第八章 函数 练习 参考答案

合集下载

高数第八章测试题及答案

高数第八章测试题及答案

高数第八章测试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案:C2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是?A. 2x + 3B. 2x^2 + 3C. 2x + 6D. x^2 + 3x答案:A3. 曲线y = x^3 - 6x + 8在点(2, -2)处的切线斜率是?A. 0B. 2C. -2D. 4答案:D4. 以下哪个选项是函数y = e^x的原函数?A. x * e^xB. e^xC. ln(x)D. x^2答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 5,求f(2)的值。

答案:12. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

答案:x^3 - x^2 + x + C3. 计算定积分∫[0, 2] (2x - 1)dx。

答案:34. 求极限lim (x→0) [sin(x)/x]。

答案:1三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x) = ln(x)的导数。

答案:f'(x) = 1/x2. 求曲线y = x^2 - 4x + 5与直线y = 2x - 3的交点坐标。

答案:(1, -2) 和 (5, 7)3. 计算定积分∫[1, 4] (x^2 - 3x + 2)dx。

答案:(4/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x | [1, 4] = 40/3 - 9/2 + 8 = 25/64. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。

答案:极值点为x = 1和x = 5。

5. 求函数f(x) = e^x - x^2的原函数。

答案:F(x) = e^x - (1/3)x^3 + C6. 证明函数f(x) = x^3 + 2x + 1在(-∞, +∞)上是增函数。

高等数学课后答案 第八章 习题详细解答

高等数学课后答案 第八章 习题详细解答

习 题 8-11.设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy 面上的闭区域D ,薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷,且(,)x y μ在D 上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆,其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}.2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤;又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤.试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 由二重积分的几何意义知,1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积;2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积.由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称,故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为2Ω.由此可知124I I =.3. 利用二重积分定义证明: (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积;(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数;(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ,1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡,故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积,故不论把D 怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D 时,可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

高中数学第8章函数应用章末综合测评含解析苏教版第一册

高中数学第8章函数应用章末综合测评含解析苏教版第一册

章末综合测评(八) 函数应用(满分:150分时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=(x2-1)·错误!的零点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4B[要使函数有意义,则x2-4≥0,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立舍去),即x=2或x=-2.所以函数的零点个数为2.故选B.]2.函数f(x)=log2x+3x-4的零点所在的一个区间是() A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)D[∵函数y1=log2x在区间(0,+∞)上为增函数,函数y2=3x-4为增函数,所以,函数f(x)=log2x+3x-4在区间(0,+∞)上为增函数,则该函数最多有一个零点,又f(1)=-1〈0,f(2)=3>0,因此,函数f(x)=log2x+3x-4的零点所在的一个区间是(1,2).故选D.]3.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的物质约是原来的错误!.经过x年,剩留的物质是原来的错误!.则x为()A.2 B.3 C.4 D.5B[先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式,设物质最初的质量为1,则经过1年,y=1×错误!=错误!,经过2年,y=错误!×错误!=错误!错误!,…,那么经过x年,则y=错误!错误!.依题意得错误!错误!=错误!,解得x=3.]4.对任意实数a,b,定义运算“⊙":a⊙b=错误!设f(x)=(x2-1)⊙(4+x)+k,若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点,则k的取值范围是()A.(-2,1) B.[0,1]C.[-2,0) D.[-2,1)D[令g(x)=(x2-1)⊙(4+x)=错误!其图象如图所示.f(x)=g(x)+k的图象与x轴恰有三个交点,即y=g(x)与y=-k的图象恰有三个交点,由图可知-1〈-k≤2,即-2≤k<1.故选D.]5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的()A.y=log2x B.y=2xC.y=x2D.y=2xB[画出散点图(图略),由散点图可知,这种空调的函数模型为y=2x.]6.已知定义在R上的函数f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中函数y=g(x)的图象是一条连续曲线,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数根()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B[f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)g(x)+3x-4,则f(1)=-1〈0,f(2)=2>0.所以根据函数零点的判断方法可知,函数f(x)在区间(1,2)内存在零点,即方程f(x)=0在区间(1,2)内存在实数根.]7.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟B[由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,所以错误!,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2错误!2+错误!,因为t>0,所以当t=错误!=3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间,故选B.]8.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下:每户每月用水量水价不超过12 m3的部分3元/m3若某户居民本月交纳的水费为54元,则此户居民本月用水量为()A.20 m3B.18 m3C.15 m3D.14 m3C[设此户居民本月用水量为x m3,缴纳的水费为y元,则当x∈[0,12]时,y=3x≤36元,不符合题意;当x∈(12,18]时,y=12×3+(x-12)·6=6x-36,令6x-36=54,解得x=15,符合题意;当x∈(18,+∞)时,y=12×3+6×6+(x-18)·9=9x-90>72,不符合题意.综上所述:此户居民本月用水量为15 m3.故选C.]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=x e x-ax-1,则关于f(x)的零点,叙述错误的是()A.当a=0时,函数f(x)有两个零点B.函数f(x)必有一个零点是正数C.当a<0时,函数f(x)有两个零点D.当a〉0时,函数f(x)只有一个零点ACD[f(x)=0⇔e x=a+错误!,在同一坐标系中作出y=e x与y=错误!的图象,可观察出A、C、D选项错误,应选ACD.]10.设a为实数,则直线y=a和函数y=x4+1的图象的公共点个数可以是()A.0 B.1 C.2 D.3ABC[因为函数y=x4+1为定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,且函数的最小值为1,所以当a<1,a=1,a>1时,直线y=a和函数y=x4+1的图象的公共点个数分别为0,1,2.故选ABC.] 11.函数f(x)=A sin(ωx+φ)错误!的部分图象如图所示,点P,Q,R在f(x)的图象上,坐标分别为(-1,-A),(1,0),(x0,0),△PQR是以PR为底边的等腰三角形,将函数f(x)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图象,则关于g(x)的说法中正确的是()A.g(x)是偶函数B.g(x)在区间[0,4]上是减函数C.g(x)的图象关于直线x=2对称D.g(x)在[-1,3]上的最小值为-错误!ABD[由题意知T4=2,所以错误!=8,ω=错误!,作PH⊥x轴于点H(图略),则QH=2,又因为PQ=QR=4,所以A=2错误!,因为f(x)的图象过Q(1,0),所以2错误!sin错误!=0,因为|φ|<错误!,所以φ=-错误!,所以f(x)=2错误!sin错误!.易知g(x)=f(x-5)=23cos 错误!x,故选ABD.]12.已知f(x)=错误!,当a∈M时,总存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则集合M可以是() A.(-∞,0] B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)BCD[要使得g(x)=f(x)-b有两个零点,即f(x)=b有两个根,必须有y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1.①当a〉1时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意.②当a=1时,由于函数y=f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意.③当0<a〈1时,函数y=f(x)单调递增,故不符合题意.④当a=0时,函数y=f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得y=f(x)与y=b有两个交点.综上可得a∈(-∞,0)∪(1,+∞).所以应选BCD.]三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.函数f(x)=x+2x-10的零点所在区间为(n,n+1),n∈Z,则n=________.2[因为f(2)=2+4-10=-4<0,f(3)=3+8-10=1〉0, 所以f(2)f(3)<0,由函数零点存在定理知函数f(x)=x+2x-10在区间(2,3)上有零点,所以n=2.]14.用二分法研究函数f(x)=x3+ln 错误!的零点时,第一次经计算f(0)<0,f错误!〉0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.(本题第一空2分,第二空3分)错误!f错误![由于f(0)<0,f错误!〉0,故f(x)在错误!上存在零点,所以x0∈错误!,第二次应计算0和12在数轴上对应的中点x1=错误!=错误!.]15.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x0是函数f(x)=ln x-错误!的零点,则[x0]等于________.2[∵函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(2)=ln 2-1〈0,f(e)=ln e-错误!〉0,知x0∈(2,e),∴[x0]=2.]16.已知函数f(x)=错误!其中a>0,且a≠1,若函数y=f(x)-1有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3〉0,则实数a 的取值范围是________.错误![如图所示:当a〉1时,函数y=f错误!-1有2个不同的零点,不满足;当0<a<1时,不妨设x1〈x2〈x3,根据对称性知x2+x3=2,故x1〉-2.a x-1=1,故x=log a2〉-2,故0〈a〈错误!.]四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3-x2+错误!+错误!.证明:存在x0∈错误!,使f(x0)=x0.[证明]令g(x)=f(x)-x.∵g(0)=错误!,g错误!=f错误!-错误!=-错误!,∴g(0)·g错误!〈0.又函数g(x)在错误!上连续,∴存在x0∈错误!,使g(x0)=0.即f(x0)=x0.18.(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x >0时,f(x)=2 020x+log2 020x,试确定f(x)在R上的零点个数.[解]∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.因为log2 020错误!=-2,2 020错误!≈1,log2 020错误!=-1,2 020错误!〉1,∴f错误!<0,f错误!>0,∴f(x)=2 020x+log2 020x在区间错误!内存在零点.易知f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,∴f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,根据奇函数的对称性可知,函数f(x)在(-∞,0)内有且只有一个零点.综上可知函数在R上的零点个数为3.19.(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0。

