最小化潮流算法知识分享
五、最小化潮流计算及潮流计算中的自动调整
limit
Qi Qilim it Qi
(5－5) (5－6)
Qi 和Ui之间的灵敏度关系由下式给出：
Ui Rii Qi
Rii是增广的B”的逆矩阵中和节点i相对应的对角线元素。根据需调整的Qi ， 用（5－6）式算出 Ui，最后将节点i 的给定电压调整到新值
Uinew UiSP Ui
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8
电力系统稳态分析
计算步长公式的推导（续）
目标函数改写为 F ( x) fi ( x) ai bi 2ci ( ) (5－3)
2 2 i 1 i 1
n
n
将F(x)对μ求导，并令其等于零，求得μ*
2 d ( ) d n 2 ai bi ci d d i 1 2 2 a b ci bi 2 ci 0 i i i 1 n
ys－ y(x(k＋1)) ＝ ys－ y(x(k)＋μ(k)x(k)) ＝ys－[y(x(k))+μ(k)J(x(k))∆x(k)+(μ(k))2y(∆x(k))] =a(k)+ μ(k)b(k)+ (μ(k))2c(k)
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11
电力系统稳态分析
具体应用，三种情况
从一定的数值出发，原来的潮流问题有解。
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13
电力系统稳态分析
自动调整的两类方法 s 按照所要保持的系统状态量y 和当前的计算值y的大 小，不断地在一次次迭代中间改变某一个控制参数 x的大小。x大小的调整按照偏差反馈的原理进行。 ∆x＝a(ys－y) 改变原来潮流方程的构成。
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现代电力系统分析-往年试卷与复习资料 (6)
一、潮流计算方法之间的区别联系高斯-赛德尔法：原理简单，导纳矩阵对称且高度稀疏，占用内存小。
收敛速度很慢，迭代次数随节点数直接上升，计算量急剧增加，不适用大规模系统。
牛顿-拉夫逊法：收敛速度快，迭代次数和网络规模基本无关。
相对高斯-赛德尔法，内存量和每次迭代所需时间较多，其可靠的收敛还取决于一个良好的启动初值。
PQ 分解法（快速解耦法）：PQ 分解法实际上是在极坐标形式的牛顿法的基础上，在交流高压电网中，输电线路等元件的R<<X ，即有功功率主要取决于电压相角，而无功功率主要取决于电压幅值，根据这种特性对方程组进行简化，从而实现了有功和无功的解耦。
两大条件：(1)线路两端的相角相差不大(小于10°～20°)，而且||||ij ij G B ≤，于是可以认为：cos 1;sin ij ij ij ij G B θθ≈≤； (2)与节点无功功率相对应的导纳2/i i Q U 通常远小于节点的自导纳ii B ，也即2i i ii Q U B <<。
1. PQ 分解法用一个1n -阶和一个1n m --阶的方程组代替牛顿法中22n m --阶方程组，显著减少了内存需量和计算量。
2. 计算过程中B '、B ''保持不变，不同于牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此显著提高了计算速度。
3.雅可比矩阵J 不对称，而B '、B ''都是对称的，使求逆等运算量和所需的存储容量都大为减少。
4. PQ 分解法的迭代次数要比牛顿法多，但是每次迭代所需时间比牛顿法少，所以总的计算速度仍是PQ 分解法快。
在低压配电网中PQ 分解法不适用。
交流高压电网的输电线路的元件满足R<<X ，PQ 分解法正是基于此条件简化而来；而低电压配电网络一般R/X 比值很大，大R/X 比值病态问题也正是PQ 分解法应用中的一个最大障碍。
潮流计算的计算机算法资料
第四章潮流计算的计算机算法第一节概述潮流计算是电力系统最基本、最常用的计算。
根据系统给定的运行条件、网络接线及元件参数，通过潮流计算可以确定各母线的电压（幅值及相角），各元件中流过的功率、整个系统的功率损耗等。
潮流计算是实现电力系统安全经济发供电的必要手段和重要工作环节。
因此潮流计算在电力系统的规划设计、生产运行、调度管理及科学研究中都有着广泛的应用。
电力系统潮流计算分为离线潮流计算和在线潮流计算。
前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的经常监视及实时控制。
本章主要讨论离线潮流计算问题，它的基本算法同样适用于在线潮流计算。
潮流计算在数学上是多元非线性方程组的求解问题，求解的方法有很多种。
自从五十年代计算机应用于电力系统以来，当时求解潮流的方法是以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法（导纳法），后来为解决导纳法的收敛性较差的问题，出现了以阻抗矩阵为基础的逐次代入法（阻抗法）。
到六十年代，针对阻抗法占用计算机内存大的问题又出现了分块阻抗法及牛顿－拉夫逊（Newton－Raphson）法。
