第九章 时间序列趋势外推法

1.二次移动平均数概念

在一次移动平均数的基础上，再进行一次 移动平均，其值称为二次移动平均数。
2.二次移动平均法预测公式

若时间序列具有线性趋势变动，并预测 未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋 势预测模型：
ˆ Yt T at btT

T 1,2,
(9 - 8)
式中：

时间序列
相对数时间序列
派生
平均数时间序列
派生
绝对数时间序列 时期序列
时期序列是指由反 映某种社会经济现象在 一段时期内发展过程的 总量指标所构成的序列。 如各个年度的国民 生产总值。
时点序列
时点序列是指由反 映某种社会经济现象在 一定时点上的发展状况 的指标所构成的序列。
如各个年末的人口 总数。
思考：“增加到”、“增加了”这两种 提法，哪个绝对？哪个相对？

三、时间序列因素的组合形式

时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、 循环变动和不规则变动四种因素综合作用 的结果。四种因素组合的形式有多种，有 以下两种基本形式。
1．加法型

Y=T+C+S+I Y=T · · · C S I
2．乘法型

四、时间序列预测的步骤

时间序列预测的一般步骤是：
3
4 5 6 7 8 9
434
445 527 429 426 502 480
405
412 469 467 461 452 469 437 439 452 466 473
10
11 12
384
427 446
455
430 419
444
444 448
解：
分别取N=3，N=5，计算各月的一次移动 平均数。 计算两种N值下的均方误差： 由计算结果可见，MSE3>MSE5，故选取 N=5，预测次年1月该农具的销售量为448件。


均方误差

预测误差可以通过均方误差MSE来度量。
1 ˆ )2 MSE 1(Yt Yt K N tN

K
式中：K——时间序列的项数
例9-1:

某农机公司某年1月至12月某种农具的销售 量如表9-1。试用一次移动平均法预测次年1 月的销售量。
表9-1 月份数 t 1 2
一次移动平均数计算表 单位：件 实际销售量 Yt 423 358 一次移动平均数Mt N=3 N=5
例9-3

已知某企业2000年1至12月利润额，试取平 滑系数=0.1, 0.5, 0.9，分别求出该企业每月 利润的指数平滑值，并预测2001年1月的利 润额。（指定初始值S0（1）=Y1）
解：
当=0.1，S0（1）=51.3时： S1（1）=0.1 51.3 (1 0.1) 51.3 = 51.3 S2（1）=0.1 35.7 (1 0.1) 51.3 = 49.7 S3（1）=0.1 27.9 (1 0.1) 49.7 = 47.6 同理,分别计算出=0.5、=0.9时各指数平滑 值列于表(9-4)中。
6
7 8 9 10 11 12
54.6
52 47.5 42.3 45.8 43.9 47.2
47.1
47.6 47.6 47 46.9 46.6 46.7
47.9
49.9 48.7 45.5 45.7 44.8 46
53.8
52.2 48 42.9 45.5 44.1 46.9
预测



与一次移动平均法类时，一次指数平滑法仅适用 于近期预测。2001年1月的预测值可根据2000年12 月的一次指数平滑值估计。即： 当取=0.1时，估计2001年1月的利润额为46.7（千 元）； 当取=0.5时，估计2001年1月的利润额为46.0（千 元）； 当取=0.9时，估计2001年1月的利润额为46.9（千 元）。
1.根据已知时间序列，分解各变动因素，并找
出其随时间变动的规律。
2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时
间序列的变动规律。
3.根据时间序列的变动规律进行预测。
9-2 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移， 依次计算包含一定项数的移动平均数，据 以进行预测的方法。 移动平均法主要有：
Why?
(9 - 12) (9 - 13)
线性趋势Biblioteka Baidu测模型

根据式（9-12）、（9-13）就可以通过一次 移动平均数和二次移动平均数求出线性预 测模型（9-8）的参数，建立线性趋势预测 模型。
例9-2：
已知某商品连续12个月的市场需求量如 表9-3所示，试用二次移动平均法预测5个月后 的市场需求量。（取N=5）
一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法等
一、一次指数平滑法
1.一次指数平滑值 2.一次指数平滑法预测模型 3.平滑系数 4.初始值的确定

1.一次指数平滑值

对一次移动平均数的递推公式（9-3）加以 改进，用Mt-1（1）代替Yt-N，同时用St（1）表 示Mt（1），则：

2.循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周 期性变动。 即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。 循环变动是时间的函数，通常用C表示， C=C（t）。

3.季节变动
季节变动是指以一年为周期的周期性变动。 季节变动是时间的函数，通常用S表示， S=S（t）。

4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起的随 机性变动。 不规则变动通常用I表示，I=I（t）。

一次移动平均法
二次移动平均法
一、一次移动平均法

设时间序列为：Y1Y2Yt。一次移动平 均数的计算公式为：
M
(1) t
Yt Yt 1 Yt N 1 , N
t N
(9 - 1)
一次移动平均数的递推公式
Yt Yt 1 ... Yt N 1 M N Yt Yt 1 Yt 2 ... Yt N 1 Yt N Yt N (9 2) N N N (1) Yt Yt N M t 1 (9 - 3) N
经济预测与决策
重庆交通大学管理学院
第九章 时间序列趋势外推预测
主要内容及学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
了解时间序列的概念，理解时间序列的分解 理解时间序列常用的预测方法 掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法 掌握时间序列的指数平滑预测法 理解二次滑动平均预测法 理解二次指数平滑预测法 了解三次指数平滑预测法 掌握时间序列的分解预测法 理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预 测法

