《数值分析》第五章答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题5
1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：⎰-≈b
a a
b a f dx x f ))(()(
(2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b
a
-≈⎰
(3) 中矩形公式：⎰-+≈b
a
a b b
a f dx x f ))(2
(
)( 解：(1) )()(a f x f ≈，
)()()()(a b a f dx a f dx x f b
a
b
a -=≈⎰⎰
(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b
a
b a
a b a f dx b f dx x f ))(()()(
)()(2
1)()()()(2
ηηξf a b dx b x f dx b x f b
a
b
a
'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ
(3) 法1 )2
(
)(b
a f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H
满足 )2()2(
b a f b a H +=+，)2
()2(b
a f
b a H +'=+'，则有 2
)2
)((!21)()(b a x f x H x f +-''=
-ξ， ),(b a ∈ξ 于是
2．考察下列求积公式具有几次代数精度：
（1）
⎰'+
≈1
)1(2
1
)0()(f f dx x f ； （2）
)3
1()31()(1
1f f dx x f +-
≈⎰-。 解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21=
，右=2
1
210=+，左=右； 当2
)(x x f =时，左=3
1
，右=1，左≠右，代数精度为1。
（2）当1)(=x f 时，左=2，右=2，左=右； 当x x f =)(时，左=0，右=03
1)31(=+-
，左=右； 当2
)(x x f =时，左32
=
，右3
23131=+=，左=右； 当3
)(x x f =时，左0=，右0)3
1(
)31(33=+-
=，左=右；
当4
)(x x f =时，左52
=
，右9
2)31()31(22=+=，左≠右。代数精度为3。
3．确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。
（1）
⎰-++-≈1
1
)](3)(2)1([3
1
)(βαf f f dx x f ； （2）
)]()([)()]()([2
)(2b f a f a b a b f a f a
b dx x f b
b
'-'-++-≈
⎰-； （3）
)1()0()1()(211
10f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。
解：)1( 当1)(=x f 时，左2=，右2)321(3
1
=++=
，左=右； 当x x f =)(时，左0=，右)321(3
1
βα++-=，
当2
)(x x f =时，左3
2=
，右)321(312
2βα++=；
要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足
56156512,1±=±=
α ， 15
6
251)61(521312,1μ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±-=β
求积公式（1）：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(1
1f f f dx x f （A ）
求积公式（2）：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-+-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(1
1f f f dx x f （B ）
当3
)(x x f =时，（A ）的左端为1。
（A ） 的右端1)156251(3)561(213133≠⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++⨯+-=
（B ） 的右端1)156251(3)561(
213133≠⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-⨯+-=
∴ （A ）和（B ）的代数精度均为2。
（2）
[]⎰'-'-++-≈
b
a
b f a f a b b f a f a
b dx x f )]()([)()()(2
)(2α 当1)(=x f 时，左a b -=，右a b a
b -=+-=)11(2
当x x f =)(时，左)(2122a b -=
，右)(2
1][222a b b a a b -=+-= 当2
)(x x f =时，左)(3
13
3a b -=，
右)2)(()(2
22
b a a b b a a b --++-=
αα 要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当 当3
)(x x f =时，左),(4
144
3a b dx x b a
-==⎰ 右]33[)(12
1
][222233b a a b b a a b --++-=
当4
)(x x f =时，左)(515
54
a b dx x b a
-==⎰，5b 的系数5
1=。 右)44()(12
1
][233244b a a b b a a b --++-=
， 其中5
b 的系数5
1
61)4(12121≠=-⨯+=。因而 代数精度为3。 5．设函数)(x f 由下表给出：