大物2期末复习

练习一 静电场中的导体

三、计算题

1. 已知某静电场在xy 平面内的电势函数为U =Cx/(ｘ2

+ｙ２

）３/2

,

其中Ｃ为常数.求(１)x 轴上任意一点,(2)y 轴上任意一点电场强度的

大小和方向.

解：. E x =U/x

=C [１/（x 2+y ２)３／2+x (3/２）２ｘ/（x 2＋y ２)5/2]

= (2x 2

y 2)C /(x ２＋y 2)5/2

E y =Ｕ/ｙ

=C ｘ（3/2)２ｙ/(ｘ2

＋y ２)5／２=3Ｃxy /(ｘ2+y 2)5/2

ｘ轴上点(y =0) E x ＝2Ｃx 2／ｘ５=2C /x 3 E ｙ＝0

E ＝2C i /x 3

ｙ轴上点(x ＝0） E x =Cy ２/y 5=C /y ３ Ｅy =０

E ＝C ｉ/y 3

2.如图5.6，一导体球壳A (内外半径分别为R 2,R 3),同心地罩在一接地导体球Ｂ（半径为R 1)上,今给A 球带负电Ｑ, 求Ｂ球所带电荷Q B 及的Ａ球的电势ＵA ．

静电场中的导体答案 解： 2. B 球接地,有 U B ＝Ｕ=0, U A =U BA

ＵA =(Q+Q B )/（４0Ｒ3) U ＢA =[Q B ／（40)］(1/R ２

１/R 1) 得 ＱB =QR 1R 2/（ R 1Ｒ2+ R 2R 3 R 1R ３)

ＵA =[Q ／（40R 3)][

1＋R 1R ２/（R 1R ２+R 2R ３R 1R 3）］ =Q (R 2R １)/[40(R 1R ２＋R 2R 3

R 1Ｒ3)］

练习二 静电场中的电介质

三、计算题

1. 如图6.6所示,面积均为S ＝０.1m 2

的两金属平板A ，B 平行对称放置，间距为d ＝１ｍm ，今给A , B 两板分别带电 Q 1=3.5４×１0-9

C, Q 2=1.７７×10－9

C.忽略边缘效应， 求：(１） 两板共四个表面的面电荷密度

1

,

2

，

３

,

4

;

(２) 两板间的电势差V ＝U A －U B ．

解：1. 在A 板体内取一点A ， B 板体内取一点B ,它们的电场强度是

-Q

图5.6

A Q 1

图6.6

2

σ1 2 σ3 σ4

四个表面的电荷产生的,应为零,有

ＥA =1／(２0)2/(20)３/(20)4

／(２

)＝０

ＥA =1/（20)+2/(20)＋３/(2０)

4

／(20

)=0

而 S （1+２)=Q 1 Ｓ（3＋4）=Ｑ2

有

1

2

3

4=0

1

＋２+

３４

＝０

1+2

=Q 1/S

3

+4=Q ２/Ｓ 解得

1=

4

=（Ｑ1+Q 2)/（2S )=2．66

1０8C/ｍ2

2

＝3=(Q 1

Q ２)/(2S )＝０.891０８

C ／m ２

两板间的场强 Ｅ=２/0=（Q 1Q 2）/(20Ｓ)

V=U A -ＵＢ⎰⋅=B

A

l E d

=E ｄ=(Q 1Q 2)ｄ/(2

０

S )=10００Ｖ

四、证明题

1. 如图６.7所示,置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在. 解：1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ＡCB 作环路AC ＢA ,导体内直线BA 的场强为零，ACB 的电场与环路同向于是有

=⋅⎰l E d l

+

⋅⎰

ACB

l E d ⎰⋅A

B

l E d 2

＝⎰⋅ACB

l E d 0

与静电场的环路定理=⋅⎰l E d l

0相违背,故在

同一导体上不存在从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.

练习三 电容 静电场的能量

三、计算题

1. 半径为R 1的导体球带电Ｑ ,球外一层半径为Ｒ2相对电容率为r 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图７.1所示.求：(1)离球心距离为r １(ｒ1＜R 1), r ２(R 1R 2)处的D 和E ；（2）离球心r １, r 2, r 3,处的Ｕ；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.

+ - +

+ -

-

-

-

- +

+ + 导体 图 7.1

R 2

+ + + +

- - - - B A

C

解：１. （1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称，过场点作与金属球同心的球形高斯面,有

i

S

q

0d ∑=⋅⎰S D

4r 2

D ＝ｑ0ｉ

当r=５cm

q 0ｉ＝Q=1．0×1０8C

得 D 2=Q /(4ｒ２

)＝3.５4×108

Ｃ/m 2

Ｅ2=Q /(40r r ２）=7.99×103

Ｎ/C 当r ＝25cm(r ＞R 1＋d )

ｑ0i ＝Q ＝１.0×108C

得 Ｄ3=Q /（4r ２

)=１.２7×108

C/m 2

E 3=Q /（4

r ２)＝1.４4×104Ｎ/Ｃ

D 和

E 的方向沿径向.

（２) 当r=5ｃｍ<Ｒ1时 U 1=

⎰

∞

⋅r

l E d

⎰=R r

r E d 1⎰

++d R R

r E d 2⎰

∞

++d

R r E d 3

=Q ／(4

r

R )Q/[４

ｒ

(R+d ）]+Ｑ/［4

(Ｒ+d )］

＝５４0V

当r=1５cm

Ｕ2=⎰∞

⋅r

l E d ⎰

+=d

R r

r E d 2⎰

∞

++d

R r E d 3

＝Ｑ/(4

r

r )Q/[40

r

(R+d )]+Q/[40

（R+d )]

=480V

当r ＝2５cm <Ｒ1时

U 3＝⎰∞

⋅r

l E d ⎰∞

=r

r E d 3=Q/（4

r )=360V

(3）在介质的内外表面存在极化电荷，

Ｐe =

０

E=

(

r

1)E

= P e ·n

ｒ=R 处, 介质表面法线指向球心

＝P e ·ｎ =Ｐe c ｏｓ=0(r

1)E q ＝S =0(r １) [Q /（40ｒR ２

)]４

R ２ =（r １)Q /r =0.8×108C

r=R+d 处, 介质表面法线向外

=P e ·n =P e ｃｏs ０=0(r １）E

q ＝S =０（r 1)[Q /(40r (R+d ）2]4

(Ｒ+d )2

＝(r 1）Q /r =0.８×１08Ｃ

２.两个相距很远可看作孤立的导体球,半径均为10cm ，分别充电至200V 和400V,然后用一根细导线连接两球,使之达到等电势. 计算变为等势体的过程中,静电力所作的功. 解；2.球形电容器 C =4０Ｒ

Ｑ１＝C １Ｖ1= ４

ＲＶ１ Q 2=Ｃ2V ２= ４

RV 2