠BCD=120°.∴∠FAG =60°.∵AB =AG =AF,∴△AFG 是等边三角形,∴AG =GF.∵四边形ACDF 是平行四边形,∴FG =CG,AG =DG.∴AD=CF.∴四边形ACDF 是矩形.3.已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD =CD,E 是对角线BD 上一点,且EA =EC.(1)求证:四边形ABCD 是菱形;(2)如果BE =BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD 是正方形.证明:(1)在△ADE 与△CDE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =CD ,DE =DE ,EA =EC ,∴△ADE ≌△CDE,∴∠ADE =∠CDE.∵AD ∥BC,∴∠ADE =∠CBD ,∴∠CDE =∠CBD ,∴BC =CD.∵AD =CD,∴BC =AD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵AD =CD,∴四边形ABCD 是菱形;(2)∵BE=BC,∴∠BCE =∠BEC.∵∠CBE ∶∠BCE =2∶3,∴∠CBE =180×22+3+3=45°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE =∠CBE=45°,∴∠ABC =90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于点E,AB =AC =BD,点M 为BC 的中点,N 为线段AM 上的点,且MB =MN.(1)求证:BN 平分∠ABE;(2)若BD =1,连接DN,当四边形DNBC 为平行四边形时,求线段BC 的长;(3)如图②,若点F 为AB 的中点,连接FN,FM,求证:△MFN∽△BDC.(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC =∠ACB.∵M 为BC 的中点,∴AM ⊥BC.在Rt △ABM 中,∠MAB +∠ABC=90°.在Rt △CBE 中,∠EBC +∠ACB=90°,∴∠MAB =∠EBC.又∵MB =MN,∴△MBN 为等腰直角三角形,∴∠MNB =∠MBN=45°,∴∠EBC +∠NBE=45°,∠MAB +∠ABN=∠MNB=45°,∴∠NBE =∠ABN ,即BN 平分∠ABE;(2)解:设BM =CM =MN =a.当四边形DNBC 是平行四边形时,DN =BC =2a.在△ABN 和△DBN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =DB ,∠NBD =∠NBA,BN =BN ,∴△ABN ≌△DBN(SAS ),∴AN =DN =2a.在Rt △ABM 中,由AM 2+BM 2=AB 2,得(2a +a)2+a 2=1,解得a =±1010(负值舍去),∴BC =2a =105;(3)证明:在Rt △MAB 中,F 是AB 的中点,∴MF =AF =BF,∴∠MAB =∠FMN.又∵∠MAB=∠CBD ,∴∠FMN =∠DBC. ∵MFAB =MNBC =12,∴MF BD =MN BC =12,∴△MFN ∽△BDC.5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G,连接DG.(1)求证:四边形EFDG 是菱形;(2)探究线段EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG =6,EG =25,求BE 的长.(1)证明:∵GE∥DF ,∴∠EGF =∠DFG.由翻折的性质可知DG =EG,DF =EF,∠DGF =∠EGF ,∴∠DGF =∠DFG ,∴DG =DF,∴DG =EG =DF =EF,∴四边形EFDG 是菱形;(2)解:EG 2=12GF·AF.理由:连接DE,交AF 于点O.∵四边形EFDG 是菱形,∴GF ⊥DE,OG =OF =12GF.∵∠DOF =∠ADF=90°,∠OFD =∠DFA , ∴△DOF ∽△ADF,∴DF AF =OF DF ,即DF 2=OF·AF.∵OF =12GF,DF =EG,∴EG 2=12GF·AF;(3)解:过点G 作GH⊥DC ,垂足为点H. ∵EG 2=12GF·AF ,AG =6,EG =25,即GF 2+6GF -40=0,解得GF =4,GF =-10(舍去).∵DF =EG =25,AF =AG +GF =10, ∴AD =AF 2-DF 2=4 5.∵GH ⊥DC,AD ⊥DC,∴GH ∥AD, ∴△FGH ∽△FAD,∴GH AD =GF AF ,即GH 45=410,∴GH =855.∴BE =AD -GH =45-855=1255.。

南昌市中考数学专题题型复习06:四边形有关的计算与证明

南昌市中考数学专题题型复习06:四边形有关的计算与证明

南昌市中考数学专题题型复习06:四边形有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共12题;共71分)1. (10分)如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,求证:△ABE≌△ACD.2. (5分)(2017·绿园模拟) 如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC 的延长线于点E.若点F是AE的中点,求证:BF⊥AF.3. (5分)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为AB的中点,DE⊥AB.(1)求∠ABC的度数;(2)如果AC=4,求DE的长.4. (6分) (2018八下·瑶海期中) 如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD边上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF= +1,求BC的长.5. (5分)如图,已知△ABC和直线m ,画出与△ABC关于直线m对称的图形(不要求写出画法,但应保留作图痕迹)6. (5分) (2020九上·岐山期末) 如图,在菱形ABCD中,点E是边AD上一点,延长AB至点F,使BF=AE,连接BE、CF求证:BE=CF。

7. (5分)在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H,求证:CH=EH.8. (5分)(2017·吴忠模拟) 如图,在正方形ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AF,AE,CE,CF,请你判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.9. (10分) (2015八下·嵊州期中) 如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=24cm,DC=10cm,点P和Q同时从D、B出发,P由D向C运动,速度为每秒1cm,点Q由B向A运动,速度为每秒3cm,试求几秒后,P、Q和梯形ABCD 的两个顶点所形成的四边形是平行四边形?10. (5分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠C=45°,BC=4,AD=2.求四边形ABCD的面积.11. (5分)(2016·鄞州模拟) 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD并于点O,经过点O的直线交AB于E,交CD于F.(1)求证:OE=OF.(2)连接DE,BF,则EF与BD满足什么条件时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.12. (5分) (2016九上·长春期中) 如图,四边形OABC是平行四边形,点A,B,C在⊙O上,P为上一点,连接AP,CP,求∠P的度数.二、综合题 (共27题;共278分)13. (10分)(2018·沧州模拟) 如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点,连接EF,点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为2cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0<t<4)s,解答下列问题:(1)求证:△BEF∽△DCB;(2)当点Q在线段DF上运动时,若△PQF的面积为0.6cm2,求t的值;(3)如图2过点Q作QG⊥AB,垂足为G,当t为何值时,四边形EPQG为矩形,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?试说明理由.14. (10分)(2015·宁波模拟) 【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k,平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ,且d1 =d3 = 1,d2 = 2 .我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.(1)【探究1】如图1,正方形ABCD为“格线四边形”,BE L于点E,BE的反向延长线交直线k于点F.求正方形ABCD的边长.(2)【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”,其长:宽 = 2 :1 ,求矩形ABCD的宽(3)【探究3】如图2,菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°,△AEF是等边三角形,于点E,∠AFD=90°,直线DF分别交直线l、k于点G、M.求证:EC=DF.(4)【拓展】如图3,l ∥k,等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上,于点B,且AB=4 ,∠ACD=90°,直线CD分别交直线l、k于点G、M,点D、E分别是线段GM、BM上的动点,且始终保持AD=AE,于点H.猜想:DH在什么范围内,BC∥DE?直接写出结论。

九年级数学中考复习专题六 图形与证明

九年级数学中考复习专题六 图形与证明

中考复习专题六图形与证明【考点聚焦】图形与证明是空间与图形的核心内容之一,它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中. 内容主要有:了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义;掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理;掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理;掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理;掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.【热点透视】热点1:把握三角形全等的性质,考查线段相等的证明.例1 (2008某某)如图1,菱形ABCD 中,E F ,分别为BC 、CD 上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.分析:本题中灵活运用菱形的性质:四边相等,两组对角分别相等.找到全等三角形的对应元素是解本题的关键.证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB BC CD AD ===,B D ∠=∠.∵CE CF =,∴BE DF =.在ABE △与ADF △中,AB AD =,B D ∠=∠,BE DF =.∴ABE ADF △≌△,∴AE AF =.点评:掌握全等三角形的概念和性质,还要能准确辨认全等三角形中的对应元素,通过证明全等来证明线段相等或者角相等.热点2:紧扣三角形全等的判定,考查三角形全等的开放型问题.例2(2008某某)如图2,在正五边形ABCDE 中,连结对角线AC 、AD 和CE ,AD 交CE 于F .(1)请列出图中两对全等三角形_________________(不另外添加辅助线);(2)请选择所列举的一对全等三角形加以证明.分析:由正多边形的性质可知:正多边形的各边相等,各角相等.这是一类结论不惟一的试题.解决此类问题的关键是依据图形,通过准确辨认全等三角形的对应元素,证明三角形全等.解:(1)△ABC ≌△AED ,△ABC ≌△EDC ;(2)证明:在正五边形ABCDE 中,AB BC CD DE EA ====,∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ,故在△ABC 与△AED 中,AB =AE ,∠B =∠DEA ,BC =DE ,∴△ABC ≌△AED , 在△ABC 与△EDC 中,AB =ED ,∠B =∠CDE ,BC =DC ,∴△ABC ≌△EDC .点评:本考题题干简单清晰,但考点的内容与正多边形的知识相结合,需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力,才能顺利解题.热点3:合理添加辅助线,构造全等三角形解决相关问题.例3 (2008某某)如图3,已知AB AC =,(1)若CE BD =,求证:GE GD =;(2)若CE m BD =(m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系(只写结论,不证明).分析:证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等,要证明线段GE 和GD 相等,在辨认三角形全等对应元素时,发现图中没有三角形全等,需要通过合理添加辅助线构造三角形全等.(1)证明:过D 作DF ∥CE ,交BC 于F ,∠E =∠GDF ,∵AB =AC ,DF ∥CE ,∴∠DFB =∠ACB =∠ABC ,∴DF =DB =EC .又∠DGF =∠EGC ,∴△GDF ≌△GEC .∴GE =GD .(2)GE m GD =.点评:在证明三角形全等时,可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素,或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素.热点4:定义、命题、定理、互逆命题的考查.例4 (2008永州)下列命题是假命题的是( )(A)四个角相等的四边形是矩形(B)对角线互相平分的四边形是平行四边形(C)四条边相等的四边形是菱形(D)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形分析:掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键. 解:选(D ).点评:本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握,遇到这种题,同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言,便能迅速作出准确判断.热点5:平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查.例5(2008某某)如图5,已知点D 在ABC △的BC △边上,DE AC ∥交AB 于E ,DF AB ∥交AC 于F .(1)求证:AE DF =;(2)若AD 平分BAC ∠,试判断四边形AEDF 的形状,并说明理由.分析:本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握. 证明:(1)∵DE AC ∥,∴ADE DAF ∠=∠,同理DAE FDA ∠=∠.∵AD DA =,∴ADE DAF △≌△,∴AE DF =.(2)若AD 平分BAC ∠,四边形AEDF 是菱形.证明:∵DE AC ∥,DF AB ∥,∴四边形AEDF 是平行四边形,∵FAD EAD ∠=∠,∴AF DF =,∴平行四边形AEDF 为菱形.点评:三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等,此类题起点低,注重基础知识及基本技能的考查,考查了同学们最基本的几何推理证明能力.热点6:圆的有关概念及性质的考查例6(2008某某)如图6,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,过圆心O 作OD AC ⊥,D 为垂足,E 是BC 上一点,G 是DE 的中点,OG 的延长线交BC 于F .(1)图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系?写出你的结论,并给出证明过程;(2)猜想线段BE EF FC ,,三者之间有怎样的数量关系?写出你的结论,并给出证明过程.分析:平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种,先通过观察图形可猜想OD ∥BC ,再利用圆的有关概念及性质得证.解:(1)结论:OD BC ∥.证明:∵AB 是O 的直径,C 是O 上一点,∴90ACB ∠=,即BC ⊥AC .又OD ⊥AC ,∴OD ∥BC .(2)结论:EF BE FC =+.证明:∵OD ⊥AC ,∴AD =DC .又O 为AB 的中点,∴OD 是△ABC 的中位线.∴BC =2OD .在△ODG 与△EFG 中,∵DG =EG ,∠GOD =∠GFE ,∠ODG =∠FEG ,∴ODG FEG △≌△.∴OD =EF .∴22BE EF FC BC OD EF ++===.∴EF BE FC =+.点评:为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解,新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行.本题就采用了这种方式.该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系.【考题预测】1.下列命题中真命题的个数是( )①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方;②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比;③在ABC △与A B C '''△中,AB AC A B A C ='''',A A '∠=∠,那么ABC A B C '''△∽△;④已知ABC △及位似中心O ,能够作一个且只能作一个三角形,使位似比为. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知如图7,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点E ,且AC 平分∠DAB ,AB =AE ,AC =AD .下四个结论:①AC ⊥BD ;②CB =DE ;③12DBC DAB ∠=∠;④△ABE 是等边三角形.请写出正确的结论序号____________(把你认为正确的结论序号填上,并证明其中一个).3.如图8,菱形ABCD 中,E 、F 分别为CB 、CD 延长线上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.4.如图9,在Rt △ABC 中,90ACB ∠=,2AB AC =,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E .又点F 在DE 的延长线上,且2EF DE =.求证:四边形ACEF 是菱形.5.如图10,D 是ABC △边AB 上一点,DE 交AC 于点E ,DE EF =,FC AB ∥. 求证:AE CE =.6.如图11,已知AC 切O 于A ,CB 顺次交O 于D B ,两点,6AC =,5BD =,连结AD ,AB .(1)求证:CAD CBA △∽△;(2)求线段DC 的长.7.如图12,ABC △是O 的内接三角形,AC BC =,D 为O 中上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =.(1)求证:AE BD =;(2)若AC BC ⊥,求证:AD BD CD +=.8.如图13,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连结AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交AB 的延长线于点G .(1)求证:点F 是BD 中点;(2)求证:CG 是O 的切线;(3)若2FB FE ==,求O 的半径.。

