第九章 时间序列趋势外推法
时间序列分解法和趋势外推法
时间序列分解法和趋势外推法时间序列分解法和趋势外推法是两种常用的时间序列分析方法。
时间序列分析是一种用来预测未来数据趋势和周期性的统计学方法。
时间序列分解法是一种将时间序列数据分解成趋势、周期性和随机成分的方法。
它的基本假设是时间序列数据是由多个不同的组成部分构成的，通过将这些组成部分分离出来，我们可以更好地理解数据的特征和行为。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的和。
趋势指的是数据的长期演变趋势，周期性表示数据在一段时间内出现的重复模式，而随机成分则代表了无法归因于趋势和周期性的随机波动。
加法模型的优点是适用于各种类型的时间序列数据，并且容易理解和解释。
乘法模型将时间序列数据分解为趋势、周期性和随机成分的乘积。
乘法模型假设趋势和周期性分量与数据的幅度成比例，这意味着它适用于数据波动较大的情况。
与加法模型相比，乘法模型更适用于数据幅度随时间变化的情况。
趋势外推法是一种基于时间序列数据的趋势进行未来预测的方法。
它假设趋势是时间序列数据最主要的特征，通过拟合趋势线并对其进行外推，我们可以预测未来数据的变化趋势。
趋势外推法常用的方法包括线性趋势外推和指数趋势外推。
线性趋势外推假设趋势是线性的，即数据随时间的变化呈现线性增长或减少的趋势。
通过线性拟合找到数据的趋势线，然后根据趋势线的斜率和截距，预测未来数据的变化趋势。
线性趋势外推是最简单的趋势外推方法，但它假设趋势是恒定的，忽略了数据的非线性特征。
指数趋势外推假设趋势是指数增长或指数衰减的，即数据呈现幂函数的趋势。
通过拟合指数增长或衰减曲线找到数据的趋势线，然后根据趋势线进行未来数据的预测。
指数趋势外推较线性趋势外推更灵活，能够更好地适应不同的趋势模式。
总之，时间序列分解法和趋势外推法是时间序列分析的常用方法。
时间序列分解法可以将数据分解成趋势、周期性和随机成分，帮助我们更好地理解数据的特征和行为。
时间序列分解法和趋势外推法
其中调整的R2 0.9524 F， 290 F0.05 (2, 29) ， 则方
程 通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。
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(4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 ：
两边取对数：
yˆt aebt
ln yˆt ln a bt
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k
k
(1) lga<0 0<b<1
(2) lga<0 b>1
k (3) lga>0 0<b<1
k
(4) lga>0 b>1
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k
(1) lga<0 0<b<1
渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态 。
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k
(2) lga<0 b>1
t4
解这个三元一次方程就可求得参数。
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例题
•例1
下表是我国1952年到1983年社会商品 零售总额（按当年价格计算），分析预测 我国社会商品零售总额 。
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年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
产生序列ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：
ln yˆt ln 303.69 0.0627t
yˆt 303.69 e0.0627t
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其中调整的 R2 0.9547 F， 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差 为：175.37。
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义一、时间序列分解法时间序列分解法是将一个时间序列数据分解为几个不同的成分，从而更好地理解和预测时间序列的趋势和季节性。
时间序列可以包含趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclical）和随机性（Irregularity）等多个成分。
时间序列分解法的步骤如下：1. 平滑法：首先对原始数据进行平滑操作，以去除季节性和随机性的影响。