高等数学第八章课后习题答案

高等数学第八章课后习题答案

第八章习题解答(2) 节8.4部分习题解答1、设22v uv u z ++= y x v y x u -=+=,,求x z ∂∂,yz ∂∂ 解:v u u z +=∂∂2 v u vz 2+=∂∂ 1=∂∂x u ,1=∂∂x v ;1=∂∂y u ,1-=∂∂yv 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xvx v u v u v u 6)(3)2()2(=+=+++y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv y v u v u v u 2)2()2(=-=+-+ 2、设v u z ln 2= y x v yxu 23,-==,求x z ∂∂,y z ∂∂解:v u u zln 2=∂∂ vu v z 2=∂∂ y x u 1=∂∂,3=∂∂x v ;2yx y u -=∂∂,2-=∂∂y v所以 x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂x v )23(3)23l n (23ln 21222y x y x y x y x v u v u y -+-=+y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂y v )23(2)23l n (22ln 2223222y x y x y x y x v u v u y x ----=-- 3、设v e z uln = 22222,2y x v y x u -=-=,求x z ∂∂,yz∂∂ 解:v e u z uln =∂∂ ve v z u =∂∂ x x u 4=∂∂,x x v 2=∂∂;y y u 2-=∂∂,y yv 4-=∂∂ 所以x z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂x u ⋅∂∂v z =∂∂xv]21)2ln(2[22ln 42222222yx y x xe v e x v xe y x u u-+-=+-y z ∂∂⋅∂∂=u z +∂∂y u ⋅∂∂v z =∂∂yv ]22)2ln(2[24ln 2222222yx y x ye v e y v ye y x u u-+--=--- 4、设y x e z 2-= 3,sin t y t x ==,求 dtdz解:y x e x z 2-=∂∂ y x e yz 22--=∂∂,t dt dx cos =,23t dt dy =, 所以dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy223c o s t te y x +-)2(2y x e --=)6(c o s 22s i n 3t t e t t -- 5、设)arcsin(y x z -= 34,3t y t x ==,求 dtdz 解:2)(11y x x z --=∂∂ 2)(11y x y z ---=∂∂,t dt dx 3=,212t dt dy =, 所以 dt dz ⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =dtdy=---22)(1123y x t 232)43(1123t t t ---6、设)23tan(22y x t z -+= t y tx ==,1,求dtdz 解:2sec 4x x z =∂∂)23(22y x t -+ 2s e c 2y yz -=∂∂)23(22y x t -+, 2sec 3=dt dz )23(22y x t -+;21t dt dx -=,tdt dy 21=, 1=dt dt 所以t dz ∂⋅∂∂=x z +dt dx ⋅∂∂y z =∂∂+t z dt dy 2s e c )23(22y x t -+]3212)1(14[2+--tt t t 2sec =)22(2t t +)42(3t -⋅ 7、设1)(2+-=a z y e u ax xz x a y cos ,sin ==,求 dx du解:=∂∂x u 1)(2+-a z y ae ax ,=∂∂y u12+a ae ax ,-=∂∂z u 12+a ae ax x dx dy cos =;x dxdzsin -=,所以 dx du ⋅∂∂=x u ⋅∂∂+y u =⋅∂∂+dx dzz u dx dy ]s i n c o s )c o s s i n ([12x x a x x a a a e ax ++-+ x e ax sin =8、设222z y xe u ++= x y z sin 2=,求x u ∂∂,yu∂∂ 解:x x u 2=∂∂222z y x e ++⋅ y yu2=∂∂222z y x e ++⋅,z z u 2=∂∂222z y x e ++⋅ x y x z cos 2=∂∂,x y yz sin 2=∂∂; 所以:x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅+∂∂=xzz u y u x u 0]cos 22[2222x zy x e z y x +++ =+=++]cos sin 22[22sin 2422x xy y x e xy y x]2sin 2[4sin 2422x y x e xy y x+=++y u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂+⋅∂∂=yz z u y u x u 0]sin 222[222x y z y e z y x ⋅+++ =⋅+=++]sin 2sin 22[2sin 2422x y x y y e xy y x]sin 21[222sin 2422x y ye xy y x+++9、设)cos(22y x y x z +++= v y v u x arcsin ,=+=,求vu zu z ∂∂∂∂∂2, 解:)sin(2y x x x z +-=∂∂,)sin(2y x y yz +-=∂∂ 1=∂∂u x ,1=∂∂v x ,0=∂∂u y211vv y -=∂∂所以)a r c s i n s i n ()(2)s i n (2v v u v u y x x uz++-+=+-=∂∂)111)(arcsin cos(222vv v u v u z -+++-=∂∂∂ 10、设,arctan y xz =v u y v u x -=+=,验证:22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂ 证明:22yx yx z +=∂∂,22y x x y z +-=∂∂,1=∂∂u x ,1=∂∂v x ,11=∂∂u y ,1-=∂∂v y所以)(122x y y x u z -+=∂∂22v u v +-=,)(122x y yx v z ++=∂∂22v u u += 故有 左边=+-=∂∂+∂∂=22vu vu v z u z 右边 11、设f 具有连续的一阶偏导数,求下列函数的一阶偏导数 (1)、)34,23(y x y x f z -+=解:设y x v y x u 34,23-=+=,于是有3=∂∂x u ,2=∂∂y u ,4=∂∂x v ,3-=∂∂yv2143f f x z +=∂∂ =∂∂yz2133f f - (2)、),(22xy e y x f z -= 解:设xy e v y x u =-=,22,于是有x x u 2=∂∂,y y u 2-=∂∂,xy ye x v =∂∂,xu xe yv=∂∂ =∂∂x z 212f ye xf xy + 212f xe yf yzxy +-=∂∂ (3)、)32,ln (y x x y f z +=解:设y x v x y u 32,ln +==,于是有x y x u =∂∂,x y u ln =∂∂,2=∂∂x v ,3=∂∂yv212f f x y x z +=∂∂ 213ln f xf yz+=∂∂ (4)、),(yxx y f z = 解:设y x v x y u ==,,于是有2x y x u -=∂∂,x y u 1=∂∂,y x v 1=∂∂,2yx y v -=∂∂ 2121f y f xy x z +-=∂∂2211f y x f x y z -=∂∂ (5)、),,(y x y x x f z -+=解:设y x v y x u -=+=,,于是有1=∂∂x u ,1=∂∂x v ,1=∂∂y u ,1-=∂∂yv321f f f x z ++=∂∂ 32f f yz -=∂∂ (6)、),,(x y z xy x f u =解:设xyz t xy s ==,,于是有y x s =∂∂,yz x t =∂∂,x y s =∂∂,zx yt=∂∂ 0=∂∂z x ,0=∂∂z s xy zt=∂∂ 321yzf yf f x u ++=∂∂ 32z x f xf yu+=∂∂ 3xyf z u =∂∂ 12、设)(u f 具有连续的导数,)(xyxf xy z += 验证:z xy yz y x z x+=∂∂+∂∂ 验证:)])(()([2xy x y f x x y f y x x z x-'++=∂∂)()(x y f y x y xf xy '-+= ='+=∂∂)])(([xyx y f x x y y z y)(x y f y xy '+左边==+=+=∂∂+∂∂z xy xyxf xy y z y x z x)(2右边 13、设)(22y x f z +=,)(u f 具有二阶连续的导数,求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22y z∂∂ 解:设22y x u +=有1f u z=∂∂ 1122f u z =∂∂ x x u 2=∂∂ 222=∂∂x u 0=∂∂∂y x u y y u2=∂∂ 222=∂∂yu 12xf x z =∂∂ x xf f x z 22211122+=∂∂112142f x f += 11112422xyf y xf yx z ==∂∂∂ 12yf y z=∂∂ 11212242f y f yz +=∂∂ 14、设f 具有二阶连续的导数,求,,222y x z x z ∂∂∂∂∂,22yz∂∂(1)、),(xy y x f z += 解:设xy v y x u =+=,有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z =∂∂ 2222f v z =∂∂ 1=∂∂x u 022=∂∂x u 02=∂∂∂y x u 1=∂∂y u 022=∂∂y u y x v =∂∂ 022=∂∂x v 12=∂∂∂y x v x y v =∂∂ 022=∂∂yv 于是有:22222)(xv v z x u u z z v y u x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f y yf f ++=y x vv z y x u u z z v x u v y u y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂222))((2221211)(f xyf f y x f ++++= 22222)(y vv z y u u z z v x u yz ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22212112f x xf f ++= (2)、),(yxxy f z =解:设yx v xy u ==, 有1f u z =∂∂ 1122f u z =∂∂ 122f v u z =∂∂∂ 2f v z=∂∂ 2222f v z =∂∂ y x u =∂∂ 022=∂∂x u 12=∂∂∂y x u x y u =∂∂ 022=∂∂yu y x v 1=∂∂ 022=∂∂x v221yy x v -=∂∂∂ 2y x y v -=∂∂ 3222y x y v =∂∂ 于是有:22222)1(x v v z x u u z z v y u y x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2221211212f y f f y ++=yx vv z y x u u z z v y x u x v y u y y x z ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂2222))(1(221223111f y f f y x xyf -+-+=222222)(y v v z y u u z z v y x u x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂232242122211222f y x f y x f y x f x ++-=。

高等数学练习册第八章习题参考答案(1)

高等数学练习册第八章习题参考答案(1)

解 令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
C
(2)曲线弧C的重心坐标为
xG
1 x( x, y)ds
MC
,yG
1 y( x, y)ds .
MC
p51.2.设光滑曲线L关于x轴对称, L1是L在x轴上方的部分, (1)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为奇函数,则Biblioteka f ( x, y)ds 0 ; L
(2)若f ( x, y)在L上连续,且关于y为偶函数,
(1)当p点从点A(a , 0)经位于第一象限的弧段到 B(0,b)时, F所作的功;
(2)当p点经过全椭圆时,F所作的功.
p56. 解 F | F | F 0 x2 y2 ( x , y ) x2 y2 x2 y2
( x, y),
(1) W F d s ( x)dx ( y)dy
0
22
a2
2
| cos
t
| dt
2a 2
2 cos udu 2a2 .
20
2
0
p52. 3.计算 | xy | ds,其中L :圆周x2 y2 a2. L
解法1
I 4
2
a3
sin t

高等数学李伟版课后习题答案第八章.

