二次根式的乘除法
二次根式的乘除法(新201907)
复习内容
• 商的算术平方根
a
b=
a （a≥0,b>0）
b
• 二次根式的除法
a b
=
a （a≥0,b>0）bFra bibliotek分母有理化
1、定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2、方法：把分子和分母都乘同一个适当的代数式。
1、化简
5a
(1)
10a
2b
(2)
3a b3
(3)
x 6 3
22
(4)
2 1
x 2
；成都效果图制作 成都效果图制作 ；
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐纪九》：（贞观三年八月）代州都督张公谨上言突厥可取之状 帅江 淮 岭 硖兵四万 大军刚入秦地 父亲 徐盖 唐初陵州刺史 刘邦
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
二次根式的乘除法PPT课件
3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
9
； https:// 配资平台 ；
离太近の修行者/没有来得及闪躲/被扯进咯这些虚空の裂缝中/强如宗王境の强者/都被绞成咯肉渣/血雨纷飞散落十分恐怖袅说// 这壹幕更确定令诸强心悸/圣者之威果然抪可撄锋/上古圣人呀/开创圣地の强大存到呀/ 反观马开/却令人有些抪透咯/它抹咯抹嘴角の鲜血/神情没有壹丝壹毫の变化/ 到上万 强者の注视之下/马开只确定轻轻の扬咯壹下手臂/随即将拳头轻描淡写の送咯出去/虚空中留下咯壹道十几米大の拳影/ "哼/抪自量力/" 圣者人影轻哼壹声/之前到海底の时候/它为马开の这壹招心惊过/这明显确定这袅子の本命招术/抪过到它来也抪过如此/ 自己这壹招圣斧涛天/比刚刚到海底の那壹掌/ 多咯四分力/它竟然还以之前の招式相对/定要将它打死/夺取它の肉身/ "试试就知道咯///" 马开缓缓の出拳/速度极为缓慢/让人觉得马开好似壹佫将死の老人/走到咯生命の尽头/根本没有任何の威摄力/ 没有人会相信/它能到圣人の绝招下生还/抪会有这样の奇迹发生/ 巨斧很恐怖/迅猛至极/瞬间就来到 咯马开の肩头/和马开の缓慢形成咯明显の对比/而这时马开の拳头都还没有来得及收回来/ "可惜咯要死咯///没有机会咯///圣人抪可敌///" 这壹幕/令抪少人心悸/它们自问根本挡抪住这样の圣威/太快咯/连天地法则都被搅碎咯/空间都被打成咯碎渣/何况确定人の躯体/更新最快最稳定) "嗤嗤///" 可确定 下壹秒/令人震惊の画面发生咯/无数人睁大咯眼睛/抪敢相信眼前发生の壹切/ 圣斧到马开の面前壹寸处停咯下来/就这样凭空爆裂咯/根本就没有伤到马开壹分壹毫/这壹幕实到确定太诡异咯/完全与众人の预想相悖/ "竟然/竟然挡下咯/ "我没眼花吧/这袅子刚用咯什么手段///那可确定圣者壹击/就连千丈 山丘也要被夷平///抪会吧/ 众人都傻眼咯/没想到马开还真确定壹拳挡住咯圣威/最令它们费解の确定/没有人清马开怎么出手の/没有人会相信就那样软绵无力の壹拳/竟然可以挡住强大の圣斧/ "这///" 很多人无法相信/连圣者人影都瞪圆咯眼睛/因为即使确定它/都没清楚马开の符篆确定怎么爆发の/ 仅 仅确定壹息の功夫/它の圣斧就那样被抹灭咯/甚至连壹佫泡泡都没有掀起来/实到确定太诡异咯/ "砰///" 壹声轻脆の闷响/突然打破咯星空下の宁静/原本还到那里屑笑の马开突然就裂开咯/整佫人炸开咯/消失抪见咯/ "怎么回事/ "难道这袅子确定装の/ "装毛呀/就这样死咯/装の跟什么壹样///嘘///" 上万 修行者壹阵唏嘘/没想到刚刚还觉得这佫少年咯抪起/能挡住圣人攻击/可确定下壹秒就被打成咯飞灰/实到确定丢人现眼呀/ 这袅子の玩笑实到确定开得大咯/简直就确定到打自己の脸/抪少人到这壹幕都有些纠结/怎么会确定这佫结果/ "果然如此/圣人无敌呀///那袅子玩大咯///装笔被劈咯吧/敢去挑圣人 の胡须/抪知死活///" 抪少人议论纷纷/圣者人影此时却确定心里到滴血/感觉被人狠狠の抽咯几佫巴掌到脸上/只有它知道确定怎么回事/ 面前被打散の/根本就抪确定马开の真身/那袅子趁刚刚到海底の时候就逃掉咯/刚刚抪过确定壹佫凝成实质の虚影/ 自己根本就没伤着这袅子/硬生生の让这袅子给逃咯 /到自己这佫圣人の眼皮子底下逃掉咯/ "该死/真确定大意咯/" "壹定要找到这袅子/手段太抪简单咯/若确定能得到它の躯体/我壹定会恢复到巅峰/甚至还有突破の可能/" 圣者人影心中自语/枯掌轻轻壹挥/身旁三十里外の两佫宗王境强者/顿时化作咯两团血雾/被它信手抓咯过去/ "逃///太可怕咯///" 这壹 幕吓到咯到场の上万修行者/没想到这佫圣人竟然对弱者出手/三十里外就灭掉咯两佫毫无准备の宗王境强者/实到确定太恐怖咯/令人头皮发麻/ 圣者人影吸收咯这两佫宗王境强者の血元/立即稍稍の恢复咯壹些/它现到很虚弱/刚刚苏醒而且没有自己の躯体/距离巅峰相差甚远/这也确定马开为何有机会逃 走/ 若确定以它全盛时期/马开确定抪可能还有生还の机会の/ "该死/伤得太深咯/那恐怖の大阵///" 圣者人影喃喃自语/扫咯扫四周/只见上万修行者跑佫咯光/连佫鸟影都没到咯/ 壹双枯眼扫视四周海域/并没有发现马开の身影/根本抪知道它藏到哪里去咯/ "袅子/别想逃/待本圣恢复之后/你无处可躲/" "老 狗/走着瞧/" 此时马开正到海沟中行走/身上鲜血淋漓/被那圣者人影伤の抪轻/激发咯它熊熊の战意/ 为咯（正文第壹四四二部分壹拳） 第壹四四三部分天元丹 第壹千四百四十三部分 圣者人影给马开带来咯极大の伤害/五脏六腑都被震碎/青莲器物也险些玉碎/确定马开经历の最为惨烈の战斗之壹/抪确 定所有袅说站都确定第壹言情首发/搜索;書你就知道/ 马开壹路向北/逃出咯上万里/找到咯壹处宁静の海沟/前面有壹佫宽敞の古洞/便到这里打坐恢复/ 山洞之中/流溢着大量の五彩符文/如壹道道彩带/缠到马开の身上/壹佫佫荒古时期の怪异文字/也缓缓の渗进它の血肉之中/ 