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高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系

A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=

2．集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2

个.

3.充要条件

（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函

数.

5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数

)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

6．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2

b

a x +=

对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1

)(≠=+x f x f a x f ，或1()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂

(1)m

n

a

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.(2)1m

n

m n

a

a

-

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

10．根式的性质

（1

）n a =.（2）当n

a =；当n

,0

||,0

a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩.

11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r

s

r s

a a a

a r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a

b a b a b r Q =>>∈.

12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.

①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，

④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N

M

a a a

log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m

n

b a n

a m log log =

13.对数的换底公式 log log log m a m N

N a

= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m =

(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11

,

1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

16.等差数列的通项公式*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 17.等比数列的通项公式1*

11()n n n a a a q q n N q

-==⋅∈；

其前n 项的和公式为11

(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1

n n a a q

q q s na q -⎧≠⎪

-=⎨⎪=⎩.

18.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin 19正弦、余弦的诱导公式

21

2(1)sin ,sin()2(1)s ,

n

n n co απαα-⎧

-⎪+=⎨⎪-⎩

20和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±

=.

sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

a

ϕ=

). 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2

αα+=

，2

1cos 2sin 2αα-=）．

⑶2

2tan tan 21tan α

αα

=

-． 22.三角函数的周期公式

函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω

=；

函数tan()y x ωϕ=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π

ω

=

. 23.正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 24.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-

;2222cos c a b ab C =+-.