常用的平滑方法有简单平均法、加权平均法和指数平滑法等。
2. 趋势估计：通过对平滑后的序列进行趋势估计，得到时间序列的趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
3. 季节性调整：将平滑后的序列减去趋势线，得到季节性成分。
季节性成分可以用于对未来季节性的预测。
4. 周期性调整：将季节性成分减去周期性成分，得到去除季节性和周期性的序列。
5. 随机性分析：对去除季节性和周期性的序列进行随机性分析，以检查是否存在随机性波动。
时间序列分解法的优点是能够更好地理解时间序列的组成成分，并且能够提供对未来趋势和季节性的预测。
然而，该方法的缺点是对于包含较多周期性成分的序列，可能无法准确地分解出趋势和季节性等成分。
二、趋势外推法趋势外推法是利用时间序列数据中的趋势成分进行未来数值的预测。
该方法假设时间序列的趋势相对稳定，根据过去的趋势发展，推断未来的发展方向。
趋势外推法的步骤如下：1. 趋势估计：首先对时间序列进行趋势估计，得到趋势线。
常用的趋势估计方法有移动平均法、自回归法和多项式拟合法等。
2. 趋势外推：根据趋势线的发展趋势，预测未来的数值。
可以利用历史数据的增长速率进行线性外推，也可以利用拟合的趋势函数进行非线性外推。
趋势外推法的优点是简单易用，速度快，适用于短期或趋势相对稳定的预测。
然而，该方法的缺点是对于趋势波动较大或突变的时间序列，预测结果可能存在较大的误差。
三、实施过程实施时间序列分解法和趋势外推法的具体步骤如下：1. 收集时间序列数据：收集需要分析和预测的时间序列数据，可以是销售数据、股票交易数据等。
趋势外推法
时序 （t）
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6 1800.0 2140.0 2350.0 2570.0 2849.4
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SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零 售总额(按当年价格计算），分析预测我国社 会商品零售总额 。
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年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
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差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分( 时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
n
1
B1
1 n
S1
S2 S1
n
B 1
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趋势外推预测方法
y=0
(1) lga<0 0<b<1
y=0
(2) lga<0 b>1
图7.3.1（1）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已逐渐接近饱和状态；
图7.3.1（2）中的渐近线（k）意味着市场对某类产品的需
求已由饱和状态开始下降；
X=k
X=k
图7.3.1 龚珀兹 曲线一般形状
y=0
y=0
(3) lga>0 0<b<1
• lg
a
（6）查 或反对lg数k 表 ，1n 求•出 参 数2 k、2 a、b，并将k、a、b
代入公式 yˆ kabt ，即得龚珀兹预测模型。
第1节 指数曲线法
指数曲线模型
yˆtabet (a0)
（7.1.1）
对式（7.1.1）两端取对数，得 lnyt lnabt
令
令 Ytlnyt,Aln a, yˆyt
则 Yt Abt
这样就把指数曲线
a
模型转化为直线模型
0
t
表7.1.1 指数曲线模型差分计算表
时序(t)
1 2 3 4
t-1 t
yt aebt
趋势外推预测方法
➢趋势外推法
趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随 时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的 预测方法。
➢原理
当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋向，且无明显 的季节波动时，若能找到—条合适的函数曲线反映这种变化趋势，
就可用时间t为自变量，时序数值y为因变量建立趋势模型：
y＝f(t)
（7.0.1）
如果有理由相信这种趋势能够延伸到未来，在式（7.0.1）中赋 予变量t在未来时刻的一个具体数值，可以得到相应时刻的时间序 列未来值。
第九章、时间序列预测(二)
第九章时间序列预测9.3季节指数法市场变化趋势除了直线变动外还有季节性变动、循环变动和不规则变动趋势。