2012中考分类-图形与证明

2012中考分类-图形与证明

(广州)在平面中,下列命题为真命题的是( )。

(A )、四边相等的四边形是正方形(B )、对角线相等的四边形是菱形(C )、四个角相等的四边形是矩形(D )、对角线互相垂直的四边形是平行四边形解析:此题主要考查命题的真假判断,比较简单,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理A 、四边相等的四边形不一定是正方形,例如菱形,故此选项错误;B 、对角线相等的四边形不是菱形,例如矩形,等腰梯形,故此选项错误;C 、四个角相等的四边形是矩形,故此选项正确;D 、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,如右图所示,故此选项错误.故选C .黄冈 下列说法中 ①若式子有意义,则x >1.②已知∠α=27°,则∠α的补角是153°.③已知x=2 是方程x 2-6x+c=0 的一个实数根,则c 的值为8. ④在反比例函数中,若x >0 时,y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围是k >2. 其中正确命题有A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个深圳 下列命题:①方程x 2=x 的解是x =1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有( )A .4个B .3个C .2个D .1个解:①方程x2=x 的解是x1=0,x2=1,故错误;②4的平方根是±2,故错误;③有两边和夹角相等的两个三角形全等,故错误;④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形,正确.故正确的个数有1个.故选D .凉山 下列命题:①圆周角等于圆心角的一半;②2x =是方程11x -=的解;③平行四边形既是中心对称图形又是周对称图形;④4。

其中真命题的个数有( )A .1B .2C .3D .4乐山 下列命题是假命题的是C(A )平行四边形的对边相等 (B )四条边都相等的四边形是菱形(C )矩形的两条对角线互相垂直 (D )等腰梯形的两条对角线相等如图4,在△ABC 中,∠C =90º,AC =BC =4,D 是AB 的中点,点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动(点E 不与点A 、C 重合),且保持AE =CF ,连接DE 、DF 、EF . 在此运动变化的过程中,有下列结论:① △DFE 是等腰直角三角形;② 四边形CEDF 不可能为正方形;③ 四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化; ④ 点C 到线段EF其中正确结论的个数是B(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个呼和浩特D资阳 如图,△ABC 是等腰三角形,点D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点,∠ADE =∠DAC ,DE =AC .运用这个图(不添加辅助线)可以说明下列哪一个命题是假命题?A .一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B .有一组对边平行的四边形是梯形C .一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形D .对角线相等的四边形是矩形梅州 如图,AC 是⊙O 的直径,弦BD 交AC 于点E 。

中考数学图形与证明热点专题

中考数学图形与证明热点专题

热点专题六 图形与证明【考点聚焦】图形与证明是空间与图形的核心内容之一,它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中. 内容主要有:了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义;掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理;掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理;掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理;掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.【热点透视】热点1:把握三角形全等的性质,考查线段相等的证明.例1 (2008郴州)如图1,菱形ABCD 中,E F ,分别为BC 、CD 上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.分析:本题中灵活运用菱形的性质:四边相等,两组对角分别相等.找到全等三角形的对应元素是解本题的关键.证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB BC CD AD ===,B D ∠=∠.∵CE CF =,∴BE DF =.在ABE △与ADF △中,AB AD =,B D ∠=∠,BE DF =.∴ABE ADF △≌△,∴AE AF =.点评:掌握全等三角形的概念和性质,还要能准确辨认全等三角形中的对应元素,通过证明全等来证明线段相等或者角相等.热点2:紧扣三角形全等的判定,考查三角形全等的开放型问题.例2 (2008湘潭)如图2,在正五边形ABCDE 中,连结对角线AC 、AD 和CE ,AD 交CE 于F .(1)请列出图中两对全等三角形_________________(不另外添加辅助线);(2)请选择所列举的一对全等三角形加以证明.分析:由正多边形的性质可知:正多边形的各边相等,各角相等.这是一类结论不惟一的试题.解决此类问题的关键是依据图形,通过准确辨认全等三角形的对应元素,证明三角形全等.解:(1)△ABC ≌△AED ,△ABC ≌△EDC ;(2)证明:在正五边形ABCDE 中,AB BC CD DE EA ====,∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ,故在△ABC 与△AED 中,AB =AE ,∠B =∠DEA ,BC =DE ,∴△ABC ≌△AED , 在△ABC 与△EDC 中,AB =ED ,∠B =∠CDE ,BC =DC ,∴△ABC ≌△EDC .点评:本考题题干简单清晰,但考点的内容与正多边形的知识相结合,需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力,才能顺利解题.热点3:合理添加辅助线,构造全等三角形解决相关问题.例3 (2008常德)如图3,已知AB AC =,(1)若CE BD =,求证:GE GD =;(2)若C E m B D =(m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系(只写结论,不证明).分析:证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等,要证明线段GE 和GD 相等,在辨认三角形全等对应元素时,发现图中没有三角形全等,需要通过合理添加辅助线构造三角形全等.(1)证明:过D 作DF ∥CE ,交BC 于F ,∠E =∠GDF ,∵AB =AC ,DF ∥CE ,∴∠DFB =∠ACB =∠ABC ,∴DF =DB =EC .又∠DGF =∠EGC ,∴△GDF ≌△GEC .∴GE =GD .(2)GE m GD =.点评:在证明三角形全等时,可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素,或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素.热点4:定义、命题、定理、互逆命题的考查.例4 (2008永州)下列命题是假命题的是( )(A)四个角相等的四边形是矩形(B)对角线互相平分的四边形是平行四边形(C)四条边相等的四边形是菱形(D)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形分析:掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键. 解:选(D ).点评:本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握,遇到这种题,同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言,便能迅速作出准确判断.热点5:平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查.例5 (2008娄底)如图5,已知点D 在ABC △的BC △边上,DE AC ∥交AB 于E ,DF AB ∥交AC 于F .(1)求证:AE DF =;(2)若AD 平分BAC ∠,试判断四边形AEDF 的形状,并说明理由.分析:本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握.证明:(1)∵DE AC ∥,∴ADE DAF ∠=∠,同理DAE FDA ∠=∠.∵AD DA =,∴ADE DAF △≌△,∴AE DF =.(2)若AD 平分BAC ∠,四边形AEDF 是菱形.证明:∵DE AC ∥,DF AB ∥,∴四边形AEDF 是平行四边形,∵FAD EAD ∠=∠,∴AF DF =,∴平行四边形AEDF 为菱形.点评:三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等,此类题起点低,注重基础知识及基本技能的考查,考查了同学们最基本的几何推理证明能力.热点6:圆的有关概念及性质的考查例6 (2008益阳)如图6,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,过圆心O 作OD AC ⊥,D 为垂足,E 是BC 上一点,G 是DE 的中点,OG 的延长线交BC 于F .(1)图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系?写出你的结论,并给出证明过程;(2)猜想线段BE EF FC ,,三者之间有怎样的数量关系?写出你的结论,并给出证明过程.分析:平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种,先通过观察图形可猜想OD ∥BC ,再利用圆的有关概念及性质得证.解:(1)结论:OD BC ∥.证明:∵AB 是O 的直径,C 是O 上一点,∴90ACB ∠=,即BC ⊥AC .又OD ⊥AC ,∴OD ∥BC .(2)结论:EF BE FC =+.证明:∵OD ⊥AC ,∴AD =DC .又O 为AB 的中点,∴OD 是△ABC 的中位线.∴BC =2OD .在△ODG 与△EFG 中,∵DG =EG ,∠GOD =∠GFE ,∠ODG =∠FEG ,∴ODG FEG △≌△.∴OD =EF .∴22BE EF FC BC OD EF ++===.∴EF BE FC =+.点评:为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解,新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行.本题就采用了这种方式.该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系.【考题预测】1.下列命题中真命题的个数是( )①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方;②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比;③在ABC △与A B C '''△中,AB AC A B A C ='''',A A '∠=∠,那么ABC A B C '''△∽△; ④已知ABC △及位似中心O ,能够作一个且只能作一个三角形,使位似比为0.5. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知如图7,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点E ,且AC 平分∠DAB ,AB =AE ,AC =AD .下四个结论:①AC ⊥BD ;②CB =DE ;③12D B C D A B ∠=∠;④△ABE 是等边三角形.请写出正确的结论序号____________(把你认为正确的结论序号填上,并证明其中一个).3.如图8,菱形ABCD 中,E 、F 分别为CB 、CD 延长线上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.4.如图9,在Rt △ABC 中,90ACB ∠=,2AB AC =,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E .又点F 在DE 的延长线上,且2EF DE =.求证:四边形ACEF 是菱形.5.如图10,D 是ABC △边AB 上一点,DE 交AC 于点E ,DE EF =,FC AB ∥.求证:AE CE =.6.如图11,已知AC 切O 于A ,CB 顺次交O 于D B ,两点,6AC =,5BD =,连结AD ,AB .(1)求证:CAD CBA △∽△;(2)求线段DC 的长.7.如图12,ABC △是O 的内接三角形,AC BC =,D 为O 中上一点,延长DA至点E ,使CE CD =.(1)求证:AE BD =;(2)若AC BC ⊥,求证:AD BD CD +=.8.如图13,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连结AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交AB 的延长线于点G .(1)求证:点F 是BD 中点;(2)求证:CG 是O 的切线;(3)若2FB FE ==,求O 的半径.。