Newton —Raphson法是数学上解非线形方程式的有效方法，有较好的收敛性。
将N－R法用于潮流计算是以导纳矩阵为基础的，由于利用了导纳矩阵的对称性、稀疏性及节点编号顺序优化等技巧，使N－R法在收敛性、占用内存、计算速度方面的优点都超过了阻抗法，成为六十年代末期以后普遍采用的方法。
同时国内外广泛研究了诸如非线形规划法、直流法、交流法等各种不同的潮流计算方法。
七十年代以来，又涌现出了更新的潮流计算方法。
其中有1974年由B、Stott、O、Alsac 提出的快速分解法以及1978年由岩本伸一等提出的保留非线性的高129速潮流计算法。
其中快速分解法（Fast decoupled load flow）从1975年开始已在国内使用，并习惯称之为PQ分解法。
由于PQ分解法在计算速度上大大超过N－R法，不但能应用于离线潮流计算，而且也能应用于在线潮流计算。
潮流计算的基本算法及使用方法
潮流计算的基本算法及使用方法Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2 一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
潮流计算的概念和基本原理
潮流计算的概念和基本原理一、 潮流计算的意义电力系统潮流的计算和分析是电力系统运行和规划工作的基础。
运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知，随着各种电源和负荷的变化以及网络结构的改变,网络所有母线的电压是否能保持在允许范围内,各种元件是否会出现过负荷而危及系统的安全,从而进一步研究和制订相应的安全措施.规划中的电力系统,通过潮流计算,可以检验所提出的网络规划方案能否满足各种运行方式的要求，以便制定出既满足未来供电负荷增长的需求,又保证安全稳定运行的网络规划方案。
二、 潮流计算的基本概念潮流计算的一般提法是:已知电力网络的结构和参数，已知各负荷点、电源点吸取或发出的有功功率和无功功率(ＰＱ节点),给定电压控制点的电压幅值和有功功率(P Ｖ节点),对指定的一个平衡节点给定其电压幅值和相位角（V θ点）,求解全网各节点电压幅值和相位角，并进一步算出各支路的功率分布和网络损耗．求解潮流问题的基本方程式是节点功率平衡方程。
三、 潮流计算的基本原理1. 潮流计算的基本模型1．1潮流方程电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成,其中发电机及负荷是非线性元件,但在进行潮流计算时,一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。
因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。
结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析,普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系V Y I= ﻩ (1－1)ﻩ其展开式为 j n j ij i V Y I ∑==1 ),,3,2,1(n i =(1－2)ﻩ在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联系节点电流和节点功率的关系式ﻩﻩi ii i V jQ P I *-= ),,3,2,1(n i = （1－３)将式(１-3)代入式（１－２)得到j n j ij iii V Y V jQ P ∑=*=-1 ),,3,2,1(n i =ﻩ (1－4) 交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示ﻩ i j i i e V V θ= （1－5）或ﻩﻩﻩ ii i jf e V += ﻩ （1－６） 而复数导纳为ij ij ij jB G Y += （1-7)ﻩ将式（1－6)、式(1－７)代入以导纳矩阵为基础的式（１－4),并将实部与虚部分开，可以得到以下两种形式的潮流方程。
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳家百创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、欧阳家百（2021.03.07）二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组即()0,,,21=nixxxf ()ni,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
潮流算法——精选推荐
配电网的前推回推法潮流计算的计算机算法一、用途潮流计算是电力系统非常重要的分析计算，用以研究系统规划和运行中提出的各种问题。