高等数学李伟版课后习题答案第八章.

习题8—1(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)一个点集的内点一定属于,其外点一定不属于,其边界点一定不属于,其聚点一定属于;(2)开集的所有点都是其内点,开集也称为开区域;(3)一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心,适当长的线段为半径的圆内;(4)考查二元函数的定义域时,应从两方面去考虑:用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的所对应的点的集合(自然定义域).对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集;(5)当沿某一条曲线趋于时,函数的极限存在,并不能说明极限存在,但如果当沿某一条使函数有定义的曲线趋于时,函数的极限不存在,则一定不存在;(6)为说明极限不存在,通常也采取用当沿两条不同曲线趋于时,函数的极限不相等的方法;(7)如果函数在点连续,点必须是函数定义域的内点;(8)若是二元函数的间断点,那么一定不存在.答:(1)前两者都正确,这是根据内点、外点的定义;后两者都不正确,无论是边界点还是聚点它们都可以是的点,也可以是非的点,如当是闭集是,的边界点是的点当是开集时的边界点就不是的点;又如点是集合的聚点,但是它不是的点.(2)前者正确,这是有开集定义决定的;后者不正确,连通的开集才是开区域,不连通的开集不是开区域,如是开集,但是不是开区域.(3)正确,这就是有界集的定义.(4)正确,求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域,要从以下几个方面考虑:①分式中分母不能为零,②开偶次方底数要大于等于零,③对数中真数要于零,④、中要求,⑤若干个式子的四则运算中,取每个式子有意义的交集,等等.(5)两者都正确,如:不存在,但是沿取极限时值为1;后者是由极限的定义决定.(6)正确,这是证明多元函数极限不存在的基本方法,它源于在中,是以(定义域内的)任意方式实现的.(7)不正确.如:在点连续,但是点不是函数定义域的内点.(8)不正确.如:点是函数的间断点,但是极限.2.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并分别指出它们的聚点所组成的集合(称为导集,用表示)和边界:(1);(2);(3);(4).解:(1)是有界闭区域,其导集,其边界.(2)是非开非闭的有界区域,其导集,其边界.(3)是无界区域,其导集,.(4)是有界开集(不是区域),其导集,其边界.3.设函数,求,.解:,.4.设函数,求.解:.5.设函数,已知时,,求及的表达式.解:由时,,有,即,所以;而.6.设函数,求的表达式.解:(方法1)因为,所以.(方法2)令,则,于是,所以.7.求下列各函数的定义域,并作定义域草图:(1);(2);(3);(4).解:(1)由且,得定义域.(2)由及,有,得定义域.(3)由,有,得定义域.(4)由,有,或,得定义域.8.求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1).(2).(3).(4)因为有界,而,所以.(5).(6).9.证明下列极限不存在:(1);(2).证明:(1)沿取极限,则,当取不同值时,该极限值不同,所以极限不存在.(2)先沿取极限,则;再沿取极限,则,由于沿两种不同方式取极限其极限值不同,所以极限不存在.10.找出下列函数的间断点的集合:(1);(2);(3).解:三个函数都是初等函数,找间断点只需找函数无定义的点,并且这些点又是定义域的聚点.(1)函数只在点无定义,且是定义域的聚点,所以断点的集合.(2)函数在圆周上无定义,且圆周上的点都是定义域的聚点,所以断点的集合.(3)函数的定义域,函数在及上无定义,这些点中只有,及()是定义域的聚点,所以断点的集合.习题8—1(B)1.某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售,销售价格分别为(单位:元),两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数,当售价为10元时,销售量分别为2400、850件,当售价为12元时,销售量分别为2000、700件.如果生产该产品的成本函数是,试用表示该厂生产此产品的利润.解:根据已知,设,由时,;时,,有得,于是.由时,;时,,有得,于是.两个市场销售该产品的收入为,该产品的成本.根据利润等于收入减去成本,得.2.设函数求函数值.解:当时,则,于是;当时,则,于是.3.求函数的定义域.解:由,有且,即且,或写作且;或且,即且,或写作且,所以定义域.4.求下列极限:(1);(2);(3);(4).解:(1)令,则当时,,所以.或者:因为时,与是等价无穷小,所以.(2).(3)令,则当时,(其中在区间内任意变化),所以.(4)因为,而,,根据“夹逼准则”得.5.证明极限不存在.证明:先沿取极限,,再取极限,,由于沿两种不同方式取极限其极限值不同,所以极限不存在.6.讨论函数的连续性.解:当时,是连续函数.当时,满足的点是轴上点或轴上点,对轴上点,极限,这些点是函数的连续点.对轴上点(除去),当时,极限不存在(极限不是零,震荡),所以这些点是间断点.综上,函数在点()处不连续,其余点处都连续.习题8—2(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)极限既是的一元函数在点处的导数,也是二元函数在点处对变量的偏导数;(2)二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件;(3)二元函数的两个二阶混合偏导数与只要存在就一定相等.答:(1)正确,这是根据导数与偏导数的定义.(2)不正确,例如函数在点处连续,但是都不存在.事实上:因为不存在,所以不存在;由变量的对称性得,也不存在.(3)不正确.还需要与连续,否则它们不一定相等,如函数在点处,,从而.事实上,,特别,,特别,,.2.求下列函数对各个自变量的一阶偏导数:(1)();(2);(3);(4);(5)();(6);(7);(8);(9);(10).解:(1)将函数改写为,则,.(2),.(3),.(4),.(5),.(6),.(7),.(8),由变量的对称性,得.(9),,.(10),,.3.求下列函数在指定点的偏导数:(1)设,求及;(2)设,求及.解:(1)在时,将函数改写为,则,,.(2)因为,所以,因为,所以.4.求曲线在点处的切线与轴正向的夹角.解:,,用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角,则,所以.5.求下列函数的高阶偏导数:(1)设,求,,和;(2)设,求,和;(3)设,求,和.解:(1),,,,,,.(2),,,,,.(3),,,,.6.设函数,求,和.解:因为,则,因为,则,.7.设函数,证明.证明:因为,所以.8.设函数,证明.证明:因为,所以.9.设函数,证明.证明:因为,,,,,,所以.10.若函数都可导,设,证明.证明:因为,,,所以.习题8—2(B)1.设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数,如果该函数存在偏导数,称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性.如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的价格有关,为,当,时,求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性.解:由,,有,,当,时,需求对价格的弹性:,需求对价格的交叉弹性:.2.已知满足,证明.证明:由,有,由,有,由,有,得.3.设函数,证明.证明:将函数改写为,则,,由变量的对称性,有,,所以.4.设函数满足,且,,求.解:由,两边同时对求不定积分,有,用代入该式,有,根据条件,得,于是.上式两边同时再对求不定积分,有,由条件,得,所以.5.设函数,求及.解:,(或由变量的对称性求得).6.设函数证明在点处的两个偏导数都不存在.证明:因为极限不存在,极限不存在,所以在点处的两个偏导数都不存在.习题8—3(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)称函数在可微分,如果在这一点函数的两个偏导数都存在,并且,其中为函数在点的全增量,;(2)函数在一点可微分,它在这点必连续;(3)函数在一点可微分的充分必要条件是,在这点的偏导数都存在;(4)函数在一点的偏导数连续,能保证在这点附近曲面可以用平面来近似替代,其中.答:(1)正确,可微的必要条件是两个偏导数存在,且,再根据,有,即.,这就是函数可微的定义.(2)正确,事实上,由可微,根据定义有,于是,这表明函数在该点连续.(3)不正确,偏导数存在仅仅是可微的必要条件,而不是可微的充分条件,如函数在两个偏导数都存在且等于零(习题8-2(B)5),但是函数在不可微.事实上,若可微,则,但是不存在(分别沿、取极限,其值为0及),这与矛盾,所以函数在不可微.函数可微的充分条件是偏导数在该点连续.(4)正确,若记,则,由此得,这表明在点附近曲面可以用平面来近似替代,这就是所谓的局部线性化.2.求下列函数的全微分:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解:(1)因为,,所以.(2)因为,,所以.(3)因为,,所以.(4)因为,,所以(5)因为,,,所以.(6)因为,,,所以.3.当,时,求函数的全微分和局部线性化.解:因为,,,,所以,而,.4.当,,,时,求函数的全增量及全微分.解:,,,,当,,,时:全增量,全微分.习题8—3(B)1.一个圆柱形构件受压后发生形变,它的半径由cm增加到cm,高由cm减少到cm,求此构件体积变化的近似值.解:设构件的高为、底半径为、体积为,则.,,于是,当时,(,即体积大约减少了628 (.2.计算的近似值.解:考虑函数,取,而,,、、,则.3.设函数在点的某个邻域内可微,且,其中,求函数在点处的全微分及局部线性化.解:在中,令,得.在点考虑函数的全增量:,(其中)根据全微分的定义,有,并且得..4.