【解析版】2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)
2013年广东文科数学高考模拟试题10份(含详细答案)1
俯视图侧视图正视图2013届广东高考数学(文科)模拟试题(一)满分150分,考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设复数z 满足2z i i ⋅=-,i 为虚数单位,则=z ( )A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、集合2{|20}A x x x =-≤,{|lg(1)}B x y x ==-,则A B 等于 ( )A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<3、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π 4、函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如下面右图所示,则函数()x g x a b =+的图象是 ( )5、已知x ,y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值与最小值的比值为( )A 、12 B 、2 6 A 、1275 B 、C 、1225 D 、1326 7、已知x 、y ) A 、1.30 B 、1.45 C 、1.65 D 、1.808、已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A 、1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、(1,)+∞C 、(1,2)D 、1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( )A 、B 、10(1,)n n n N *>∈个点,相应的图案中总的点数记为n a ,则23344520122013a a a a ++=( ) A 、20102011 B 、20112012 C 、20122013 D 、20132012二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
2013年高考文科数学广东卷word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013广东,文1)设集合S ={x |x 2+2x =0,x ∈R },T ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则S ∩T =( ).A .{0}B .{0,2}C .{-2,0}D .{-2,0,2} 答案:A解析:∵S ={-2,0},T ={0,2},∴S ∩T ={0}. 2.(2013广东,文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( ). A .(-1,+∞) B .[-1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .[-1,1)∪(1,+∞) 答案:C解析:要使函数有意义,则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x >-1且x ≠1,故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).3.(2013广东,文3)若i(x +y i)=3+4i ,x ,y ∈R ,则复数x +y i 的模是( ).A .2B .3C .4D .5 答案:D解析:∵i(x +y i)=-y +x i =3+4i , ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x +y i =4-3i.∴|x +y i| 5. 4.(2013广东,文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α=( ). A .25- B .15- C .15 D .25答案:C解析:∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos α=15,∴cos α=15.5.(2013广东,文5)执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ).A .1B .2C .4D .7 答案:C解析:i =1,s =1,i ≤3,s =1+0=1,i =2; i ≤3,s =1+1=2,i =3; i ≤3,s =2+2=4,i =4;i >3,s =4.6.(2013广东,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ).A .16 B .13 C .23D .1 答案:B解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1,且三棱锥的高为2,故V 三棱锥=13×12×1×1×2=13.7.(2013广东,文7)垂直于直线y =x +1且与圆x 2+y 2=1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( ).A .x +y =0B .x +y +1=0C .x +y -1=0D .x +y =0 答案:A解析:由于所求切线垂直于直线y =x +1,可设所求切线方程为x +y +m=0.1=,解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限,则m =.8.(2013广东,文8)设l 为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ).A .若l ∥α,l ∥β,则α∥βB .若l ⊥α,l ⊥β,则α∥βC .若l ⊥α,l ∥β,则α∥βD .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β 答案:B解析:如图,在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中,对于A ,设l 为AA 1,平面B 1BCC 1,平面DCC 1D 1为α,β. A 1A ∥平面B 1BCC 1,A 1A ∥平面DCC 1D 1, 而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1=C 1C ;对于C ,设l 为A 1A ,平面ABCD 为α,平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD , A 1A ∥平面DCC 1D 1,而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1=DC ;对于D ,设平面A 1ABB 1为α,平面ABCD 为β,直线D 1C 1为l ,平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ,D 1C 1∥平面A 1ABB 1,而D 1C 1∥平面ABCD . 故A ,C ,D 都是错误的.而对于B ,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B 正确.9.(2013广东,文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( ). A .22134x y += B .2214x += C .22142x y += D .22143x y += 答案:D解析:由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知,c =1.又离心率等于12,则12ca=,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为221 43x y+=.10.(2013广东,文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:对于①,由向量加法的三角形法则知正确;对于②,由平面向量基本定理知正确;对于③,以a的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定能满足,故③不正确;对于④,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必须|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|,故④不正确.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.(2013广东,文11)设数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=__________.答案:15解析:由数列{a n}首项为1,公比q=-2,则a n=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.12.(2013广东,文12)若曲线y=ax2-ln x在(1,a)处的切线平行于x轴,则a=__________.答案:1 2解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y′=2ax-1x及导数的几何意义得y′|x=1=2a-1=0,解得a=1 2.13.(2013广东,文13)已知变量x,y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值是__________.答案:5解析:由线性约束条件画出可行域如下图,平移直线l0,当l过点A(1,4),即当x=1,y=4时,z max=5.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2013广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为__________.答案:1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析:由曲线C 的极坐标方程ρ=2cos θ知以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心,半径为1的圆,其方程为(x -1)2+y 2=1,故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数).15.(2013广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB ,BC =3,BE ⊥AC ,垂足为E ,则ED =__________.答案:2解析:在Rt △ABC 中,AB ,BC =3,tan ∠BAC =BCAB=则∠BAC =60°,AE =12AB 在△AED 中,∠EAD =30°,AD =3, ED 2=AE 2+AD 2-2AE ·AD cos ∠EAD=22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+32-2×2×3×cos 30°=34+9-23=214.∴ED.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(2013广东,文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭,x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)若cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解:(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,sin θ=45 =-,∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17.(2013广东,文17)(本小题满分12分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050=0.4;(2)重量在[80,85)的有4×5515+=1个;(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1,[95,100)分段的为2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A,则事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4),共3种,所以P(A)=3162=.18.(2013广东,文18)(本小题满分14分)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC.图(1)图(2)(1)证明:DE ∥平面BCF ; (2)证明:CF ⊥平面ABF ; (3)当AD =23时,求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG . (1)证明:在等边三角形ABC 中, ∵AD =AE ,∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=,在折叠后的三棱锥A -BCF 中也成立, ∴DE ∥BC .∵DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF , ∴DE ∥平面BCF .(2)证明:在等边三角形ABC 中,∵F 是BC 的中点,BC =1,∴AF ⊥CF ,BF =CF =12. ∵在三棱锥A -BCF 中,BC=2, ∴BC 2=BF 2+CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF =F ,∴CF ⊥平面ABF .(3)解:由(1)可知GE ∥CF ,结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F -DEG =V E -DFG =13×12·DG ·FG ·GE=11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19.(2013广东,文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,满足4S n =a n +12-4n -1,n ∈N *,且a 2,a 5,a 14构成等比数列.(1)证明:2a =(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明:当n =1时,4a 1=a 22-5,∴a 22=4a 1+5. ∵a n >0,∴2a =(2)解:当n ≥2时,4S n -1=a n 2-4(n -1)-1,① 4S n =a n +12-4n -1,②由②-①,得4a n =4S n -4S n -1=a n +12-a n 2-4, ∴a n +12=a n 2+4a n +4=(a n +2)2. ∵a n >0,∴a n +1=a n +2,∴当n ≥2时,{a n }是公差d =2的等差数列. ∵a 2,a 5,a 14构成等比数列,∴a 52=a 2·a 14,(a 2+6)2=a 2·(a 2+24),解得a 2=3. 由(1)可知,4a 1=a 22-5=4,∴a 1=1. ∵a 2-a 1=3-1=2,∴{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列. ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(3)证明:12231111n n a a a a a a ++++=11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) =1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20.(2013广东,文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0,c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线P A ,PB,其中A ,B 为切点.(1)求抛物线C 的方程;(2)当点P (x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF |·|BF |的最小值.解:(1)依题意d ==c =1(负根舍去). ∴抛物线C 的方程为x 2=4y . (2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由x 2=4y ,即y =14x 2,得y ′=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y -y 1=12x (x -x 1), 即y =12x x +y 1-12x 12. ∵y 1=14x 12,∴y =12x x -y 1.∵点P (x 0,y 0)在切线P A 上,∴y 0=12x x 0-y 1.① 同理,y 0=22xx 0-y 2.②综合①,②得,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的坐标都满足方程y 0=2xx 0-y . ∵经过A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y 0=2xx 0-y ,即x 0x -2y -2y 0=0. (3)由抛物线的定义可知|AF |=y 1+1,|BF |=y 2+1, ∴|AF |·|BF |=(y 1+1)(y 2+1) =y 1+y 2+y 1y 2+1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2+(2y 0-x 02)y +y 02=0, ∴y 1+y 2=x 02-2y 0,y 1y 2=y 02.∵点P (x 0,y 0)在直线l 上,∴x 0-y 0-2=0. ∴|AF |·|BF |=x 02-2y 0+y 02+1 =y 02-2y 0+(y 0+2)2+1=2y 02+2y 0+5=2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0=12-时,|AF |·|BF |取得最小值为92.21.(2013广东,文21)(本小题满分14分)设函数f (x )=x 3-kx 2+x (k ∈R ).(1)当k =1时,求函数f (x )的单调区间;(2)当k <0时,求函数f (x )在[k ,-k ]上的最小值m 和最大值M .解:f ′(x )=3x 2-2kx +1, (1)当k =1时,f ′(x )=3x 2-2x +1,Δ=4-12=-8<0, ∴f ′(x )>0,即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k <0时,f ′(x )=3x 2-2kx +1,其开口向上,对称轴3kx =,且过(0,1).①当Δ=4k 2-12=4(k k -≤0,即k <0时,f ′(x )≥0,f (x )在[k ,-k ]上单调递增. 从而当x =k 时,f (x )取得最小值m =f (k )=k ;当x =-k 时,f (x )取得最大值M =f (-k )=-k 3-k 3-k =-2k 3-k .②当Δ=4k 2-12=4(k k ->0,即k < 令f ′(x )=3x 2-2kx +1=0,解得:13k x =,23k x =,注意到k <x 2<x 1<0.(注:可用韦达定理判断x 1·x 2=13,x 1+x 2=23k>k ,从而k <x 2<x 1<0;或者由对称结合图象判断)∴m =min{f (k ),f (x 1)},M =max{f (-k ),f (x 2)}. ∵f (x 1)-f (k )=x 13-kx 12+x 1-k=(x 1-k )(x 12+1)>0, ∴f (x )的最小值m =f (k )=k .∵f (x 2)-f (-k )=x 23-kx 22+x 2-(-k 3-k ·k 2-k )=(x 2+k )[(x 2-k )2+k 2+1]<0,∴f (x )的最大值M =f (-k )=-2k 3-k .综上所述,当k <0时,f (x )的最小值m =f (k )=k ,最大值M =f (-k )=-2k 3-k . (方法2)当k <0时,对∀x ∈[k ,-k ],都有f (x )-f (k )=x 3-kx 2+x -k 3+k 3-k =(x 2+1)(x -k )≥0,故f (x )≥f (k ).f (x )-f (-k )=x 3-kx 2+x +k 3+k 3+k =(x +k )(x 2-2kx +2k 2+1)=(x +k )[(x -k )2+k 2+1]≤0. 故f (x )≤f (-k ).∵f (k )=k <0,f (-k )=-2k 3-k >0, ∴f (x )max =f (-k )=-2k 3-k ,f (x )min =f (k )=k .。
