大物(2)期末复习

练习一 静电场中的导体

三、计算题

1. 已知某静电场在xy 平面的电势函数为U =Cx/(x 2+y 2)3/2,其中C 为常数.求(1)x 轴上任意一点,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向. 解：. E x =-∂U/∂x

=-C [1/(x 2+y 2)3/2+x (-3/2)2x /(x 2+y 2)5/2]

= (2x 2-y 2)C /(x 2+y 2)5/2

E y =-∂U/∂y

=-Cx (-3/2)2y /(x 2+y 2)5/2=3Cxy /(x 2+y 2)5/2

x 轴上点(y =0) E x =2Cx 2/x 5=2C /x 3 E y =0 E =2C i /x 3

y 轴上点(x =0) E x =-Cy 2/y 5=-C /y 3 E y =0

E =-C i /y 3

2．如图5.6,一导体球壳A (外半径分别为R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球B (半径为R 1)上,今给A 球带负电-Q , 求B 球所带电荷Q B 及的A 球的电势U A .

静电场中的导体答案

解： 2. B 球接地,有 U B =U ∞=0, U A =U BA

U A =(-Q+Q B )/(4πε0R 3)

U BA =[Q B /(4πε0)](1/R 2-1/R 1)

得 Q B =QR 1R 2/( R 1R 2+ R 2R 3- R 1R 3)

U A =[Q/(4πε0R 3)][-1+R 1R 2/(R 1R 2+R 2R 3-R 1R 3)]

=-Q (R 2-R 1)/[4πε0(R 1R 2+R 2R 3-R 1R 3)]

练习二 静电场中的电介质

三、计算题

1. 如图6.6所示,面积均为S =0.1m 2的两金属平板A ,B 平行对称放置,间距为d =1mm,今给A , B 两板分别带电 Q 1=3.54×10－

9C, Q 2=1.77×10－

9C.忽略边缘效应,

求：(1) 两板共四个表面的面电荷密度 σ1, σ2, σ3, σ4;

(2) 两板间的电势差V =U A －U B .

-Q

图

5.6

Q 2

σ 2 σ 4

解：1. 在A 板体取一点A , B 板体取一点B ,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有

E A =σ1/(2ε0)-σ2/(2ε0)-σ3/(2ε0)-σ4/(2ε0)=0

E A =σ1/(2ε0)+σ2/(2ε0)+σ3/(2ε0)-σ4/(2ε0)=0

而 S (σ1+σ2)=Q 1 S (σ3+σ4)=Q 2 有 σ1-σ2-σ3-σ4=0

σ1+σ2+σ3-σ4=0 σ1+σ2=Q 1/S σ3+σ4=Q 2/S

解得 σ1=σ4=(Q 1+Q 2)/(2S )=2.66⨯10-8C/m 2

σ2=-σ3=(Q 1-Q 2)/(2S )=0.89⨯10-8C/m 2 两板间的场强 E=σ2/ε0=(Q 1-Q 2)/(2ε0S )

V=U A －U B ⎰

⋅=

B

A

l E d

=Ed=(Q 1-Q 2)d /(2ε0S )=1000V

四、证明题

1. 如图6.7所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.

解：1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB 作环路ACBA ,导体直线BA 的场强为零,ACB 的电场与环路同向于是有

=

⋅⎰l E d l +

⋅⎰

ACB

l E d ⎰⋅A

B

l E d 2

=⎰⋅ACB

l E d ≠0

与静电场的环路定理=⋅⎰l E d l

0相违背,故在

同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.

练习三 电容 静电场的能量

三、计算题

1. 半径为R 1的导体球带电Q ,球外一层半径为R 2相对电容率为εr 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图7.1所示.求:(1)离球心距离为r 1(r 1R 2)处的D 和E

；

(2)离球心r 1, r 2, r 3,处的U ；(3)介质球壳外表面的极化电荷.

解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与金属球同心的球形高斯面,有

i

S

q

0d ∑=⋅⎰S D

4πr 2D=∑q 0i

当r=5cm R 1+d ) ∑q 0i =Q=1.0×10-8C 得 D 3=Q /(4πr 2)=1.27×10-8C/m 2 E 3=Q /(4πε0r 2)=1.44×104N/C D 和E 的方向沿径向. (2) 当r=5cm

⎰

∞

⋅r

l E d ⎰=R

r r E d 1⎰

++d R R

r E d 2⎰

∞

++d

R r E d 3

=Q/(4πε0εr R )-Q/[4πε0εr (R+d )]+Q/[4πε0(R+d )]

=540V

当r=15cm

U 2=

⎰

∞

⋅r

l E d ⎰

+=d

R r

r E d 2⎰

∞

++d

R r E d 3

=Q/(4πε0εr r )-Q/[4πε0εr (R+d )]+Q/[4πε0(R+d )]

=480V

当r=25cm

U 3=

⎰

∞

⋅r

l E d ⎰∞

=r

r E d 3=Q/(4πε0r )=360V

(3)在介质的外表面存在极化电荷,

P e =ε0χE=ε0(εr -1)E σ'= P e ·n

r=R 处, 介质表面法线指向球心

σ'=P e ·n =P e cos π=-ε0(εr -1)E

q '=σ'S =-ε0(εr -1) [Q /(4πε0εr R 2)]4πR 2

=-(εr -1)Q /εr =-0.8×10-8C

r=R+d 处, 介质表面法线向外

σ'=P e ·n =P e cos0=ε0(εr -1)E

q '=σ'S =ε0(εr -1)[Q /(4πε0εr (R+d )2]4π(R +d )2

=(εr -1)Q /εr =0.8×10-8C

2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm ，分别充电至200V 和400V ，然后

用一根细导线连接两球，使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功. 解;2.球形电容器 C =4πε0R