其中季节性变动现象与我们的生活息息相关。
让我们来了解一下，怎样利用季节性变动规律进行市场预测。
一、季节指数法的含义与作用1、季节指数法的含义首先要指出的是，这里所说的季节，既不同于日历上讲的季度，也不同于气象上所讲的季节，他是用来描述任何重复出现额每小时。
每周。
每月或每季等相似间隔的时间段。
在市场预测中多指一年中经营活动的某一固定形态。
季节变动是以一年为周期，经济变量随季节变化而变化的周期性变动。
在社会经济活动中，这种变动是客观存在的而且是常见的，他与春夏秋冬自然季节和社会风俗相联系。
如服装、冷食、高档副食品、农药等，季节性需求变动非常明显。
掌握季节变动规律，就可以利用这种规律进行市场预测。
所谓季节系数法，是根据预测对象各个日历年度按月或按季编制的时间序列资料，以统计方法测定出反映季节变动规律的季节变动系数，并据以进行预测的一种预测方法。
季节系数(也称季节系数)是以相对数形式表现的季节变动指标，一般用百分数或系数表示。
利用季节系数法进行预测，一般要求时间序列的时间单位或是季或是月；要掌握至少三年以上的按月或按季编制的时间序列，因为仅靠一年或两年的统计资料来确定季节变动规律，可能会由于偶然因素的影响而造成较大误差。
所以，为保证预测的准确性，一般需要掌握多年的时间序列资料。
2、季节指数预测法的目的季节指数预测法的目的是要分析季节变动因素对预测对象发展趋势的影响作用，并以此来预测未来趋势。
季节指数预测法在生活中的应用非常广泛，许多经济现象和市场变化都能够利用该方法得到较准确的预测，因此受到人们的重视。
二、季节指数法的应用1、直线趋势比率平均法时间序列存在直线趋势的情况下，季节变动预测通常需要消除只直线趋势的影响。
直线趋势比率平均法能够很好滴消除这种影响，达到准确预测。
调查窗口 9—2 季节指数法季节指数法可分为两类：一类是不考虑长期趋势的季节系数法；另一类是考虑长期趋势的季节系数法。
时间序列趋势外推预测
—
—
—
10.83
0.43
—
—
10.77
0.43
—
—
10.9
1.1
10.82
1.18
11.2
0.6
11.1
0.7
11.67
0.17
11.3
0.2
11.77
0.13
11.38
0.52
11.73
0.27
11.68
0.32
11.8
0.4
11.84
0.36
12.03
1.33
11.88
1.18
11.63
1.23
10.64
0.56
• 解：取W1=0.7，W2=0.2，W3=0.1，按预测公式： y ˆt 10 .7yt0 .7 0 .2 0 y .2 t 1 0 0 .1 .1 yt 2
• 计算n=3的加权移动平均预测值其结果列于上表 中。下期预测值为：
y ˆ1 50 .7 1.2 0 1 .7 0 . 2 0 .1 2 .4 0 0 .1 0 .1 1.7 0 1.9 0 (万 9) 元 MA Eyt y ˆt 6.05 0.5(5 万)元
• 由于 2 未知，所以 2 使用估计值代替
^2
1n2t n1yt
y2
•
则统计量服从t分布： ytl
^
^
1
1 n
1 2
:
t n1
• 则预测区间为：
•
P ^ t 2
1 1 n1 2py t lp^ t2
1 1 n1 2 1
• 预测校正：
• 如果得到新的观测值后，要进行新的预测就必须 根据新得到的数据信息，对原来的预测结果进行
第九章时间序列趋势外推预测
三、时间序列分析
• 影响时间序列的各种因素 长期趋势 T t 季节变动 S t 循环变动 C t 不规则变动 I t
四、时间序列的组合形式
• 时间序列的组合形式 加法型：yt TtStC tIt
乘法型： yt TtStC tIt 混合型： yt Tt St Ct It
yt Tt St Ct It
（2）初值的确定
《1》数据较多，初值对计算结果影响
并不大， yˆ0(1)y1
《2》数据不多，初值对计算结果影响较大
yˆ y1y2y3
1
3
• （3）作用： • （4）举例P122见Excel
（5）指数平滑系数的确定
• 两个变量取值的确定：
0 1
* 参变量（指数）
原则：时间序列数据平缓 0.10.3
2
y3.5
• 3.中心化平均法的应用：P138
3 、考虑循环因素的模型
• 以P133例学习
五.不同的滑动平均法及其在趋势 外推预测中的应用
• 1.中心化平均法：设有某序列{yt}， 滑动时段长为N。
• (1)若N为奇数，即N=2n+1 则• ：y n 1 y 1 y 2 N y N y 1 y 2 y n 2 n y n 1 1 y 2 n 1 • 代表着2n+1 个数的平均情况 ，显然
第二节 预测方法
• 移动平均法 • 指数平滑法
一、平均预测法
• 1 、算术平均法： • （1）若已知{y1,y2,…,yn}时间序列，
可用公式预测n+1期的值 • 公式：
y ˆ n ( 1 ) y ˆ n 1 (y n y n 1 . .y 1 .)/n
时间序列趋势外推法
时间序列趋势外推法姓名：王茂林学号：2014125104 班级：信息1411 组别：第一组1.根据下列数据年取暖器的销售量，并对模型进行结果说明。