对规划中的电力系统，通过潮流计算可以检验所提出的电力系统规划方案能否满足各种运行方式的要求：对运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知各种负荷变化和网络结构的改变会不会危机系统的安全，系统中所有母线的电压是否在允许的范围以内，系统中各种元件（线路、变压器等）是否会出现过负荷，以及可能出现过负荷时应事先采取哪些预防措施等。
潮流计算是电力系统分析最基本的计算。
除他自身的重要作用之外，潮流计算还是网损计算、静态安全分析、暂态稳定计算、小干扰静态稳定计算、短路计算、静态和动态等值计算的基础。
二、技术特点在辐射状配电网的潮流计算中，采用基于支路电流或支路功率的前推回推法进行潮流计算，其中在寻找节点的计算顺序时采用关于节点邻接表的广度优先搜索方法，或者其他更加简洁的方法。
1、原理配电网潮流有很多算法，主要包括牛顿法、快速解耦法、Z法、bus 回路阻抗法和前推回推法，其中前推回推法具有更大的优势，更适于求解配电网的潮流计算。
它具有编程简单、数值稳定性好、计算效率高等优点。
辐射型配电网的接线方式可以分为辐射式、链式、干线式三种网络。
辐射型配电网潮流计算有如下特点:（1）辐射型配电网支路数一定小于节点数。
因此，网络节点导纳矩阵稀疏度很高。
（2）低压配电网由于线路电阻较大，一般不满足R<<X，因此在配电网中采用P-Q解耦法进行网络潮流计算难以收敛；由于配电网络直接面向用户，所以网络节点众多，如采用传统的潮流算法（牛顿拉夫逊法、快速解耦法）会导致导纳矩阵非常庞大，处理的工作量较大，占用的资源也较多。
（3）对于末端负荷节点前的支路电流就只是由于末端运算负荷功率产生的，所以可以直接用于末端支路的电流，依次往前推。
因此，可以采用前推回推法进行网络潮流计算。
前推回推法有基于支路电流和基于支路功率两种形式。
五、最小化潮流计算及潮流计算中的自动调整
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22电力系统稳态分析PQ节点转变为PV节点时对快速分解法的第二种处理
ei是单位列矢量，只在节点i处有一个非零元素。对于快速分解法， 该非零元素是1。当电压幅值的变化ΔUi较大时，（5-10)式中的Ui 可取 变化后的值，即取值为Uilimit，这样处理可提高精度。结合（5-9）和 （5-10）式有： ΔUi＝Uilimit－ Ui＝eiTΔU＝－ eiT (B”)-1eiΔQi/Ui
(5－7)
new 并用这个新值 Ui 作为PV节点的给定电压，重新进行潮流计算。
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电力系统稳态分析
电压越限－PQ节点转变为PV节点
节点由PQ节点转变为PV节点 在潮流计算中，将该节点的电压幅值固定在需要控制的限制值上， 然后把该节点作为PV节点进行潮流迭代计算。这时Q-V潮流方程减 少一个(对极坐标)。 对牛顿－拉夫逊法，每次迭代要重新形成雅克比矩阵，这种节点类 型的改变不会遇到困难。 对于快速分解法可以有两种处理方法
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3
电力系统稳态分析
潮流计算和非线性规划
潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组 fi(x)＝gi(x)－bi＝0 或 f(x)＝0
(5－1)
n
构造标量函数
或
F ( x ) f i ( x ) ( gi ( x ) bi ) 2
2 i 1 i 1
n
F ( x) [ f ( x)]T f ( x)
从一定的数值出发，原来的潮流问题无解。
不论迭代多少次，μ(k)的值始终在1.0附近摆动，但目标 函数却不能降为零或不断波动。
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电力系统稳态分析
现代电力系统分析-往年试卷与复习资料 (6)
消去节点 k 之前， jk 个节点间原有的支路数为
则
k
消除后所增加的新支路数为（即注入元个数为 dk
） bk
1 2
jk .(
jk
1) dk
动态优化法：（1）按上式分别统计消去网络各节点时增加的出线数，选其中出 线数最少的被消节点编为 1 号节点，消
去节点 1 。
（2）修改其余节点的出线数目，然后对余下节点重复出节点 2，3，、、、，直到所有节点编完为止。
一、潮流计算方法之间的区别联系 高斯-赛德尔法：原理简单，导纳矩阵对称且高度稀疏，占用内存小。 收敛速度很慢，迭代次数随节点数直接上升，计算量急剧增加，不适用大规模系统。 牛顿-拉夫逊法：收敛速度快，迭代次数和网络规模基本无关。 相对高斯-赛德尔法，内存量和每次迭代所需时间较多，其可靠的收敛还取决于一个良好的启动初值。 PQ 分解法（快速解耦法）： PQ 分解法实际上是在极坐标形式的牛顿法的基础上，在交流高压电网中，输电线路等元件的 R<<X，即有功功率主要 取决于电压相角，而无功功率主要取决于电压幅值，根据这种特性对方程组进行简化，从而实现了有功和无功的解耦。
1.静态优化法：按静态节点支路数的多少编号。 统计电力网络节点的出线支路数，然后按出线支路数从少到多的顺序编号，当有 m 个节点的出线数相同时，则可按任 意次序对此 m 个节点进行编号。
