理论力学第一章 质点力学-3

三. 保守力、非保守力、耗散力 1. 力场: 一般情况下：
若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力 F(r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称 为力场，F 为场力。如：万有引力场、静电场。
2. 保守力场: 若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单 值地由始末位置确定（与轨道形状无关） ―― 该力 场称为保守力场。质点受到的场力为保守力。如电 磁力、重力等。
通过求解 F ma 可得运动规律,这是研究质点
动力学问题的基本方法！
存在问题：由于 F 形式复杂，求解十分困难；有
时并不需要全部解。
关于质点动力学的问题有其他研究及求解方法吗?
一、动量定理与动量守恒律 1. 动量: 定义： 物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的 范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现 。动量是机械运动强弱的度量。 2. 动量定理 动量定理的微分形式变形并积分
同理：
Fx Fz Fz Fy 0, 0, z x y z
4. 势能:
函数V(x,y,z)成为质点在坐标(x,y,z) 处的势能。 势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量 。 注： 1) 势能函数加上任意常数不影响势能差。 2) 仅当力场为保守力场时才可引入势能。 3) F与V的关系：
I N I N
桌面对小球的冲量
小球对桌面的冲量
(4) 在小球与桌面碰撞过程中应用动量定理 投影到x轴得标量方程 N P m2 m1 其中， 1 2gh1 , 2 2gh2

N P m2 m1
经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应
【例 2 】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其 约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为 θ0 ，忽 略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。
解：(1) 分析用机械能守恒律的可能性 重锤受到哪些力？ 哪些做功哪些不做功？ 零势能 (2) 确定初末态时重锤的总机械能； 用机械能守恒定律求出速度
§1.7 功与能
一. 功和功率 1.质点在恒力作用下沿直线运动

F
r
其中， r 是力的作用点之位移
2.质点受变力沿曲线运动
dW F cos dr F dr 元功 dW
W
B A
B F dr F cos ds
A
功是标量，其值与坐标选取无关。在直角坐标系下 ： dr dxi dyj dzk
____动量定理的积分形式
具有普遍性 ：（1）牛顿第二定律原始形式 （2）相对论中亦适用
力对质点的冲量，是一个矢量。 力对时间的积累. 3. 动量守恒
若F 0, dp 0, p C
即：如果质点受到的合外力等于零， 则其动量守恒。常数由初值确定。
若F 0, 但Fx 0, dpx 0, p x c
W Fx dx Fy dy Fz dz sin 2 3sin 2 cos 2 28 sin d 0 15cos 12sin 49 84 98 2 226
2
§1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
Jz J k
三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点O) 1. 动量矩定理( 出发点：牛顿第二运动定律 )
动量矩定理的微分形式
投影式:
2.冲量矩
3.动量矩守恒律
若M 0, dJ 0, J C
即：如果质点受到的外力矩等于零,则其动量矩守 恒。常数由初值确定。 投影式:
A A
即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和 。
说明 ：
一般情况下，做功与路径有关 位移元 dr 是力的作用点的位移 做功与参照系的选取有关
4. 功率: 表述做功快慢的物理量。
二. 能
物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。 力学中――机械能。 当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来 功是能量变化的度量。
若M 0, 但M x 0, dJx 0, J x c
即：如果质点在某方向上受到的外力矩为 0, 则该 方向上的动量矩守恒。
【例1】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必 在一平面上运动（如地球绕太阳运动，卫星绕地球 运动等）。试证明之。 解：由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩 : 所以 : J C r F 0
即：如果质点在某方向上受到的合外力为 0,则该方 向上的动量守恒。
例：一质量为0.01kg的小球，从 h1 0.256m 的高度
处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为
h1 0.196m 。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量
是多少？
解法一：(1) 研究对象：小球 (2) 参照系：桌面，坐标系：ox (3) 受力分析：重力，桌面对小球的 正压力(冲力)， 用平均正压力代替 x
2. 动量矩(矢量)
对O点的动量矩：
i j k
i mzx mxz myx k mzy j mxy J r m x y z myz my mz mx
对x,y,z轴的投影：
不存在势能函数
F 做功与路径有关。
x cos , y =sin , z =7 dx sin d , dy cos d , dz 7 d Fx 2 cos 3sin 28 5 Fy 7 cos 8 Fz cos sin 7 12

ACB
F dr
BDA
ADB
F dr
F dr
l
W Fc dr 0
l
ACB
F dr
F dr
A
D
C
B
若力做功与路径有关，这种力为非保守力 (漩涡 力)，力场为非保守力场。如：摩擦力――与路径有 关――耗散能量――耗散力。
3. 保守力的判据:
F(r)为保守力的充要条件：
Байду номын сангаас
即：
证明:
充分条件 F 0 F (r )为保守力 必要条件
dW Fx dx Fy dy Fz dz -dV
与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数 V，使得 z
z
Fx 0 x y
Fy
r
分量式为：
x乘(1), y乘(2), z乘(3),并相加,得: 经过固定点的平面方程。
四、动能定理与机械能守恒律 1.动能定理
定义动能
质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功
2. 若F为保守力场，那么 dW dV
dT dV
机械能守恒
五、势能曲线 质点受一维守恒力的作用，则质点的势能是其坐 标的函数。假设该一维坐标为x , 则V(x)–x图形称 为势能曲线。
x, y , z
x , y ,0
Fz dz
1 2 2 2 x y z 2 xy xz yz 5 x 6 z 2
W V 1,0,14 V 1,0,0 98 70
2
【例2】在例1中，如果
Fx 2x 3 y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
Fy Fx Fy F F F x z z F F F 2 2F FxFzF F Fy F y 0, 1 1 0, 01 1 0 F z z Fyy x x 2 2 x z 0, 1 1 0, 1 1 x 2 y2 0, z 1 1 0, y 1 1 0 x z y x xy y z z x x y zz
0

求杆对重锤的作用力
m T mg cos l
2
T 3mg 2mg cos0
守恒律小结
基础：
2. 牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的， 称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用 运动方程来的简单。

I I N mg m

2 gh1 2 gh2

小球对桌面的冲量方向竖直向下
解法二：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和 上升的整个过程。
N P t1 t2 0
标量方程为 其中，
N P t1 t2 0
2h1 2h2 t1 , t2 g g
x cos , y sin , z 7 则结果如何？
Fz Fy 11 0 z y Fx Fz 4 1 3 0 F 0 x z Fy Fx 1 3 2 0 y x
缺点：无法求出T 的大小。(若考虑空气阻力，则不 能用机械能守恒)
(3) 尝试用动力学的方法 写出动力学方程(自然坐标或极坐标)
受力分析 注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表 达式的正负。由于这里只关心速度的值，因此求解时 最好把dt换成dθ： 于是微分方程变为：
两边积分：

0
0
gl sin d d
F Fx i Fy j Fz k
W
B A A
B F dr （Fx dx Fy dy Fz dz）
n F Fi
i 1
3. 若质点受几个力F1 ,F2, ……,Fn作用, 合力
W
B
A
B B F d r Fi d r Fi d r Wi
解法二：选直线路径积分
W
14
0
Fz dz
14