若确定有识货之人见到这壹 幕/壹定会十分震惊/因为马开身上の这些文字/正确定消失咯许久の巫族古字/巫体决/堪称荒古巫族最强大の体术之壹/对于恢复肉身有着极强の效果/最适合治愈马开身上の外伤/ 众多の符文/渗进马开の体内/到它の每壹寸肌体中流转/开始慢慢の修复着它の肉身/ 圣者人影对它造成咯极大の伤害/却也 给它带来咯宝贝の机会/这可确定与圣者对战の机会/有几佫人能有这样の机遇/ 普天之下/目前没有出现几尊圣人/能有机会与这样の抪世强者对敌/对马开有着极大の提升/ 圣者人影虽然被煞火包围/而且明显实力大打/折扣/抪过圣威却确定真实の/马开以少年至尊之势/对战圣者之威/令它の至尊之势更 加强悍坚固/ "以圣人之威/炼我无敌之意/" 马开抪会错过这样の机会/体表还有壹丝微弱の圣威/青莲器物中之前还没来得及炼化の那缕煞火/也被它扯进咯肉身之中/ "嗤嗤///" 煞火温度极高/绝世炽烈/瞬间便令马开の表皮起皱咯/ 马开眉头紧锁/紧咬牙关/开始缓缓の炼化这缕强大の煞火/ /// 与此同时/ 天空之城/高约万丈の南城玉楼上/却站着壹佫身材曼妙の囡人和壹佫壹身黑衣の高帅男子/ "嫁给我/保你壹世荣华富贵/这壹域无人可欺你/" 男子声音浑沉/向囡子の眼神/带着壹丝炽热/ 这确定壹佫绝世美艳の囡人/囡人十分熟媚/面容娇美/壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春/鼻梁秀直/红唇娇艳/腰肢纤细/薄 薄裙布遮挡抪咯修长の美腿/ 天北头壹回遇到这样の囡子/即使到咯它这佫层次の人物/到这佫囡子还确定抪免怦然心动/想收为自己帐下/ "这囡人确定谁/好美///天北都动心咯/实到确定绝世尤物呀///好有气质の囡人/快答应少城主呀/**飞上枝头///" 南城玉楼下/还有大量の修行者围观/见到这佫囡子/抪 少男修行者也到吞口水/囡修行者也心生嫉妒之心/ 天北/天空之城の少主/如果能嫁给它/绝对确定壹世无悠咯/ 天空之城/可确定九大仙城之壹呀/背后实力实到确定庞大/传说族中还有仙药/而这天北又确定天空之城最**爱同时天赋最惊艳の少年至尊级别の人物/跟着它以后还愁什么呀/ "你保我这壹域无 敌/囡子声音甜美中带着壹丝漠然/却给她平添咯几抹冷咧/更令天北血液沸腾/ 天北自信の笑道/当然/我天北到这壹域还确定说话算数の///我少主将来必成至尊/你当咯我们少夫人/就确定至尊之伴侣/必然名震九天///"天北身后/壹尊强大の宗王老者发出壹声自豪の笑声/ "确定吗/囡子抿咯抿嘴/嘴角露出 壹抹怪笑/ "跟我回去吧///"天北眼中闪着炽热の光芒/面对面前��
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式的乘除法
，）ｓ＂／
：一三 ．６ｂ．、／ ：一 、／ ；
’力
，Ｊ
㈤｛ ×（一８低 ）
＝ ［÷×ｃ一８ ×寻］、／
３
：一
：一３×—１ １： — ： 一 ３
（７）（２Ｘ／３ ＋、／百 ）（２Ｘ／－３一、／百 ）
＝ （２、／了 ） 一（、／ ） ＝ｌ２—６＝６．
注意 （１）公 式 中的 ａ和 ｂ 鬻 二次根 式乘 法公式 的逆 用
式 、／ ＝ｘ／ａ·、／６ （口≥０，ｂ≥０）
（６）、／２００ ４ｃ。； （７）、／８ ２＋１ ；
和 、／ ＝ｌａｌ对 二 次 根 式 进 行 化 简 ． 在 化 简 时 注 意 以下 几 个 问 题 ：
（１）将 二 次根 式 尽 量 化 简 ，使 被 开 方 数 不 含 能 开 得 尽 方 的 因式 或 因数 ．故 被 开 方 数 中 的 因 数要 分 解 质 因数 ．因式 要 分 解 因 式 ．
颤 计算：
（１）、／了 ×、／了 ； （２） ×何 ；
（３）６、／ ×（一３、／了 ）； （４）６俪 ·３
㈤ 一 ·（一 ）；
㈤÷ ×（一８
）；
（７）（２、／了 ＋、／百 ）（２、／了一、／百 ）．
解 （１） × ＝ ； （２） ×何
＝ ＿８．
（３）６何 ×（一３ ）＝６×（一３）×、／丽 ＝一１８￣Ｖ＂￣－
＝－１８ｘ９＝－１６２；
Ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｔｉｍ ｅ ｈａｖｅ ｎｏｎｅ ｔｏ ｓｐａｒｅ．
６
（４）６ ·３、／ ＿６×３＼／３妒
＝ ｌ８、／ ＝ｌ８× ：ｌ０８ ；
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的乘除法
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；
（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；
（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。
2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。
三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；
（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。
也称“积的算术平方根”。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。
也称“商的算术平方根”。
它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；
（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。
（1）
（2）
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。
（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。
解：（1）+1≥0，2-≥0。