2013年广东高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ,2{|20,}T x x x x =-=∈R ,则S T = ( ) A .{0} B .{0,2} C .{2,0}- D .{2,0,2}- 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】先求一元二次方程的根,再用列举法求交集元素. 【参考答案】A【试题解析】集合S ={0,2-},T ={0,2},故S T ={0},故选A. 2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A .(1,)-+∞ B .[1,)-+∞ C .(1,1)(1,)-+∞ D .[1,1)(1,)-+∞ 【测量目标】函数的定义域和集合的交集运算.【考查方式】从函数有意义的角度分析求解定义域,再由各个集合的交集得出定义域. 【参考答案】C【试题解析】要使函数有意义,需1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得11x x >-≠且,(步骤1)故函数的定义域为1,11+∞ (-)(,),故选C. (步骤2)3.若i(i)34i x y +=+,,x y ∈R ,则复数i x y +的模是 ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【测量目标】复数的四则运算及复数的模.【考查方式】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式,进而求出复数的模. 【参考答案】D【试题解析】方法一:因为i(i)34i x y +=+,所以()()()34i i 34i i ==43i i i i x y +-++=--,(步骤1)故22i =43i =4+(3)5x y +--=,故选D. (步骤2)方法二:因为i(i)34i x y +=+,所以+i=3+4i y x -,所以4x =,3y =-,(步骤1) 故22i =43i =4+(3)5x y +--=,故选D. (步骤2)方法三:因为i(i)34i x y +=+,所以(i)i(+i)=(i)(34i)=43i x y --⋅+-,(步骤1)即i=43i x y +-,故22i =43i =4+(3)5x y +--=,故选D. (步骤2)4.已知5π1sin()25α+=,那么cos α= ( ) A .25- B .15- C .15 D .25【测量目标】诱导公式.【考查方式】通过三角函数的化简变形,正弦和与余弦互化. 【参考答案】C【试题解析】因为5πππ1sin()sin(2π+)sin()2225ααα+=+=+=,故1cos =5α,故选C. 5.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 ( )A .1B .2C .4D .7【测量目标】程序框图和流程图.【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图,分析每一次执行的结果并判断是否满足条件,最后得出答案. 【参考答案】C【试题解析】根据初始化条件,顺序执行程序就可以得到结果. 第一次执行循环:12s i ==,(23…成立);(步骤1)第二次执行循环:23s i ==,(33…成立);(步骤2)第三次执行循环:44s i ==,(43…不成立),结束循环,故输出4s =,故选C. (步骤3)6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ()A .16 B .13 C .23D .1 第5题图第6题图【测量目标】平面图形的三视图的和棱锥的体积.【考查方式】由三视图还原出直观图,根据“长对正,高对齐,宽相等”寻找出三棱锥的相关数据,代入棱锥的体积公式进行计算. 【参考答案】B【试题解析】如图,三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形,有一条侧棱和底面垂直,且其长度为2,故三棱锥的高为2,(步骤1) 故其体积为111112323V =⨯⨯⨯⨯=,故选B. (步骤2) 7.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ( ) A .20x y +-= B .10x y ++= C .10x y +-= D .20x y ++= 【测量目标】直线与圆的位置关系、直线的方程.【考查方式】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系,利用待定系数法求出直线方程,再利用数形结合法对所求参数值进行取舍. 【参考答案】A【试题解析】与直线1y x =+垂直的直线方程可设为0x y b ++=,(步骤1) 由0x y b ++=与圆221x y +=相切,可得22||111b =+,得2b =±.(步骤2)由于两者相切于第一象限,则可知2b =-,故直线方程为20x y +-=,故选A. (步骤3)8.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是. ( )A .若l α∥,l β∥,则αβ∥ B .若l α⊥,l β⊥,则αβ∥ C .若l α⊥,l β∥,则αβ∥ D .若αβ⊥,l α∥,则l β⊥ 【测量目标】空间中直线、平面之间的位置关系.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系. 【参考答案】B【试题解析】选项A ,若l α∥,l β∥,则α和β可能平行也可能相交,故错误;选项B ,若l l αβαβ⊥⊥,,则∥,故正确;选项C ,若l l αβαβ⊥⊥,∥,则,故错误;选项D ,若,l αβα⊥∥,则l 与β的位置关系有三种可能:l l l βββ⊥⊂,∥,,故错误.故选B. 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 () 第6题图A .14322=+y xB .13422=+y x C .12422=+y x D .13422=+y x【测量目标】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质.【考查方式】给定椭圆的离心率和焦点,求出各参数从而确定其标准方程. 【参考答案】D【试题解析】右焦点为(1,0)F 说明有两层含义:椭圆的焦点在x 轴上和1c =.又离心率为12c a =,故2a =,222413b a c =-=-=,(步骤1) 故椭圆的方程为13422=+y x .(步骤2)10.设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A .1B .2C .3D .4【测量目标】平面向量基本定理.【考查方式】给定某些向量,利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断. 【参考答案】C【试题解析】对于①,若向量a ,b 确定,因为-a b 是确定的,故总存在向量c ,满足=-c a b ,即=+a b c ,故正确.对于②,因为c 和b 不共线,由平面向量基本定理可知,总存在唯一的一对实数λ,μ,满足λμ=+a b c ,故正确;对于③,如果λμ=+a b c ,则以||a ,||λb ,||μc 为三边长可以构成一个三角形,如果单位向量b 和正数μ确定,则一定存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ,故正确;对于④,如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ,||λb ,||μc 为三边长可以构成一个三角形”,这时单位向量b 和c 就不存在,故错误. 因此选C二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++=________ 【测量目标】等比数列的通项与性质.【考查方式】给定等比数列的首项和公比,求出通项公式,再构造新数列,求解新数列的部分和. 【参考答案】15【试题解析】由首项和公比写出等比数列的前四项,然后代入1234||||a a a a +++求值. 也可以构造新数列,利用其前n 项和公式求解.方法一:1234||||a a a a +++=()()()231|12||12||12|15+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二:因为1234||||a a a a +++=1234||||||||a a a a +++,数列{||}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为4121512-=-.12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =________ . 【测量目标】曲线的切线与导数的联系,导数的几何意义【考查方式】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系,利用该点导数的几何意义求解原方程,从而求出待定系数. 【参考答案】12【试题解析】计算出函数2ln y ax x =-在点(1,)a 处的导数,利用导数的几何意义求a 的值. 因为12y ax x'=-,所以1|2 1.x y a ='=-(步骤1) 因为曲线在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,故其斜率为0,故210a -=,12a =.(步骤2) 13.已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…,则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域,用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示,由z x y =+,得y x z =-+,z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,(步骤1)由图知,当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时,目标函数取得最大值,为145z =+=.(步骤2)(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)第13题图14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为________ .【测量目标】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化.【考查方式】已知极坐标方程,通过建立直角坐标系将其化为普通方程,从而得出参数方程.【参考答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数)【试题解析】先把极坐标方程化为普通方程,再把普通方程化为参数方程. 2cos ρθ=化为普通方程为22222x x y x y +=+,即22(1)1x y -+=,(步骤1)则其参数方程为1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩,(α为参数),即cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数)(步骤2)15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD 中,3,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =________ .【测量目标】正弦定理和余弦定理在几何中的应用.【考查方式】由平面图形中给定线段,利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度. 【参考答案】212【试题解析】由题意可求AE 的长及BAC ∠,故可把DE 放在AED △或ECD △中,利用余弦定理求解.也可以从E 点出发作辅助线,将DE 放在直角三角形中求解.方法一:因为3AB =,3BC =,所以223(3)23AC =+=,3tan 33BAC ∠==,所以π3BAC ∠=.(步骤1)在Rt BAE △中,π3cos 32AE AB ==,则3332322CE =-=. (步骤2)第15题图在ECD △中,2222cos DE CE CD CE CD ECD=+-⋅∠223333121()(3)232224=+-⨯⨯⨯=,故212DE =.(步骤3) 方法二:如图,作EM AB ⊥交AB 于点M ,作EN AD ⊥交AD 于点N .(步骤1) 因为3AB =,3BC =, 所以3tan 33BAC ∠==,则π3BAC ∠=,(步骤2)π3cos 32AE AB ==,π313cos 3224NE AM AE ===⨯=, π333sin 3224AN ME AE ===⨯=,39344ND =-=. (步骤3) 在Rt DNE △中,22DE NE ND =+223921()()442=+=,(步骤4)三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数π()2cos(),12f x x x =-∈R . (1) 求π()3f 的值; (2) 若33πcos ,(,2π)52θθ=∈,求π()6f θ-. 【测量目标】正弦函数和余弦函数的图象与性质..【考查方式】给定余弦函数表达式,利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值. 【试题解析】(1)因为π()2cos()12f x x =-,所以ππππ2()2cos()2cos 21331242f =-==⨯= (2)因为3π(,2π)2θ∈,3cos 5θ=,所以22234sin 1cos 1()55θθ=--=--=-. (步骤1) 所以π()6f θ-=ππ26θ--π24θ=-=222(cos sin )22θθ⨯+=cos sin θθ+=341555-=-. (步骤2)17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:第15题图分组(重量) [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数(个)5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 【测量目标】频数分布表、频率、分层抽样、古典概型等概念的理解和相关运算.【考查方式】由频数分布表找出相应范围内的频数,由分层抽样确定在某范围内的个体数目,用列举法求解古典概型.【试题解析】(1)根据频数分布表,苹果重量在[90,95)范围内的频数为20,因为样本容量为50,故所求频率为200.450=. (2)重量在[80,85)和[95,100)范围内的苹果频数之比为5:151:3=,又1414⨯=,故重量在[80,85)内的苹果个数为1.(3)从苹果重量在[80,85)范围内抽出的苹果记为a ,从[95,100)范围内抽出的苹果记为1,2,3,则任取两个苹果的所有情况为{,1}a ,{,2}a ,{,3}a {1,2},{1,3},{2,3},共六个结果,(步骤1)记事件{A =重量在[80,85)和[95,100)中各有一个苹果},其包含的基本事件个数为3,故31()62P A ==. (步骤2)18.(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF △沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF -,其中22BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.【测量目标】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质、平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法. 【考查方式】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素,从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积.第18题图【试题解析】(1)证法一:在折叠后的图形中,因为,AB AC AD AE ==, 所以AD AEAB AC=, 所以DE BC ∥. (步骤1)因为DE ⊄平面BCE ,BC ⊂平面BCF ,所以DE ∥平面BCF .(步骤2) 证法二:在折叠前的图形中,因为,AB AC AD AE ==, 所以A D A EA B A C=, 所以D E B C ∥,即,D G B F E G C F ∥∥.(步骤1)在折叠后的图形中,仍有,DG BF EG CF ∥∥. 又因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF ,所以DG ∥平面BCF ,同理可证EG ∥平面BCF . (步骤2)又,DG EG G DG =⊂ 平面DEG ,EG ⊂平面DEG ,故平面DEG ∥平面BCF . (步骤3) 又DE ⊂平面DEG ,所以DE ∥平面BCF .(步骤4)(2)证明:在折叠前的图形中,因为ABC △为等边三角形,BF CF =, 所以AF BC ⊥,则在折叠后的图形中,,.AF BF AF CF ⊥⊥(步骤1)又12,22BF CF BC ===,所以222BC BF CF =+, 所以BF CF ⊥. (步骤2) 又BF AF F = ,BF ⊂平面ABF ,AF ⊂平面ABF ,所以CF ⊥平面ABF .(步骤3) (3) 解:由(1)可知GE CF ∥,结合(2)可得GE ⊥平面DFG .(步骤1)1132F DEG E DFG V V DG FG GF --∴==⋅⋅⋅⋅1111313()323323324=⋅⋅⋅⋅⋅=(步骤2)19.(本小题满分14分)设各项均为正数的 数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2145a a =+;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .【测量目标】等差数列、等比数列的定义及应用,函数与方程的思想以及不等式的证明.【考查方式】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查,考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式,会用列项相消法求数列的前n 项和,放缩法证明不等式的知识. 【试题解析】解:(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,(步骤1)21045n a a a >∴=+ (步骤2)(2)当2n …时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,(步骤1)102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n …时,{}n a 是公差2d =的等差数列. (步骤2)2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,(步骤3)由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=(步骤4)21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. 为正等差数列∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(步骤5)(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ (步骤1) 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111.2212n ⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦(步骤2)-20.(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【测量目标】点到直线的距离公式、直线的点斜式方程、抛物线的定义和标准方程、导数的几何意义、直线与抛物线的交点、二次函数的最值以及待定系数法的应用.【考查方式】由点到直线的距离公式建立关于c 的方程,从而确定c 并写出抛物线的标准方程;设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程;利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,建立关于y 的目标函数,从而确定函数的最小值.【试题解析】(1)依题意023222c d --==,解得1c =(负根舍去)(步骤1) ∴抛物线C 的方程为24x y =.