第一步：把数据导入excel做出能够反映数据变化趋势的散点图•从图可知，曲线呈现总体上升趋势，初期变化较快，随后增长比较缓慢，纵坐标在达到6000时，趋于一个固定队的值。
接下来，我们通过散点图进行合理外推：一：假设为指数曲线预测模型:我们知道指数曲线其特点是环比发展速度为一个常数。
根据最小平方法的原理得再求反对数，就能求出指数曲线预测模型的参数a,b的估计值。
（1）选择模型。
计算序列的环比发展速度放在表格中，从我计算的环比结果我们可以得知一个规律，就是环比发展速度的变化大体相近。
因此，我可以用指数曲线预测模型来预测。
（2）建立指数曲线预测模型。
所求指数曲线预测模型为：^y=53644.47137(57129.80609)^t（3）预测。
分别把t=9和t=10代入算出指数曲线预测模型。
当我计算前三年的预测值的时候，才发现和真实值相差太远，以至于后面的数据都无法输出。
算这么多，我才醒悟过来，模型开始就假设错啦，而且错的不可理喻，因为指数曲线的趋势性是递增的，而本数据的散点图是开始递增，后来增长变得缓慢，到最后趋于一个固定的值。
和指数曲线的趋势性相差十万八千里。
所以，模型假设不成立。
二：假设为修正指数曲线预测模型.由于修正指数曲线预测模型的一阶差分为是指数函数形式，因此由指数曲线预测模型的特点，可知修正指数曲线预测模型的特征是：一阶差分的环比为一个常数。
接下来我们来计算本数据的一阶差分和一阶差分环比。
(1) 选择预测模型。
计算序列一阶差分的环比放在表中，从环比数据可以看出：一阶差分环比基本上为一个常数，而这个常数为80；所以，可配合修正指数曲线预测模型来预测。
(2)建立修正指数曲线预测模型。
n=3，将计算结果代入k;a;b的计算公式，得到如下的过程：(3) 预测。
时间序列 趋势外推法 r语言
时间序列趋势外推法 r语言时间序列分析是一种用于预测未来数据趋势的统计方法，而趋势外推法是一种常用的时间序列预测方法之一。
在R语言中，我们可以使用一些内置的函数和包来实现时间序列的趋势外推。
下面我将从时间序列、趋势外推法和R语言的角度分别介绍这些内容。
首先，时间序列是一系列按时间顺序排列的数据点。
时间序列分析旨在识别数据中的模式和趋势，以便预测未来的数值。
趋势外推法是一种基于时间序列数据中的趋势进行预测的方法，它可以帮助我们理解数据的长期发展趋势，并做出相应的预测。
在R语言中，有一些常用的包和函数可以用来进行时间序列分析和趋势外推。
其中，最常用的包包括“forecast”、“tseries”和“stats”等。
这些包提供了丰富的函数和工具，可以帮助我们进行时间序列数据的处理、分析和预测。
在R语言中，我们可以使用“ts”函数将数据转换为时间序列对象，然后利用“forecast”包中的函数进行趋势外推。
常见的趋势外推方法包括简单移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
我们可以根据数据的特点选择合适的方法进行趋势外推，并使用相应的R函数进行计算和预测。
除了使用内置的函数和包，R语言还提供了丰富的可视化工具，如ggplot2包和plot函数，可以帮助我们直观地展示时间序列数据的趋势和预测结果，从而更好地理解数据并进行决策。
总之，时间序列分析和趋势外推是重要的数据分析方法，而R语言提供了丰富的工具和函数来支持这些分析。
通过合理选择方法和工具，我们可以利用R语言进行时间序列数据的趋势外推，并得出有效的预测结果。
希望这些信息能够帮助你更好地理解时间序列趋势外推在R语言中的应用。
本科“统计学”——第九章 时间序列分析
1989
58.35
1998
163.00
2 - 20 6
移动平均法 (趋势图)
200
汽 150 车 产 100 量 （万辆）50
产量
五项移动平均趋势值 三项移动平均趋势值
0 1981
1985
图11-1
2 - 21 6
1993 1997 （年份） 汽车产量移动平均趋势图
1989
移动平均法 (应注意的问题)
2 - 26 6
3-3 指数平滑法
因此，F4是前三个时间序列数值的加权平均数。 Y1，Y2和Y3的系数或权数之和等于1。 由此可以得到一个结论，即任何预测值Ft+1是以 前所有时间序列数值的加权平均数。
2 - 27 6
3-4 指数平滑法
指数平滑法提供的预测值是以前所 有预测值的加权平均数，但所有过 去资料未必都需要保留，以用来计 算下一个时期的预测值。
1.
测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间 隔长度逐期移动，计算出一系列移动平均数 由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列 的波动起到修匀作用，从而呈现出现象发展的变 动趋势
2.
移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为
Yi Yi 1 Yi K 1 Yi 1 K
一、利用平滑法进行预测
