排列组合典型类型题总结

排列组合

一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有

A 、60种

B 、48种

C 、36种

D 、24种

二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

A 、1440种

B 、3600种

C 、4820种

D 、4800种

元素相同问题隔板策略

例3 某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法

例4把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。

将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为1

1m n C --

殊位置”

例名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种

四.分组分配：

1基本的分组的问题

例4 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

(1)每组两本.

(2)一组一本，一组二本，一组三本.

(3)一组四本，另外两组各一本.

2.基本的分配的问题

(1)定向分配问题

例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

(1)甲两本、乙两本、丙两本.

(2)甲一本、乙两本、丙三本.

(3)甲四本、乙一本、丙一本.

(2)不定向分配问题

例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法

(1)每人两本.

(2) 一人一本、一人两本、一人三本.

(3) 一人四本、一人一本、一人一本.

例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法

3.分配问题的变形问题

例8 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种

例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种

例10设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个

五.相同元素隔板法及应用:

情形1：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。将n件物品和m-1个隔板排成一排，占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有1-m

C

n

1-

m 种。

情形2：将n件相同的物品或（名额）分配给m个（或位置），每个位置必须有物品，有1-m

C种。

1-n

例11. 把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子都不空，有多少种不同方法

把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法

把20个相同的球放入编号为2，3，4，5的4个盒子，每个盒子的小球数不少于编号数，有多少种不同方法

把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法 1.指标分配问题。

例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法

2.求n 项展开式的项数。

例13、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项

例14、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。

五 至多，至少问题排除法

例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有

A、70种

B、64种

C、58种

D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种

B、147种

C、144种

D、141种

六.综合问题先选后排

例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法

七 .对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例19.,,,,

A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是

A、24种

B、60种

C、90种

D、120种

十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是

A、36种

B、120种

C、720种

D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法

复杂的排列组合问题

例23 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法

例24 如图1中A，B，C，D为海上四个岛，