中考证明类新题型对“图形与证明”教学的启示

中考证明类新题型对“图形与证明”教学的启示

图1
明 , 可选 择另 外 的方法证 明. 也 .. 证 明: 在边 A B上截取 A =MC, E 连结 ME 在正 . 方形 A C 中 , BD = LB D =9 。A =B 所 以 C 0 ,B C,
程.
在“ 图形 与 证 明”的 教 学 中 , 于一 些 几何 定 对 理、 结论 , 师往 往 在 教 学 时会 重 “ 识技 能 ”而 轻 老 知 “ 过程方 法 ” 重单 纯 的解 题 、 对 定 理 的应 用 , 轻 ; 重 而
活 动经 验 的积累 、 对定 理 发 现 过程 的探 索.1 轻 9世 纪 德 国教育 家第斯 多 惠认 为仅仅 传授 知识 的教学 或 只是发 展能 力 的教学 都 是 片 面 的 , 学应 当兼 顾 这 教 两 个 目的 , 以发展 能力 的教 学为重 .“ 一个 坏 的老 师 奉 送真 理 , 一个好 的老师则 教人 发现 真理.” 本题 让 我 们得 到启 示 , 平 时 的教 学 中 , 于一 些 定理 、 在 对 结 论 的得 出应 当引 导学 生 通过 实践 、 思考 、 索 、 流 探 交 获得 , 而不 能全部 直接 抛 给学生 , 学生失 去 了对 未 使
领域 的一 个 重 要 组 成 部 分 , 数 学 课 程 标 准 ( 验 《 实
试 说 明 R AA R △A B C. t BC t
稿) 指 出: 》 学生对证明的学习是在积累了一定的活 动 经验 与掌握 了一 定 的图形 性 质 的基 础 上 , 几 个 从 基本 的事 实 出发 , 明一些 有关 三角形 、 证 四边 形 的基 本性质 , 从而体会证明的必要性 , 理解证明的基本过 程, 掌握 用 综 合 法 证 明 的格 式 , 步 感 受 公 理 化 思 初 想.义 务教 育课 程 标 准 实 验 教 科 书 ( 苏科 版 )教 材 中, 系统证 明的教 学是 出现 在 学 生 具有 一 定 合 情 推 理能 力和 掌握 初 步 图形 知 识 之 后.在 实 际 教 学 中 , 教师 在处 理证 明 内容 时会 存 在或 是把证 明的概念 前 置, 过早 的 向学 生 强调几 何形 式化 , 成一些 学 生对 造 几何 学 习产生 畏难 情 绪 ; 是 讲 授 证 明 时觉 得 无 内 或 容 可讲 , 甚至 干脆 跳过 不讲 , 造成 学生 对证 明认识 含 混 不清 , 对证 明 的理解 浅尝 即止. 中考 试题 对 日常 的教学起 着 重要 的导 向和 引领 作用 , 析 2 1 江苏省 各市 关于 证 明类 问题 的一 分 00年 些新 题型 , 我们 还 可 以感 受 到一些 理念 的转变 , 到 得

2020年中考数学热点冲刺6 图形折叠问题(含解析)

2020年中考数学热点冲刺6 图形折叠问题(含解析)

热点专题6图形折叠问题考向1矩形的折叠1. (2019 江苏省连云港市)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB.将矩形ABCD对折,得到折痕MN;沿着CM折叠,点D的对应点为E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,此时点B的对应点为G.下列结论:①①CMP是直角三角形;①点C、E、G不在同一条直线上;①PC=MP;①BP=AB;①点F是①CMP外接圆的圆心,其中正确的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】①沿着CM折叠,点D的对应点为E,①①DMC=①EMC,①再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,①①AMP=①EMP,①①AMD=180°,①①PME+①CME=180°=90°,①①CMP是直角三角形;故①正确;①沿着CM折叠,点D的对应点为E,①①D=①MEC=90°,①再沿着MP折叠,使得AM与EM重合,折痕为MP,①①MEG=①A=90°,①①GEC=180°,①点C、E、G在同一条直线上,故①错误;①AD=2AB,①设AB=x,则AD=2x,①将矩形ABCD对折,得到折痕MN;①DM=AD=x,①CM==x,①①PMC=90°,MN①PC,①CM2=CN•CP,①CP==x,①PN=CP﹣CN=x,①PM==x,①==,①PC=MP,故①错误;①PC=x,①PB=2x﹣x=x,①=,①PB=AB,故①,①CD=CE,EG=AB,AB=CD,①CE=EG,①①CEM=①G=90°,①FE①PG,①CF=PF,①①PMC=90°,①CF=PF=MF,①点F是①CMP外接圆的圆心,故①正确;故选:B.2. (2019 江苏省淮安市)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将①CBH 沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan①HAP=.【解析】如图,连接PB,交CH于E,由折叠可得,CH垂直平分BP,BH=PH,又①H为AB的中点,①AH=BH,①AH=PH=BH,①①HAP=①HP A,①HBP=①HPB,又①①HAP+①HP A+①HBP+①HPB=180°,①①APB=90°,①①APB=①HEB=90°,①AP①HE,①①BAP=①BHE,又①Rt①BCH中,tan①BHC==,①tan①HAP=,故答案为:.3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形,若①ABC=26°,则①ACD =°.【解析】延长DC,由题意可得:①ABC=①BCE=①BCA=26°,则①ACD=180°﹣26°﹣26°=128°.故答案为:128.4.(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(①)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图①;(①)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B′处,如图①,两次折痕交于点O;(①)展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图①.探究(1)证明:①OBC①①OED;(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.【解析】(1)证明:由折叠可知,AD=ED,①BCO=①DCO=①ADO=①CDO=45°①BC=DE,①COD=90°,OC=OD,在①OBC①①OED中,,①①OBC①①OED(SAS);(2)过点O作OH①CD于点H.由(1)①OBC①①OED,OE=OB,①BC=x,则AD=DE=x,①CE=8﹣x,①OC=OD,①COD=90°①CH=CD=AB==4,OH=CD=4,①EH=CH﹣CE=4﹣(8﹣x)=x﹣4在Rt①OHE中,由勾股定理得OE2=OH2+EH2,即OB2=42+(x﹣4)2,①y关于x的关系式:y=x2﹣8x+32.考向2平行四边形的折叠1. (2019 江苏省常州市)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.【解析】(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是AC′①BD,故答案为:AC′①BD;(2)EB与ED相等.由折叠可得,①CBD=①C'BD,①AD①BC,①①ADB=①CBD,①①EDB=①EBD,①BE=DE.2. (2019 江苏省徐州市)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.求证:(1)ECB FCG∠=∠;(2)EBC FGC∆≅∆.【解析】证明:(1)Q四边形ABCD是平行四边形,∴∠=∠,A BCD由折叠可得,A ECG∠=∠,∴∠=∠,BCD ECG∴∠-∠=∠-∠,BCD ECF ECG ECF∴∠=∠;ECB FCG(2)Q四边形ABCD是平行四边形,∴∠=∠,AD BCD B=,由折叠可得,D G=,∠=∠,AD CG=,B G∴∠=∠,BC CG又ECB FCG∠=∠Q,∴∆≅∆.EBC FGC ASA()考向3正方形的折叠1.(2019 江苏省连云港市)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求①AEF的度数;(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将①APN沿着AN翻折,点P落在点P'处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG①MN,FH①MN,垂足分别为G、H.若AG=,请直接写出FH的长.【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为:DN+MB=EC;理由如下:①四边形ABCD是正方形,①①ABE=①BCD=90°,AB=BC=CD,AB①CD,过点B作BF①MN分别交AE、CD于点G、F,如图1所示:①四边形MBFN为平行四边形,①NF=MB,①BF①AE,①①BGE=90°,①①CBF+①AEB=90°,①①BAE+①AEB=90°,①①CBF=①BAE,在①ABE和①BCF中,,①①ABE①①BCF(ASA),①BE=CF,①DN+NF+CF=BE+EC,①DN+MB=EC;问题探究:解:(1)连接AQ,过点Q作HI①AB,分别交AD、BC于点H、I,如图2所示:①四边形ABCD是正方形,①四边形ABIH为矩形,①HI①AD,HI①BC,HI=AB=AD,①BD是正方形ABCD的对角线,①①BDA=45°,①①DHQ是等腰直角三角形,HD=HQ,AH=QI,①MN是AE的垂直平分线,①AQ=QE,在Rt①AHQ和Rt①QIE中,,①Rt①AHQ①Rt①QIE(HL),①①AQH=①QEI,①①AQH+①EQI=90°,①①AQE=90°,①①AQE是等腰直角三角形,①①EAQ=①AEQ=45°,即①AEF=45°;(2)连接AC交BD于点O,如图3所示:则①APN的直角顶点P在OB上运动,设点P与点B重合时,则点P′与点D重合;设点P与点O重合时,则点P′的落点为O′,①AO=OD,①AOD=90°,①①ODA=①ADO′=45°,当点P在线段BO上运动时,过点P作PG①CD于点G,过点P′作P′H①CD交CD延长线于点H,连接PC,①点P在BD上,①AP=PC,在①APB和①CPB中,,①①APB①①CPB(SSS),①①BAP=①BCP,①①BCD=①MP A=90°,①①PCN=①AMP,①AB①CD,①①AMP=①PNC,①①PCN=①PNC,①PC=PN,①AP=PN,①①PNA=45°,①①PNP′=90°,①①P′NH+PNG=90°,①①P′NH+①NP′H=90°,①PNG+①NPG=90°,①①NPG=①P′NH,①PNG=①NP′H,由翻折性质得:PN=P′N,在①PGN和①NHP'中,,①①PGN①①NHP'(ASA),①PG=NH,GN=P'H,①BD是正方形ABCD的对角线,①①PDG=45°,易得PG=GD,①GN=DH,①DH=P'H,①①P'DH=45°,故①P'DA=45°,①点P'在线段DO'上运动;过点S作SK①DO',垂足为K,①点S为AD的中点,①DS=2,则P'S的最小值为;问题拓展:解:延长AG交BC于E,交DC的延长线于Q,延长FH交CD于P,如图4:则EG=AG=,PH=FH,①AE=5,在Rt①ABE中,BE==3,①CE=BC﹣BE=1,①①B=①ECQ=90°,①AEB=①QEC,①①ABE①①QCE,①==3,①QE=AE=,①AQ=AE+QE=,①AG①MN,①①AGM=90°=①B,①①MAG=①EAB,①①AGM①①ABE,①=,即=,解得:AM=,由折叠的性质得:AB'=EB=3,①B'=①B=90°,①C'=①BCD=90°,①B'M==,AC'=1,①①BAD=90°,①①B'AM=①C'F A,①①AFC'①①MAB',①==,解得:AF=,①DF=4﹣=,①AG①MN,FH①MN,①AG①FH,①AQ①FP,①①DFP①①DAQ,①=,即=,解得:FP=,①FH=FP=.考向4三角形的折叠(2019 江苏省扬州市)如图,已知等边①ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线,把①ABC沿直线1折叠,点B的对应点是点B′.(1)如图1,当PB=4时,若点B′恰好在AC边上,则AB′的长度为;(2)如图2,当PB=5时,若直线1①AC,则BB′的长度为;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线1始终垂直于AC,①ACB′的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4)当PB=6时,在直线1变化过程中,求①ACB′面积的最大值.【解析】(1)如图1中,①①ABC是等边三角形,①①A=60°,AB=BC=AC=8,①PB=4,①PB′=PB=P A=4,①①A=60°,①①APB′是等边三角形,①AB′=AP=4.故答案为4.(2)如图2中,设直线l交BC于点E.连接BB′交PE于O.①PE①AC,①①BPE=①A=60°,①BEP=①C=60°,①①PEB是等边三角形,①PB=5,①①B,B′关于PE对称,①BB′①PE,BB′=2OB①OB=PB•sin60°=,①BB′=5.故答案为5.(3)如图3中,结论:面积不变.①B,B′关于直线l对称,①BB′①直线l,①直线l①AC,①AC①BB′,①S①ACB′=S①ACB=•82=16.(4)如图4中,当B′P①AC时,①ACB′的面积最大,设直线PB′交AC于E,在Rt①APE中,①P A=2,①P AE=60°,①PE=P A•sin60°=,①B′E=6+,①S①ACB′的最大值=×8×(6+)=4+24.。