其依据是：在 Y 阵中，出线数最少的节点所对应的行中非零元素也最少，因此在消去过程中产生注入元的可能性 也最小。
2.半动态优化法： 动态地按最少出线支路数编号。 静态优化法中，各节点的出线数是按原始网 络统计 出来的，在编号过程中认为固定不变。而事实上在节点消去
(1)利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正向量 x(k) (J(x(k) )1 f(x(k) ) 作为搜索方向，并称之为目标函数在
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳歌谷创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、欧阳歌谷（2021.02.01）二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组即()0,,,21=nixxxf ()ni,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
五最小化潮流计算及潮流计算中的自动调整概要课件
参数调整策略
根据误差反馈和当前系统状态，选择 合适的参数调整策略，如基于规则的 调整或基于优化算法的调整。
安全监控与预警
在自动调整过程中，实时监测系统状 态，如有异常情况及时发出预警。
01
五最小化潮流计算 及自动调整的案例
分析
案例一
总结词
电力系统优化
详细描述
五最小化潮流计算在电力系统中有广泛应用，主要用于解决电力系统的优化问题。 通过五最小化潮流计算，可以找到电力系统中的最优潮流分布，从而提高电力系 统的运行效率和稳定性。
指标，提高电力系统的安全性和稳定性。
01
潮流计算中的自动 调整
自动调整的必要性
01
02
03
适应系统变化
随着电力系统的运行，系 统参数和结构会发生变化， 自动调整可以快速适应这 些变化。
提高计算效率
手动调整参数需要大量时 间和经验，自动调整可以 快速找到合适的参数，提 高计算效率。
保证计算精度
自动调整可以找到最优的 参数组合，提高潮流计算 的精度。
支路功率的求解
根据节点电压和支路参数，求解支路功率。
收敛性的判断
在求解过程中，需要判断算法的收敛性，以 保证求解结果的准确性。
01
潮流计算中的自动 调整实现
自动调整的算法流程
潮流计算
使用五最小化潮流算法或其他 算法进行潮流计算，得出系统 状态。
自动调整
根据误差检测结果，自动调整 相关参数，如节点电压、支路 电流等。
案例二：自动调整在风电场中的应用
总结词
风电场功率预测
详细描述
自动调整在风电场中主要用于提高风电场的功率预测精度。通过自动调整算法，可以实时监测风电场 的功率输出，并根据预测结果进行自动调整，确保风电场能够稳定地提供电力。
最小化潮流算法
x
(k )
)6 ）
作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛顿 方向。
) • 接着就是如何决定最优步长因子 *( k 的问题。由式 （5）可知，对于一定的 x ( k )，目标函数F(k+1)是步 (k ) 长因子 的一个一元函数
• 60年代末，相继提出了潮流计算问题在数 学上也可以表示为求解一个由潮流方程构 成的函数（即目标函数）的最小值问题。 于是就形成了非线性规划潮流计算法，用 这种方法计算潮流的一个显著特点是从原 理上保证了计算过程永远不会发散。
• 在早期提出的完全应用数学规划方法的非 线性规划潮流计算内存需要量较大，计算 速度较慢，因而并未得到实际推广应用， 以后，相继对非线性规划中的两个方面进 行了改进，并将数学规划原理和常规的牛 顿潮流算法相结合，形成了新的计算方 法——带有最优乘子的牛顿算法，简称最 优乘子法，这种算法能有效的解决病态电 力系统的潮流计算问题。
(5)校验F(X(k+1))<Є是否成立。如成立，则x(k+1) 就是所求的解，否则，令k=k+1,转向步骤(3)，重 复计算。
• 由上可见，为求得问题的解，关键要解决两个问题： (1)确定第k次迭代的搜索方向 x ( k ) (2)确定第k次迭代的最优步长因子。
3 带有最优乘子的牛顿潮流算法
F ( k 1) F ( x ( k ) ( k ) x ( k ) ) ( ( k ) )(7)
• 采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可 以表示为
f ( x ) y * y( x ) y * y( x ( 0 ) ) J ( x ( 0 ) )x y( x ) 0(8)
潮流计算的基本算法及使用方法
潮流计算的基本算法及使用方法潮流计算的基本算法及使用方法一、潮流计算的基本算法1. 牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域。
