八年级数学培优专题(一) 直角三角形

数学培优专题(一) 直角三角形

知识要点：

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角_________

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;

（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；

（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.

2、直角三角形的判定方法：

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（2）有两个角______的三角形是直角三角形；

（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理公式：_____ _

勾股定理逆定理：_____ _

直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系）、勾股定理（边的关系）、30°角所对的直角边等于斜边的半（边角关系）、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。

培优练习：

1、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1+∠2等于__________.

2、已知一直角三角形木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为__________

3、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________

4、在三角形ABC 中，AB=5，AC=9，AD 是边BC 上的中线，则AD 的取值范围_______

5、如图，等腰直角三角形ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形ADE ，再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形AFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为_______

6、等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2

1BC ，则△ABC 底角的度数为____________ 7、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP

的长不可能的是（）

A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）

A．3 B．2 C．3D．1

T7 T8 T9

9、如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E 为斜边AC的中点，则∠BDE=__________．

10、如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）

垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下

滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点0

的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB的面积最大为

______________.

11、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作

CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则

∠BAG= _________

B A

G

F C

T11 T12

12、电子跳骚游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn （n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为__________.

13、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠

ABC的平分线BE交AD于点F，试说明AE=AF

14、如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD

15、已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M 为EC 的中点．如图，当点D ，E 分别在AC ，AB 上时，求证：△BMD 为等腰直角三角形

16、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交线段AC 、CB 于D 、E 两点．如图1、2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．

（1）如图1，三角板绕点P 旋转，当PD ⊥AC 时，求证：PD=PE ．当PD 与AC 不垂直时，如图2，PD=PE 还成立吗？并证明你结论．

（2）如图2，三角板绕点P 旋转，当△PEB 成为等腰

三角形时，求CE 的长．