本节我们讨论三种预测方法：移动平均法、加权移动平 均法和指数平滑法。因为每一种方法的都是要“消除” 由时间序列的不规则成分所引起的随机波动，所以它们
被称为平滑方法。 三 种 平 滑 方 法
2 - 18 6
移动平均法 加权移动平均法 指数平滑法
1、移动平均法 (Moving Average Method)
时间序列分解法和趋势外推法讲义
时间序列分解法和趋势外推法讲义时间序列分解方法是一种常用的时间序列分析方法，用于将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个组成部分。
时间序列分解方法可以帮助我们更好地理解和预测时间序列数据的变动规律，具有广泛的应用领域。
一、时间序列分解方法时间序列分解方法是将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机性三个部分的方法。
这三个部分分别表示了数据的长期趋势、周期性变动和随机波动。
时间序列分解方法基于以下假设：1. 时间序列数据可以被分解为趋势、季节性和随机性三个部分；2. 趋势是数据的长期变动趋势，可以通过回归分析等方法来进行估计；3. 季节性是数据的周期性变动，可以通过季节分析等方法来进行估计；4. 随机性是数据的随机波动，无法预测。
时间序列分解方法通常包括以下步骤：1. 确定时间序列数据的周期性；2. 估计趋势；3. 估计季节性；4. 估计随机性。
在实际应用中，可以使用不同的方法来进行估计，如平均值法、移动平均法、指数平滑法等。
根据具体的问题和数据特点，选择合适的方法进行时间序列分解。
时间序列分解方法的优点是能够将时间序列数据分解为不同的组成部分，帮助我们更好地理解数据的变动规律。
同时，时间序列分解方法也可以用于数据的预测和分析，提供更准确的预测结果和决策支持。
二、趋势外推法趋势外推法是根据时间序列数据的趋势特点，通过拟合趋势方程来预测未来的数据值。
趋势外推法常用的方法有线性趋势外推法和非线性趋势外推法。
线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个线性函数，然后通过拟合线性方程，预测未来的数据值。
线性趋势外推法具有简单易行和计算方便的优点，适用于具有线性趋势的时间序列数据。
非线性趋势外推法是在时间序列数据的基础上，假设趋势是一个非线性函数，然后通过拟合非线性方程，预测未来的数据值。
非线性趋势外推法相对于线性趋势外推法更加灵活，能够适应更多样的趋势形态，但计算复杂度更高。
趋势外推法的关键是选择合适的趋势方程进行拟合。
趋势外推法
预测精度判断
用相对误差指标
σ= θ= σ
Y (Y Y ) 2 ∑ nk
某电视机厂连续24个月销售量
月份 销售量 (万台) 月份 销售量 (万台) 1 161 .2 13 214 .5 2 135 .4 14 161 .7 3 120 .7 15 237 .1 4 136 .7 16 269 .1 5 143 .3 17 291 .3 6 145 .9 18 310 .4 7 152 .8 19 380 .4 8 209 .6 20 340 .1 9 165 .5 21 350 .5 10 209 .3 22 381 .5 11 205 .9 23 385 .4 12 144 .7 24 261 .2
= n∑ Yt ∑ Y ∑ t b n∑ t 2 (∑ t ) 2
∑ Y b∑ t a=
n
例:有下数据,请用线性回归预测第8年 和第10年的值,并画出趋势图.
年份 1 2 3 4 5 6 7 营业收入 290,463 317,661 346,853 338,812 413,310 459,453 389,866 回归预测值 295,747.2 318,899 342,050.8 365,202.6 388,354.4 411,506.1 434,657.9
=
0.6153 = 0.32 (万件) 6
用双侧t检验,取α=0.1,
y ± t0.10 / 2 SE = 32.35 ± 1.943 × 0.32
上述预测2004年销售量为32.35万件,在给定90 %的概率保证下,其近似的预测置信区间为 31.72 万件到32.97万件之间.
进一步阅读
data
b0 = 35 .05
39.5 9 81 38 16 256 274 .0 60 708
时间序列分解法和趋势外推法.76页PPT
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 —— 罗伯斯 庇尔
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
市场调查与预测——第九章 时间序列预测法
ˆ 预测模型为yt a bx 利用最小二乘法估计参数a和b yt xyt a yt；b n x2
• 【例】 某家用电器厂1993—2003年利润额数据资料如表所示，求 当x的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0， 1，2，3，4，5，6，7，8．9，10时，试预测2004、2005年企业利 润额各为多少万元?