即估计5个月后市场需求量是95千吨。
9-3 指数平滑法
移动平均法具有简便易行的优点，但受 N的大小影响较大，对于早期的历史资料较 少考虑或根本不加以利用。指数平滑法改进 了这一缺点，它充分利用了历史资料，又考 虑到各期数据的重要性，是目前应用较为广 泛的预测方法之一。
指数平滑法

指数平滑法根据平滑次数不同，可分为：
t ——当前时期数 T——当前时期至预测期的时期数 at——对应于当前时期的线性方程的截距系数 bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数
at、 bt的估计式

由于已知的时间序列具有线性变动规律,所 以有：
2 (1) ( 2) bt (M t M t ) N 1 (1) ( 2) at 2 M t M t
9-1 时间序列分析预测法
时间序列分析预测法是将预测目标
的历史数据按照时间的顺序排列成
为时间序列，然后分析它随时间的
变化趋势,外推预测目标的未来值。
一、概念：时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数
值，按时间先后顺序排列起来的数列。
时间序列是时间t的函数，若用Y表示，
则有：
Y=Y（t）

（9 18)
由式（9-18）可见，利用一次指数平滑法进 行预测，其值的大小受前一期的观测值和 预测值的影响，这两部分所占的比重由平 滑系数加以调整。
3.平滑系数

由预测模型可见，起到一个调节器的作用。 如果值选取得越大，则越加大当前数据的 比重，预测值受近期影响越大；如果值选 取得越小，则越加大过去数据的比重，预 测值受远期影响越大。因此，值大小的选 取对预测的结果关系很大。如何选取值呢？ 通常值的选取类似于移动平均法中对值N 的选取，即多选几个值进行试算，选择使 预测误差小的值。
(1) t
一次移动平均法预测公式为：

即以第t期的一次移动平均数作为下一期 （t+1期）的预测值。
(1) ˆ Yt 1 M t
(9 - 4)
项数N的选择

N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，有利 于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于 反映出来； 反之，N选取得越小，修匀性越差，不规则变动 的影响不易消除，趋势变动不明显。 但N应取多大，应根据具体情况作出决定。实践 中，通常选用几个N值进行试算，通过比较在不 同N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差 最小的N值作为移动平均的项数。
表9-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元
月份 t 1 2 3 4 5 利润额 Yt 51.3 35.7 27.9 32.3 48.2 a=0.1 51.3 49.7 47.6 46 46.2 指数平滑值 a=0.5 51.3 43.5 35.7 34 41.1 a=0.9 51.3 37.3 28.8 32 46.6
1600 13225 1600 1681 1681 784 7225 784 256 28836
437 439 452 466 473 446 444 448
64 169 2500 196 7921 361 4 11215
二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可以 采用一次移动平均法进行短期预测。 当时间序列出现线性变动趋势时，可以采 用二次移动平均法进行预测。
月份数 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
实 际 销售量 Yt 423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446
误差平方和计算表 一次移动平均数Mt N=3 N=5 预测销售量 误差平方 预测销售量 误差平方
表9-2
405 412 469 467 461 452 469 455 430 419
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这 些因素可以分为四种：
1. 2. 3. 4.
长期趋势变动
季节变动 循环变动 不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随 着经济的发展，在相当长的持续时间内， 单方向的上升、下降或水平变动的因素。 它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不 可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常 用T表示，T=T（t）。
a t a12 2M M
(1) 12
( 2) 12
2 74 68 80
2 2 (1) ( 2) b t b12 (M12 M12 ) (74 68) 3 N 1 5 1
预测
ˆ T 5时，求 Y12 5： ˆ Y12 5 80 3 5 95 （千吨）
S Yt (1 ) M
(1) t (1) t
(1) t 1
(9 -14) (9 -15)
或：S Yt (1 ) S

(1) t -1
式中： ——平滑系数，且01。
2.一次指数平滑法预测模型

一次指数平滑法的预测模型为：
ˆ ˆ Yt 1 Yt (1 )Yt
4.初始值的确定

式中S0（1）称为初始值，不能通过式（9-15） 求得，一般是事先指定或估计。指定或估 计的方法有两种：当时间序列的项数较多 时，初始值对最终的预测结果影响相对小 一些，可以指定第一项的值为初始值，即S0 （1）=Y ；当时间序列的项数较少时，初始 1 值的大小对最终预测结果的影响就不容忽 视，通常是选取前几项的平均值作为初始 值。
表9-3 某商品市场需求量 单位：千吨
时期数t 1 2 3 4 5 需求量Yt 50 50 53 56 59 54 一次移动平均数 二次移动平均数
6
7 8 9 10 11 12
62
65 68 71 74 77 80
56
59 62 65 68 71 74 59 62 65 68
解：
分别计算当前时期t=12的一次移动平均 数Mt（1）和 二次移动平均数Mt（2）。 得：M12（1）=74， M12（2）=68 由式（9-12）、（9-13）得：