中考总复习图形证明

中考总复习图形证明

中考数学专题复习——图形的证明(1)三角形
1、 如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点C 、B 作AD 及其延长线的垂线CF 、BE ,
垂足分别为点F 、E .求证:BF= CE 。

2、如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,∠1=∠2,∠3=∠4。

求证:BO= DO
4321A F
D B
4、如图,已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,
求证:AD=CE。

D
B
C
中考数学专题复习——图形的证明(2)四边形
1、如图,在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,连接CE,延长CE交BA的延长线于点F。

求证:FA =AB.
A
E
5、如图,四边形ABCD 为矩形,F 为BC 边上的一点,AF 的延长线交DC 的延长线于点G ,DE ⊥AG ,垂足为E ,DE= DC ,求证:AF= BC.
E G
B A D C
F
中考数学专题复习——图形的证明(3)圆。

2023版山西数学中考总复习第六章图形的变化提分小专题十二-图形折叠的计算与证明

2023版山西数学中考总复习第六章图形的变化提分小专题十二-图形折叠的计算与证明

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4.(2022河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 6,AC = 8,点
E是边AB的中点,点P为边AC上的一动点,连接EP,将△AEP沿EP折叠得
5 到△A'EP.当A'E与△ABC的一条直角边垂直时,则线段AP的长为 2 或 5 .
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点拨:由勾股定理易得 AB = 10.由题意知 E 为 AB 的中点,则 AE = 5.分如下两种情
应点为D',AD'的延长线交BC于点E,则BE的长为 10 .
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点拨:(1)如图析 1,连接 FE ,易证 Rt△FD'E ≌ Rt △FCE ,
得 D'E = CE , 设 D'E = CE = x, 则 BE = 10 - x,AE = 10 + x, 根据勾股定理列方程可求出 CE = 9 ,
49 若AE = 5,则GE的长为 13 .
点拨:易证△DFC ≌ △AED,得到 CF = DE,
DF = AE = 5,根据勾股定理得 DE = 13,
可证△FCD ∽ △FDO,求出 DO = 60 , 13
GE = DE - 2DO = 49 . 13
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3.(2022黄岩区模拟)如图,菱形ABCD的边长为2,∠A = 45°,点E是边
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典例精讲 掌握通性通法
(一)三角形中的折叠 1. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC = 90°,∠B = 35°,AD是斜边 BC上的中线,将△ACD沿AD对折,使点C落在点F处,线段DF与AB 相交于点E,则∠FAE等于 20° .
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2. 如图,直角三角形纸片ABC的两条直角边BC,AC的长分别为6,8,现 7

中考数学几何证明题必备知识点最全梳理,超实用素材!

中考数学几何证明题必备知识点最全梳理,超实用素材!

中考数学几何证明题必备知识点最全梳理,超实用素材!初中数学几何证明题专题复习1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法:(1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;(2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止;(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。

3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。

几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力,能通过严密的'因为'、'所以'逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。

这类题目出法相当灵活,不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法,而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。

所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。

知识结构图中考中主要考试的类型一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

中考数学倒计时26:几何图形证明

中考数学倒计时26:几何图形证明

中考数学倒计时26:几何图形证明
(1)
这一问其实在同学们八年级的时候估计就已经比较常见了,证明AG两侧的两组三角形全等,方法均为HL,
全等后可得两组角都相等,
而且这四个角加一块为90°,
所以问题所求的∠EAF=45°;
(2)
这一问,根据旋转,毕竟容易得到条件,
证明△AMN和△AHN全等,
之后得到MN=HN,
HN、ND、DH在一个直角三角形中,
所以数量关系符合勾股定理,
再将HN替换为MN即可;
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
这道题比较简单,但使用的解题方法也是比较常见的,尤其是在同学们初学这些内容的时候,到了这个时候,不知道同学们是否都已掌握熟练?。