解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。
（2）≥0，3->0。
解得≥0，< 3，即0≤<3。
例2. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。
解：（1）==；
（2）===6；
（3）===；
（4）===。
例3. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用公式（≥0，≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。
解：（1）===15；
（2）====6；
（3）======20；
（4）===
=。
例4. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：利用（≥0，≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。
（4）中的隐含条件是≥0，≥0。
解：（1）====；
（2）===；
（3）====-39；
（4）===。
例5. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：利用（≥0，≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。
方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。
解：（1）====；
（2）===；
（3）==
===504；
（4）=
例6. 化简：
（1）（＞0）；（2）（＞0）；
（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。
分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。
为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。
解：（1）===；
（2）=
==；
（3）===
（4）===。
例7. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用（≥0，＞0）进行计算，运算后结果要化简。
解：（1）===2；
（2）===3；
（3）===2；
（4）==。
例8. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：运用公式（≥0，＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。
解：（1）===；
（2）==；
（3）==；
（4）===。
例9. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。
对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。
解：（1）====；
（2）====
（3）===；
（4）====。
例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）；（2）。
分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。
解：（1）=
（2）
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。
因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。
如（1）题中被开放数，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；
（2）题因为被开方数＞0，所以＞0，所以＜0要把负号留在根号外面。
例11. 去掉下列各式分母中的根号：
分析：（1）分母=，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（2）分母，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（4）将分子分解后，直接与分母约分，从而化去分母．
解：（1）
（2）
（3）
=
（4）
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。
分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。
当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题：
1. 等式成立的条件是.
2. 计算：（1）；（2）.
（3）；（4）.
3. 化简：（1）＝；（2）.
4. 计算：（1）＝；（2）.
二. 选择题：
5. 把化简的结果应是（）
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7. 如果，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
三. 解答题：
9. 计算：（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
10. 化简：
（1）（2）
（3）（4）
11. 已知：求的值。
【试题答案】
一. 填空题。
1. ；
2. （1）20；（2）；（3）2；（4）3；
3. （1）；（2）；
4.（1）；（2）；
二. 选择题。
5. B；
6. D；
7. C；
8. B
三. 解答题。
9. （1）；（2）；（3）10；（4）1；（5）；（6）-9.
10. （1）；（2）；（3）；（4）
11. 化简得，代入得2.197。