设函数在点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性.解:因为,,所以在点处函数的两个偏导数都存在,且.再讨论可微性,函数在处的全增量用表示,则,记,则不存在(沿取极限,其值为;沿取极限,其值为),所以函数在点处不可微.进而得偏导(函)数在点处不连续(若偏导(函)数在点处连续,根据可微的充分条件,则函数一点可微,与函数不可微矛盾).习题8—4(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)对多元复合函数来说,欲求其对自变量的偏导数,借助于树形图比较方便.不论中间变量是几元函数,最终求出的偏导数所含的项数等于从因变量到达该自变量的路径数目,某一项有几个因式,取决于与该项相对应的路径中所含有的线段数目;(2)对于可微的复合函数,,对于的偏导数;(3)利用全微分形式的不变性,对一个多元复合函数来说可以先求其全微分,最后再得出该复合函数对各自变量的偏导数.答:(1)正确,这是复合函数的链式求导法则决定的,如若函数由函数复合而成,复合函数的树形图为右图,而在图中我们可以看到从变量到变量有四条路径,由此导数公式中有四项之和,而每一项中(如第一项)偏导数或导数的个数(3个)等于这条路径上从到段数(3段).(2)不正确,左、右式中的含义不同,左式中表示对自变量求导,它涉及图中三个,而右式中的仅表示对中间变量(一)求导,(当某一个变量在复合函数中有双重身份,既是自变量又是中间变量时会出现这种记号混淆情况),为了与左式中区别,此处应当用记号(同时分别用)表示,即写作.(3)正确,即若某个复合函数的全微分是(通常这个全微分是由微分法则与微分形式不变性求得),则、,这是多元复合函数求偏导数的方法之一.2.设函数,而,,求.解:(方法1)函数的复合关系如图,则.(方法2)消去中间变量,有,按一元函数求导,得.(注:具体函数的复合函数都有以上两种方法,并且方法2简单,但是本节的目的在于练习复合函数链式求导方法,所以后面只用方法1求导)3.设函数而是的可微函数,求.解:.4.设函数,而,求.解:.5.设函数,而,,求和.解:,.6.设函数,求和.解:这是幂指函数求导,为方便求导,将它写作复合函数,为此令,则,.(注:可以由变量的对称性直接写出)7.求下列函数的一阶偏导数(其中函数具有一阶连续的偏导数或导数):(1);(2);(3);(4).解:(1),.(2),.(3),.(4),,.8.设函数,其中是可微函数,证明.证明:因为,,所以.9.设函数,其中是可微函数,证明.证明:因为,,所以.10.用微分形式不变性求函数的偏导数和.解:令,则,则根据微分法则与微分形式不变性,得所以,,.习题8—4(B)1.在解偏微分方程(含有未知函数的偏导数的方程,也称为数理方程)时,常常要用变量代换将一个复杂的方程化为一个简单的方程,从而可以求其解.设具有二阶连续偏导数,若用变量代换将偏微分方程化为,求的值.解:,,,,.由,有,即,要化为,必须,且,由,即,得或,但是由,所以只能是.2.设有一阶连续偏导数,且满足,,,求.解:令,等式两边同时对求导,有,(*)由于,,则(*)式化为,所以.3.若函数有二阶导数,且,又函数满足方程,求.解:令,则,于是,,,,由,有,即,这是二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程是,特征根为,方程的通解是,,由条件,有,,得,所求所求函数是.4.若函数可微,且对任何正实数有,证明.证明:等式两边同时对导,则,记,则上式为,令,得,将该式中的分别用表示,则,即.5.求下列函数的二阶偏导数(其中函数具有二阶连续偏导数):(1);(2);解:(1),,,,.(2),,,,.6.设,其中函数、有二阶导数,求、及.解:,,,,.7.设,其中函数、有二阶导数,证明.证明:因为,,.所以.习题8—5(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)要使方程确定一个隐函数,如果将定理5.1中的条件换为而其它不变,则该方程仍能确定一个隐函数;(2)如果函数满足类似于定理5.1的条件,对各个自变量有连续偏导数,且对某个变量的偏导数不为零,则元方程可以确定一个具有连续偏导数的元函数;(3)若按照教材中的说法,一个方程组可以确定一组多元函数.那么函数的个数等于方程组中方程的个数,函数的元数等于方程中所含变量的总个数减去方程的个数;(4)若方程组能确定两个二元隐函数那么通过对该方程组中的各个方程的两边对同一个变量求导,就可以得到含有的方程组,通过解这个方程组,就可以求得.答:(1)不正确,如方程(其中),在点处有,但是它不能确定一个隐函数,因为在这点左侧附近给定一个对应有两个值,在这点右侧附近没有值对应;当且其它条件不变时,可以确定一个一元函数.(2)正确,这是定理5.1的推广.(3)正确,但是要注意两点,一是变量的个数需大于方程的个数(否则方程组可能只确定一点,或者无解);二是要满足隐函数存在的条件(超出教学要求,此处略去).(4)正确,如同例5.4、例5.5等的解法.2.若函数分别由下列方程确定,求.(1);(2);(3);(4).解:(1)(方法1)设,则,所以(方法2)方程两边同时对求导,有,解得.(注:两种方法最大的差别在于:方法1中在求时都看作自变量,而方法2在求导过程中要看作的函数.尽管方法1简单一些,但是它有局限性,只适用于求一个方程确定的隐函数的一阶导数或偏导数,而方法2适用于各类隐函数的各阶导数或偏导数的求法,后面一般都按方法2作)(2)方程两边同时对求导,有,解得.(3)方程两边同时对求导,有,得.(4)方程两边取对数,有,该式两边同时对求导,有,即,解得.3.设函数分别由下列方程确定,求.(1);(2).解:(1)方程两边同时对求导,有,得,.(2)方程两边同时对求导,有,解得,.4.若函数分别由下列方程确定,求及.(1);(2);(3);(4).解:(1)(方法1)设,则,所以.(方法2)方程两边对求导,有,得,方程两边对求导,有,得.(以下都按方法2作)(2)方程两边同时对求导,有,得,方程两边同时对求导,有,得(或由变量的对称性,得).(3)方程两边对求导,有,即,而,所以,得,由变量对称性有.(4)方程改写为,方程两边对求导,有,得,方程两边对求导,有,得.5.若函数,,都是由方程确定的隐函数,其中有一阶连续非零的偏导数,证明.证明:因为,所以.6.设函数,而函数由方程确定,求全导数.解:方程两边同时对求导,有,得,.7.设函数,而函数、分别由方程及确定,求全导数.解:方程两边同时对求导,有,得,方程两边同时对求导,有,得,所以.8.设函数,而由方程确定,求.解:方程两边同时对求导,有,用、代入,有,得.于是,所以.习题8—5(B)1.某工件的外表面是一个椭球面,方程由给出,现在点处要将其局部线性化(即做一个切平面),求局部线性化表达式.解:设方程在点确定的隐函数为,方程两边对求导,有,用、代入,有,得,由变量对称性,得.所以.2.若函数由方程确定,求.解:方程两边对求导,有,得,由变量的对称性,得.等式两边同时对求导,有,即所以.或.3.若函数由方程确定,其中是可微函数,求、.解:方程两边同时对求导,有,解得,方程两边同时对求导,有,解得.4.若函数由方程确定,其中是可微函数,证明.证明:方程两边同时对求导,有,得,方程两边同时对求导,有,得,所以.5.设函数,而由方程确定,其中函数连续,、可微,且,求.解:方程两边对求导,有,得,方程两边对求导,有,得.,所以.6.求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数:(1)求和.(2)求及.解:(1)方程组两边同时对求导,有消去,有,得,而.(2)方程组两边同时对求导,有(1)(2),有,得,再代入到(2)之中得.方程组两边同时对求导,有与前面解法类似,得,.习题8—6(A)1.判断下列论述是否正确,并说明理由:(1)如果曲线的参数方程为(),那么它就对应一个向量值方程若存在并且不同时为零,那么,曲线在相应点处的切向量为,由此利用直线的点向式方程就可写出该点处的切线方程;(2)求曲线的切线方程与法平面方程的关键是求切向量,而其中又以参数方程为基础,其它形式的曲线方程都划归为参数方程,找出相应的切向量,然后写出要求的方程;(3)曲面的切平面方程是以曲面的一般方程为基础进行讨论的,如果曲面方程为的形式,那么必须把它化为的形式,其中,因而它在点处的法向量一定为,切平面方程为:;(4)如果曲线为一般方程那么,曲线在点的切向量可取为.答:(1)正确,这就是曲线为参数方程时,切线方向向量的求法.此时切线方程为;法平面方程为.(2)正确,对参数方程,在处的切向量;对形如的取向方程,将变量看作参数,在处的切向量对一般方程按隐函数它可以确定两个一元函数,如,按隐函数求导方法得到,从而得在处的切向量.(3)不确切,曲面的法向量可以直接由给出,也可以由给出.(4)正确,设曲面在点处的法向量为,曲面在点处的法向量为,根据法平面的定义有,于是可取.2.空间一质点在时刻时的位置为,求质点在时刻的速度.解:.3.求曲线在点处的切线及法平面方程.解:点对应参数为,切向量,切线方程为,法平面方程为,即.4.求曲线,在对应于的点处的切线及法平面方程.解:切点为,切向量,切线方程为,法平面方程为,即.5.求曲线在点处的切线及法平面方程.解:,切向量,切线方程为,法平面方程为,即.6.求曲线在点处的切线及法平面方程.解:设,则切向量,切线方程为,法平面方程为,即.7.求曲面在点处的切平面及法线方程.解:设,则法向量,切平面方程是,即,法线方程是.8.求曲面在点处的切平面及法线方程.解:法向量切平面方程是,即,法线方程是.习题8—6(B)1.求曲线()上平行于平面的切线方程,并写出该点处的法平面方程.解:设切点坐标为,该点对应参数,曲线在该点的切向量为,由切线与平面平行,有,得,即,由于,所以.切点坐标为,切向量,切线方程为,法平面方程为,即.2.在椭球面上求平行于平面的切平面方程.解:设切点坐标为,,则法向量,由切平面平行于平面,有,即,代入到曲面方程之中,有,得,切点为或,在点,切平面为,即;在点,切平面为,即.3.问旋转抛物面上哪一点处的切平面过曲线,,在点处的切线.解:设切点坐标为,则法向量,切平面方程为,即.曲线,,在点对应参数,曲线在点处的切向量.由在曲面上,有.①由切平面过,有.②曲线,,在点处的切线在切平面上,有所以,即.③由方程①、②、③式解得或,于是所求点为或.4.证明二次曲面在点处的切平面方程为:.证明:设,则曲面在的法向量。