• 4. 计算趋势变动值 • 当年的趋势变动值等于它当年的移动平均值与上年的移动平 均值之差。 • 5．计算绝对误差、平均绝对误差 • 绝对误差＝|移动平均值—观察值|
•
6．建立模型求预测值
• 二次移动平均法 • 是对一组时间序列数据先后进行两次移动平均。即在 一次移动平均值的基础上，再进行第二次移动平均， 并根据最后的两个移动平均值的结果建立预测模型， 求得预测值。
1 1 1
为时间序列的平滑指数，且0 1。那么时间序列各观测
值的一次指数平滑公式为
1 St1 xt 1 St1
即本期一次指数平滑值等于本期实际值xt的 倍加上上期一次
指数平滑值St1的 1 倍。将此改写，得到递推公式：
1 1 1 St1 St1 xt St1
即本期一次指数平滑值等于上期一次指数平滑值加上本期实 际值与上期一次指数平滑值差的 倍。
一次指数平滑法的预测公式为 Ft 1 St
1
即下期预测值等于本期一次指数平滑值，根据公式计算 的递推公式为 Ft 1 Ft xt Ft 即在下棋预测值等于本期预测值Ft的基础上，再加上本期 实际值xt 与本期预测值Ft 之差的 倍。
2 St 2 St1 1 St1
时间序列趋势外推预测与决策
时间序列趋势外推预测与决策时间序列趋势外推预测与决策时间序列趋势外推预测是一种利用过去的时间序列数据来预测未来趋势的方法。
它基于时间的流逝和不同因素对时间序列数据的影响，通过建立数学模型来预测未来的发展趋势。
时间序列趋势外推预测在实际中广泛应用于经济、金融、市场等领域，对决策者做出准确的决策具有重要意义。
时间序列趋势外推预测方法主要分为基于统计的方法和基于机器学习的方法。
基于统计的方法主要包括移动平均法、指数平滑法和回归分析法。
移动平均法通过计算一定时期内数据的平均值来确定未来的趋势；指数平滑法则通过对历史数据进行加权计算，给予最近的数据更大的权重，来预测未来的趋势；回归分析法则通过分析多个相关变量之间的关系来预测时间序列的发展趋势。
基于机器学习的方法则更加灵活和准确，其主要包括ARIMA模型、神经网络模型和支持向量机模型。
ARIMA模型是一种广泛使用的时间序列模型，它通过对时间序列数据的自回归、差分和移动平均进行建模，来预测未来的趋势；神经网络模型则通过模拟大脑神经元之间的连接来进行学习和预测；支持向量机模型则通过以少数样本和决策边界为基础进行预测。
时间序列趋势外推预测对于决策者来说具有重要的指导作用。
对于企业而言，通过时间序列趋势外推预测可以预测未来的市场需求和销售趋势，从而调整生产计划和库存管理策略。
对于金融市场而言，通过时间序列趋势外推预测可以对未来的股票价格、汇率和利率等进行预测，从而帮助投资者做出明智的投资决策。
此外，在政府决策中，时间序列趋势外推预测可以用来预测人口变化和经济增长趋势，从而制定合理的政策措施。
然而，时间序列趋势外推预测也存在一定的局限性。
首先，时间序列数据往往受到多个因素的影响，其中包括周期性、季节性和随机性等，这些因素会对预测结果产生一定的影响。
其次，时间序列趋势外推预测在面对非线性和非平稳数据时会出现较大的误差。
最后，时间序列趋势外推预测需要充分的历史数据来建立模型，而在一些新兴领域或者短期预测中往往缺乏足够的历史数据，这也给模型的建立和预测带来一定的困难。
时间序列确定性趋势外推预测法
ˆ ˆ 是对时间点n+1时序列线性趋势斜率的一种估计， ˆ ˆ 与先前的斜率 作加权平均，就得到 n
n1 n
3.季节指数的平滑公式，
n1
Sn1L 是上一季节 了趋势影响但保留随机影响的季节指数， 周期的季节指数，两者的加权平均就消除了随机影响，得 到时间点 n+1的季节指数。综合上式即得序列 yn j 的预测 公式，设 l 是超前预测的期数，则
• （2）如果预测目标的基本趋势已经发生系统地变
化，则 值应取得大一些。这样可以偏重新数据的
信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应
预测目标的新变化。
• 水平趋势预测模型：
ˆT m y ˆT (1)， m 1,2, y
二 序列具有线性趋势的 外推预测法
如果经济时间序列具有线性的增长趋势，用 一次滑动平均法和简单指数平滑法去做预测， 会产生滞后，即预测值比实际值偏小。这时应 采用二次滑动平均预测法和二次指数平滑法。 1 二次滑动平均预测法
周期波动时，可用趋势滑动平均法建立预测
模型:
ˆT m aT bT m， y m 1,2,
其中，
aT 2M T M T
( 1)
( 2)
2 bT ( M T(1) M T( 2 ) ) N 1
上述移动平均法在数据处理中常用它作为预处理，消除 周期波动（取N为周期长度）和减弱随机干扰的影响
ˆ n (1) yn ˆ n y （ 1－）y （ ） 1 1 ˆ n （ y n （ 1－） [yn 1 （ 1－）y ） ] 2 1 (1 ) yn j
j j 0
（6）
• （6）式表明 y ˆ n (1) 是全部历史数据的加权平