中考数学复习课件练习:专题复习六 几何综合题有答案

中考数学复习课件练习:专题复习六 几何综合题有答案

中考数学复习课件+练习:专题复习(六) 几何综合题(有答案)专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1.(2019·岳阳)问题背景:已知∠EDF的顶点D 在△ABC的边AB所在直线上(不与A,B重合).DE交AC所在直线于点M,DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1,△BND 的面积为S2.(1)初步尝试:如图1,当△ABC是等边三角形,AB=6,∠EDF=∠A,且DE∥BC,AD =2时,则S1·S2=12;(2)类比探究:在(1)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置,求S1·S2的值;(3)延伸拓展:当△ABC是等腰三角形时,设∠B=∠A=∠EDF=α.(Ⅰ)如图3,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1·S2的表达式(结果用a,b和α的三角函数表示);(Ⅱ)如图4,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1·S2的表达式,不必写出解答过程.解:(1)在图1中,∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB=AC=6,∠A=∠B=60°. ∵DE∥BC,∠EDF=∠A=60°,∴∠BND=∠EDF=60°.∴∠BDN=∠ADM=60°.∴△ADM,△BDN都是等边三角形.∴S1=34×22=3,S2=34×42=4 3.∴S1S2=12.(2)在图2中,设AM=x,BN=y.∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD,∠MDN=∠A,∴∠AMD=∠NDB.∵∠A=∠B,∴△AMD∽△BDN.∴AMBD=ADBN.∴x2=4y.∴xy=8.∵S1=12AD·AM sin60°=3x,S2=12DB·BN sin60°=32y,∴S 1S 2=3x·32y =32xy =12. (3)(Ⅰ)在图3中,设AM =x ,BN =y , 同法可证△AMD ∽△BDN ,可得xy =ab.∵S 1=12AD·AM sin α=12ax sin α, S 2=12DB·BN sin α=12by sin α, ∴S 1S 2=14(ab)2sin 2α. (Ⅱ)在图4中,设AM =x ,BN =y ,同法可证△AMD ∽△BDN ,可得xy =ab ,∵S 1=12AD·AM sin α=12ax sin α, S 2=12DB·BN sin α=12by sin α, ∴S 1S 2=14(ab)2sin 2α. 2.(2019·自贡)如图,已知∠AOB =60°,在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA ,OB 相交于点D ,E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给予证明;若不成立,线段OD,OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.图1图2图3解:(1)∵OM是∠AOB的平分线,∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°.∵CD⊥OA,∴∠ODC=90°.∴∠OCD=60°.∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°.在Rt△OCD中,OD=OC·cos30°=32OC,同理,OE=32OC.∴OD+OE=3OC.(2)(1)中的结论仍然成立.理由:过点C作CF⊥OA于点F,CG⊥OB于点G,∴∠OFC=∠OGC=90°.∵∠AOB=60°,∴∠FCG=120°.同(1)的方法得OF=32OC,OG=32OC.∴OF+OG=3OC.∵CF⊥OA,CG⊥OB,且点C是∠AOB 的平分线OM上一点,∴CF=CG.∵∠DCE=∠FCG=120°,∴∠DCF=∠ECG.∴△CFD≌△CGE.∴DF=EG.∴OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG.∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE.∴OD+OE=3OC.(3)(1)中的结论不成立,结论为OE-OD=3OC.3.(2019·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC 上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO∶CO=1∶3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB=75°,AB=43;(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC =∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.图1图2 图3解:过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD,∴∠DAO =∠BEO=90°.∵∠AOD =∠EOB,∴△AOD∽△EOB.∴BODO=EOAO=BEDA.∵BO∶OD=1∶3,∴EOAO=BEDA=13.∵AO=33,∴EO= 3.∴AE=4 3. ∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC.∴AB=AC=AEcos30°=8.∴BE=12AB=4,AD=3BE=12.在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,得CD=413. 4.(2019·江西)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.图1图2图3图4(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是BP=CE,CE与AD的位置关系是AD⊥CE;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理);(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE.若AB=23,BE=219,求四边形ADPE的面积.解:(1)提示:连接AC,延长CE交AD于点H,证明△ABP≌△ACE.(2)结论仍然成立.理由:选图2,连接AC交BD于点O,设CE交AD于点H.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD =∠CBD=30°.∴AB=AC.∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠BAC=∠PAE=60°.∴∠BAP=∠CAE.∴△BAP≌△CAE.∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°.∴∠AHC=90°,即CE⊥AD.(3)连接AC交BD于点O,连接CE交AD 于点H.由(2)可知,EC⊥AD,CE=BP.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴EC⊥BC.∵BC=AB=23,BE=219,在Rt△BCE中,EC=(219)2-(23)2=8.∴BP=CE=8.∵AC与BD是菱形的对角线,∴∠ABD=12∠ABC=30°,AC⊥BD. ∴BD=2BO=2AB·cos30°=6.∴OA=12AB=3,DP=BP-BD=8-6=2.∴OP=OD+DP=5.在Rt△AOP中,AP=AO2+OP2=27,∴S四边形ADPE =S△ADP+S△AEP=12×2×3+34×(27)2=8 3.5.(2019·烟台)【问题解决】一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP′B,连接PP′,求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.图1图2解:【问题解决】思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°,BP′=BP=2,AP′=CP=3.在Rt△PBP′中,BP=BP′=2,∴∠BPP′=45°,根据勾股定理,得PP′=2 BP=2 2.∵AP=1,∴AP2+PP′2=1+8=9.∵AP′2=32=9,∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形,且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°.【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′=90°,BP′=BP=1,AP′=CP=11.在Rt△PBP′中,BP=BP′=1,∴∠BPP′=45°,根据勾股定理,得PP′=2 BP= 2.∵AP=3,∴AP2+PP′2=9+2=11.∵AP′2=(11)2=11,∴AP2+PP′2=AP′2.∴△APP′是直角三角形,且∠APP′=90°.∴∠APB=∠APP′-∠BPP′=90°-45°=45°.6.(2019·黄石)在△ABC中,E,F分别为线段AB,AC上的点(不与A,B,C重合).(1)如图1,若EF∥BC,求证:S△AEFS△ABC=AE·AFAB·AC;(2)如图2,若EF不与BC平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若EF上一点G恰为△ABC的重心,AEAB=34,求S△AEFS△ABC的值.图1图2图3 解:(1)∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.∴AEAB=AFAC.∴S△AEFS△ABC=(AEAB)2=AEAB·AFAC=AE·AFAB·AC.(2)若EF不与BC平行,(1)中的结论仍然成立.分别过点F,C作AB的垂线,垂足分别为N,H.∵FN⊥AB,CH⊥AB,∴FN∥CH.∴△AFN∽△ACH.∴FNCH=AFAC.∴S△AEFS△ABC=12AE·FN12AB·CH=AE·AFAB·AC.(3)连接AG并延长,交BC于点M,连接BG并延长,交AC于点N,连接M,N,则M,N分别是BC,AC的中点,∴MN∥AB,且MN=12AB.∴GM GA =GN GB =12,且S △ABM =S △ACM . ∴AG AM =23. 设AF AC=a , 由(2)知,S △AEG S △ABM=AE·AG AB·AM =34×23=12, S △AFG S △ACM =AG·AF AM·AC =23a , 则S △AEF S △ABC =S △AEG +S △AFG 2S △ACM =S △AEG 2S △ABM +S △AFG 2S △ACM=14+13a. 而S △AEF S △ABC =AE·AF AB·AC =34a , ∴14+13a =34a ,解得a =35. ∴S △AEF S △ABC =34×35=920. 7.(2019·河南)(1)问题发现如图1,在△OAB 和△OCD 中,OA =OB ,OC =OD ,∠AOB =∠COD =40°,连接AC ,BD 相交于点M.填空:①AC BD的值为1; ②∠AMB 的度数为40°;(2)类比探究如图2,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB =∠COD =90°,∠OAB =∠OCD =30°,连接AC交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC ,BD 所在直线交于点M.若OD =1,OB =7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图1图2 图3解:(2)AC BD=3,∠AMB =90°. 理由如下:∵∠AOB =∠COD =90°,∠OAB =∠OCD=30°,∴CODO=AOBO=3,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.∴△AOC∽△BOD.∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠AMB=90°.(3)AC的长为23或3 3.提示:在△OCD旋转的过程中,(2)中的结论仍然成立,即ACBD=3,∠AMB=90°.如图所示,点C与点M重合,AC1,AC2的长即为所求.8.(2019·淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是MG=NG;位置关系是MG⊥NG;(2)类比思考:如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;(3)深入研究:如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN 的形状,并给予证明.图1图2图3解:(1)连接BE,CD相交于点H,∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠CAD=∠BAE.∴△ACD≌△AEB(SAS).∴CD=BE,∠ADC=∠ABE.∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°.∴∠BHD=90°.∴CD⊥BE.∵点M,G分别是BD,BC的中点,∴MG//12CD.同理NG//12BE.∴MG=NG,MG⊥NG.故答案为MG=NG,MG⊥NG.(2)连接CD,BE,相交于点H,同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG.(3)连接EB,DC,延长线相交于点H,同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,MG=NG.∴∠AEB=∠ACD.∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°.∴∠DHE=90°.同(1)的方法得,MG⊥NG.类型2与图形变换有关的几何综合题1.(2019·襄阳)如图1,已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为E,GF⊥CD, 垂足为F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:AGBE的值为2;(2)探究与证明:将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图2所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用:四边形CEGF在旋转过程中,当B,E,F 三点在一条直线上时,如图3所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC=35.图1图2图3解:(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠BCA=45°.∵GE⊥BC,GF⊥CD,∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°.∴四边形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG =45°.∴EG=EC.∴四边形CEGF是正方形.(2)连接CG,由旋转性质可知,∠BCE=∠ACG=α.在Rt△CEG和Rt△CBA中,CECG=cos45°=22,CBCA=cos45°=22.∴CGCE=CACB= 2.又∵∠ECG=∠ECA=∠ACB-∠ECA,即∠ACG=∠BCE,∴△ACG∽△BCE.∴AGBE=CACB= 2.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=2BE.2.(2019·仙桃)问题:如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC;探索:如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB =AC ,AD =AE ,将△ADE 绕点A 旋转,使点D 落在BC 边上,试探索线段AD ,BD ,CD 之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°.若BD =9,CD =3,求AD 的长.图1图2 图3解:探索:BD 2+CD 2=2AD 2.连接CE.∵∠BAD +∠DAC =90°=∠DAC +∠CAE ,∴∠BAD =∠CAE.在△ABD 和△ACE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS ).∴BD =CE ,∠B =∠ACE.∵Rt △ABC 与Rt △ADE 是等腰直角三角形,∴DE 2=2AD 2.∴∠B =45°.∴∠ACB +∠ACE =45°+45°=90°.∴∠DCE=90°.∴DC2+CE2=DE2,即BD2+CD2=2AD2.应用:以AD为腰作等腰Rt△ADE,连接CE,由“探索”可知,△ABD≌△ACE(SAS).∴CE=BD=9.∵∠ADC=∠ADE=45°,∴∠EDC=90°.在Rt△CDE中,由勾股定理,得DE=92-32=6 2.在等腰Rt△ADE中,AD=22DE=6.3.(2019·宜昌)在矩形ABCD中,AB=12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E,且在AD上,BE交PC于点F.(1)如图1,若点E是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;(2)如图2,①求证:BP=BF;②当AD=25,且AE<DE时,求cos∠PCB 的值;③当BP=9时,求BE·EF的值.图1 图2 图2备用图解:(1)证明:在矩形ABCD 中,∠A =∠D =90°,AB =DC ,∵点E 是AD 中点,∴AE =DE.在△AEB 和△DEC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =DC ,∠A =∠D =90°,AE =DE ,∴△AEB ≌△DEC(SAS ).(2)①证明:在矩形ABCD 中,∠ABC =90°. ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ,∴∠PGC =∠PBC =90°,∠BPC =∠GPC. ∵BE ⊥CG ,∴BE ∥PG.∴∠GPF =∠PFB.∴∠BPF =∠PFB.∴BP =BF.②当AD =25时,∵∠BEC =90°,∴∠AEB +∠PEC =90°. ∵∠AEB +∠ABE =90°,∴∠DEC =∠ABE.∵∠A =∠D =90°,∴△ABE ∽△DEC.∴AB AE =DE DC.设AE=x,则DE=25-x,∴12x=25-x12.∴x=9或x=16.∵AE<DE,∴AE=9,DE=16.∴由勾股定理,得CE=20,BE=15.由折叠得,BP=PG,BC=GC,∴BP=BF =PG.∵BE∥PG,∴△ECF∽△GCP.