(步骤2)(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (步骤1)∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=. (步骤2) ∵21141x y =, ∴112y x xy -= . (步骤3) ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①,同理 20202y x xy -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. (步骤4) ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=;(步骤5)(3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+,所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ (步骤1)联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=,2212001202,y y x y y y y ∴+=-=(步骤2)0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2()+22y y y ++ (步骤3)∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92 (步骤4)21.(本小题满分14分)设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R . (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()2321f x x kx '=-+【测量目标】导数的计算和导数在研究函数中的应用,利用导数来求函数的单调区间和最值.【考查方式】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程,通过导数来求函数及函数的单调区间;对于导数中含有未知数,需要讨论判别式∆的符号,然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值.【试题解析】(1)当1k =时()2321,f x x x '=-+(步骤1)41280∆=-=-<()0f x '∴>,()f x 在R 上单调递增.(步骤2)(2)当0k <时,()2321f x x kx '=-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01,(步骤1) 第21题图(i )当()()2412433k k k ∆=-=+-…,即30k -<…时,()0f x '…,()f x 在[],k k -上单调递增,(步骤2)从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.(步骤3)(ii )当()()24124330k k k ∆=-=+->,即3k <-时,令()23210f x x kx '=-+=解得:221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,(步骤4)(注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,(步骤5)()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--(步骤6)综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--(步骤7)解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-…,故()()f x f k …(步骤1)32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++…故()()f x f k -…(步骤2)而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==(步骤3)(1)解法3:因为2()321f x x kx '=-+,22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-;(步骤1) ○1当0∆…时,即30k -<…时,()0f x '…,()f x 在R 上单调递增,此时无最小值和最大值;(步骤2)○2当0∆>时,即3k <-时,令()0f x '=,解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==;(步骤2)令()0f x '>,解得233k k x --<或233k k x +->;(步骤3)令()0f x '<,解得223333k k k k x --+-<<;(步骤4)因为223033k k k k k +-+<=<-,2232333k k k k k k --->=>作()f x 的最值表如下:xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭k -()f x ' +- 0+()f xk极大值极小值32k k --则23min (),3k k m f k f ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭,23max (),3k k M f k f ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭;(步骤5)因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3222(26)3927k k k k ----+=; 3223222(26)1832(26)318()32727k k k kk k k k k k f f k ⎛⎫----+-------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->,所以23min (),()3k k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭;(步骤6)因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3222(26)3927k k k k -+--+=;2322332(26)395427()327k k k k k k k k f f k ⎛⎫---+--+++--= ⎪ ⎪⎝⎭32322352(26)3652(26)33650420272727k k k k k k k k k k +-++--++=<=<;所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭;(步骤7) 综上所述,所以m k =,32M k k =--.(步骤8)。
2013年广东高考试卷文科数学试题及答案
图 2俯视图试卷类型:A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =−=∈,则S T =I A.{0} B.{0,2} C.{2,0}− D.{2,0,2}− 2.函数lg(1)()1x f x x +=−的定义域是A.(1,)−+∞ B.[1,)−+∞ C.(1,1)(1,)−+∞U D.[1,1)(1,)−+∞U 3.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 A.2 B.3 C.4 D.54.已知51sin()25πα+=,那么cos α=A.25− B.15− C.15 D.255.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是A.1 B.2 C.4 D.76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 A.16 B.13 C.23D.1 图 17.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A.0x y +−= B.10x y ++= C.10x y +−= D.0x y += 8.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A.若//l α,//l β,则//αβ B.若l α⊥,l β⊥,则//αβ C.若l α⊥,//l β,则//αβ D.若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 A.14322=+y x B.13422=+y x C.12422=+y x D.13422=+y x 10.设r a 是已知的平面向量且≠0r r a ,关于向量ra 的分解,有如下四个命题: ①给定向量rb ,总存在向量rc ,使=+r r ra b c ;②给定向量r b 和rc ,总存在实数λ和μ,使λμ=+r r r a b c ;③给定单位向量r b 和正数μ,总存在单位向量rc 和实数λ,使λμ=+r r r a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量r b 和单位向量rc ,使λμ=+r r r a b c ;上述命题中的向量r b ,r c 和ra 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2−的等比数列,则1234||||a a a a +++= 12.若曲线2ln y ax x =−在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .13.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤−≥+−11103y x y x ,则z x y =+的最大值是.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD 中,AB =,图 43BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数(),12f x x x R π⎛⎞=−∈⎜⎟⎝⎠.(1) 求3f π⎛⎞⎜⎟⎝⎠的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠,求6f πθ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠.17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量) [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数(个)5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 18.(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF Δ沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF −,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG −的体积F DEG V −19.(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N ∗+=−−∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a aa ++++<L . 20.(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y −−=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21.(本小题满分14分)设函数x kx x x f +−=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k −,上的最小值m 和最大值M .2013年广东高考文科数学A 卷参考答案一、选择题 题号 1 2345678910选项ACDCCBABDB二、填空题11. 15 12.12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 15. 2三、解答题16. 解:(1)133124f ππππ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ (2)33cos ,,252πθθπ⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠Q ,4sin 5θ==−,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎞⎛⎞⎞∴−−=+=−⎜⎟⎜⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎠.17. 解:1)苹果的重量在[90,95)的频率为20=0.450; (2)重量在[80,85)的有54=15+15⋅个; (3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1,[)95,100分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在[80,85)和[)95,100中各有1个的事件为A,则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以31(A)62P ==.18. 解:(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF −中也成立, //DE BC ∴ ,DE ⊄Q 平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==. Q 在三棱锥A BCF −中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ∩=∴⊥Q 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF −−⎛⎞∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⎜⎟⎜⎟⎝⎠19. 解:(1)当1n =时,22122145,45a a a a =−=+,20n a a >∴=Q(2)当2n ≥时,()214411n n S a n −=−−−,22114444n n n n n a S S a a −+=−=−−()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+Q∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a Q 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =−∴=21312a a −=−=Q ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =−. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅−+L L 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⋅−+−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥−+⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤=⋅−<⎢⎥+⎣⎦ 20. 解:(1)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y ′=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y −=−, 即2111212x y x x y −+=.∵21141x y =, ∴112y x x y −= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y −=. ① 同理, 20202y x xy −=. ②综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy −=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy −=002,即00220x x y y −−=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨−−=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +−+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=−= 0020x y −−=Q()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=−++−+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎞++⎜⎟⎝⎠∴当012y =−时,AF BF ⋅取得最小值为9221. 解:()'2321fx x kx =−+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =−+Δ=−=−<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321f x x kx =−+,其开口向上,对称轴3kx = ,且过()01,(i)当(241240k k k Δ=−=−≤,即0k ≤<时,()'0fx ≥,()f x 在[],k k −上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =−时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =−=−−−=−−.(ii)当(241240k k k Δ=−=>,即k <时,令()'23210f x x kx =−+=解得:12,33k k x x +==,注意到210k x x <<<, (注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==−()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x −=−+−=−+>Q()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k −−=−+−−−⋅−+−++<Q()f x ∴的最大值()32M f k k k =−=−−综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =−=−−解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈−,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k −=−+−+−=+−≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k −−=−++++=+−++=+−++≤故()()f x f k ≤−,而 ()0f k k =<,3()20f k k k −=−−>所以 3max ()()2f x f k k k =−=−−,min ()()f x f k k ==。
广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.222.(5分)(2013•广东)函数的定义域是(),的定义域是(﹣3i|==53i|==54.(5分)(2013•广东)已知,那么cosα=()B++(.5.(5分)(2013•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是()6.(5分)(2013•广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()BV==.7.(5分)(2013•广东)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是B±,,解之得±﹣时,可得切点坐标(﹣,﹣时,可得切点坐标(,﹣,直线方程为9.(5分)(2013•广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()B解:由题意设椭圆的方程为,又离心率等于所以椭圆的方程为.10.(5分)(2013•广东)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()不一定能用两个单位向量的组合表示出来.和,只需求得其向量差即为所求的向量,使,故,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,,取=,λ都平行于μ成立,根据平行四边形法则,向量μ的纵坐标一定为使等式成立,故为正数,所以和不一定能用两个单位向量的组合表示出来,成立,故二、填空题:本大题共3小题.每小题5分,满分15分.(一)必做题(11~13题)11.(5分)(2013•广东)设数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= 15.12.(5分)(2013•广东)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.,,故答案为:.13.(5分)(2013•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是5.得选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)(2013•广东)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为(θ为参数).,得的参数方程为故答案为15.(2013•广东)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=.AC=2AC EC=CD=AB=EC=+3﹣,.故答案为:四、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)(2013•广东)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.直接代入函数解析式求解.﹣)∵,17.(13分)(2013•广东)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.)的频率为18.(13分)(2013•广东)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG.,可得.在三棱锥中,由,运算求得结果.中,=19.(14分)(2013•广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a 2=;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.)对于利用时,时,满足,且,构成等比数列,∴,)可知,,∴)可得式.20.(14分)(2013•广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.)先设,)根据抛物线的定义,有,的距离)设,的方程为,的斜率分别为,①:的坐标为,即,的斜率为,整理得的斜率的方程为,整理得,即)根据抛物线的定义,有,=所以当的最小值为21.(14分)(2013•广东)设函数f(x)=x3﹣kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,﹣k]上的最小值m和最大值M.,且过(,且过(,即)当,即解得:。