1．2 一般概念对于非线性代数方程组()0=x f即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=?'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()[]()()0100x f x f x -'-=? (1－3)将()0x ?和()0x相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=?' (1－4)()()()k k k x x x ?+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
潮流计算的基本算法及使用方法之欧阳音创编
潮流计算的基本算法及使用方法一、二、潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1=(1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()kkk xxx∆+=+1 (1－5)上两式中：()xf'是函数()x f对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J；k为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
一、潮流计算概述、基本方法
1 Yii = zT
1 Yij = − & KzT
1 Y ji = − ˆ KzT
1 Y jj = 2 K zT
由于变比K为复数，造成Yij与Yji不等，因此，移相器 没有相应等值电路。而且，含有移相器的电力网络的 导纳矩阵不对称。
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（四）节点导纳矩阵 反映了电力网络的参数及接线情况 由导纳矩阵所构成的节点方程式是电力网络广泛应用的一 种数学模型。
& = K − 1 V + 1 (V − V ) & & & Ii i i j KzT KzT & = 1 − K V + 1 (V − V ) & & & Ij j j i K 2 zT KzT
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得变压器等值电路：
& Vi & Ii
KzT K −1
K zT 1− K
电力系统稳态分析
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0、课程简介
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主要内容（一） 主要内容（ 电力系统潮流计算 基础知识 概述、潮流问题的数学模型 Geuss-Seidal 法，N-R法 线性稀疏方程的解法 FDLF法 保留非线性潮流算法 最小化潮流算法 最优潮流问题 几个特殊性质的潮流计算简介
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主要内容（二） 主要内容（ 电力系统状态估计 概述 电力系统运行状态的表征与可观察性 最小二乘估计 不良数据的检测、不良数据的辩识 非二次准则的电力系统状态估计方法简介
& & & & I 1 = Y11V1 + Y12V2 + L + Y1iVi + L + Y1nVn . & + Y V +L + Y V +L + Y V & & & I 2 = Y21V1 22 2 2i i 2n n M . & & & & I i = Yi1V1 + Yi 2V2 + L + YiiVi + L + YinVn M . & & & & I n = Yn1V1 + Yn 2V2 + L + YniVi + L + YnnVn
最小化潮流算法
目 录
壹
前 言
贰Hale Waihona Puke 叁潮流带流
算有
计
法最
算
优
和
乘
非
子
线
的
性
牛
规
顿
划
潮
1 前言
我们已经知道，潮流计算问题可以归结为求解一 个非线性代数方程组。通过与电力系统固有物理 特性相结合，已经提出了多种求解该方程组的有 效算法，但在实际计算中，对于一些病态系统， 却往往会出现计算过程的震荡或不收敛的现象。
2 潮流计算和非线性规划
0 1 fi(设x 将)潮 流g 计i( 算x 问)题 概b 括i为 求0 （ 解如i下 的1 非,2 线,性.代数.n 方（ ) .程1 组） ...
02
或者
(2)
f(x)=0
式中：x为待求变量组成的n维向量，
bi
01
为给定的常量。
xx1,x2， ..x .n ,T
n
n
60年代末，相继提出了潮流计算问题在数学 上也可以表示为求解一个由潮流方程构成的 函数（即目标函数）的最小值问题。于是就 形成了非线性规划潮流计算法，用这种方法 计算潮流的一个显著特点是从原理上保证了 计算过程永远不会发散。
在早期提出的完全应用数学规划方法的非线性规划潮 流计算内存需要量较大，计算速度较慢，因而并未得 到实际推广应用，以后，相继对非线性规划中的两个 方面进行了改进，并将数学规划原理和常规的牛顿潮 流算法相结合，形成了新的计算方法——带有最优乘 子的牛顿算法，简称最优乘子法，这种算法能有效的 解决病态电力系统的潮流计算问题。
