实验7

实验七
分形初探
一、实验目的

了解有关分形的基本特性以及生成分形图形的基本 方法，对分形几何这门学科有一个直观的了解。同 时，掌握利用MATLAB软件进行分形图形生成的方 法。
二、相关知识
早在19世纪末及20世纪初，一些科学家就构造出一 些边界形状极不光滑的图形，这类图形的构造方法 都有一个共同的特点，即最终图形F都是按照一定 的规则R通过对初始图形F不断修改得到的，下面是 几个最具代表性的分形图形及其生成方法。 例1：Koch曲线及其构造方法 给定一条线段F0，将该线段三等分，并将中间一段 用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替，得 到图形F1；然后，再对图形F1中每一小段都按照上 述方式修改，直至无穷，则最后得到的极限曲 线 F lim Fk ，即所谓的Koch曲线。

k
F0
F1
F2
F3
F4
F5


生成程序Koch曲线的MATLAB程序如下：
function koch(p,q,n) axis equal if (n==0) plot([p(1);q(1)], [p(2);q(2)], 'LineWidth',1,'Color','red'); hold on; else c = q-p; c = [-c(2); c(1)]; % 表示与c向量垂直的向量 c = (p+q)/2 + c/sqrt(12); % 求出「向左侧翘起 1/3」的顶点坐标向量 c

S0
S1
S2
S3
S4
S5
三、实验内容
1．以a=(0,0)，b=(2,0)，c=(1,sqrt(3))为三个顶点， 分别以线段ab，bc，ca为生成元生成Koch曲线， 并将其绘制在同一窗口中。（递归到第5次。） 2．参考例2的方法，编制MATLAB程序，绘制出 Sierpinski地毯图案，该分形图案的构成方法如下： 给定一个矩形S0（填成黑色），将每条边三等分， 连接各对边上对应的点，将S0等分成9个大小相同 的矩形，将中间的一个填成白色，得到图形S1，接 着对S1中的8个黑色的矩形进行同样的操作，得到






ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ



a = (2*p+q)/3; % 求出从 p 到 q 的 1/3 处端点坐标向量 a b = (p+2*q)/3; % 求出从 p 到 q 的 2/3 处端点坐标向量 b koch(p, a, n-1); % 对 pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对 ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对 cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对 bq 线段做下一回合 end 其中参数p与q是起点和终点的坐标，用列向量表示。

fill ([A(1), B(1), C(1)], [A(2), B(2), C(2)], [0.0 0.0 0.0]); hold on else % Recursive calls for the three subtriangles sierpinski(A, (A + B)/2, (A + C)/2, level-1) sierpinski(B, (B + A)/2, (B + C)/2, level-1) sierpinski(C, (C + A)/2, (C + B)/2, level-1) end 下图依次是level=0,1,2,3,4,5所得到的图形。
图7-1 向量[-c (2),c (1)]与向量c=[c(1),c(2)]垂直示意图
图7-2 顶点计算示意图
例2：Sierpinski三角形及其构造方法 这是分形的另一个典型例子。给定一个三角形S0 （填成黑色），取各边的中点，连接起来构成一个 相似三角形（填成白色），得到图形S1，现在， 白色三角形的周围有三个小黑三角形，我们对这三 个小黑三角形继续上面的操作以至无穷，最后得到 的图形称为Sierpinski三角形。按照上述方法生成 Sierpinski三角形的MATLAB函数如下，其中 A,B,C表示Sierpinski三角形的三个顶点坐标，用 列向量表示，level是使用生成方法的次数。


S2，继续上面的操作以至无穷，最后得到的图形称 为Sierpinski地毯。如图所示，要求编制程序并绘制 出S5。
S0

S1
S2
….
S5
3．完成实验报告。

function sierpinski(A, B, C, level) % SIERPINSKI Recursively generated Sierpinski triangle. % sierpinski(PA, PB, PC, LVL) generates an approximation to % the Sierpinski triangle, where the 2vectors PA, PB and PC % define the triangle vertices. % LVL is the level of recursion. if level == 0 % Fill the triangle with vertices A, B, C.