2013年广东省高考文科数学模拟试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试(广东卷)数 学(文科)参考公式:台体的体积公式Sh V =,其中S 是台体的底面积,h 是台体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数2(32)(1)a a a i -++-)i 是纯虚数,则实数a 的值为A .1B .2C .1或2D .-12.集合M ={}R y x x x y x ∈++-=,,762,N ={}R y x x x y y ∈++-=,,762,则集合M ⋂N = A .∅ B .[-1,4] C .[-1,7] D .[0,4] 3.若f (1,1)=1234,f (x ,y )=k ,f (x ,y +1)=k -3,则f (1,2012)= A .-4799 B .-6033 C .1235 D .2012 4.设S n 是等比数列{a n }前n 项的乘积,若a 9=1,则下面的等式中正确的是 A .S 1=S 19 B .S 3=S 17 C .S 5=S 12 D .S 8=S 11 5.设变量,x y 满足约束条件2,,2.x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为 A .2 B .3 C .4 D .6 6.给出下面四个命题:①命题”“023,:0200≥+-∈∃x x R x p 的否定为”“023,:2<+-∈∀⌝x x R x p ②函数x x f x 32)(+=的零点所在区间是(-1,0); ③函数x y 2sin =的图象向左平移3π个单位后,得到函数)32sin(π+=x y 图象;④对于直线m ,n 和平面α,若n ,⊥⊥m m α,则α//n .则命题正确的个数是A .1B .2C .3D .47.使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件.......是 A . ),0(+∞∈m B . (),10m ∈-∞ C .()0,10m ∈ D . }3,2,1{∈m 8.设f’(x )是函数f (x )的导函数,y = f’(x )的图象如图1所示,则y = f (x )的图象最有可能的是9.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=(0a b >>)焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为A.2 B .12 C.3 D .2610.若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时()21f x x =-,函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩,则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A .5B .7C .8D .10二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.偶函数)(x f y =当),0(∞+∈x 时,1)(-=x x f ,则0)1(<-x f 的解集是 .12.图2所示的程序框图的输出结果为 . 13.下列是关于三角形解的个数的说法: ①a =7,b =14,A =300,一解; ②a =30,b =25,A =1500,一解; ③c =6,b =9,C =450,两解; ④b =9,c =10,B =600,无解. 其中说法正确的有 .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则顶点C 的极坐标为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图3,⊙O 的直径AB =6cm ,P 是AB 延长线上的一点, 过P 点作⊙O 的切线,切点为C ,连接AC ,若∠CPA =30°,PC =_____________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分) 已知函数x x x f ωω2sin 22sin 3)(-=的最小正周期为π3.(0>ω)(1)求函数)(x f 的解析式;(2)在ABC ∆中,若1)(=C f ,且)cos(cos sin 22C A B B -+=,求A sin 的值.图2 图317.(本小题满分12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.图4已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)求证:N B C BC 11//平面; (2)求证:BN 11C B N ⊥平面; (3)求此几何体的体积.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的焦点为)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F ,点)22, 1(-P 在椭圆上. (1)求椭圆C 的方程;(2)若抛物线px y 22=(0>p )与椭圆C 相交于点M 、N ,当OMN ∆(O 是坐标原点)的面积取得最大值时,求p 的值.主视图 侧视图俯视图已知二次函数 )(x f 的最小值为-4,且关于x 的不等式0)(≤x f 的解集为{}R x x x ∈≤≤- ,31|.(1)求函数)(x f 的解析式; (2)求函数x xx f x g ln 4)()(-=的零点个数.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b na n N ---=+∈ …111*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈ ,证明:数列{}n b 是等差数列; (3)证明:*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共10小题,每小题5分,满分二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.11.[0,2](或{} 20|<<x x ) 12. 1006201313.①② 14.23π⎛⎫ ⎪⎝⎭(或22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z )) 15. 33三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)解:(1)x x x f ωω2sin 22sin 3)(-=x x ωω2cos 12sin 3+-=1)62sin(2-+=πωx …3分依题意:函数)(x f 的周期为π3,即31,322=∴=ωπωπ, ……5分∴1)632sin(2)(-+=πx x f ……6分(2)∵11)632sin(2)(=-+=πC C f 1)632sin(=+∴πC , ∵)65,6(632),,0(ππππ∈+∴∈C C ,2,2632πππ=∴=+∴C C . ……8分 在ABC Rt ∆中,)cos(cos sin 2,22C A B B B A -+==+π0sin sin cos 22=--∴A A A ,即01sin sin 2=-+A A ,解得:251sin ±-=A ……11分∵215sin ,1sin 0-=∴<<A A . …………12分 17. (本小题满分12分)(本小题主要考查概率与统计的概念,考查运算求解能力等.) 解:(1)依题意得,10(20.020.030.04)1a +++=,解得0.005a =…………4分 (2)这100名学生语文成绩的平均分为:550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分)………………7分(3)数学成绩在[50,60)的人数为:1000.055⨯=………………8分数学成绩在[60,70)的人数为:11000.4202⨯⨯=………………9分 数学成绩在[70,80)的人数为:41000.340⨯⨯=………………10分MB 1C 1NCBA数学成绩在[80,90)的人数为:51000.2254⨯⨯=………………11分 所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100520402510----=…………12分18. (本小题满分14分)(本小题主要考查几何体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.) (1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。
13年广东高考文科数学试题详解
2013年广东高考数学文科试题及答案本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T = ( ) A 、{0} B 、{0,2} C 、{2,0}- D 、{2,0,2}- 【解析】:先解两个一元二次方程,再取交集,选A ;2、函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( ) A 、(1,)-+∞ B 、[1,)-+∞ C 、(1,1)(1,)-+∞ D 、[1,1)(1,)-+∞ 【解析】:对数真数大于零,分母不等于零,选C ;3、若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5【解析】:复数的运算、复数相等,4,3x y ==-,模为5,选D . 4、已知51sin()25πα+=,那么cos α=( ) A 、25- B 、15- C 、15 D 、25【解析】:考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C ; 5、执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ) A 、1 B 、2 C 、4 D 、7 【解析】选C ;本题只需细心按程序框图运行一下即可.6、某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A 、16 B 、13 C 、23D 、1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅,选B.7、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A、0x y += B 、10x y ++= C 、10x y +-= D、0x y += 【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于1r =,排除B 、C ;相切于图 1图 2俯视图侧视图正视图第一象限排除D ,选A.直接法可设所求的直线方程为:()0y x k k =-+>,再利用圆心到直线的距离等于1r =,求得k =8、设为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A 、若//l α,//l β,则//αβ B 、若l α⊥,l β⊥,则//αβ C 、若l α⊥,//l β,则//αβ D 、若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,选B 就对了. 9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 A 、14322=+y x B 、13422=+y x C 、12422=+y x D 、13422=+y x【解析】基础题,1,2,c a b ===,选D.10、设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①、给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②、给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③、给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④、给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的; 以a 的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb 有交点,这个不一定能满足,③是错的; 利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须=+λμλμ+≥b c a ,所以④是假命题;综上,本题选B ;【选择题小结】:今年的选择题很基础,希望学生考个好成绩!二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11、设数列{}n a 是首项为,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= 【解析】基础题:1512、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意:''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13、已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ,则z x y =+的最大值是.【解析】画出可行域如图,最优解为()1,4,故填 5 ; (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14、(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 .【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=,易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 15、(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = .【解析】本题对数值要敏感,由AB =3BC =,可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=,DE ==三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、(本小题满分12分)已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin 5θ==-,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.【解析】基础题,两角差的余弦公式不要记错了.图 317、(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1)、根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2)、用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3)、在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 【解析】(1)苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450;(2)重量在[)85,80的有54=15+15⋅个; (3)设这4个苹果中[)85,80分段的为1,[)100,95分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ,则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以31(A)62P ==. 【解析】基础题,注意格式了! 18、(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 【解析】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;图 4(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝【解析】基础题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19、(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1)证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式;(3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知n S 求n a ,{}n a 是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问;本题易错点在分成1n =,2n ≥来做后,不会求1a ,没有证明1a 也满足通项公式.20、(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=.设P 为直线上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(1)依题意d 1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致.21、(本小题满分14分)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈,(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M . 【解析】:()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx x kx =-+,其开口向上,对称轴3k x = ,且过()01,(i)当(241240k k k ∆=-=+≤,即0k ≤<时,()'0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.(ii)当(241240k k k ∆=-=>,即k <时,令()'23210f x x kx =-+=解得:12x x ==,注意到210k x x <<<,(注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知x k = 时最小,x k =-时最大,只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可,避免分类讨论;本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013届广东省高考模拟试题数学(文)