作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛 顿方向。
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• 要求出目标函数F(x)的极小点，按照数学规划的方 法，通常由以下步骤组成（设k为迭代次数）： (1)确定一个初始估计值x0; (2) 置k=0； (3)从x(k)出发，按照目标函数下降的原则，确定一 个搜索或寻优方向 x(k)
(4)沿着寻优方向确定能使目标函数下降得最多的一 个点，也就是决定移动的步长。由此得到一个新的
n
n
2
F（ x） fi(x)2(gi(x)bi)（ 3）
i1
i1
• 若以式（2）表示的非线性代数方程组的解存在， 则以平方和形式出现的式（3）表示的标量函数F(X) 的最小值应该为零。这样就把原来的代数方程组的 问题转化为求
x*x1 *,x2 *,..xn * .T ,
从而使F(X)最小的问题。
• 由上可见，为求得问题的解，关键要解决两个问题： (1)确定第k次迭代的搜索方向 x(k)
(2)确定第k次迭代的最优步长因子。
3 带有最优乘子的牛顿潮流算法
• 首先在决定搜索方向的问题上可以利用常规牛顿潮 流算法每次迭代所求出的修正向量
x(k)J(x(k))1f(x(k)（ )6 ）
作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛顿 方向。
• 为了表达简明起见，分别定义一下三个变量
a a1,a2,...a,n T y*y(x(0)) b b1,b2,...b,n T J(x(0))x cc1,c2,...c,nT y(x)
于是上式可以简写为
f(x)ab2c0为
n
n
• 接着就是如何决定最优步长因子 *(k 的) 问题。由式 （5）可知，对于一定的 x(k)，目标函数F(k+1)是步 长因子 (k ) 的一个一元函数
F ( k 1 ) F (x ( k )( k ) x ( k ))(( k ))7 ) (
• 采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可 以表示为
2 潮流计算和非线性规划
• 设将潮流计算问题概括为求解如下的非 线性代数方程组
fi(x ) g i(x ) b i 0 （ i 1 ,2 ,..n .（ )1 .） ..
或者
f(x)=0
(2)
• 式中：x为待求变量组成的n维向量，xx1,x2， ..x .n ,T
b i 为给定的常量。
可以构造标量函数为
迭代点 x(k1)x(k) (k)x(k（ )4）
• 式中μ为步长因子其数值的选择应使目标函数下降 的最多，可以用下式表示：
F(k1)F(x(k1))F(x(k)*k()x(k)) mF i(n x(k)(k)x(k))5 ()
(5)校验F(X(k+1))<Є是否成立。如成立，则x(k+1) 就是所求的解，否则，令k=k+1,转向步骤(3)，重 复计算。
最小化潮流算法
目录
• 前言 • 潮流计算和非线性规划 • 带有最优乘子的牛顿潮流算法
1 前言
• 我们已经知道，潮流计算问题可以归结为 求解一个非线性代数方程组。通过与电力 系统固有物理特性相结合，已经提出了多 种求解该方程组的有效算法，但在实际计 算中，对于一些病态系统，却往往会出现 计算过程的震荡或不收敛的现象。
F (x) fi(x)2 (aibi2ci)2(1)1
i1
i1
将F(x)对 μ 求导，并令其等于零，由此可以求得
最优乘子 *
• 以上分别介绍了从搜索方向和最优步长因 子两个方面对原有的非线性规划潮流算法 所做的改进，改进算法的实质是常规的牛 顿潮流算法和计算最优乘子的结合，因此 对现有的采用直角坐标的牛顿法潮流程序， 只需要增加计算最优乘子的部分，就可以 改变成为上述应用非线性规划原理的算法， 使得潮流计算的收敛过程得到有效的控制。
• 60年代末，相继提出了潮流计算问题在数 学上也可以表示为求解一个由潮流方程构 成的函数（即目标函数）的最小值问题。 于是就形成了非线性规划潮流计算法，用 这种方法计算潮流的一个显著特点是从原 理上保证了计算过程永远不会发散。
• 在早期提出的完全应用数学规划方法的非 线性规划潮流计算内存需要量较大，计算 速度较慢，因而并未得到实际推广应用， 以后，相继对非线性规划中的两个方面进 行了改进，并将数学规划原理和常规的牛 顿潮流算法相结合，形成了新的计算方 法——带有最优乘子的牛顿算法，简称最 优乘子法，这种算法能有效的解决病态电 力系统的潮流计算问题。
f (x) y* y(x) y* y(x(0) ) J ( x (0) )x y(x) 0(8)
• 引入一个标量乘子 以调节变量x的修正步长，于是 上式可以写为
f(x)y*y(x(0))J(x(0))(x)y(x) y*y(x(0))J(x(0))x2y(x)0 （ 9）
这里
f ( x ) f 1 ( x )f 2 , ( 2 ),f n ( .x ) . .,
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