时间序列之趋势外推模型及可能用到的excel函数
时间序列之趋势外推模型及可能用到的excel函数在对未来趋势预测过程中，可能用到的excel函数趋势外推分析预测是时间序列分析中的传统分析方法。
基本思想是：从历史数据中提炼出其发展规律，并通过趋势的外推对未来进行预测，趋势外推的方法是基于回归分析，它把研究观测值序列看做回归模型中的因变量，而时间作为模型的自变量。
步骤：1、对已有的时间序列数值，进行excel作图。
2、依据图形，选择趋势线(线性、指数、多项式、幂函数等等)，进行拟合(运用拟合优度R Square,进行判断趋势外推模型精度)3、选择适当的回归函数，对未来进行预测(有时将不同的回归函数混合使用，讲各自的预测值，作为置信上线与置信下线。
)增长曲线中最典型的就是指数曲线，其模型：y=ab^t,其中y是时间序列Y 的趋势预测值，t为时间标号，a是时间标号为0时y的数值，b为平均发展速度，用以描述时间序列曲线在整个观察期内的平均发展程度。
一、线性回归函数FORECAST函数FORECAST用途：根据一条线性回归拟合线返回一个预测值。
使用此函数可以对未来销售额、库存需求或消费趋势进行预测。
语法：FORECAST(x，known_y's，known_x's)。
参数：X为需要进行预测的数据点的X坐标(自变量值)。
Known_y's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的y 值，Known_x's是从满足线性拟合直线y=kx+b的点集合中选出的一组已知的x值。
实例：公式"=FORECAST(16，{7，8，9，11，15}，{21，26，32，36，42})"返回4.378318584。
trend函数返回一条线性回归拟合线的值。
即找到适合已知数组known_y's和known_x's的直线(用最小二乘法)，并返回指定数组new_x's在直线上对应的y 值。
语法TREND(known_y's,known_x's,new_x's,const)Known_y's是关系表达式y=mx+b中已知的y值集合。
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均方误差
预测误差可以通过均方误差MSE来度量。
1 ˆ )2 MSE 1(Yt Yt K N tN
K
式中：K——时间序列的项数
例9-1:
某农机公司某年1月至12月某种农具的销售 量如表9-1。试用一次移动平均法预测次年1 月的销售量。
表9-1 月份数 t 1 2
一次移动平均数计算表 单位：件 实际销售量 Yt 423 358 一次移动平均数Mt N=3 N=5
4.初始值的确定
式中S0（1）称为初始值，不能通过式（9-15） 求得，一般是事先指定或估计。指定或估 计的方法有两种：当时间序列的项数较多 时，初始值对最终的预测结果影响相对小 一些，可以指定第一项的值为初始值，即S0 （1）=Y ；当时间序列的项数较少时，初始 1 值的大小对最终预测结果的影响就不容忽 视，通常是选取前几项的平均值作为初始 值。
3
4 5 6 7 8 9
434
445 527 429 426 502 480
405
412 469 467 461 452 469 437 439 452 466 473
10
11 12
384
427 446
455
430 419
444
444 448
解：
分别取N=3，N=5，计算各月的一次移动 平均数。 计算两种N值下的均方误差： 由计算结果可见，MSE3>MSE5，故选取 N=5，预测次年1月该农具的销售量为448件。
二、时间序列的影响因素
一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这 些因素可以分为四种：
1. 2. 3. 4.
长期趋势变动
季节变动 循环变动 不规则变动
1.长期趋势变动
长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随 着经济的发展，在相当长的持续时间内， 单方向的上升、下降或水平变动的因素。 它反映了经济现象的主要变动趋势。 长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不 可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常 用T表示，T=T（t）。
（9 18)
由式（9-18）可见，利用一次指数平滑法进 行预测，其值的大小受前一期的观测值和 预测值的影响，这两部分所占的比重由平 滑系数加以调整。
3.平滑系数
由预测模型可见，起到一个调节器的作用。 如果值选取得越大，则越加大当前数据的 比重，预测值受近期影响越大；如果值选 取得越小，则越加大过去数据的比重，预 测值受远期影响越大。因此，值大小的选 取对预测的结果关系很大。如何选取值呢？ 通常值的选取类似于移动平均法中对值N 的选取，即多选几个值进行试算，选择使 预测误差小的值。
Why?