保密★启用前 试卷类型:A2013年广东省高考模拟试题数学 (文科)本试卷共6页,共21小题,满分150分,考试用时120分钟参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 为底面的面积,h 为锥体的高;注意事项:1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.2、选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效.3、非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多 涂的答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.一、选择题:本大题共10个小题,每题5分,满分50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}2|20A x x x =--<,集合{}|0B x x =≥,则A B = ( )A .()1,2-B .[)0,2C .()0,2D .[]1,2- 2、复数ii-12的虚部为( ) A .iB .i -C .1D .1-3、已知命题p :函数()f x 在0x x =处有极值,命题q :可导函数()f x 在0x x =处导数为0,则p 是q 的( )条件。
A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .既不充分也不必要4、已知m 是两个正数8,2的等比中项,则圆锥曲线122=-my x 的离心率为( ) A .23或25 B .23 C .5 D .23或5 5、设,a b 是两条不同直线,,αβ是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A .若a ∥α,b ∥β且α∥β,则a ∥bB .若a ∥α,a ∥β且b ∥a ,则b ∥αC .若a α⊥,b β⊥且α∥β,则a ∥bD .若a α⊥,a β⊥且b ∥α,则b ∥β6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .2B .1C .23D .137、设曲线1()n y xn N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201312013220132012log log ....log x x x +++的值为 ( )A . 2011log 2010B . 1-C .2011log 20101-D . 18、已知平面区域A:000x y y ⎧≥⎪≥⎨+-≤恰好被面积最小的圆()()222:C x a y b r -+-=及其内部所覆盖,现向此圆内部投一粒子,则粒子恰好落在平面区域A 内的概率为( )ABCD9、若n m -表示[,]()m n m n <的区间长度,函数()0)f x a =>1,则实数a 的值为( )A .4B .2 CD .110、在ABC ∆中,,E F 分别为,AB AC 的中点,P 为EF 上的任一点,实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=,设ABC ∆,PBC ∆,PCA ∆,PAB ∆的面积分别为123,,,S S S S ,记312123,,S S SS S Sλλλ===,则23λλ 取到最大值时,2x y +的值为( ) A .1- B .1 C .32-D .32二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分。
2013东莞一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
5.方茴说:“那时候我们不说爱,爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢,就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说:“我觉得之所以说相见不如怀念,是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛,而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木,直径十几米,此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光,变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动,即便吃饭时也都不太老实,不少人抱着陶碗从自家出来,凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂,猛兽众多,可守着大山,村人的食物相对来说却算不上丰盛,只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
东莞市2013届高三模拟试题(一)文科数学参考公式: 锥体的体积公式:Sh V 31=.其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 柱体的体积公式:Sh V =.其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.球的表面积、体积公式:24R S π=、334R V π=.其中R 是球的半径.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}01,0)1)(2(<+=<-+=x x N x x x M ,则=N M ( ) A.)1,1(- B. )1,2(- C. )1,2(-- D. )2,1(2. 已知复数i z -=1,则=-12z z ( ) A.2 B. 2- C. i 2 D. i 2- 3. 设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=( )ABC. D .104. 已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为( )A .227-B .154C .227 D .54-5. ”“21sin =α是”“212cos =α 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知圆1)1()1(:221=-++y x C ,圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称,则圆2C 的方程为( )A. 1)2()2(22=-++y xB. 1)2()2(22=++-y x C. 1)2()2(22=+++y x D. 1)2()2(22=-+-y x7. 已知双曲线116922=-x y ,抛物线)0(22>=p px y ,若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为3,则=p ( ) A.415 B. 5 C.215 D. 10 8. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是( )A.1B. 2C.3D. 49. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的 平均成绩分别为乙甲,x x ,则下列结论正确的是( )A. 乙甲x x >;乙比甲成绩稳定B. 乙甲x x >;甲比乙成绩稳定C. 乙甲x x <;甲比乙成绩稳定D. 乙甲x x <;乙比甲成绩稳定5.方茴说:“那时候我们不说爱,爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
2013年高考文科数学(广东卷)
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A 卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T = A .{0} B .{0,2} C .{2,0}- D .{2,0,2}- 2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A .(1,)-+∞ B .[1,)-+∞ C .(1,1)(1,)-+∞ D .[1,1)(1,)-+∞ 3.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 A .2 B .3 C .4 D .5 4.已知51sin()25πα+=,那么cos α= A .25-B .15-C .15D .255.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是A .1B .2C .4D .76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 A .16 B .13 C .23D .17.垂直于直线1y x =+且与圆221xy +=相切于第一象限的直线方程是A .0x y +-=B .10x y ++=C .10x y +-=D .0x y +=图 18.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A .若//l α,//l β,则//αβB .若l α⊥,l β⊥,则//αβC .若l α⊥,//l β,则//αβD .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 A .14322=+y x B .13422=+y x C .12422=+y x D .13422=+y x10.设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是A .1B .2C .3D .4二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= 12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .13.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ,则z x y =+的最大值是.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = .图 3三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.图 4如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =(1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ;(3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.19.(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21.(本小题满分14分)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M .参考答案及解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 1.【解析】:先解两个一元二次方程,再取交集,选A , 2.【解析】:对数真数大于零,分母不等于零,目测C !3.【解析】:复数的运算、复数相等,目测4,3x y ==-,模为5,选D. 4.【解析】:考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C. 5.【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6.【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅,选B.7.【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于1r =,排除B 、C ;相切于第一象限排除D ,选 A.直接法可设所求的直线方程为:()0y x k k =-+>,再利用圆心到直线的距离等于1r =,求得k =8.【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选B 了.9.【解析】基础题,1,2,c a b === D.10.【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以a 的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb 有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须=+λμλμ+≥b c a ,所以④是假命题.综上,本题选B.二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.【解析】这题相当于直接给出答案了1512.【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13.【解析】画出可行域如图,最优解为()1,4,故填 5 ; (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=,易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)15.【解析】本题对数值要敏感,由AB =3BC =,可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ,DE ==【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin 5θ==-,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.17.(本小题满分13分)【解析】(1)苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450; (2)重量在[)85,80的有54=15+15⋅个; (3)设这4个苹果中[)85,80分段的为1,[)100,95分段的为2、3、4,从中任取两个,可图 3能的情况有:(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ,则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题,我只强调:注意格式!18.(本小题满分13分)【解析】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中,BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19.(本小题满分14分)【解析】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =, 由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. (3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知n S 求n a ,{}n a 是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成1n =,2n ≥来做后,不会求1a ,没有证明1a 也满足通项公式. 20.(本小题满分14分) 【解析】(1)依题意d ,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ②综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子:我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我只猜中了前头,可是我却猜不中这结局……形容这次高考,妙极!21.(本小题满分14分) 【解析】:()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx x kx =-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01,(i )当(241240k k k ∆=-=+-≤,即0k ≤<时,()'0fx ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.(ii )当(241240k k k ∆=-=>,即k <时,令()'23210f x x kx =-+=解得:12x x ==,注意到210k x x <<<, (注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223k x x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++< ()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=-- 解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知x k = 时最小,x k =-时最大,只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试广东卷文科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)1. 设集合S={x|R x x x ∈=+,022},T={x|022=-x x ,R x ∈},则T S ⋂=( )A. { 0 }B. { 0,2}C. { -2,0 }D. { -2,0,2 } 2. 函数1)1lg(-+=x x y 的定义域是( )A. (-1,+∞)B. [-1,+∞)C. (-1,1)⋃(1,+∞)D. [ -1,1)⋃(1,+∞)3. 若i (x + y i )=3 + 4 i ,R y x ∈,,则复数yi x +的模是( )A. 2B. 3C. 4D. 5 4. 已知51)25sin(=+απ,那么αcos =( ) A. 52-B. 51-C. 51 D. 52 5. 执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 76. 某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A.61 B. 31 C. 32D. 1 7. 垂直于直线1+=x y 且与圆122=+y x 相切于第Ⅰ象限的直线方程是( ).0A x y += .10B x y ++= .10C x y +-=.0D x y +=图1图28. 设l 为直线,,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是 .,,A l l αβαβ 若则 .,,B l l αβαβ⊥⊥ 若则.,,C l l αβαβ⊥ 若则 .,,D l l αβαβ⊥⊥ 若则 9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是 22.134x y A +=22.14x B =22.142x y C += 22.143x y D += 10. 设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c ,使a b c =+;②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+;③给定向量b 和正数μ,总存在单位向量c,和实数λ,使a b c λμ=+. ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+. 上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学文科试题含答案(纯word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔讲试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。