∴EFGP=CECG.设BP=BF=PG=y,∴15-yy=2025.∴y=253,即BP=253.在Rt△PBC中,由勾股定理,得PC=25103,cos∠PCB=BCPC=31010.③连接FG,∵∠GEF=∠G=90°,∴BE∥PG. ∵BF∥PG,BF=PG=BP,∴四边形BPGF是菱形.∴BP∥GF,且BP=GF.∴∠GFE=∠EBA. ∴△GEF∽△EAB.∴EFGF=ABEB.∴BE·EF=AB·GF=AB·BP=12×9=108. 4.(2019·永州)如图1,在△ABC中,矩形EFGH 的一边EF在AB上,顶点G,H分别在BC,AC上,CD是边AB上的高,CD交GH于点I.若CI=4,HI=3,AD=92,矩形DFGI恰好为正方形.图1图2图3(1)求正方形DFGI的边长;(2)如图2,延长AB至P,使得AC=CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移,当点G刚好落在CP上时,试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形,为什么?(3)如图3,连接DG,将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分别与线段DG,DB相交于点M,N,求△MN G′的周长.解:(1)∵HI∥AD,∴HIAD=CICD.∴392=4CD.∴CD=6.∴ID=CD-CI=2.∴正方形的边长为2.(2)如图2,设点G落在PC上时对应的点为点G′,点F的对应点为点F′.∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P.∵HG′∥PA,∴∠CHG′=∠A,∠CG′H=∠P.∴∠CHG′=∠CG′H.∴CH=CG′.∴IH=IG′=DF′=3.∵IG∥DB,∴IGDB=CICD.∴2DB=46.∴DB=3.∴DB=DF′=3.∴点B与点F′重合.∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形,即△BGG′.(3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′,此时N,F′,R共线.∴∠MDR=90°.∵∠NDM=45°,∠NDM+∠NDR=90°,∴∠NDM=∠NDR=45°.∵DN=DN,DM=DR,∴△NDM≌△NDR.∴MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′.∴△MNG′的周长=MN+MG′+NG′=NF′+NG′+MI′=F′G′+I′G′=2I′G′=4. 5.(2019·岳阳)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD 所在的直线对折,使点B落在点B′处,连接AB′,BB′,延长CD交BB′于点E,设∠ABC=2α.(0°<α<45°)(1)如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE;(2)如图2,若AB≠AC,试求CD与BE的数量关系;(用含α的式子表示)(3)如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α+45°),得到线段FC,连接EF交BC 于点O,设△COE的面积为S1,△COF的面积为S2,求S1S2.(用含α的式子表示)图1图2图3解:(1)证明:∵点B,B′关于EC对称,∴BB′⊥EC,BE=EB′.∴∠DEB=∠DAC=90°.∵∠EDB=∠ADC,∴∠DBE=∠ACD.∵AB=AC,∠BAB′=∠CAD=90°,∴△BAB′≌△CAD.∴CD=BB′=2BE.(2)如图2,结论:CD=2BE·tan2α.理由:由(1)可知,∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,∴△BAB′∽△CAD.∴BB′CD=ABAC=1tan2α.∴2BECD=1tan2α.∴CD=2BE·tan2α.(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°-2α.∵EC平分∠ACB,∴∠ECB=12(90°-2α)=45°-α.∵∠BCF=45°+α,∴∠ECF=45°-α+45°+α=90°. ∴∠BEC+∠ECF=180°.∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO.∴EOFO=BECF=BEBC=sin(45°-α).∵S1S2=EOFO,∴S1S2=sin(45°-α).6.(2019·潍坊)如图1,在▱ABCD中,DH⊥AB 于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB 于点F,AB=6,DH=4,BF∶FA=1∶5.(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连接M′B.①求四边形BHMM′的面积;②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值;(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.图1图2图3解:(1)①在▱ABCD中,AB=6,直线EF 垂直平分CD,∴DE=FH=3.又BF∶FA=1∶5,∴BF=1,FA=5.∴AH=2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF,∴HMFH=HAHD.∴HM3=24.∴HM=3 2.根据平移的性质,得MM′=CD=6,∴S四边形BHMM′=S△BMM′+S△BHM=12×6×32+12×4×32=15 2.②连接CM交直线EF于点N,连接DN. ∴CN=DN.∵MH=32,∴DM=52.在Rt△CDM中,MC2=DC2+DM2.∴MC2=62+(52)2,即MC=132.∵MN+DN的最小值=MN+CN=MC,∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE,∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE,∴QFQF+4=BFCE=13.∴QF=2.∴PK=PK′=6.过点K′作E′F′∥EF,分别交CD于点E′,交QK于点F′.当点P在线段CE上时,在Rt△PK′E′中,PE′2=PK′2-E′K′2,∴PE′=2 5.∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q,∴PE′K′F′=E′K′F′Q.∴252=4F′Q.∴F′Q=45 5.∴PE=PE′-EE′=25-455=655.∴CP=CE-PE=15-655.同理可得,当点P在线段ED上时,CP=15+655.综上可得,CP的长为15-655或15+655.类型3与动点有关的几何综合题1.(2019·黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C 在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于点P,交对角线OB于点Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长;(2)求t为何值时,点P与N重合;(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.解:(1)当t=2时,OM=2,在Rt△OPM中,∠POM=60°,∴PM=OM·tan60°=2 3.在Rt△OMQ中,∠QOM=30°,∴QM=OM·tan30°=23 3.∴PQ =PM -QM =23-233=433. (2)由题意,得8+(t -4)+2t =24,解得t =203. (3)①当0<t <4时,S =12·2t·43=43t ; ②当4≤t <203时,S =12×[8-(t -4)-(2t -8)]×43=403-63t ;③当203≤t <8时,S =12×[(t -4)+(2t -8)-8]×43=63t -403;④当8≤t ≤12时,S =S 菱形ABCO -S △AON -S △ABP -S △PCN=323-12(24-2t)×43-12×[8-(t -4)]×43-12(t -4)×32[8-(24-2t)] =-32t 2+123t -56 3. 综上,S =⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧43t ;(0<t <4)403-63t ;(4≤t <203)63t -403;(203≤t <8)-32t 2+123t -56 3.(8≤t ≤12) 2.(2019·青岛)已知:如图,四边形ABCD ,AB ∥DC ,CB ⊥AB ,AB =16 cm ,BC =6 cm ,CD =8 cm .动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动,动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm /s .点P 和点Q 同时出发,以QA ,QP 为边作平行四边形AQPE ,设运动的时间为t(s ),0<t <5.根据题意解答下列问题:(1)用含t 的代数式表示AP ;(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)当QP ⊥BD 时,求t 的值;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点E 在∠ABD 的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ,则四边形DHBC 是矩形,∴CD =BH =8,DH =BC =6.∴AH =AB -BH =8,AD =DH 2+AH 2=10,BD =CD 2+BC 2=10.∴AP =AD -DP =10-2t.(2)过点P 作PN ⊥AB 于点N ,连接PB. 在Rt △APN 中,PA =10-2t ,∴PN =PA·sin ∠DAH =35(10-2t),AN =PA·cos ∠DAH =45(10-2t). ∴BN =16-AN =16-45(10-2t), S =S △PQB +S △BCP =12·(16-2t)·35(10-2t)+12×6×[16-45(10-2t)]=65t 2-545t +72(0<t <5). (3)当PQ ⊥BD 时,∠PQN +∠DBA =90°, ∵∠QPN +∠PQN =90°,∴∠QPN =∠DBA.∴tan ∠QPN =QN PN =34.∴45(10-2t)-2t35(10-2t)=34.解得t=3527.经检验,t=3527是分式方程的解,∴当t=3527s时,PQ⊥BD.(4)存在.理由:连接BE交DH于点K,过点K作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,∴KH=KM,BH=BM=8.设KH=KM=x,在Rt△DKM中,(6-x)2=22+x2,解得x=8 3.过点E作EF⊥AB于点F,则△AEF≌△QPN,∴EF=PN=35(10-2t),AF=QN=45(10-2t)-2t,∴BF =16-[45(10-2t)-2t]. ∵KH ∥EF ,∴KH EF =BH BF. ∴8335(10-2t )=816-[45(10-2t )-2t].解得t =2518. 经检验,t =2518是分式方程的解. ∴当t =2518s 时,点E 在∠ABD 的平分线上.3.(2019·绵阳)如图,已知△ABC 的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M ,N 同时从A 点出发,M 沿A →C ,N 沿折线A →B →C ,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C 时,另一个动点也随之停止移动,移动的时间记为t 秒,连接MN.(1)求直线BC 的解析式;(2)移动过程中,将△AMN 沿直线MN 翻折,点A 恰好落在BC 边上点D 处,求此时t 值及点D 的坐标;(3)当点M ,N 移动时,记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S ,求S 关于时间t 的函数关系式.备用图解:(1)设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则有⎩⎨⎧b =4,-3k +b =0,解得⎩⎨⎧k =43,b =4.∴直线BC 的解析式为y =43x +4. 图1(2)如图1,连接AD 交MN 于点O′.由题意可知,四边形AMDN 是菱形,M(3-t ,0),N(3-35t ,45t), ∴O′(3-45t ,25t),D(3-38t ,45t). ∵点D 在BC 上,∴45t =43×(3-85t)+4,解得t =3011. ∴t =3011s 时,点A 恰好落在BC 边上点D 处,此时D(-1511,2411). 图2(3)如图2,当0<t ≤5时,△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ,S =12×t ×45t =25t 2; 如图3,当5<t ≤6时,△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.图3S =S △ABC -S △CMN =12×6×4-12×(6-t)×[4-45(t -5)]=-25t 2+325t -12. 4.(2019·广东)已知Rt △OAB ,∠OAB =90°,∠ABO =30°,斜边OB =4,将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°,如图1,连接BC.(1)填空:∠OBC =60°;(2)如图1,连接AC ,作OP ⊥AC ,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为单位长度/秒,点N的运动速度为1单位长度/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时,y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)图1图2备用图解:(2)∵OB=4,∠ABO=30°,∴OA=12OB=2,AB=3OA=2 3.∴S△AOC =12OA·AB=12×2×23=2 3.∵△BOC是等边三角形,∴BC=BO=4.∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC =90°.∴AC=AB2+BC2=27.∴OP=2S△AOCAC=4327=2217.(3)①当0<x ≤83时,点M 在OC 上运动,点N 在OB 上运动,此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.则NE =ON·sin 60°=32x , ∴y =12OM·NE =12××32x ,即y =338x 2. ∴当x =83时,y 有最大值,最大值为833. ②当83<x ≤4时,点M 在BC 上运动,点N 在OB 上运动.图3过点M 作MH ⊥OB 于点H.则BM =8-,MH =BM·sin 60°=32(8-1.5x), ∴y =12ON·MH =-338x 2+23x. ∵当x =83时,y 取最大值,∴y <833. ③当4<x ≤时,点M ,N 都在BC 上运动,过点O作OG⊥BC于点G.则MN=12-,OG=AB=23,图4∴y=12MN·OG=123-532x.∵当x=4时,y有最大值,∴y<2 3.综上所述,y有最大值,最大值为83 3.类型4与实践操作有关的几何综合题1.(2019·齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动,确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B′C 和AD相交于点E,连接B′D.图1图2解决问题(1)在图1中.①B′D和AC的位置关系为B′D∥AC(互相平行);②将△AEC剪下后展开,得到的图形是菱形;(2)若图1中的矩形变为平行四边形(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为1∶1或3∶1.拓展应用(4)在图2中,若∠B=30°,AB=43,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为4或6或8或12.解:结果仍成立.①选择结论①证明.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC.∴∠DAC=∠BCA.由折叠性质,得BC=B′C,∠BCA=∠ACB′,∴∠DAC=∠ACB′,B′C=AD.∴AE=CE,∴B′E=DE.∴∠CB′D=ADB′.∵∠AEC=∠B′ED,∠ACB′=∠CAD,∴∠ADB′=∠DAC.∴B′D∥AC.②选择结论②证明.设点E的对应为点F,连接AF.由折叠性质,得AE=AF,CE=CF.由①知AE=CE,∴AE=CE=AF=CF.∴四边形AECF是菱形.2.(2019·山西)综合性实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM,试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴EMDM=EBAB.(依据1)∵BE=AB,∴EMDM=1.∴EM=DM,即AM是△ADE的DE边上的中线.又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流:(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE 的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC 的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE 的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B 都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图1图2 图3解:(1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).②点A在线段GF的垂直平分线上.(2)证明:过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠BCE+∠BEC=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴CG=CE,∠GCE=90°.∴∠BCE+∠BCG=90°.∴∠BEC=∠BCG.∴△GHC≌△CBE(AAS).∴HC=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).过点F作FM⊥BC于点M,过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=90°.∴四边形BENM 为矩形.∴BM=EN,∠CEB+∠CEN=90°.∵四边形CEFG为正方形,∴EF=EC,∠CEF=90°.∴∠CEN+∠FEN=90°.∴∠CEB=∠FEN.∴△ENF≌△EBC(AAS).∴NE=BE.∴BM=BE.。