(9 - 12) (9 - 13)
线性趋势预测模型
根据式（9-12）、（9-13）就可以通过一次 移动平均数和二次移动平均数求出线性预 测模型（9-8）的参数，建立线性趋势预测 模型。
例9-2：
已知某商品连续12个月的市场需求量如 表9-3所示，试用二次移动平均法预测5个月后 的市场需求量。（取N=5）
表9-4 各月利润额及指数平滑值 单位：千元
月份 t 1 2 3 4 5 利润额 Yt 51.3 35.7 27.9 32.3 48.2 a=0.1 51.3 49.7 47.6 46 46.2 指数平滑值 a=0.5 51.3 43.5 35.7 34 41.1 a=0.9 51.3 37.3 28.8 32 46.6
t ——当前时期数 T——当前时期至预测期的时期数 at——对应于当前时期的线性方程的截距系数 bt——对应于当前时期的线性方程的斜率系数
at、 bt的估计式
由于已知的时间序列具有线性变动规律,所 以有：
2 (1) ( 2) bt (M t M t ) N 1 (1) ( 2) at 2 M t M t
表9-3 某商品市场需求量 单位：千吨
时期数t 1 2 3 4 5 需求量Yt 50 50 53 56 59 54 一次移动平均数 二次移动平均数
6
7 8 9 10 11 12
62
65 68 71 74 77 80
56
59 62 65 68 71 74 59 62 65 68
解：
分别计算当前时期t=12的一次移动平均 数Mt（1）和 二次移动平均数Mt（2）。 得：M12（1）=74， M12（2）=68 由式（9-12）、（9-13）得：
S Yt (1 ) M
(1) t (1) t
(1) t 1
(9 -14) (9 -15)
或：S Yt (1 ) S
(1) t -1
式中： ——平滑系数，且01。
2.一次指数平滑法预测模型
一次指数平滑法的预测模型为：
ˆ ˆ Yt 1 Yt (1 )Yt
(1) t
一次移动平均法预测公式为：
即以第t期的一次移动平均数作为下一期 （t+1期）的预测值。
(1) ˆ Yt 1 M t
(9 - 4)
项数N的选择
N越大，修匀的程度也越大，波动也越小，有利 于消除不规则变动的影响，但同时周期变动难于 反映出来； 反之，N选取得越小，修匀性越差，不规则变动 的影响不易消除，趋势变动不明显。 但N应取多大，应根据具体情况作出决定。实践 中，通常选用几个N值进行试算，通过比较在不 同N值条件下的预测误差，从中选择使预测误差 最小的N值作为移动平均的项数。
9-1 时间序列分析预测法
时间序列分析预测法是将预测目标
的历史数据按照时间的顺序排列成
为时间序列，然后分析它随时间的
变化趋势,外推预测目标的未来值。
一、概念：时间序列
时间序列是指某种经济统计指标的数
值，按时间先后顺序排列起来的数列。
时间序列是时间t的函数，若用Y表示，
则有：
Y=Y（t）
三、时间序列因素的组合形式
时间序列变动是长期趋势变动、季节变动、 循环变动和不规则变动四种因素综合作用 的结果。四种因素组合的形式有多种，有 以下两种基本形式。
1．加法型
Y=T+C+S+I Y=T · · · C S I
2．乘法型
四、时间序列预测的步骤
时间序列预测的一般步骤是：
一次移动平均法
二次移动平均法
一、一次移动平均法
设时间序列为：Y1Y2Yt。一次移动平 均数的计算公式为：
M
(1) t
Yt Yt 1 Yt N 1 , N
t N
(9 - 1)
一次移动平均数的递推公式
Yt Yt 1 ... Yt N 1 M N Yt Yt 1 Yt 2 ... Yt N 1 Yt N Yt N (9 2) N N N (1) Yt Yt N M t 1 (9 - 3) N
a t a12 2M M
(1) 12
( 2) 12
2 74 68 80
2 2 (1) ( 2) b t b12 (M12 M12 ) (74 68) 3 N 1 5 1
预测
ˆ T 5时，求 Y12 5： ˆ Y12 5 80 3 5 95 （千吨）
2.循环变动
循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周 期性变动。 即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。 循环变动是时间的函数，通常用C表示， C=C（t）。
3.季节变动
季节变动是指以一年为周期的周期性变动。 季节变动是时间的函数，通常用S表示， S=S（t）。
4.不规则变动
不规则变动是指由各种偶然因素引起的随 机性变动。 不规则变动通常用I表示，I=I（t）。
经济预测与决策
重庆交通大学管理学院
第九章 时间序列趋势外推预测
主要内容及学习目标
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.
了解时间序列的概念，理解时间序列的分解 理解时间序列常用的预测方法 掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法 掌握时间序列的指数平滑预测法 理解二次滑动平均预测法 理解二次指数平滑预测法 了解三次指数平滑预测法 掌握时间序列的分解预测法 理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预 测法
1.根据已知时间序列，分解各变动因素，并找
出其随时间变动的规律。
2.根据各变动因素的规律，组合分析，求得时
间序列的变动规律。
3.根据时间序列的变动规律进行预测。
9-2 移动平均法
移动平均法是根据时间序列，逐项推移， 依次计算包含一定项数的移动平均数，据 以进行预测的方法。 移动平均法主要有：
1.二次移动平均数概念
在一次移动平均数的基础上，再进行一次 移动平均，其值称为二次移动平均数。
2.二次移动平均法预测公式
若时间序列具有线性趋势变动，并预测 未来亦按此趋势变动，则可建立线性趋 势预测模型：
ˆ Yt T at btT
T 1,2,
(9 - 8)
式中：
1600 13225 1600 1681 1681 784 7225 784 256 28836
437 439 452 466 473 446 444 448
64 169 2500 196 7921 361 4 11215
二、二次移动平均法
当时间序列没有明显的趋势变动时，可以 采用一次移动平均法进行短期预测。 当时间序列出现线性变动趋势时，可以采 用二次移动平均法进行预测。
即估计5个月后市场需求量是95千吨。
9-3 指数平滑法