八下函数的图象习题(含答案和解析)

八下函数的图象习题(含答案和解析)

函数的图象习题1. 在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下表是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的几组对应(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的关系式.(3)当所挂重物为3 kg 时,弹簧有多长?不挂重物呢?(4)若弹簧的长度为30 cm 时,所挂重物的质量是多少?(在弹簧的允许范围内).【答案】解:(1)上述表格反映了弹簧的长度y cm 与所挂物体的质量x kg 这两个变量之间的关系.其中所挂物体的质量x kg 是自变量,弹簧的长度y cm 是因变量.(2)设弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)的关系式为y = kx + b,将x = 0,y = 18;x = 1,y = 20代入得:k = 2,b = 18,∴y = 2x + 18.(3)当x = 3时,y = 24;当x = 0时,y = 18.所以,当所挂重物为3 kg 时,弹簧有24 cm 长;不挂重物时,弹簧有18 cm 长.(4)把y = 30代入y = 2x + 18,得出:x = 6,所以,弹簧的长度为30 cm 时,所挂重物的质量是 6 kg.【解析】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识,解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式.(1)上述表格反映了弹簧的长度y cm 与所挂物体的质量x kg 这两个变量之间的关系.其中所挂物体的质量x kg 是自变量,弹簧的长度y cm 是因变量;(2)设y = kx + b,然后将表中的数据代入求解即可;(3)从图表中直接得出当所挂重物为3 kg 时,弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度;(4)把y = 30代入(2)中求得的函数关系式,求出x 的值即可.2. 等腰三角形中,周长为18 cm,设底边为x,腰长为y,(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)求自变量x 的取值范围;(3)在平面直角坐标系中画出函数的图象.【答案】解:(1) ∵等腰三角形周长为18 cm,底边为x cm,腰长为y cm,∴y= 9 − 12 x;(2) ∵两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,∴{18 − x > x x > 0 ,解得:0 < x < 9;(3)y= 9 − 12 x(0 < x < 9).∵x = 9,y = 4.5,x = 0,y = 9,∴如图所示:【解析】此题考查了等腰三角形的性质以及画函数的图象,画图象时要注意自变量的取值范围.(1)根据等腰三角形的性质可得y= 9 − 12 x;(2)根据两边之和大于第三边两边之差小于第三边,得0 < x < 9;(3)画函数图象注意取值范围.3. 图1 中的摩天轮可抽象成一个圆,圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图 2 所示,根据图中的信息,回答问题:(1)根据图2 补全表格:(2)如表反映的两个变量中,自变量是______,因变量是______;(3)根据图象,摩天轮的直径为______m,它旋转一周需要的时间为___min 【答案】(1)70 54 (2)旋转时间x 高度y (3)65 6【解析】解:(1)由图象可知,当x = 3时,y = 70,当x = 8时,y = 54,故答案为:70;54;(2)表反映的两个变量中,自变量是旋转时间x,因变量是高度y;故答案为:旋转时间x;高度y;(3)由图象可知,摩天轮的直径为:70 − 5 = 65 m,旋转一周需要的时间为6 min.故答案为:65;6.【分析】(1)根据图象得到x = 3和x = 8时,y 的值;(2)根据常量和变量的概念解答即可;(3)结合图象计算即可.本题考查的是函数的概念与图象,正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题的关键.。

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

(完整版)《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1.________________ )sin(==dz xy z 则,设 2.设),cos(2y x z =,则=∂∂)2,1(πxz3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为4.设xy e z =,则=dz5.设y zln z x =,则=∂zxz 二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233,,,,的极小值点为,函数、y x y x y x f --+=2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x''、存在是),(y x f 在该点连续的( ).(a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xy x y x f +=,则=())1,1(-'x f . (A ),31 (B ),31- (C ),65 (D ).65-三、计算题方程。

处的切线方程与法平面,,在点求曲线、)1 2 1(2 132⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,yz x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222z y xe u ++=而y x z sin 2=,求xu ∂∂. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。

6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 21-),求xz∂∂和y z ∂∂. 8、yf x f e y x f xy ∂∂∂∂=) ,( 3,,求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、yz x z xy x y z ∂∂∂∂=和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz xyz f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求有连续的一阶偏导,所确定,其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题1.在平面xoy 上求一点),(y x M ,使它到三条直线,,00==y x 01=++y x 的距离平方和为最小,并求其最小值。

第五到八章习题集答案及课后习题答案

第五到八章习题集答案及课后习题答案

习题集答案(后附课后习题答案)第五章函数一、选择题:1. 答案:B分析:在C语言中,函数可以在任何地方出现,而main函数作为函数中的一类,没有特殊的限制和要求,故也可以在任何地方出现。

2. 答案:B分析:C语言默认规定3.答案:D分析:选项A中”abc”和C中的’65’是一个字符串,而形参要求的是单个字符不符合要求,选项B是一个赋值语句,而fun函数没有返回值,所以不符合要求,只有选项D正确,将32传给ch字符变量,那么32就相当于是ASCII码值。

4.答案:A分析:sin(1/2)会当作sin(0)处理。

实参的类型决定了重载函数的选择。

5.答案:D分析:函数的调用不可以作为一个函数的形参。

6.答案:D分析:fun(a,b)的作用是返回a、b中较大的。

fun(x,y)=fun(3,8)=8, r=fun(fun(x,y),2*z)=fun(8,12)=127.答案:C分析:f1(x,y)的作用是返回x、y中较大的,f2(x,y)的作用是返回x、y中较小的。

d=f1(a,b)=f1(4,3)=4d=f1(d,c)=f1(4,5)=5e=f2(a,b)=f2(4,3)=3e=f2(e,c)=f2(3,5)=3此时各值为a=4,b=3,c=5,d=5,e=3,f=a+b+c-d-e=4。

所以答案d, f , e为5, 4, 38.答案:A分析:c程序的基本单位是函数。

函数中不可以嵌套定义函数。

main()函数可以放在任意位置。

被调用的函数只要在调用之前说明了即可。

9.答案:B分析:fun(x,y)的作用是求x、y的和。

fun(a+c,b)=a+c+b=15,(int)fun(a+c,b)=(int)15=15。

fun((int) fun(a+c,b),a-c)=fun(15,-6)=9。

10.答案:D分析:fun(x,y)的作用是选择x,y里面较小的一个。

fun(9,8)=8,fun(8,7)=7;fun(fun(a,b),fun(b,c))=fun(8,7)=711.答案:C分析:fun1(a)=a2,fun2(x,y)=(int)(fun1(x)+fun1(y))=(int)( x2+ y2),所以fun1(1.1,2.0)=(int)(1.21+4.0)=(int)5.21=5由于w是double型的,所以w的值为5.0。

第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题共7页word资料

第八章  多元函数的微分法及其应用  练习题共7页word资料

第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1.已知22),(y x xyy x f -=+ ,则f(x,y)= 。

2.函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。

3.11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1. 如果P 沿任何直线y=kx 趋于(0,0),都有A P f kxy x ==→)(lim 0,则A y x f y x =-→→)(lim 00。

( )2. 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

( )3. 下面定义域的求法正确吗?)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解:012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1. 有且仅有一个间断点的函数是( )(A )、x y (B )、)22ln(y x e x +- (C )、yx x+ (D )、arctanxy 2.下列极限存在的是( ) (A )、y x x y x +→→00lim(B )、y x y x +→→1lim 00 (C )、y x x y x +→→200lim (D )、y x x y x +→→1sin lim 00四、求下列函数的定义域,并画出定义域的图形。

1.y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3.)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z 五、求下列极限,若不存在,说明理由。

1.22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1limy x y x y x ++-→→3.y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1. 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处,xf ∂∂存在,则一元函数f(x,y 0)在(x,y 0)处连续。

