概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案之欧阳数创编

【经典例题】

【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1-2πB ．12-1πC ．2π D ．1π

【答案】A

【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2=π2(12)2-1

2×12×12=π-28．在扇形OAD 中S12为扇形面积减去三角形OAC 面积和S22，S12=18π×12-18-S22=π-216，S 1+S 2=π-24，扇

形OAB 面积S=π

4

，选A ．

【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝()

A.126125

B.65

C.168125

D.75 【答案】B

【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27

125，P(X ＝1)

＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65

，选B.

【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

【答案】C

【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y

秒闪亮，由题意?????0≤x≤4，

0≤y≤4，

满足条件的关

系式为－2≤x－y≤2.

根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝3

4

.

【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.

【答案】0.2

【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2

【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．

【答案】20 63

【解析】基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有

20种，故所求概率为20 63 .

【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．

【答案】1

3

【解析】当x<－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为[)

1，＋∞.在[]

－3，3上使不等式有解的区间为[]

1，3，由几何概型

的概率公式得P＝

3－1

3－（－3）

＝

1

3

.

【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

【答案】2

13；

12

13

；3月5日

【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．

根据题意，P(Ai)＝1

13

，且Ai∩Aj＝(i≠j)．

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.

所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2 13 .

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)

＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4 13，

P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4

13

，

P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5

13

.所以X的分布列为

X 0 1 2

P 5

13

4

13

4

13

故X的期望E(X)＝0×5

13

＋1×

4

13

＋2×

4

13

＝

12

13

.

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方

设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2

3

，中奖

可以获得2分；方案乙的中奖率为2

5

，中奖可以获得3

分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行

抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【答案】11

15

；方案甲．

【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为2

3

，

小红中奖的概率为2

5，且两人中奖与否互不影响．记

“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X＝5”，

因为P(X ＝5)＝23×25＝4

15，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝

1115

， 即这两人的累计得分X≤3的概率为11

15

.

（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．

由已知可得，X1～B ? ?????2，23，X2～B ?

?????2，25， 所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，

从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝12

5

.

因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为2

3，小红

中奖的概率为2

5

，且两人中奖与否互不影响．

记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A ，

则事件A 包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，

因为

P(X ＝0)＝? ?????1－23×? ??

???1－25＝15，P(X ＝2)＝23×? ?????1－25＝25，P(X ＝3)＝?

?????1－23×25＝215，

所以P(A)＝P(X ＝0)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝1115，

即这两人的累计得分X≤3的概率为11

15

.

（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝8

3

，

E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝12

5

.

因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

【例9】（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（1）当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝5

9，求

a∶b∶c.

【答案】3∶2∶1

【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.

P(ξ＝2)＝3×36×6＝1

4，

P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝1

3，

P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝5

18.

P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝1

9

，

P(ξ＝6)＝1×16×6＝1

36，

所以ξ的分布列为

（2）由题意知η的分布列为

所以Eη＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝5

3，

D η＝1－532·a a ＋b ＋c ＋2－532·b a ＋b ＋c ＋3－

5

32·c a ＋b ＋c ＝5

9

，

化简得?????2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，

解得

a ＝3c ，

b ＝2

c ，

故a∶b∶c＝3∶2∶1.

【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13

，遇到红灯时停留的时间都是2min. （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间

ξ的分布列及期望.

【答案】427；3

8

【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A

的概率为()1114

1133327P A ????=-?-?=

? ?????

. （2）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.

事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

∴()()441220,1,2,3,433k

k

k P k C k ξ-????

=== ? ?

????

，

∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是0246881812781813

E ξ=?+?+?+?+?=. 【课堂练习】

1.（2013广东）已知离散型随机变量X 的分布列为

则X 的数学期望E(X)＝()

A. 32 B ．2 C. 5

2

D ．3

2.（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()

A ．1－π4

B ．π2－1 B ．2－π

2

D ．π

4

3．在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为()

A ．47

B ．37

C ．2

7

D ．3

14

4．（2009安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A ．

175B ．275 C ．375 D ．475

5.（2009江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了

?A

????

?B C

D

E F

3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为

（ ）

A ．3181

B ．3381

C ．4881

D ．5081

.

6.（2009辽宁文）ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为

A ．4

πB ．14π-C ．8πD ．18

π-

7.（2009上海理）若事件E 与F 相互独立，且

()()1

4P E P F ==

，则()P E F 的值等于 A ．0B ．116C ．14D ．1

2

8．（2013广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个

数，记为a ，b ，则方程x2a2＋y2

b2

＝1表示焦点在x 轴上

且离心率小于3

2

的椭圆的概率为()

A ．12

B ．1532

C ．1732

D ．3132

9．已知数列{a n }满足a n ＝a n －1＋n －1(n≥2，n∈N )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a ，b ，c ，则满足集合{a ，b ，c}＝{a 1，a 2，a 3}(1≤a i ≤6，i ＝1，2，3)的概率是()

A ．172

B ．136

C ．124

D ．112

10.（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他

们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达

标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。

11.（2013新课标全国Ⅱ）从n个正整数1，2，3，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的

概率为1

14

，则n＝________．

12.（2013福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．

13.（2013辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

14．在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为________．

15.（2013全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一

方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1

2

，各

局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

（1）求第4局甲当裁判的概率；.

（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．16.（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设

张同学答对每道甲类题的概率都是3

5

，答对每道乙类题的

概率都是4

5

，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学

答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

17.（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．

图1－5

18.（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

19.（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表，其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

奖级摸出红、蓝球个数获奖金额

一等奖3红1蓝200元

二等奖3红0蓝50元

三等奖2红1蓝10元

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．

20.（2013安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.

（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（2）求使P(X＝m)取得最大值的整数m.

【课后作业】

1.（2009江西文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为

A．1

6 B ．1

4

C．1

3

D．1

2

2.（2009广东文）广州2010年亚运会火炬传递在A、B、

C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A．20.6 B．21 C．22 D．23 3．（2009安徽文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于

A．1 B．C．D． 0 .

4．在长为3m的线段AB上任取一点P, 则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是

A．1

4B．.

1

3C．

1

2

D．2

3

?

A

?

?

?

??

B

C D

E

F

5．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为

A ．12π

B ．112π-

C ．6π

D ．16π-

6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥

运会射击项目比赛，最佳人选是

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

7.（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（

）

A ．511

B ．681

C ．3061

D ．4081

8.（2008江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（

）

A ．1180

B ．1288

C ．1360

D ．1480

9.（2009山东理）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，

cos

2

x

π的值介于0到2

1之间的概率为( ).

A ．3

1B ．π

2 C ．2

1 D ．3

2

10.（2010湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（）

A 512 B

12 C 7

12

D 34

11.（2009安徽）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角

形的概率是________． 12．如图，,A B 两点之间有

4条网线连接，每条网线能

通过的最大信息量分别为1，2，3，

4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是．

13、（2009广东）某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中

抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编

号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200

1A

B

2

3

4

图3

号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是，若

用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人.

14．某校高三级要从3名男生c b a 、、和2名女生e d 、中任选3名代表参加学校的演讲比赛. （1）求男生a 被选中的概率；

（2）求男生a 和女生d 至少有一人被选中的概率.

15.（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：（这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米）. （1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取

一株作物，求

它们恰好“相近”的概率；

（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

16．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3

人．

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等

或中等以上的概率为2 5．

（1）试确定a、b的值；

（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率．

17.（2013新课标全国卷Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4.再从这批产品中任取1件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，

即取出的每件产品是优质品的概率都为1

2

，且各件产品是

否为优质品相互独立．

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产