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析1.顺次连接矩形ABCD各边的中点,所得四边形必定是()A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形【答案】D【解析】如图:E,F,G,H为矩形的中点,则AH=HD=BF=CF,AE=BE=CG=DG,在Rt△AEH与Rt△DGH中,AH=HD,AE=DG,所以△AEH≌△DGH,因此根据全等三角形的性质可得EH=HG,同理,△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF,因此可得EH=HG=GF=EF,所以四边形EFGH为菱形.故选A【考点】菱形的判定2.如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为,顶部A处的高AC为4m,B、C在同一水平地面上。

(1)求斜坡AB的水平宽度BC;(2)矩形DEFG为长方形货柜的侧面图,其中DE=2.5m,EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=3.5m时,求点D离地面的高。

(,结果精确到0.1m)【答案】(1) 8m.(2) 4.5m.【解析】(1)根据坡度定义直接解答即可;(2)作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.证出∠GDH=∠SBH,根据,得到GH=1m,利用勾股定理求出DH的长,然后求出BH=5m,进而求出HS,然后得到DS.试题解析:(1)∵坡度为i=1:2,AC=4m,∴BC=4×2=8m.(2)作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH,∠DHG=∠BHS,∴∠GDH=∠SBH,∵DG=EF=2m,∴GH=1m,∴DH=m,BH=BF+FH=3.5+(2.5-1)=5m,设HS=xm,则BS=2xm,∴x2+(2x)2=52,∴x=m,∴DS=+=2m≈4.5m.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,则下列结论错误的是()A.AF=AE B.△ABE≌△AGF C.EF=D.AF=EF【答案】D.【解析】∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEC,∵∠AEF=∠FEC,∴∠AFE=∠AEF,∴AF=AE,∴选项A正确;∵ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°,∵AG=DC,∠G=∠C,∴∠B=∠G=90°,AB=AG,∵AE=AF,∴△ABE≌△AGF,∴选项B正确;设BE=x,则CE=BC﹣BE=8﹣x,∵沿EF翻折后点C与点A重合,∴AE=CE=8﹣x,在Rt△ABE中,,即,解得x=3,∴AE=8﹣3=5,由翻折的性质得,∠AEF=∠CEF,∵矩形ABCD的对边AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF=5,过点E作EH⊥AD于H,则四边形ABEH是矩形,∴EH=AB=4,AH=BE=3,∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2,在Rt△EFH中,EF=,∴选项C正确;由已知条件无法确定AF和EF的关系,故选D.【考点】翻折变换(折叠问题).4.(7分)如图,平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE= cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE= cm时,四边形CEDF是菱形;(直接写出答案,不需要说明理由)【答案】(1)证明见解析;(2)①当AE=3.5cm时,四边形CEDF是矩形.②当AE=2cm时,四边形CEDF是菱形.【解析】(1)利用“ASA”即可得证;①当四边形CEDF是矩形时,则有EG=DG=1.5cm,又由已知可得∠ADC=60°,从而得△EGD为等边三角形,从而得DE=1.5cm,从而得AE=3.5cm;②.当四边形CEDF是菱形时,则有EF⊥CD,由已知可知∠ADC=60°,从而可得∠DEG=30°,从而得DE=2DG=3,从而得AE=2.试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴ CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG,∵ G是CD的中点,∴ CG=DG,在△FCG和△EDG中,,∴△FCG ≌△EDG(ASA),∴ FG=EG,∵ CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形;(2)①当AE=3.5cm时,四边形CEDF是矩形.②当AE=2cm时,四边形CEDF是菱形.【考点】1.平行四边形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.矩形的判定;4.菱形的判定.5.如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= 度.【答案】60°.【解析】由四边形OABC为平行四边形,根据平行四边形对角相等,即可得∠B=∠AOC,由圆周角定理,可得∠AOC=2∠ADC,又由内接四边形的性质,可得∠B+∠ADC=180°,即可求得∠B=∠AOC=120°,∠ADC=60°,然后由三角形外角的性质,即可求得∠OAD+∠OCD的度数.试题解析:连接DO并延长,∵四边形OABC为平行四边形,∴∠B="∠AOC,"∵∠AOC="2∠ADC,"∴∠B="2∠ADC,"∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠B+∠ADC="180°,"∴3∠ADC="180°,"∴∠ADC="60°,"∴∠B="∠AOC=120°,"∵∠1="∠OAD+∠ADO,∠2=∠OCD+∠CDO,"∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°.【考点】1.圆周角定理;2.平行四边形的性质.6.下列四个命题中真命题是()A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形B.对角线垂直且相等的四边形是菱形C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.四边都相等的四边形是正方形【答案】C【解析】因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以A错误;因为对角线垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是等腰梯形,所以B错误;因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形,所以C正确;因为四边都相等的四边形是菱形,所以D错误;故选:C.【考点】特殊的平行四边形的判定.7.挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:当一根棒条没有被其它棒条压着时,就可以把它往上拿走。

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析

初三数学图形与证明试题答案及解析1.如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o,那么∠2的度数是(▲ )A.30o B.25oC.20o D.15o【答案】B【解析】略2.如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA= .【答案】.【解析】如图,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=,BC=,AD=,可以得知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得,BC•AD=AB•CE,即CE=,sinA===,故答案为:.【考点】1.锐角三角函数的定义;2.三角形的面积;3.勾股定理.3.如图,AB∥CD,直线EF分别与AB、CD交于点E、F,若∠AEF=40°,则∠EFD的度数为()A.20° B.40° C.50° D.140°【答案】B【解析】根据AB∥CD可得∠EFD=∠AEF=40°.【考点】平行线的性质.4.如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在y轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足条件的点P共有()A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B.【解析】当∠BPA=90°时,即点P的位置有2个;当∠ABP=90°时,点P的位置有1个;当∠BAP=90°时,在y轴上共有1个交点.试题解析:如图:(1)以A为直角顶点,可过A作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点符合点P的要求;(2)以B为直角顶点,可过B作直线垂直于AB,与y轴交于一点,这一点符合点P的要求;(3)以P为直角顶点,与y轴共有2个交点.所以满足条件的点P共有4个.故选B.【考点】一次函数综合题.5.两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为2cm,两圆的位置关系是()A.内切B.外切C.相交D.内含【答案】C.【解析】圆心距为2cm,小于两圆的半径和7cm,大于两圆的半径差1cm,根据圆和圆的位置关系可得,两圆的位置关系是相交,故答案选C.【考点】圆和圆的位置关系.6.如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为()A.25°B.50°C.60°D.30°【答案】A.【解析】∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=50°,∴∠BAC=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=25°,故选A.【考点】1.圆周角定理;2.平行线的性质.7.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为().A.50°B.40°C.30°D.25°【答案】B.【解析】由两直线平行,同位角相等,可求得∠3的度数,然后求得∠2的度数.试题解析:解:如图,∵∠1=50°,∴∠3=∠1=50°,∴∠2=90°﹣50°=40°.故选B.点评:此题考查了平行线的性质.注意两直线平行,同位角相等定理的应用是解此题的关键.【考点】平行线的性质.8.如图,AB∥CD,CP交AB于点O,AO=PO,∠C=50°,则∠A= °.【答案】25【解析】∵AB//CD,∴∠POB=∠C=50°,∵OA=OP,∴∠A=∠P,∵∠A+∠P=∠POB,∴∠A=25°.【考点】1.平行线的性质;2.三角形外角的性质.9.如图,点A,B,C在圆O上,OC⊥AB,垂足为D,若⊙O的半径是10cm,AB=12cm,则CD= cm.【答案】2.【解析】先根据垂径定理求出AD的长,在Rt△AOD中由勾股定理求出OD的长,进而利用CD=OC-OD可得出结论.试题解析:∵⊙O的半径是10cm,弦AB的长是12cm,OC是⊙O的半径且OC⊥AB,垂足为D,∴OA=OC=10cm,AD=AB=×12=6cm,∵在Rt△AOD中,OA=10cm,AD=6cm,∴OD==8cm,∴CD=OC-OD=10-8=2cm.【考点】1.垂径定理;2.勾股定理.10.(8分)如图,在△ABC中,点D、E分别是边BC、AC的中点,过点A作AF∥BC交DE 的延长线于F点,连接AD、CF.当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形?为什么?【答案】当△ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形,理由见解析【解析】根据三角形的中位线定理以及条件先证明四边形ADCF是平行四边形,然后再证明对角线垂直即可.试题解析:当△ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形。