C语言课后习题答案第八章

C语言课后习题答案第八章

作业八:函数程序设计答案〔一〕选择题〔30分〕1.以下正确的函数定义形式是A__。

A)double fun(int x,int y)B)double fun(int x;int y)C)double fun(int x,int y);D)double fun(int x,y);2.以下正确的函数形式是D__。

A)double fun(int x,int y){ z=x+y; return z; }B)fun(int x,y){ int z; return z; }C)fun(x,y){ int x,y; double z; z=x+y; return z; }D)double fun(int x,int y){ double z; z=x+y; return z; }〔重要〕3.以下正确的说法是A__。

在C语言中A〕实参和及其对应的形参各占用独立的存储单元B〕实参和及其对应的形参共占用一个存储单元C〕只有当实参和及其对应的形参同名时才共占用存储单元D〕形参是虚拟的,不占用存储单元4.假设调用一个函数,且此函数中没有return语句,那么正确的说法是D__。

该函数A〕没有返回值B〕返回假设干个系统默认值C〕能返回一个用户所希望的函数值D〕返回一个不确定的值〔重要〕5.以下不正确的说法是B__。

C语言规定A〕实参可以是常量、变量或表达式B〕形参可以是常量、变量或表达式C〕实参可以为任意类型D〕形参应及其对应的实参类型一致6.C语言规定,简单变量做实参时,它和对应形参之间的数据传递方式是B__。

A)地址传递B)单向值传递C)由实参传给形参,再由形参传回给实参D)由用户指定传递方式7.以下程序有语法性错误,有关错误原因的正确说法是C__。

main()int G=5,k;void Prt_char();k=Prt_char(G);A)语句void prt_char();有错,它是函数调用语句,不能用void说明B)变量名不能使用大写字母C)函数说明和函数调用语句之间有矛盾D)函数名不能使用下划线8.C语言允许函数值类型缺省定义,此时该函数值隐含的类型是B__。

苏科版八年级上册 第8章 一次函数——一次函数的应用压轴提优复习1(含答案)

苏科版八年级上册 第8章 一次函数——一次函数的应用压轴提优复习1(含答案)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。

——高斯一次函数的应用压轴提优复习1一、基础练习:1、如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为,正方形除去圆部分的面积为(阴影部分),则与的大致图象为( A)2、如图所示,函数y1=|x|和y2=13x+43的图象相交于(-1,1),(2,2)两点,当y1>y2时,x的取值范围是( D)A.x<-1 B.-1<x<2 C.x>2 D.x<-1或x>23、如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为( C)A.(0,0)B.(,)C.(-,-)D.(-,-)4、x满足,对任意一个中的较大值用表示,则的最小值是( A )A、3B、5C、7D、25、函数的图像在轴上的截距是,则.6、函数的图像经过第一、二、三象限,则的取值范围是.7、“一根弹簧原长10 cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比,当质量为3千克时,弹簧的长度为11.5cm,则弹簧的总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式是8、直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线;直线y=21x向右平移2个单位得到直线;直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线;直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线;直线232-=xy先向下平移2个单位,再下右平移3个单位得到直线9、如图,直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0),…直线l n⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,…l n分别交于点A1,A2,A3,…A n;函数y=2x的图象与直线l1,l2,l3,…l n分别交于点B1,B2,B3,…B n.如果△OA1B1的面积记作S1,四边形A1A2B2B1的面积记作S2,四边形A2A3B3B2的面积记作S3,…四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作S n,那么S2014=__________.t S S t2222-212122221205,2,25x y x y x≤≤=+=-+12,,x y y m m2y x k=+-y5k=(12)y k x k=-+k二、一次函数的应用:1、点A 、B 、C 、D 的坐标如图,求直线AB 与直线CD 的交点坐标.2、正比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(m,2), 一次函数图像经过点B , 与y 轴的交点为C 与轴的交点为D . (1)求一次函数解析式;(2)求C 点的坐标;(3)求△AOD 的面积。

c语言程序设计第五版课后答案谭浩强第八章课后答案

c语言程序设计第五版课后答案谭浩强第八章课后答案

c语⾔程序设计第五版课后答案谭浩强第⼋章课后答案c语⾔程序设计第五版课后答案谭浩强习题答案第⼋章善于利⽤指针本章习题均要求使⽤指针⽅法处理。

1. 输⼊3个整数,要求按由⼩到⼤的顺序输出。

解题思路:先获取到三个变量的地址,然后获取三个数据,通过指针进⾏⽐较转换即可答案:#include <stdio.h>void swap(int *p_a, int *p_b){int temp = *p_a;*p_a = *p_b;*p_b = temp;}int main(){int a, b, c, *p_a = &a, *p_b = &b, *p_c = &c; // 获取每个变量空间的地址printf("Please enter three numbers:");scanf_s("%d%d%d", p_a, p_b, p_c);if (*p_a > *p_b) {swap(p_a, p_b);//通过指针进⾏指向空间内的数据交换}if (*p_a > *p_c) {swap(p_a, p_c);}if (*p_b > *p_c) {swap(p_b, p_c);}printf("%d %d %d\n", *p_a, *p_b, *p_c);system("pause");return 0;}2. 输⼊3个字符串,要求按由⼩到⼤的顺序输出。

解题思路:字符串的⽐较可以使⽤strcmp函数,返回值>0表⽰⼤于,返回值⼩于0表⽰⼩于,返回追等于0表⽰相同。

其他的⽐较排序思路与数字的排序交换没有区别,逐个进⾏⽐较先找出最⼤的,然后找出第⼆⼤的。

答案:#include <stdio.h>int main(){char str[3][32];char *p[3];printf("Please enter three strings:");for (int i = 0; i < 3; i++) {p[i] = str[i];scanf_s("%s", p[i], 32);//后边的数字限制缓冲区边界,防⽌缓冲区溢出访问越界}//让p[0]和p[1]/p[2]分别进⾏⽐较,找出最⼤的字符串,i+1之后,则让p[1]和p[2]进⾏⽐较,找出第⼆⼤//i循环总个数-1次,最后⼀个是不需要⽐较的for (int i = 0; i < 2; i++) {for (int j = i + 1; j < 3; j++) {if (strcmp(p[i], p[j]) > 0) {char *tmp = p[i]; p[i] = p[j]; p[j] = tmp;}}}printf("%s %s %s\n", p[0], p[1], p[2]);system("pause");return 0;}3. 输⼊10个整数,将其中最⼩的数与第⼀个数对换, 把最⼤的数与最后⼀个数对换。