参考公式:球的体积,其中R为球的半径.锥体的体积公式为,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1、设集合,,则=()A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,Array 2}2、函数的定义域是()A.(-1,+∞) B.,+∞)C. D.3、若,x,R,则复数的模是()A.2 B.3 C.4 D.54、已知,则()A. B. C. D.5、执行如图1所示的程序框图,若输入的值为3,则输出s的值为A.1 B.2 C.4 D.76、某三棱锥的三视图如图2所示,则该棱锥的体积是()A. B. C. D. 17、垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是()A. B.C. D.8、设l是直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A .若l ∥,l ∥,则∥ B.若,,则∥ C.若,l ∥,则∥ D.若,l ∥,则9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为,离心率等于,则C 的方程是( ) A . B. C. D.10、设是已知的平面向量,且。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(广东卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科(广东卷)数学答案解析1、【答案】A【解析】【考点定位】集合的运算.2、【答案】C【解析】要使函数有意义,则故函数的定义域为【考点定位】函数的定义域3、【答案】D【解析】【考点定位】复数相等与复数的模4、【答案】C【解析】,选C.【考点定位】三角函数诱导公式5、【答案】C【解析】【考点定位】程序框图6、【答案】B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则,选B.【考点定位】三视图与几何体的体积7、【答案】A【解析】设所求的直线方程为:,圆心到直线的距离等于【考点定位】直线与圆的位置关系8、【答案】B【解析】A中,也可能相交;B中,垂直与同一条直线的两个平面平行,故正确;C 中,也可能相交;D中,也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系9、【答案】D【解析】选D.【考点定位】椭圆的方程10、【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,所以④是假命题.综上,本题选B.【考点定位】平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.11、【答案】【解析】【考点定位】等比数列的通项公式12、【答案】【解析】依题意【考点定位】切线方程13、【答案】5【解析】画出可行域如图,最优解为,的最大值5 。
【考点定位】线性规划求最值问题14、【答案】(为参数)【解析】先化成直角坐标方程,则曲线C的参数方程为(为参数). 【考点定位】坐标系与参数方程15、【答案】【解析】由,可知从而,.【考点定位】几何证明选讲16、【答案】(1)1 (2)【解析】(1)(2),,.(1)考查三角函数求值问题,较为简单;(2)利用两角和的余弦公式进行化简,然后再借助同角的三角函数的关系公式进行求解,解题时需注意角的范围对三角函数值的影响.【考点定位】三角函数求值与化简,考查学生的转化分析能力和计算能力.17、【答案】(1) (2)1个(3)【解析】(1)苹果的重量在的频率为;(2)重量在的有个;(3)设这4个苹果中分段的为1,分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在和中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以.(1)利用频数分布表,确定数据,然后利用公式求解频率;(2)根据分层抽样的比例不变性求解;(3)利用古典概型公式求解,关键是明确好明确条件的数量.【考点定位】频数分布表和古典概型18、【答案】(1)见解析(2) 见解析(3)【解析】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中也成立, ,平面,平面,平面;(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.解决折叠问题,需注意一下两点:1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变;2.折前折后的图形结合起来使用.本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化,达到证明目的;第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系,借助线面垂直的判断定理证明;第三问利用体积转化,充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解.【考点定位】线面平行于垂直、几何体的体积问题.19、【答案】(1)见解析(2) (3) 见解析【解析】(1)当时,,(2)当时,,,,当时,是公差的等差数列.构成等比数列,,,解得,由(1)可知,是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.(3)(1)直接将n换为1代入递推式求解;(2)借助进行递推转化,进而构造数列为等差数列是解题的关键,考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)采用列项相消法求和之后再证明.【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题,以及不等式的证明.20、【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)依题意,解得(负根舍去)抛物线的方程为;(2)设点,,,由,即得.∴抛物线在点处的切线的方程为,即.∵,∴ .∵点在切线上, ∴. ①同理,. ②综合①、②得,点的坐标都满足方程.∵经过两点的直线是唯一的,∴直线的方程为,即;(3)由抛物线的定义可知,所以联立,消去得,当时,取得最小值为(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值,便可确定抛物线方程;(2)利用求导的思路确定抛物线的两条切线,借助均过点P,得到直线方程;(3)通过直线与抛物线联立,借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理,通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键,然后利用二次函数求最值,需注意变量的范围.【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系,考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力.21、【答案】(1) 在上单调递增(2) 当时,的最小值,最大值【解析】(1)当时,在上单调递增.(2)当时,,其开口向上,对称轴,且过(i)当,即时,,在上单调递增,从而当时,取得最小值 ,当时,取得最大值.(ii)当,即时,令解得:,注意到,(注:可用韦达定理判断,,从而;或者由对称结合图像判断)的最小值,的最大值综上所述,当时,的最小值,最大值解法2(2)当时,对,都有,故故,而,所以,(1)根据k的取值化简函数的表达式,明确函数的定义域,然后利用求导研究函数的单调区间,中规中矩;(2)借助求导,通过对参数K的正负讨论和判别式的讨论进行分析求解最值.【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题,考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.。
【解析版】2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)
2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
2.(5分)(2008•海南)已知复数z=1﹣i,则=()
代入
代入得
3.(5分)(2012•重庆)设x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且⊥,则|+|=()
..2
通过向量的垂直,求出向量,推出
,向量,,且⊥,
,所以=
所以
||=
4.(5分)(2013•东莞一模)已知函数f(x)=,则f(2+log32)的值为()
.D
==
5.(5分)(2009•湖北)“sinα=”是“”的()
,”“解:由可得,
是成立的充分不必要条件,
6.(5分)(2009•宁夏)已知圆C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则
7.(5分)(2013•东莞一模)已知双曲线,抛物线y2=2px(p>0),若抛物线的焦点到双曲线.D
,解:∵双曲线方程为,
∴令,得双曲线的渐近线为x。
2013年广东高考文数试题答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)参考答案数学(文科)佛山市南海区南海中学:胡文华一、选择题二、填空题11. 15 12.2113. 5 14. )(sin y cos 1x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=; 15. 221 三、解答题16、(本小题满分12分) 已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π(1)求)3(πf 的值;(2)若)2,23(,53cos ππθθ∈=,求)6(πθ-f 解:(1)14cos2123cos(2)3(==-=ππππf ;(2))2,23(,53cos ππθθ∈= , 54)53(1s i n 2-=--=∴θ )4cos(2126cos(2)6(πθππθπθ-=--=-f514sin sin 4cos (cos 2-=⋅+⋅=πθπθ17、(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在【90,95)的频数;(2) 用分层抽样的方式从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个; (3) 在(2)中抽取4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率。
解:(1)苹果重量在[90,95)的频率为:4.05020=; (2)12054=⨯(3)2112413=⨯C C 答:略。
18、(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的点,AD=AE , F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABC ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A-BCF 其中22=BC (1)证明:BCF DE 平面||; (2) 证明:ABF CF 平面⊥; (3) 当32=AD 时,求三棱锥F-DEG 的体积V 。
(1)证明:AE AD AC AB ==, BC DE ||4易知:在图∴则在三棱锥BCF A -中有:BF DG ,|| ⊄DG 平面BCF ,⊂BF 平面BCF ||DG ∴平面BCF ,同理可证||EG 平面BCF⊂∴DG 平面DGE ,⊂EG 平面DGE G EG DG =∴平面||DEG 平面BCF又,⊂DE 平面DGE∴||DE 平面BCF(2)证明 F 为BC 边上的中点,则CF AF BF,AF ⊥⊥又 21CF F ,22===B BC ,222CF F +=B BC ,则2CFB π=∠,即BF CF ⊥,BF AF F = ⊂BF AF 、平面ABF A B F CF 平面⊥∴(3) 解:233sin1=⨯=πAF ,由(1)知:FC EG BF DG ||,||, ,32===∴AF AG AB AD BF DG 得33,31==AG DG ,同理可得31E =G 63=-=AG AF GF A B F ,||平面⊥FC FC EG ,则ABF 平面⊥GE , A B F 平面⊂DG ,则DG GE ⊥,18121=⨯=∆DG GE S DGE CF AF BF,AF ⊥⊥,FC EG BF DG ||,||E G G FG ,D FG ⊥⊥∴⊂=E G G E G G D ,G D 、 平面DGEGE D FG 平面⊥∴3243631813131=⨯⨯=⨯⨯=∆-FG S V DGE DGE F . 19、(本小题满分14分)设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足*21,144N n n a S n n ∈--=+,且1452,,a a a 构成等比数列。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A卷)解析
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A 卷)解析本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =A .{0}B .{0,2}C .{2,0}-D .{2,0,2}- 【解析】:先解两个一元二次方程,再取交集,选A ,5分到手,妙! 2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A .(1,)-+∞ B .[1,)-+∞ C .(1,1)(1,)-+∞ D .[1,1)(1,)-+∞【解析】:对数真数大于零,分母不等于零,目测C ! 3.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 A .2 B .3 C .4 D .5【解析】:复数的运算、复数相等,目测4,3x y ==-,模为5,选D . 4.已知51sin()25πα+=,那么cos α= A .25- B .15- C .15 D .25【解析】:考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C. 5.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A .1 B .2 C .4 D .7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 A .16 B .13 C .23D .1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅,选B.7.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是图 1A .0x y +=B .10x y ++=C .10x y +-=D .0x y +=【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于1r =,排除B 、C ;相切于第一象限排除D ,选A.直接法可设所求的直线方程为:()0y x k k =-+>,再利用圆心到直线的距离等于1r =,求得k =8.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A .若//l α,//l β,则//αβB .若l α⊥,l β⊥,则//αβC .若l α⊥,//l β,则//αβD .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选B 了. 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 A .14322=+y x B .13422=+y x C .12422=+y x D .13422=+y x 【解析】基础题,1,2,3c a b ===,选D.10.设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ; 上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A .1B .2C .3D .4【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以a 的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb 有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须=+λμλμ+≥b c a ,所以④是假命题.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案:ACDCC BABDB.选择题3322再次出现!今年的选择题很基础,希望以后高考年年出基础题!二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = . 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ,则z x y =+的最大值是.【解析】画出可行域如图,最优解为()1,4,故填 5 ; (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 .【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=,易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = . 【解析】本题对数值要敏感,由AB =3BC =,可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠=,212DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)图 3已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin 5θ==-,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 【解析】(1)苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450; (2)重量在[)85,80的有54=15+15⋅个; (3)设这4个苹果中[)85,80分段的为1,[)100,95分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ,则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题,我只强调:注意格式!18.(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图52BC =.(1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 【解析】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容. 19.(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1)证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<. 【解析】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知n S 求n a ,{}n a 是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成1n =,2n ≥来做后,不会求1a ,没有证明1a 也满足通项公式.20.(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为32.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,AB 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(1)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子:我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我只猜中了前头,可是我却猜不中这结局……形容这次高考,妙极!21.(本小题满分14分)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M . 【解析】:()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx x kx =-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01,(i)当(241240k k k ∆=-=≤,即0k <时,()'0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.(ii)当(241240k k k ∆=-=+>,即k <()'23210f x x kx =-+=解得:221233k k k k x x +---==注意到210k x x <<<,(注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知x k = 时最小,x k =-时最大,只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013年高考真题——数学文科(广东卷)word解析版