初中数学图形的性质命题与证明知识点总结归纳完整版

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(每日一练)初中数学图形的性质命题与证明知识点总结归纳完整版单选题1、给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形;②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角;③三角形的角平分线是射线;④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外;⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线;⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内.正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案:C解析:分析所给的命题是否正确,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.∵三条线段组成的封闭图形叫三角形,∴①不正确;∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角,∴②正确;∵三角形的角平分线是线段,∴③不正确;∵三角形的高所在的直线交于一点,这一点可以是三角形的直角顶点,∴④不正确.∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,∴⑤正确;∵三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫三角形的内心,∴⑥正确;综上,可得正确的命题有3个:②、⑤,⑥.故选C.小提示:主要主要考查了命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.2、若将三条高线长度分别为x,y,z的三角形记为(x,y,z),则以下三角形(6,8,10),(8,15,17),(12,15,20),(20,21,29)中,直角三角形的个数为().A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A解析:先假设三角形为直角三角形,然后根据勾股定理的逆定理:如果三角形的三边满足a2+b2=c2(其中c是最长的一边),那么这个三角形时直角三角形进行求解即可.解:∵直角三角形斜边上的高一定会比直角边其中一边短,(原理可以参考三角形面积求法)∴假设三角形(6,8,10),是直角三角形,∴10一定是一条直角边,假设6是另一条直角边,∴斜边=6×10÷8=7.5<10,不成立,同理得到8是另一条直角边为,斜边=10×8÷6=403, ∵82+102≠(403)2 ,∴此时不是直角三角形;假设三角形(8,15,17)是直角三角形∴17一定是一条直角边,假设8是另一条直角边,∴斜边=17×8÷15=13615<17,不成立,同理得到15是另一条直角边为,斜边=17×15÷8=2558 , ∵152+172≠(2558)2,∴此时不是直角三角形;假设三角形(12,15,20)是直角三角形∴20一定是一条直角边,假设12是另一条直角边,∴斜边=10×12÷15=16<20,不成立,同理得到15是另一条直角边为,斜边=20×15÷12=25 ,∵152+202=252 ,∴此时是直角三角形;假设三角形(20,21,29)是直角三角形∴29一定是一条直角边,假设20是另一条直角边,∴斜边=29×20÷21=58021<29,不成立,同理得到21是另一条直角边为,斜边=29×21÷20=60920 ,∵292+212≠(60920)2,∴此时不是直角三角形;故选A.小提示:本题主要考查了勾股定理的逆定理,假设法,三角形面积公式,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.3、下列命题中,真命题有()①邻补角的角平分线互相垂直;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;③两边分别平行的两角相等;④如果x2>0,那么x>0;⑤经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.A.2个B.3个C.4个D.5个答案:A解析:根据平行线的性质、对顶角的概念和性质、平方的概念判断即可.①邻补角的角平分线互相垂直,正确,是真命题;②两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等,故错误,是假命题;③两边分别平行的两角相等或互补,故错误,是假命题;④如果x2>0,那么x>0,错误,是假命题;⑤经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,正确,是真命题,正确的有2个,故选A.小提示:本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.4、下列五个命题:①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;②一个三角形被截成两个三角形,每个三角形的内角和是90度;③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;④两个无理数的和一定是无理数;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个答案:B解析:依次根据平方的概念、三角形内角和定义、平行线的判定、无理数性质、实数的性质判断即可.解:①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等,是真命题;②一个三角形被截成两个三角形,每个三角形的内角和是180度,原命题是假命题;③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,是真命题;④两个无理数的和不一定是无理数,是假命题;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,是真命题;其中真命题是①③⑤,个数是3.故选:B.小提示:本题考查平方的概念、三角形内角和定义、平行线的判定、无理数性质、实数的性质,牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.5、下列命题不一定...成立的是()A.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似;B.两个等腰直角三角形相似;C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似;D.各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似.答案:C解析:根据相似三角形的判定定理进行判断即可.A、斜边与一条直角边对应成比例的两个三角形一定相似,命题成立;B、满足“AA”判定法,命题成立;C、∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,∴命题不一定成立;D、满足“AA”判定法,命题成立.故选C.小提示:本题考查的是命题的真假判断,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的相似三角形的性质定理.。

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热点专题六 图形与证明
【考点聚焦】
图形与证明是空间与图形的核心内容之一,它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中. 内容主要有:了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义;掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理;掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理;掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理;掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
【热点透视】
热点1:把握三角形全等的性质,考查线段相等的证明.
例1 (2008郴州)如图1,菱形ABCD 中,E F ,分别为BC 、
CD 上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.
分析:本题中灵活运用菱形的性质:四边相等,两组对角分别相
等.找到全等三角形的对应元素是解本题的关键.
证明:∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB BC CD AD ===,B D ∠=∠.
∵CE CF =,∴BE DF =.
在ABE △与ADF △中,AB AD =,B D ∠=∠,BE DF =.
∴ABE ADF △≌△,∴AE AF =.
点评:掌握全等三角形的概念和性质,还要能准确辨认全等三角形中的对应元素,通过证明全等来证明线段相等或者角相等.
热点2:紧扣三角形全等的判定,考查三角形全等的开放型问题.
例2 (2008湘潭)如图2,在正五边形ABCDE 中,连结对角线AC 、
AD 和CE ,AD 交CE 于F .
(1)请列出图中两对全等三角形_________________(不另外添加辅
助线);
(2)请选择所列举的一对全等三角形加以证明.
分析:由正多边形的性质可知:正多边形的各边相等,各角相等.这
是一类结论不惟一的试题.解决此类问题的关键是依据图形,通过准确辨认全等三角形的对应元素,证明三角形全等.
解:(1)△ABC ≌△AED ,△ABC ≌△EDC ;
(2)证明:在正五边形ABCDE 中,AB BC CD DE EA ====,
∠EAB =∠B =∠BCD =∠CDE =∠DEA ,
故在△ABC 与△AED 中,AB =AE ,∠B =∠DEA ,BC =DE ,∴△ABC ≌△AED , 在△ABC 与△EDC 中,AB =ED ,∠B =∠CDE ,BC =DC ,∴△ABC ≌△EDC .
点评:本考题题干简单清晰,但考点的内容与正多边形的知识相结合,需要具有分解基本图形的能力和基本的探究能力,才能顺利解题.
热点3:合理添加辅助线,构造全等三角形解决相关问题.
例3 (2008常德)如图3,已知AB AC =,
(1)若CE BD =,求证:GE GD =;
(2)若CE m B D = (m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系(只写结论,不证明).
分析:证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形全等,要证明线段GE 和GD 相等,在辨认三角形全等对应元素时,发现图中没有三角形全等,需要通过合理添加辅助线构造三角形全等.
(1)证明:过D 作DF ∥CE ,交BC 于F ,
∠E =∠GDF ,
∵AB =AC ,DF ∥CE ,
∴∠DFB =∠ACB =∠ABC ,
∴DF =DB =EC .
又∠DGF =∠EGC ,∴△GDF ≌△GEC .
∴GE =GD .
(2)GE m GD =
. 点评:在证明三角形全等时,可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素,或者合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素.
热点4:定义、命题、定理、互逆命题的考查.
例4 (2008永州)下列命题是假命题的是( )
(A)四个角相等的四边形是矩形
(B)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(C)四条边相等的四边形是菱形
(D)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
分析:掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键. 解:选(D ).
点评:本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握,遇到这种题,同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言,便能迅速作出准确判断.
热点5:平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查.
例5 (2008娄底)如图5,已知点D 在ABC △的BC △边上,
DE AC ∥交AB 于E ,DF AB ∥交AC 于F .
(1)求证:AE DF =;
(2)若AD 平分BAC ∠,试判断四边形AEDF 的形状,
并说明理由.
分析:本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边
形的判定方法的把握.
证明:(1)∵DE AC ∥,
∴ADE DAF ∠=∠,同理DAE FDA ∠=∠.
∵AD DA =,
∴ADE DAF △≌△,∴AE DF =.
(2)若AD 平分BAC ∠,四边形AEDF 是菱形.
证明:∵DE AC ∥,DF AB ∥,
∴四边形AEDF 是平行四边形,
∵FAD EAD ∠=∠,∴AF DF =,
∴平行四边形AEDF 为菱形.
点评:三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等,此类题起点低,注重基础知识及基本技能的考查,考查了同学们最基本的几何推理证明能力.
热点6:圆的有关概念及性质的考查
例6 (2008益阳)如图6,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,
过圆心O 作OD AC ⊥,D 为垂足,E 是BC 上一点,G 是DE 的中点,
OG 的延长线交BC 于F .
(1)图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系?写出你的结论,
并给出证明过程;
(2)猜想线段BE EF FC ,,三者之间有怎样的数量关系?
写出你的结论,并给出证明过程.
分析:平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种,先通过观察图形可猜想OD ∥BC ,再利用圆的有关概念及性质得证.
解:(1)结论:OD BC ∥.
证明:∵AB 是O 的直径,C 是O 上一点,
∴90ACB ∠= ,即BC ⊥AC .
又OD ⊥AC ,∴OD ∥BC .
(2)结论:EF BE FC =+.
证明:∵OD ⊥AC ,∴AD =DC .
又O 为AB 的中点,∴OD 是△ABC 的中位线.
∴BC =2OD .
在△ODG 与△EFG 中,
∵DG =EG ,∠GOD =∠GFE ,∠ODG =∠FEG ,
∴ODG FEG △≌△.∴OD =EF .
∴22BE EF FC BC OD EF ++===.
∴EF BE FC =+.
点评:为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解,新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行.本题就采用了这种方式.该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系.
【考题预测】
1.下列命题中真命题的个数是( )
①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方;
②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比;
③在ABC △与A B C '''△中,AB AC A B A C
='''',A A '∠=∠,那么ABC A B C '''△∽△; ④已知ABC △及位似中心O ,能够作一个且只能作一个三角形,使位似比为0.5. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知如图7,在四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点
E ,且AC 平分∠DAB ,AB =AE ,AC =AD .下四个结论:①AC ⊥BD ;
②CB =DE ;③1
2
D B C D A B ∠=∠;④△AB
E 是等边三角形.请写
出正确的结论序号____________(把你认为正确的结论序号填上,并证明其中一个).
3.如图8,菱形ABCD 中,E 、F 分别为CB 、CD 延长线上的点,且CE CF =.求证:AE AF =.
4.如图9,在Rt △ABC 中,90ACB ∠=
,2AB AC =,DE 垂直平分BC ,垂足为D ,交AB 于点E .又点F 在DE 的延长线上,且2EF DE =.求证:四边形ACEF 是菱形.
5.如图10,D 是ABC △边AB 上一点,DE 交AC 于点E ,DE EF =,FC AB ∥.求证:AE CE =.
6.如图11,已知AC 切O 于A ,CB 顺次交O 于D B ,两点,6AC =,5BD =,连结AD ,AB .
(1)求证:CAD CBA △∽△;
(2)求线段DC 的长.
7.如图12,ABC △是O 的内接三角形,AC BC =,D 为O 中上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =.
(1)求证:AE BD =;
(2)若AC BC ⊥,求证:AD BD CD +=.
8.如图13,已知:C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线AC 与过B 点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连结AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交AB 的
延长线于点G .
(1)求证:点F 是BD 中点;
(2)求证:CG 是O 的切线;
(3)若2FB FE ==,求O 的半径.。

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