高等数学课后习题答案第八章3

高等数学课后习题答案第八章3

第八章习题解答(3)节8.5部分习题解答1、下列方程确定了)(x f y =,求dxdy,(1)、0sin 2=−+xy e y x 解:设=),(y x F 0sin 2=−+xy e y x ,2y e x F x −=∂∂;xy y yF2cos −=∂∂(2)、xyy x arctanln 22=+解:设=),(y x F xy y x arctanln 22−+,=−+−+=∂∂)()(112222x y x y y x x x F 22y x yx ++;=∂∂y F =+−+)1((11222x xy y x y 22y x xy +−;yx y x F F dx dy y x −+=−=(3)、xy y x =解:设x y y x y x F −=),(,)ln (1ln 1y x y x x y y yx x F y x y −=−=∂∂−)ln (1ln 1x x y x yxy x x y F y x y −=−=∂∂−;y x F F dx dy −=)ln ()ln (x x y x y y x y −−=(4)、1=+y e xy 解:设1),(−+=y e xy y x F ,y x F =∂∂y e x yF+=∂∂;y x F F dx dy −=ye x y +−=2、下列方程确定了),(y x f z =,求x z ∂∂yz ∂∂(1)、0=−xyz e z 解:设=),,(z y x F xyz e z −,yz F x −=zx F y −=xy e F z z −=;x z ∂∂z x F F −=xye yzz −=y z ∂∂z y F F −=xye zxz −=(2)、333a xyz z =−解:设=),,(z y x F 333a xyz z −−,yz F x 3−=zx F y 3−=xy z F z 332−=;x z ∂∂z x F F −=xyz yz−=2y z ∂∂z y F F −=xye zx−=2(3)、122=+−z e yz y x 解:设=),,(z y x F 122−+−z e yz y x ,xy F x 2=z x F y 22−=z z e y F +−=2;x z ∂∂z x F F −=ze y xy−=22y z∂∂z y F F −=ze y z x −−=222(4)、xyzz =sin 解:设=),,(z y x F xyz z −sin ,yz F x 2−=xz F y −=xy z F z −=cos ;x z ∂∂z x F F −=xyz yz −=cos 2y z ∂∂z y F F −=xyz xz−=cos 3、设z y x z y x 32)32sin(2−+=−+确定了),(y x f z =,验证:+∂∂x z 1=∂∂yz证明:设=),,(z y x F )32()32sin(2z y x z y x −+−−+,1)32cos(2−−+=z y x F x 2)32cos(4−−+=z y x F y 3)32cos(6+−+−=z y x F z ;x z ∂∂z x F F −=32=y z∂∂z y F F −=31=所以+∂∂x z 13132=+=∂∂y z 4、设),(),,(),,(y x z z x z y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 确定的函数,证明1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证明:1)1((3−=−=−−−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x zz y y x 5、函数),(v u ϕ具有连续的偏导数,验证方程0),(=−−bz cy az cx ϕ所确定的函数),(y x z z =满足+∂∂x z ac yzb =∂∂证明:设bz cy v az cx u −=−=,,则有c x u =∂∂,0=∂∂y u ,a z u −=∂∂,0=∂∂x v ,c yv =∂∂,b z v−=∂∂1ϕϕc x =2ϕϕc y =21ϕϕϕb a z −−=211ϕϕϕϕϕb a ca a x za z x +=−=∂∂212ϕϕϕϕϕb a cb b y zb z y +=−=∂∂于是+∂∂x z a=∂∂y zb ++211ϕϕϕb a ca =+212ϕϕϕb a cbc b a b a c =++2121)(ϕϕϕϕ6、设f 具有连续偏导数,方程),(y z xz f z −=确定了),(y x f z =,求,x z ∂∂yz∂∂解:设=),,(z y x F ),(y z xz f z −−,又设y z v xz u −==,,则有z x u =∂∂,0=∂∂y u ,x z u =∂∂,0=∂∂x v ,1−=∂∂yv ,1=∂∂z v1zf F x −=2f F y =211f xf F z −−=x z∂∂z x F F −=2111f xf zf −−=y z∂∂2121f xf f −−−=7、设f 具有连续偏导数,方程0),,(=+++z y x y x x f 确定了),(y x f z =,求,x z ∂∂yz∂∂解:设=),,(z y x F ),,(z y x y x x f +++,321f f f F x ++=32f f F y +=3f F z =x z∂∂z x F F −=3321f f f f ++−=y z∂∂321f f f +−=8、求由方程组所确定的函数的导数或偏导数(1)、⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z 求,x y ∂∂,xz∂∂解:对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂064222x zz x y y x x y y x x z就是⎪⎩⎪⎨⎧−=∂∂+∂∂=∂∂−∂∂xx y y x z z x x y y x z2322解得13)13(222321222+=+=−−−=∂∂z xz y xy y z y y x y x x z )13(2)16(2321321++−=−−=∂∂z y z x y z y x z x x y (2)、⎪⎩⎪⎨⎧=++=+221222z y x z y x 求,dz dx ,dz dy解:对等式两边同时求关于z 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧−=+=+122dzdy dz dx z dz dy y dz dxx解得)(221122112y x y z y x y z dz dx −+=−=)(221122112y x x z y x zx dz dy −+−=−=(3)、⎩⎨⎧=−+=−+0033x yu v y xv u 求,x u ∂∂,x v ∂∂解:对等式两边同时求关于x 的偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧=−∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0130322xu y x v v v x vx x u u 就是⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂−=∂∂+∂∂13322x v v x u y v x v x x uu 解得xy v u x v v yxu v xv x u−+−=−=∂∂223222933331xy v u yv u v yx u yv u x v −+=−=∂∂222222933313(4)、⎩⎨⎧=+=+u y v x v u y x sin sin 求,y u ∂∂,yv∂∂解:对等式两边同时求关于y 的偏导数得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=y u uy u y v v x yv y u cos sin cos 1即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=∂∂−∂∂=∂∂+∂∂u y v v x y u u y y vy u sin cos cos 1解得:u y v x u v x v x u y v x u y u cos cos sin cos cos cos 11cos sin 11+−=−−−=∂∂u y v x u y u vx u y u u y y v cos cos cos sin cos cos 11sin cos 11++=−−=∂∂习题8.6解答1、求下列曲线在指定点的切线和法平面(1)、曲线t t z t y t x +===1,,2在点21,1,1(解:2)1(1)(,2)(,1)(t t z t t y t x +=′=′=′,从而得在点21,1,1(的切线的方向向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,2,1s ,于是得切线方程为:1218141−=−=−z y x ;法平面方程为021()1(8)1(4=−+−+−z y x ,即0252168=−++z y x (2)、曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =−=−=在2π=t 的对应点解:2cos 2)(,sin )(,cos 1)(tt z t t y t t x =′=′−=′,2π=t 的对应点是点)22,1,12(−π,该的切线的方向向量为{2,1,1=→s ,于是得切线方程为:22211121−=−=−+z y x π;法平面方程为0)22(2)1()2(=−+−+−+z y x π,即02422=−−++πz y x (3)、曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin 3,sin 2===在4π=t 的对应点解:t t z t t y t t t t x 2sin )(,2cos 3)(,2sin 2cos sin 4)(−=′=′==′,4π=t 的对应点是点)21,23,1(,该的切线的方向向量为{}1,0,2−=→s ,于是得切线方程为:12102321−−=−=−z y x ;法平面方程为021()1(2=−−−z x ,即0232=−−z x (4)、曲线t z tty t t t x =−=+=,1,12在)01,1(解:tt z t t y t t t t t x 21)(,1)(,)1(2)1(2)1(2)(222=′−=′+=+−+=′,1=t 对应着)01,1(,该的切线的方向向量为{}1,2,22121,1,1−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=→s ,于是得切线方程为:11221−=−=−z y x ;法平面方程为0)1(2)1(2=−+−−z y x ,即0322=−+−z y x (5)、曲线⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222z y x x z y x 在点)1,1,1(解:设x z y x z y x F 3),,(222−++=,4532),,(−+−=z y x z y x G 32−=x F x ,y F y 2=z F z 2=于是{}2211−=→n 2=x G ,3−=y G 5=z G 于是{}5322−=→n 所以切线的方向向量{}191653222121−=−−=×=→→→→→→kj i n n s 于是得切线方程为:1191161−−=−=−z y x ;法平面方程为0)1()1(9)1(16=−−−+−z y x ,即024916=−−+z y x (6)、曲线⎩⎨⎧=+=+222222z x y x 在点)1,1,1(解:设2),,(22−+=y x z y x F ,2),,(22−+=z x z y x G x F x 2=,y F y 2=0=z F 于是{}01121=→n x G x 2=,0=y G z G z 2=于是{}10122=→n 所以切线的方向向量{}11110101121−−==×=→→→→→→k j i n n s 0是得切线方程为:111111−−=−−=−z y x ;法平面方程为0)1()1()1(=−−−−−z y x ,即01=+−−z y x 2、在曲线32,,t z y t x ===上求一点,使在该点的切线与平面102=++z y x 平行解:已知平面的法向为{}121=→n ,曲线的切线的方向{}2321t ts =→,由题设可知•→n 0=→s 即03412=++t t 解得31,121−=−=t t ,所求的点是)1,1,1(−−或者)271,91,31(−−3、求下列曲面在指定点的切平面和法线(1)、zxy z ln+=在点)1,1,1(解:zzxy z y x F −+=ln ),,(,1x F x =,1=y F ,11−−=zF z 切平面的法向为{}211−=→n ,切平面为0)1(2)1()1(=−−−+−z y x 即02=−+z y x 法线为211111−−=−=−z y x (2)、22y x z +=在点)5,1,2(解:zy x z y x F −+=22),,(,2x F x =,2y F y =,1−=z F 切平面的法向为{}124−=→n ,切平面为0)5()1(2)2(4=−−−+−z y x 即0524=−+y x 法线为152142−−=−=−z y x (3)、3=+−xy z e z 在点)0,1,2(解:=),.(z y x F 3−+−xy z e z ,y F x =,x F y =,1−=zz e F 切平面的法向为{}021=→n ,切平面为0)1(2)2(=−+−y x 即042=−+y x 法线为2112zy x =−=−5、在曲面xy z =上求一点,使在该点的法线垂直于平面093=+++z y x 平行解:所求法线的方向为{}131=→n 设=),.(z y x F zxy −,y F x =,x F y =,1−=z F 切平面的法向为{}1−=→x yn ,于是有向量{}131=→n {}1−=x y λ所以1131−==x y 得3,1,3=−=−=z y x ,所求的点是()313−−。

第八章 习题答案

第八章 习题答案

第八章 习题解答8-1考虑并回答下面的问题:(a )在确定非线性元件的描述函数时,要求非线性元件不是时间的函数,并要求有斜对称性,这是为什么?(b )什么样的非线性元件是无记忆的?什么样的非线性元件是有记忆的?它们的描述函数各有什么特点?(c )线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数,有什么是相同的?有什么是不同的?线性元件可以有描述函数吗?非线性元件可以有传递函数吗?(d )非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时,系统一定能产生稳定的自激振荡吗? 解:(a )描述函数法只能用来研究非线性定常系统的特性,这要求非线性元件的特性不随时间发生变化。

在用描述函数法研究非线性系统的自振特性时,要求在正弦输入下非线性特性的输出没有直流分量,这要求非线性元件的特性是斜对称的。

(b )一般情况下用代数方程描述的非线性特性是无记忆的,根据非线性环节当前的输入就可以决定非线性环节的输出。

用微分方程描述的非线性特性是有记忆的,不能简单地根据非线性环节当前的输入决定非线性环节的输出。

无记忆非线性特性的描述函数一般为实数,有记忆非线性特性的描述函数一般为复数。

(c )线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数都是元件的外部描述。

线性元件的传递函数表述的是元件输出拉氏变换与输入拉氏变换之比,而非线性元件的描述函数表示的是元件在正弦输入下输出基波特性。

由传递函数可以得到系统的频率特性,而描述函数一般不是频率的函数,线性元件可以有描述函数,但传递函数只适用于线性系统,非线性系统没有传递函数。

(d )只有稳定的交点才对应稳定的自激振荡。

8-2设非线性元件的输入、输出特性为35135()()()()y t b x t b x t b x t =++证明该非线性元件的描述函数为2413535()48N A b b A b A =++式中A 为非线性元件输入正弦信号的幅值。