图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科A 卷)解析本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 锥体的体积公式:13V Sh =.其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T = A .{0} B .{0,2} C .{2,0}- D .{2,0,2}- 【解析】:先解两个一元二次方程,再取交集,选A ,5分到手,妙! 2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A .(1,)-+∞ B .[1,)-+∞ C .(1,1)(1,)-+∞ D .[1,1)(1,)-+∞ 【解析】:对数真数大于零,分母不等于零,目测C ! 3.若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 A .2 B .3 C .4 D .5【解析】:复数的运算、复数相等,目测4,3x y ==-,模为5,选D . 4.已知51sin()25πα+=,那么cos α= A .25- B .15- C .15 D .25【解析】:考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C. 5.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 A .1 B .2 C .4 D .7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 A .16 B .13 C .23D .1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为2,则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅,选B.图 17.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A .0x y +=B .10x y ++=C .10x y +-=D .0x y +=【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快,圆心到直线的距离等于1r =,排除B 、C ;相切于第一象限排除D ,选A.直接法可设所求的直线方程为:()0y x k k =-+>,再利用圆心到直线的距离等于1r =,求得k =8.设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是A .若//l α,//l β,则//αβB .若l α⊥,l β⊥,则//αβC .若l α⊥,//l β,则//αβD .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选B 了. 9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 A .14322=+y x B .13422=+y x C .12422=+y x D .13422=+y x【解析】基础题,1,2,c a b ==,选D.10.设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+a b c ;②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+a b c ;上述命题中的向量 b , c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是A .1B .2C .3D .4【解析】本题是选择题中的压轴题,主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以a 的终点作长度为μ的圆,这个圆必须和向量λb 有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须=+λμλμ+≥b c a ,所以④是假命题.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案:ACDCC BABDB.选择题3322再次出现!今年的选择题很基础,希望以后高考年年出基础题!二、填空题:本大题共5小题.考生作答4小题.每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = . 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ,则z x y =+的最大值是.【解析】画出可行域如图,最优解为()1,4,故填 5 ; (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 .【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=,易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数) 15.(几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = . 【解析】本题对数值要敏感,由AB =3BC =,可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ,2DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)图 3已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin 5θ==-,1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.17.(本小题满分13分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 【解析】(1)苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450; (2)重量在[)85,80的有54=15+15⋅个; (3)设这4个苹果中[)85,80分段的为1,[)100,95分段的为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种;设任取2个,重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ,则事件A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题,我只强调:注意格式!18.(本小题满分13分)如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5BC =(1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 【解析】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中,2BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面;(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容. 19.(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列. (1)证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规,第(1)(2)两问是已知n S 求n a ,{}n a 是等差数列,第(3)问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题易错点在分成1n =,2n ≥来做后,不会求1a ,没有证明1a 也满足通项公式.20.(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【解析】(1)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题,广一模20题解法2正是本科第(2)问的解法,并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子:我的意中人是个盖世英雄,有一天他会踩着七色云彩来娶我,我只猜中了前头,可是我却猜不中这结局……形容这次高考,妙极!21.(本小题满分14分)设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M . 【解析】:()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx x kx =-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01,(i)当(241240k k k ∆=-=+≤,即0k <时,()'0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时,()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.(ii)当(241240k k k ∆=-=+>,即k <()'23210f x x kx =-+=解得:12x x ==注意到210k x x <<<,(注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k +=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2(2)当0k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了:结合图像感知x k =时最小,x k =-时最大,只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可,避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。
2013年广东高考文科数学试题及答案解析(word版)
20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕参考公式:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈,则S T =< >()A {0}()B {0,2}()C {,}-20()D {,,}-2022、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是< > ()A (,)-1+∞()B [1,)-+∞()C (,)(,)-111+∞()D [1,1)(1,)-+∞3、若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是< >()A 2()B 3()C 4()D 54、已知51sin(),25πα+= 则cos α= < > ()A 25-()B 15-()C 15()D 255、执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3, 则输出s 的值为< >()A 1()B 2()C 4()D 76、某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积为< >()A 16()B 13()C 23()D 1 7、垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第1象限的直线方程是< >()A 20x y +=()B 10x y ++= ()C 10x y +-=()D 20x y ++=8、设l 为直线,,αβ为两个不同的平面,则下列命题中正确的是< >()A 若//,//,l l αβ则//.αβ()B 若,,l l αβ⊥⊥则//.αβ ()C 若,//,⊥l l αβ则//.αβ()D 若//,,⊥l ααβ则.⊥l β9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F 〔1,0〕,离心率等于12,则C 的方程是〔 〕()A 22134+=x y ()B 22143+=x ()C 22142+=x y ()D 22143+=x y 10、设a 是已知的平面向量且0a ≠,关于向量a 的分解,有如下四个命题:〔1〕给定向量b ,总存在向量c ,使得a b c =+;〔2〕给定向量b 和c ,总存在实数,λμ,使得a b c λμ=+;〔3〕给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使得a b c λμ=+; 〔4〕给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使得a b c λμ=+。
2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•广东)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=()A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:根据题意,分析可得,S、T分别表示二次方程的解集,化简S、T,进而求其交集可得答案.解答:解:分析可得,S为方程x2+2x=0的解集,则S={x|x2+2x=0}={0,﹣2},T为方程x2﹣2x=0的解集,则T={x|x2﹣2x=0}={0,2},故集合S∩T={0},故选A.点评:本题考查集合的交集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的交集.2.(5分)(2013•广东)函数的定义域是()A.(﹣1,+∞)B.[﹣1,+∞)C.(﹣1,1)∪(1,D.[﹣1,1)∪(1,+∞)+∞)考点:函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x﹣1≠0,进而可求得x的范围.解答:解:要使函数有意义需,解得x>﹣1且x≠1.∴函数的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞).故选C.点评:本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.3.(5分)(2013•广东)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是()A.2B.3C.4D.5考点:复数求模;复数相等的充要条件.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数的运算法则把i(x+yi)可化为3+4i,利用复数相等即可得出x=4,y=﹣3.再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5.解答:解:∵i(x+yi)=xi﹣y=3+4i,x,y∈R,∴x=4,﹣y=3,即x=4,y=﹣3.∴|x+yi|=|4﹣3i|==5.故选D.点评:熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键.4.(5分)(2013•广东)已知,那么cosα=()A.B.C.D.考点:诱导公式的作用.专题:三角函数的求值.分析:已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出cosα的值.解答:解:sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.故选C.点评:此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.5.(5分)(2013•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是()A.1B.2C.4D.7考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:由已知中的程序框图及已知中输入3,可得:进入循环的条件为i≤3,即i=1,2,3.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.解答:解:当i=1时,S=1+1﹣1=1;当i=2时,S=1+2﹣1=2;当i=3时,S=2+3﹣1=4;当i=4时,退出循环,输出S=4;故选C.点评:本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.6.(5分)(2013•广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.B.C.D.1考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.据此即可得到体积.解答:解:由三视图可知:该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.∴.因此V===.故选B.点评:由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.7.(5分)(2013•广东)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.B.x+y+1=0 C.x+y﹣1=0 D.考点:圆的切线方程;直线的一般式方程.专题:直线与圆.分析:设所求的直线为l,根据直线l垂直于y=x+1,设l方程为y=﹣x+b,即x+y+b=0.根据直线l与圆x2+y2=1相切,得圆心0到直线l的距离等于1,由点到直线的距离公式建立关于b的方程,解之可得b=±,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程.解答:解:设所求的直线为l,∵直线l垂直于直线y=x+1,可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b,即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切,∴圆心到直线的距离d=,解之得b=±当b=﹣时,可得切点坐标(﹣,﹣),切点在第三象限;当b=时,可得切点坐标(,),切点在第一象限;∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限,∴b=﹣不符合题意,可得b=,直线方程为x+y﹣=0故选:A点评:本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线l的方程.着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.8.(5分)(2013•广东)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β考点:空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A;根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B;根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C;根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D.解答:解:若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误;若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确;若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误;若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误;故选B点评:本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.9.(5分)(2013•广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A.B.C.D.考点:椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由已知可知椭圆的焦点在x轴上,由焦点坐标得到c,再由离心率求出a,由b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆的方程可求.解答:解:由题意设椭圆的方程为.因为椭圆C的右焦点为F(1,0),所以c=1,又离心率等于,即,所以a=2,则b2=a2﹣c2=3.所以椭圆的方程为.故选D.点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,属中档题.10.(5分)(2013•广东)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4考点:命题的真假判断与应用;平面向量的基本定理及其意义.专题:平面向量及应用.分析:选项①由向量加减的几何意义可得;选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性;选项④λ和μ为正数,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来.解答:解:选项①,给定向量和,只需求得其向量差即为所求的向量,故总存在向量,使,故①正确;选项②,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,可作基底,由平面向量基本定理可知结论成立,故可知②正确;选项③,取=(4,4),μ=2,=(1,0),无论λ取何值,向量λ都平行于x轴,而向量μ的模恒等于2,要使成立,根据平行四边形法则,向量μ的纵坐标一定为4,故找不到这样的单位向量使等式成立,故③错误;选项④,因为λ和μ为正数,所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来,故不一定能使成立,故④错误.故选B点评:本题考查命题真假的判断与应用,涉及平面向量基本定理及其意义,属基础题.