解:由于非线性特性是单值斜对称的,所以10A =,10φ=。

《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第八章答案

《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第八章答案
n n
对 任 意 n , x−
n
∑x
i =1
n
是 非 负 函 数 ,
F ( x − ∑ xn ) ≥ 0
i =1
, 因 此
F ( x ) ≥ F ( ∑ xn ) ≥ n
i =1
,这样 F ( x ) = +∞
,此与 F 是 C0 (−∞, +∞ )
上定义的
线性泛函矛盾,因此 F 必为有界的 ,证毕。 例 3.设 F 是 C [ a, b ] 上正的线性泛函。求证:任意 x, y ∈ C [ a, b ] ,

) ,其中
1 1 q yn = ∑ tmn xm , n = 1, 2,3L , ∑ ∑ tmn < ∞, + = 1 证明: T 是有界线性算子。 p q m =1 n =1 m =1
∞ ∞
p q
∞ 证明:若 Tx = ∑ ∑ tmn xm m =1 n =1
T 是 X 到 Y 的微分算子。若 Tf = 0 ,则 f 是常值函数。显然常值函数全体是闭子集,但 T
是非有界的。 (见教材底一节例九) 7 . 作 l p (1 < p < +∞ ) 中算子 T 如下:当 x = ( x1 , x2 ,L ) ∈ l p 时, Tx = ( y1 , y2 ,L
F ( xy ) ≤ F ( x ) F ( y ).
证明 则 x = x+ − x− , 其中 x+ ,x− 是 C [ a, b ] (1) 若 x 是 C [ a, b ] 中实函数,
2
2
2
中非负函数,则 (2)若
F ( x) = F ( x+ ) − F ( x− ). 是实数。 z = x + iy 是
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

1.以下正确的说法是【】。

在c语言中:A)实参和与其对应的形参各占用独立的存储单元B)实参相与其对应的形参共占用一个存储单元C)只有当实参和与其对应的形参同名时才共占用存储单元D)形参是虚拟的,不占用存储单元2.c语言规定,简单变量做实参时,它和对应形参之间的数据传递方式是【】。

A. 地址传递B. 由实参传给形参,再由形参传回给实参C. 单向值传递D. 由用户指定传递方式3.以下程序有语法性错误。

有关错误原因的正确说法是【】。

main(){int G=5,k;void prt_char();.....k=prt_char(G);.....}A)语句void prt_char();有错,它是函数调用语句,不能用void说明B)变量名不能使用大写字母C)函数说明和函数调用语句之间有矛盾D)函数名不能使用下划线4.C语言允许函数值类型缺省定义,此时该函数值隐含的类型是【】。

A)float型 B)void型 C)long型 D)double型5.C语言规定,函数返回值的类型是由【】。

A)return语句中的表达式类型所决定B)调用该函数时的主调函数类型所决定C)调用该函数时系统临时决定D)在定义该函数时所指定的函数类型所决定6.下面函数调用语句含有实参的个数为【】func((expl,exp2),(exp3,exp4,exp5))A)1 B)2 C)4 D)57.以下正确的描述是【】。

在C语言程序中A)函数的定义可以嵌套,但函数的调用不可以嵌套B)函数的定义不可以嵌套,但函数的调用可以嵌套C)函数的定义和函数的调用均不可以嵌套D)函数的定义相函数的调用均可以嵌套8.以下子程序段是选出能被3整除且至少有一位是5的两位数,打印出这样的数及其个数,请选择填空。

sub(int k,int n){int al,a2;a2=【①】;a1=k-【②】;if((k%3==0&&a2==5)||(k%3==0&&a1==5)){printf(“%d”,k);n++;return n;}else return -l;}【①】 A)k*10 B)k%10 C)k/10 D)k *10%10【②】A)a2*10 B)a2 C)a2/10 D)a2%1010.若用数组名作为函数调用的实参,传递给形参的是【】。

A)数组的首地址 B)数组第一个元素的值C)数组中全部元素的值 D)数组元素的个数11.折半查找法的思路是:先确定待查元素的范围,将其分成两半,然后测试位于中间点元素的值。

如果该待查元素的值大于中间点元素,就缩小待查范围,只测试中点之后的元素;反之,测试中点之前的元素,测试方法同前。

函数binary的作用是应用折半查找法从存有10个整数的a数组中对关键字m进行查找,若找到,返回其下标值;反之,返回-1。

请选择填空。

binary(int a[10],int m){int low=0,high=9,mid;whi1e(low<=high){mid=(low十high)/2;if(m<a[mid]) 【①】;else if(m>a[mid]) 【②】;else return(mid); }return -1;}【①】A)high=mid-1 B)1ow=mid十1C)high=mid+l D)1ow=mid—l【②】A)high=mid-l B)1ow=mid+lC)high=mid+l D)1ow=mid-112.以下不正确的说法为【】。

A)在不同函数中可以使用相同名字的变量B)形式参数是局部变量C)在函数内定义的变量只在本函数范围内有效D)在函数内的复合语句中定义的变量在本函数范围内有效13.凡是函数中末指定存储类别的局部变量,其隐含的存储类别为【】。

A)自动(auto) B)静态(static)C)外部(extern) D)寄存器(register)14.C语言规定,简单变量做实参时,它和对应形参之间的数据传递方式是【】。

(A)地址传递(B)单向值传递(C)双向值传递。

即由实参传给形参,再由形参传回给实参(D)由用户指定传递方式15. 以下正确的函数形式是【】。

(A)double fun(int x,int y) { z=x+y;return z;}(B)fun(int x,y) { int z;return z;}(C)fun(x,y) { int x,y;double z;z=x+y;return z;}(D)double fun( int x,int y) {double z;z=x+y;return z;} 16.一个C语言程序是由【】。

(A)一个主程序和若干子程序组成(B)若干函数组成(C)若干过程组成(D)若干子程序组成17.以下程序的正确运行结果是【】。

#include<stdio.h>main(){int k=4,m=1,p;p=func(k,m); printf("%d,",p);p=func(k,m); printf("%d\n",p);}func(int a,int b){static int m=0,i=2;i+=m+1;m=i+a+b;return(m);}A)8,17 B)8,16 C)8,20 D)8,8填空题:1.下面add函数的功能是求两个参数的和,并将和返回调用函数。

函数中错误的部分是【void】;改正后为【float】。

void add(float a,float b){float c;c=a+b;return c;}2.以下程序的运行结果是【111】main(){ increment(); increment(); increment();}increment(){int x=0;x+=1;printf("%d",x);}3.输入一个无符号整数后,通过子函数fun()求出它的各位数之和并返回结果到主函数输出。

例如若输入123,则将各位之和6(即1+2+3)输出。

fun(unsigned int num){ unsigned int k=0;do{ k + =【 num%10】;num /= 10;} while(num);【 return k 】; }main( ){unsigned int n,sum;scanf(“%d”,&n);【 sum=fun(n) 】;printf(“%u\n”,sum); }4.下列程序由主函数main()、子函数del_str()组成。

main()中控制输入一个字符串,并输入一字符,del_str()从字符串中将该指定的单字符删除。

根据下列的程序思路,将程序补充完整。

#include 〈stdio.h〉#define LEN 16void del_str(char a[],char b[],char n){ int i,j=0;for(i=0;i<LEN;i++)if 【 a[i]!=n 】{ b[j]=a[i];【j++】;}}main(){char str1[LEN],str2[LEN];char m;printf(“enter the string:”);gets(str1);printf(“enter the char of the string to deleted:”);scanf(“%c”,&m);【del_str(str1,str2,m) 】;printf(“the new string is:%s”, str2);}5. 以下程序的功能是用递归方法计算学生的年龄,已知第一位学生年龄最小,为10岁,其余学生一个比一个大2岁,求第5位学生的年龄。

递归公式如下:age(1)=10age(n)=age(n-1)+2 (n>1)#include<stdio.h>int age(int n){ int c;if 【n==1 】c=10;elsec=【age(n-1)+2】;return c;}6.若输入一个整数10,以下程序的运行结果是 1010main(){ int a,e[10],c,i=O;printf("输入一个整数:\n");scanf("%d",&a);while(a!=0){ c=sub(a);a=a/2;e[i]=c;i++;}for( ;i>0;i--)printf("%d",e[i-1]);}sub(int a){ int c;c=a%2;return c;}7.已有函数pow,现要求取消变量i后pow函数的功能不变。

请填空修改前的pow函数pow(int x,int y){int i,j=1;for(i=1;i<=y;++i) j=j*x;return(j); }修改后的pow函数pow(tnt x,int y){int j;for(【j=1】; 【y>=1】;【y--】)j=j*x;return(j);}8.函数swap(int x,int y)可完成对x和y值的交换。

在运行调用函数中的如下语句后,a[0]和a[1]的值分别为【 1,2 】,原因是【实参单向传递值给形参】。

a[0]=1;a[1]=2;swap(a[0],a[1]);9.以下程序的运行结果是1!=12!=23!=64!=245!=120int fac(int n){static int f=1;f=f *n;return(f);}main(){int i;for(i=1;i<=5;i++) printf("%d!=%d\n”,i,fac(i));}。

相关文档
最新文档