二、填空题:本大题共3小题.每小题5分,满分15分.(一)必做题(11~13题)11.(5分)(2013•广东)设数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= 15.考点:等比数列的前n项和.专题:等差数列与等比数列.分析:根据条件求得等比数列的通项公式,从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值.解答:解:∵数列{a n}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,∴a n=a1•q n﹣1=(﹣2)n﹣1,∴a1=1,a2=﹣2,a3=4,a4=﹣8,∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15,故答案为15.点评:本题主要考查等比数列的定义、通项公式,属于基础题.12.(5分)(2013•广东)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的概念及应用.分析:先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.解答:解:由题意得,∵在点(1,a)处的切线平行于x轴,∴2a﹣1=0,得a=,故答案为:.点评:本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.13.(5分)(2013•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是5.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:先画出线性约束条件表示的可行域,再将目标函数赋予几何意义,最后利用数形结合即可得目标函数的最值.解答:解:画出可行域如图阴影部分,由得A(1,4)目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线,其纵截距越大z越大,由图数形结合可得当动直线过点A(1,4)时,z最大=1+4=5.故答案为:5.点评:本题主要考查了线性规划,以及二元一次不等式组表示平面区域的知识,数形结合的思想方法,属于基础题.选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(5分)(2013•广东)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为(θ为参数).考点:圆的参数方程;点的极坐标和直角坐标的互化.专题:坐标系和参数方程.分析:首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,然后化直角坐标方程为参数方程.解答:解:由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2﹣2x=0.化圆的方程为标准式,得(x﹣1)2+y2=1.令,得.所以曲线C的参数方程为.故答案为.点评:本题考查了圆的参数方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,解答此题的关键是熟记互化公式,是中档题.15.(2013•广东)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=.考点:余弦定理.专题:解三角形.分析:由矩形ABCD,得到三角形ABC为直角三角形,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,进而得到AB为AC的一半,利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°,且利用射影定理求出EC的长,在三角形ECD中,利用余弦定理即可求出ED的长.解答:解:∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,AB=,BC=3,根据勾股定理得:AC=2,∴AB=AC,即∠ACB=30°,EC==,∴∠ECD=60°,在△ECD中,CD=AB=,EC=,根据余弦定理得:ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=,则ED=.故答案为:点评:此题考查了余弦定理,勾股定理,直角三角形的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.四、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(12分)(2013•广东)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.考点:两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析:(1)把x=直接代入函数解析式求解. (2)先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值,然后将x=θ﹣代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果. 解答:解:(1)(2)∵,,∴.点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解,考查了和差角公式的运用,属于知识的简单综合. 17.(13分)(2013•广东)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析:(1)用苹果的重量在[90,95)的频数除以样本容量,即为所求. (2)根据重量在[80,85)的频数所占的比例,求得重量在[80,85)的苹果的个数. (3)用列举法求出所有的基本事件的个数,再求出满足条件的事件的个数,即可得到所求事件的概率.解答:解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为.(2)重量在[80,85)的有个.(3)设这4个苹果中,重量在[80,85)段的有1个,编号为1.重量在[95,100)段的有3个,编号分别为2、3、4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共6种.设任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件为A,则事件A包含有(1,2)(1,3)(1,4)共3种,所以.点评:本题考查古典概型问题,用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的最主要思想.本题还考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.18.(13分)(2013•广东)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;(3)当AD=时,求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG.考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;立体几何.分析:(1)在等边三角形ABC中,由AD=AE,可得,在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立,故有DE∥BC,再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF.(2)由条件证得AF⊥CF ①,且.在三棱锥A﹣BCF中,由,可得BC2=BF2+CF2,从而CF⊥BF②,结合①②,证得CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.再由,运算求得结果.解答:解:(1)在等边三角形ABC中,AD=AE,∴,在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立,∴DE∥BC.又∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥BC,即AF⊥CF ①,且.∵在三棱锥A﹣BCF中,,∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF②.又∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴=.点评:本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积,属于中档题.19.(14分)(2013•广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1,n∈N*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a 2=;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有.考点:数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)对于,令n=1即可证明;(2)利用,且,(n≥2),两式相减即可求出通项公式.(3)由(2)可得=.利用“裂项求和”即可证明.解答:解:(1)当n=1时,,∵(2)当n≥2时,满足,且,∴,∴,∵a n>0,∴a n+1=a n+2,∴当n≥2时,{a n}是公差d=2的等差数列.∵a2,a5,a14构成等比数列,∴,,解得a2=3,由(1)可知,,∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2,∴{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1.(3)由(2)可得式=.∴点评:熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1(n≥2)是解题的关键.20.(14分)(2013•广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.考点:抛物线的标准方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;抛物线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)利用焦点到直线l:x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程,即可解得c,从而得出抛物线C的方程;(2)先设,,由(1)得到抛物线C的方程求导数,得到切线PA,PB的斜率,最后利用直线AB的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB 的方程;(3)根据抛物线的定义,有,,从而表示出|AF|•|BF|,再由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于y0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值.解答:解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离,解得c=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设,,由(1)得抛物线C 的方程为,,所以切线PA,PB 的斜率分别为,,所以PA :①PB :②联立①②可得点P 的坐标为,即,,又因为切线PA 的斜率为,整理得,直线AB 的斜率,所以直线AB 的方程为,整理得,即,因为点P(x0,y0)为直线l:x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2,所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0.(3)根据抛物线的定义,有,,所以=,由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,所以=.所以当时,|AF|•|BF|的最小值为.点评: 本题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算能力,有一定的综合性. 21.(14分)(2013•广东)设函数f (x )=x 3﹣kx 2+x (k ∈R ). (1)当k=1时,求函数f (x )的单调区间;(2)当k <0时,求函数f (x )在[k ,﹣k ]上的最小值m 和最大值M .考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析:(1)当k=1时,求出f ′(x )=3x 2﹣2x+1,判断△即可得到单调区间; (2)解法一:当k <0时,f ′(x )=3x 2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过(0,1).分△≤0和△>0即可得出其单调性,进而得到其最值.解法二:利用“作差法”比较:当k <0时,对∀x ∈[k ,﹣k ],f (x )﹣f (k )及f (x )﹣f (﹣k ). 解答: 解:f ′(x )=3x 2﹣2kx+1 (1)当k=1时f ′(x )=3x 2﹣2x+1, ∵△=4﹣12=﹣8<0,∴f ′(x )>0,f (x )在R 上单调递增.(2)当k <0时,f ′(x )=3x 2﹣2kx+1,其开口向上,对称轴,且过(0,1)(i )当,即时,f ′(x )≥0,f (x )在[k ,﹣k ]上单调递增,从而当x=k 时,f (x )取得最小值m=f (k )=k ,当x=﹣k 时,f (x )取得最大值M=f (﹣k )=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k . (ii )当,即时,令f ′(x )=3x 2﹣2kx+1=0 解得:,注意到k <x 2<x 1<0,∴m=min{f (k ),f (x 1)},M=max{f (﹣k ),f (x 2)}, ∵,∴f (x )的最小值m=f (k )=k , ∵,∴f (x )的最大值M=f (﹣k )=﹣2k 3﹣k .综上所述,当k <0时,f (x )的最小值m=f (k )=k ,最大值M=f (﹣k )=﹣2k 3﹣k 解法2:(2)当k <0时,对∀x ∈[k ,﹣k ],都有f (x )﹣f (k )=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=(x 2+1)(x ﹣k )≥0, 故f (x )≥f (k ).f (x )﹣f (﹣k )=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=(x+k )(x 2﹣2kx+2k 2+1)=(x+k )[(x ﹣k )2+k 2+1]≤0, 故f (x )≤f (﹣k ),而 f (k )=k <0,f (﹣k )=﹣2k 3﹣k >0. 所以,f (x )min =f (k )=k .点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键.。
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2013年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
2.(5分)(2008•海南)已知复数z=1﹣i,则=()
代入
代入得
3.(5分)(2012•重庆)设x∈R,向量=(x,1),=(1,﹣2),且⊥,则|+|=()
B
通过向量的垂直,求出向量,推出
,向量,,且⊥,
,所以=
所以
||=
4.(5分)(2013•东莞一模)已知函数f(x)=,则f(2+log32)的值为()﹣
==
5.(5分)(2009•湖北)“sinα=”是“”的()
,”“解:由可得,
是成立的充分不必要条件,
6.(5分)(2009•宁夏)已知圆C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则
7.(5分)(2013•东莞一模)已知双曲线,抛物线y2=2px(p>0),若抛物线的焦点到双曲线
B
,解:∵双曲线方程为,
∴令,得双曲线的渐近线为x
8.(5分)(2013•东莞一模)图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的T是()
9.(5分)(2013•东莞一模)甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别为,,则下列结论正确的是()
>;乙比甲成绩稳定>;甲比乙成绩稳定
<;甲比乙成绩稳定<;乙比甲成绩稳定
10.(5分)(2013•东莞一模)在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数在区间[﹣
B.
x
∴概率为=,
二、填空题:(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)(2013•东莞一模)在等差数列{a n}中,若a1+a5+a9=,则tan(a4+a6)=.
,
=
=
故答案为:
12.(5分)(2013•东莞一模)某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示,其中正视图、侧视图都是由半
圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可求得隔离墩的体积为cm3.
∴其体积
故答案为:
13.(5分)(2013•东莞一模)在同一平面直角坐标系中,已知函数y=f(x)的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)对应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程为x﹣ey=0.
,所以切线的斜率=
(
14.(5分)(2013•东莞一模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线θ=(ρ=R)与圆
ρ=4cosθ+4sinθ交于A、B两点,则AB=8.
(+4
,表示以()为圆心,以
d=
15.(2013•东莞一模)(几何证明选讲选做题)
如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则线段DO的长等于3.
三、解答题(共80分)
16.(12分)(2013•东莞一模)向量,,已知,且有函
数y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的周期;
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有,边,,求AC的长及△ABC的面积.
)得
解:∵=,sinx+cosx=
∥=y sinx+x+
)得﹣)=sinA=
A=,
由正弦定理:===2
×,
AB sinA=
17.(12分)(2013•东莞一模)从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高,据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160).第二组
[160,165);…第八组[190,195],图是按上述分组方法得到的条形
图.
(3)在样本中,若第二组有1人为男生,其余为女生,第七组有1人为女生,其余为男生,在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多少?
.组中,恰为一男一女的概率是.
18.(14分)(2013•东莞一模)如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点,DE⊥面CBB1.
(1)证明:DE∥面ABC;
(2)证明:面A1B1C⊥面A1AC;
(3)求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比.
DA=BB
EO=
DA=
((h=
的体积比为
19.(14分)(2013•东莞一模)已知数列{a n}的前n项和为S n,数列{S n+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{na n}的前n项和T n.
20.(14分)(2013•东莞一模)已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x2﹣mx+4,当a=2时,若∃x1∈(0,1),∀x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.
﹣,知=
,x=
x
,且
,
﹣
a
,,
x=
所以有
,
21.(14分)(2013•东莞一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左焦点为F1(﹣1,0),且椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
相交于不同的两点
,解得:
;
)可知,设
,令;
,令;
,所以,
所以;
)满足题意,则,即.
,且
所以
所以
因为,所以
所以
当且仅当,即取得最大值,解得.
所以
或
的面积为。